一种确定使用弯矩下钢砼梁开裂高度与配筋率关系的方法

摘要

本发明公开了一种确定使用弯矩下钢砼梁开裂高度与配筋率关系的方法。制作一组矩形截面钢砼梁，各根梁的混凝土强度、钢筋等级、梁长、截面尺寸及保护层厚度保持一致，而让其配筋率ρ

说明书

技术领域

本发明涉及钢筋混凝土梁在使用弯矩下开裂高度与配筋率关系的确定方 法。

背景技术

由于混凝土(简称砼)在凝固过程中粗骨料和水泥砂浆的收缩差，以及不 均匀的温度、湿度场所产生的微观应力场作用，结构混凝土在承受荷载或者外 力之前，内部就已经存在一些分散的微裂缝，在荷载或者外力作用下，这些微 裂缝将逐渐增多和扩展，由微观裂缝逐渐发展为宏观裂缝，直到最终构件被破 坏，因此，服役中的钢筋混凝土梁(简称钢砼梁)，通常都处于带裂缝工作状态。 开裂将影响钢筋混凝土梁的宏观力学性能、削弱钢筋混凝土梁的抗弯刚度。通 常，采用预制矩形截面钢筋混凝土单筋梁(即仅在受拉区配置纵向钢筋的梁)， 进行简支两点对称加载弯曲试验，研究开裂对钢筋混凝土梁力学性能的影响， 如图1所示。对适筋梁(即配筋比例适当的梁)的弯曲试验而言，受拉区的混 凝土应变首先达到其抗拉破坏应变值，即开裂应变ε_cr，对应的弯矩为开裂弯矩 M_cr；继续加载，拉区的混凝土出现肉眼可见的裂缝，随着加载的进行，受拉钢 筋应力达到屈服强度f_y，对应的弯矩为屈服弯矩M_y，而此时压区混凝土应变尚 未达到抗压破坏应变ε_cu，因此又称适筋梁为钢筋低量；随着加载的继续进行， 压区混凝土应变将达到抗压破坏应变ε_cu，对应的弯矩为破坏弯矩M_u。适筋梁之 破坏通常为一种韧性破坏模式，即，破坏前钢筋应变大，故而梁破坏前有很大 的变形，也称为拉力破坏。若将弯矩M与梁的挠度w的试验测试结果绘制成坐 标图M(w)，适筋梁的M(w)图通常呈现出三折线形态的变化规律，并且，所施加 的弯矩M达到破坏弯矩M_u后，弯矩M将随着挠度w的增加出现下降趋势，即 M(w)图上存在一个最大弯矩值(即破坏弯矩M_u)，如图2所示。对适筋梁的设 计而言，通常希望M_cr≈(0.2～0.3)M_u，M_y≈(0.9～0.95)M_u，这样弯矩增量 ΔM＝M_y-M_cr能够尽量大些，而希望使用弯矩(即最大服务弯矩)为 M_k≈(0.5～0.6)M_u。因此，我们可以通过研究使用弯矩下钢筋混凝土梁开裂高度 与配筋率的关系，更好地把握钢筋混凝土结构(简称钢砼结构)的宏观力学性 能，提高钢砼结构设计的合理性。

通常，钢筋混凝土结构的设计人员非常希望能够依据某个设计参数，直接 确定出钢筋混凝土梁在使用弯矩下的开裂程度。然而，目前大多数试验研究工 作都是基于经典的等模量弹性理论，在试验结果的基层上，定性或者定量地讨 论开裂对使用弯矩下钢筋混凝土梁抗弯刚度的影响程度，而这些研究成果对指 导钢筋混凝土结构的设计与分析非常不方便。众所周知，试验研究将消耗大量 的费用投入。为达到提高试验研究经济效率的目的，能够使得一次性经济投入， 获得永久性方便指导钢筋混凝土结构设计与分析的试验研究成果，这一领域迫 切需要新的试验研究方法，以满足设计与分析工作的准确性和方便性需求。

发明内容

为了克服现有试验研究工作采用经典等模量弹性理论而带来的问题和不足 之处，本发明基于拉压不同模量弹性理论，提出了一种确定使用弯矩下钢砼梁 开裂高度与配筋率关系的方法：预制一组钢筋混凝土单筋梁，并对其进行简支 两点对称加载试验，如图1所示，获得每一根钢筋混凝土梁弯矩M随梁跨中底 部挠度w变化的坐标关系图M(w)，将那些弯矩M与挠度w呈现出三折线形态变 化规律的M(w)图作为试验结果使用，如图2所示，取这些图中最大弯矩值为对 应梁的破坏弯矩M_u(i)，并取(0.5～0.6)M_u(i)为对应梁的使用弯矩M_k(i)，对应M_k(i) 的梁跨中底部挠度值为w_k(i)。由于各梁的压区仅有混凝土，因此受压弹性模量 值可取为混凝土的弹性模量E_c，那么由M_k(i)和w_k(i)可求得每根梁拉区的受拉 弹性模量值然后，利用各根梁的配筋率ρ_i和对应的计算值、以及混凝土 的弹性模量E_c和受拉钢筋的弹性模量E_s，求得开裂高度h_cr与梁高h的比值H_cr随 配筋率ρ变化的解析表达式H_cr(ρ)。这样，设计人员只需要依据设计参数配筋率 ρ，就可以方便地确定出所设计的钢筋混凝土梁在使用弯矩下的开裂程度，而 且，对同条件下的钢筋混凝土梁而言，一次性试验所获得的经验公式H_cr(ρ)， 可作为永久性使用。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

制作n根矩形截面的钢筋混凝土单筋梁，其中n≥12，让所有梁的混凝土强 度、钢筋等级、梁长、梁宽、梁高及保护层厚度基本保持一致，而让各根梁的 配筋率ρ_i从小到大分布在0.2％到2％的范围内。对所有梁进行简支两点对称加 载弯曲试验，如图1所示，并测得每一根梁弯矩M随梁跨中底部挠度w变化的 坐标关系图M(w)。选取那些弯矩M与挠度w呈现出三折线形态变化规律的M(w) 图作为试验结果使用，如图2所示，取这些图中的最大弯矩值为对应梁的破坏 弯矩M_u(i)，并取(0.5～0.6)M_u(i)为对应梁的使用弯矩M_k(i)，对应M_k(i)的梁跨中 底部挠度值为w_k(i)。

根据浅梁的小挠度平面弯曲理论，每根简支梁在荷载作用下，梁会挠曲， 并处于下部受拉而上部受压的受力状态，从而形成既不受拉也不受压的中性层。 假设拉压弹性模量记为和由于每根梁的压区仅有混凝土，因此受压弹性 模量值可取为混凝土的弹性模量E_c。每根简支梁跨长记为l、梁宽记为b、梁 高记为h、梁的受拉区高度记为h₁(i)、梁的受压区高度记为h₂(i)、在使用弯矩M_k(i) 下中性层的曲率半径记为R(i)、在使用弯矩M_k(i)下梁跨中底部挠度值记为w_k(i)， 因此有h＝h₁(i)+h₂(i)。

根据拉压不同模量纯弯曲梁理论(C.A.阿姆巴尔楚米扬著.邬瑞锋，张允 真等译.不同模量弹性理论[M].北京：中国铁道出版社，1986.)，对于距中性层 y处的考察点，其应变可以表示为e＝y/R，因此，中性层以上(-h₂≤y＜0)的 纵向纤维是受压的，而中性层以下(0＜y≤h₁)的纵向纤维是受拉的。根据广义 弹性定律，受拉区的正应力σ⁺和受压区的正应力σ^-分别应为

$\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^{+}=E^{+}\frac{y}{R},& 0<y\le h_1\\ {\sigma }^{-}=E^{-}\frac{y}{R},& -h_2\le y<0\end{array}\right)$

所有的法向力在x轴上的投影等于零，而它们的力距等于所作用的力距M，这 样可得到下列平衡方程

${\int }_{-h_2}^0{\sigma }_x^{-}\mathrm{bdy}+{\int }_0^{h_1}{\sigma }_x^{+}\mathrm{bdy}=0$

以及

${\int }_{-h_2}^0{\sigma }_x^{-}\mathrm{ybdy}+{\int }_0^{h_1}{\sigma }_x^{+}\mathrm{ybdy}=M$

由以上表达式，我们可以推得那么联立等式h＝h₁+h₂后，可得

$h_1=\frac{\sqrt{E^{-}}}{\sqrt{E^{+}}+\sqrt{E^{-}}}h,$$h_2=\frac{\sqrt{E^{+}}}{\sqrt{E^{+}}+\sqrt{E^{-}}}h$

此外，由以上还可以推得

$\frac{1}{R}[\frac{E^{-}{\mathrm{bh}}_2^3}{3}+\frac{E^{+}{\mathrm{bh}}_1^3}{3}]=M$

若对拉压不同模量纯弯曲梁引入弯曲刚度概念则上式可变为

众所周知的纯弯曲梁的变形公式D＝RM。因此，我们有

$\left(\begin{array}{cc}{\sigma }^{+}=\frac{E^{+}}{D}\mathrm{My}& 0<y\le h_1\\ {\sigma }^{-}=\frac{E^{-}}{D}\mathrm{My}& -h_2\le y<0\end{array}\right)$

由于每根梁的压区仅有混凝土，因此受压弹性模量值E^-可取为混凝土的弹性模 量E_c。假设受拉区混凝土开裂部分的有效高度记为h_cr，并记H_cr＝h_cr/h，那么在 受拉区，所有纵向纤维的总拉力N⁺应为，

$N^{+}={\int }_0^{h_1}{\sigma }^{+}\mathrm{ds}={\int }_0^{h_1}{E}^{+}\frac{y}{R}\mathrm{bdy}=\frac{{\mathrm{bE}}^{+}}{2R}{h}_1^2$

实际上，这个总拉力N⁺是由受拉钢筋的拉力和受拉区未开裂部分的混凝土的 拉力组成，即其中

$N_s^{+}=E_s\frac{h_1}{R}{A}_S,$$N_c^{+}=\frac{{\mathrm{bE}}_c}{2R}{\left(h_1{-h}_{\mathrm{cr}}\right)}^2$

式中，E_s为受拉钢筋的弹性模量，A_s为受拉钢筋的总面积。因此，我们最终可 以推得

$\frac{h_{\mathrm{cr}}}{h}=\frac{\sqrt{E_c}}{\sqrt{E^{+}}+\sqrt{E_c}}(1-\sqrt{\frac{E^{+}}{E_c}-2\frac{E_s}{E_c}\frac{\sqrt{E^{+}}+\sqrt{E_c}}{\sqrt{E_c}}\frac{A_S}{\mathrm{bh}}})$

那么，对上述试验梁而言，我们有

$h_1\left(i\right)=\frac{\sqrt{E_i^{-}}}{\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_i^{-}}}h,$$h_2\left(i\right)=\frac{\sqrt{E_i^{+}}}{\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_i^{-}}}h$

以及

$\frac{E_i^{-}{\mathrm{bh}}_2^3\left(i\right)}{3}+\frac{E_i^{+}{\mathrm{bh}}_1^3\left(i\right)}{3}=R\left(i\right)M_k\left(i\right)$

由梁挠曲时的几何关系可得

$R\left(i\right)=\frac{w_k^2\left(i\right)+\frac{l^2}{4}}{{2w}_k\left(i\right)-h_1\left(i\right)}$

考虑那么我们最终可以得到

${\mathrm{bh}}^3\frac{E_i^{+}{E}_c}{{(\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_c})}^2}+3h{M}_k\left(i\right)\frac{\sqrt{E_c}}{\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_c}}=3M_k\left(i\right)\frac{4w_k{\left(i\right)}^2+l^2}{{8w}_k\left(i\right)}$

将M_k(i)和w_k(i)代入以上方程，则可求得每根梁拉区的受拉弹性模量值由于 绝大多数情况下，钢筋的保护层厚度基本保持为2.5cm，因此我们可以定义配 筋率ρ_i＝A_s(i)/bh，其中A_s(i)为各根梁的受拉钢筋总面积，那么利用各根梁的配 筋率ρ_i和对应的计算值，就可求得回归方程E⁺＝αρ+β中的系数α和β，

$\alpha =\frac{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}·{\rho }_i-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i},$$\beta =\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}·{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}$

考虑E⁺＝αρ+β，那么我们最终可以获得

$H_{\mathrm{cr}}\left(\rho \right)=\frac{\sqrt{E_c}}{\sqrt{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }+\sqrt{E_c}}(1-\sqrt{\frac{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }{E_c}-2\frac{E_s}{E_c}\frac{\sqrt{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }+\sqrt{E_c}}{\sqrt{E_c}}\rho })$

最后，将α、β、E_c、E_s代入以上表达式中，就可以求得开裂高度h_cr与梁高h的 比值H_cr随配筋率ρ变化的解析表达式H_cr(ρ)，其中，所有物理量的单位皆采用 国际单位制。

本发明的有益效果是：只需要依据设计参数配筋率ρ，就可以方便地确定 出所设计的钢筋混凝土梁在使用弯矩下的开裂程度，并且，对相同条件下的钢 筋混凝土梁而言，一次性试验所获得的经验公式H_cr(ρ)，可作为永久性使用， 从而达到了提高试验研究经济效率的目的。

附图说明

图1为本发明采用的两边简支的钢筋混凝土矩形梁在两点对称加载下的力 学模型。图中，x，y，z为直角坐标、l为简支梁跨长、a为梁的剪跨长、b为梁宽、 h为梁高、h₁为梁的受拉区高度、h₂为梁的受压区高度、P为两点对称加载时所 施加的两个集中荷载。

图2为弯矩M与挠度w呈现出三折线形态变化规律的M(w)示意图。图中， “1”为M(w)图上荷载-挠度曲线出现的第一个明显转折点，示意梁的底部混 凝土应变达到开裂应变(即混凝土拉应变极限值)；“2”为M(w)图上荷载-挠 度曲线出现的第二个明显转折点，示意纵向受拉钢筋的应变达到屈服应变；“3” 为M(w)图上荷载-挠度曲线出现的第三个明显转折点，示意梁的顶部混凝土应 变达到破坏应变(即混凝土压应变极限值)；M_cr(i)表示各根梁的开裂弯矩，对 应的梁跨中底部挠度值为w_cr(i)；M_k(i)表示各根梁的使用弯矩，对应的梁跨中底 部挠度值为w_k(i)；M_y(i)表示各根梁的屈服弯矩，对应的梁跨中底部挠度值为 w_y(i)；M_u(i)表示各根梁的破坏弯矩，对应的梁跨中底部挠度值为w_u(i)。

具体实施方式

制作n根矩形截面的钢筋混凝土梁，其中n≥12，让所有梁的混凝土强度、 钢筋等级、梁长、梁宽、梁高及保护层厚度基本保持一致。对所有梁进行简支 两点对称加载试验，如图1所示，l为所有钢筋混凝土梁进行简支两点对称加载 试验时的跨长、a为梁的剪跨长、b为梁宽、h为梁高，图中P为两点对称加载 时所施加的集中荷载，因此在两个所施加的集中荷载作用点之间为梁的纯弯曲 试验段，其弯矩M＝aP。每一根试验所用的钢筋混凝土梁，仅在受拉侧配置纵 向钢筋，并让各根梁的配筋率ρ_i从小到大分布在0.2％到2％的范围内，而在剪 跨区，每一根试验所用的钢筋混凝土梁都配置有足够的箍筋量，以便保证试验 梁在加载过程中不发生剪切破坏。通过加载试验，测得每一根梁弯矩M随梁跨 中底部挠度w变化的坐标关系图M(w)。选取那些弯矩M与挠度w呈现出三折线 形态变化规律的M(w)图作为试验结果使用，如图2所示，取这些图中的最大弯 矩值为对应梁的破坏弯矩M_u(i)，并取(0.5～0.6)M_u(i)为对应梁的使用弯矩M_k(i)， 对应M_k(i)的梁跨中底部挠度值为w_k(i)。取受压弹性模量值皆为混凝土的弹性 模量E_c，将l、b、h、E_c以及M_k(i)和w_k(i)代入以下方程

${\mathrm{bh}}^3\frac{E_i^{+}{E}_c}{{(\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_c})}^2}+3h{M}_k\left(i\right)\frac{\sqrt{E_c}}{\sqrt{E_i^{+}}+\sqrt{E_c}}=3M_k\left(i\right)\frac{4w_k{\left(i\right)}^2+l^2}{{8w}_k\left(i\right)},$

分别求得每一根梁拉区的受拉弹性模量值将各根梁的配筋率ρ_i＝A_s(i)/bh和 对应的计算值，代入以下公式

$\alpha =\frac{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}·{\rho }_i-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i},$$\beta =\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{E}_i^{+}·{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}{n\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i^2-\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\rho }_i}$

求得系数α和β，再将求得的系数α和β、以及E_c和E_s代入以下公式

$H_{\mathrm{cr}}\left(\rho \right)=\frac{\sqrt{E_c}}{\sqrt{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }+\sqrt{E_c}}(1-\sqrt{\frac{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }{E_c}-2\frac{E_s}{E_c}\frac{\sqrt{\mathrm{\alpha \rho }+\beta }+\sqrt{E_c}}{\sqrt{E_c}}\rho })$

求得开裂高度h_cr与梁高h的比值H_cr随配筋率ρ变化的解析表达式H_cr(ρ)，其中， 所有物理量的单位皆采用国际单位制。