带孔薄壁曲壳结构的曲面形状与孔洞形状协同优化设计方法

摘要

本发明公开了一种带孔薄壁曲壳结构的曲面形状与孔洞形状协同优化设计方法，用于解决现有的设计方法无法进行曲面形状与其上的孔洞形状协同优化设计的技术问题。技术方案是同时定义与曲面形状相关的曲面设计变量和与孔洞形状相关的孔形设计变量两种设计变量，将孔形设计变量定义在随曲面形状变化而改变的曲面内部参数映射域中，从而有效地保证了孔形曲线始终位于参数映射域内，从而在保证结构完整性的同时，实现了曲面形状与其上的孔洞形状的协同优化设计。采用本发明方法的设计流程进行曲面形状与其上的孔洞形状协同优化设计后，初始体积约束下的带孔薄壁双曲旋转曲壳结构有限元模型的最大等效应力由初始的135.199～360.649kPa降低到18.690～24.181kPa，降幅达到82.1～94.8％。

说明书

技术领域

本发明涉及一种曲面形状与孔洞形状协同优化设计方法，特别是带孔薄壁曲壳结 构的曲面形状与孔洞形状协同优化设计方法。适用于空间任意带孔薄壁曲壳结构。

背景技术

航空、航天、航海及建筑工程中，存在大量的薄壁曲面结构。为了减重、维修、 排气甚至美观上的需要，这些薄壁曲面上通常开有各种各样的孔洞。孔洞的引入， 必然会破坏结构的完整性，改变结构的承力路径，从而导致孔周应力集中、结构疲 劳寿命下降等一系列问题。

文献1“Form Finding of Shells by Structural Optimization.Bletzinger KU and  Ramm E，Engineering with computers.1993；9：27-35.”公开了一种设计方法，将曲面 的参数作为设计变量进行优化设计，实现了自由曲面的形状优化设计。

文献2“A parametric mapping method for curve shape optimization on 3D panel  structures.Zhang WH，Wang D and Yang JG，International Journal for Numerical  Methods in Engineering.2010；84：485-504.”公开了一种参数映射的方法，可以实现 带孔薄壁曲面结构上的孔洞形状优化设计。这种优化设计方法首先将孔洞形状设计 变量定义在参数平面上，再采用参数拟合的方法在参数平面上生成平面孔周边界曲 线，最后利用空间曲面与参数平面之间的映射关系，将参数平面上的点映射回空间 曲面结构上。这样，可以通过参数平面上的孔洞形状设计变量有效的控制空间孔洞 的形状，并通过映射关系保证空间孔洞边界曲线的任何一点始终位于给定的薄壁曲 面结构上。

但是上述文献中均没有提出同时考虑带孔曲面的曲面形状与其上孔洞形状协 同优化设计的方法。而实际应用中曲面形状与其上的孔洞形状都具有一定的可设计 性，需要考虑曲面形状与其上孔洞形状的协同优化作用。在协同优化过程中，如果 直接将孔形设计变量定义在文献2中给出的形状固定的参数映射域中，就无法反映 曲面变化信息，可能导致曲面网格畸形，影响有限元求解精度，甚至无法进行有限 元求解。另外，文献2中通常将孔周边界拟合曲线的控制顶点坐标定义为孔形设计 变量，这样映射域的变化会导致孔形设计变量的上下限也发生变化。所以，不能简 单地将文献1中的曲面形状优化方法和文献2中的带孔薄壁曲面上的孔洞形状优化 方法直接结合起来进行曲面形状与其上的孔洞形状的协同优化设计。

发明内容

现有技术中没有同时考虑带孔曲面结构中曲面形状与其上孔洞形状的可设计 性，并且无法简单地将以往的曲面形状优化方法和带孔曲面的孔洞形状优化方法直 接结合起来进行曲面形状与其上的孔洞形状协同优化设计。为了解决这一技术问 题，本发明提供一种带孔薄壁曲壳结构的曲面形状与孔洞形状协同优化设计方法，该 方法同时定义与曲面形状相关的曲面设计变量和与孔洞形状相关的孔形设计变量 两种设计变量，将孔形设计变量定义在随曲面形状变化而改变的曲面内部参数映射 域中，从而可以有效地保证有限元求解的精度，并将孔形设计变量正规化到[0，1]区 间上，这样能够根据曲面设计变量的变化动态更新孔形位置，可以保证孔形曲线始 终位于参数映射域内，从而在保证结构完整性的同时，可以实现曲面形状与其上的 孔洞形状的协同优化设计。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种带孔薄壁曲壳结构的曲面形 状与孔洞形状协同优化设计方法，其特点是包括下述步骤：

(a)根据曲面的形状特点，在参数映射域Ω中建立带孔曲面结构中曲面的参 数方程：

$\left(\begin{array}{c}x=x(\xi ,\eta )\\ y=y(\xi ,\eta )\\ z=z(\xi ,\eta )\end{array}\right)\xi \ge 0,\eta \ge 0;(\xi ,\eta )\in \Omega .---\left(1\right)$

建立参数映射域的方法：对于三边曲面，对应三角形参数映射域，三角形映射 域的一条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为原点，另两个顶点分别为(ξ₀，0)，(ξ₁，η₀)； 三边曲面的平面参数映射域对应三个待定参数：ξ₀，ξ₁和η₀；对于四边曲面，对应 矩形参数映射域，其两条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为原点，这时参数映射 域的另三个顶点分别为(ξ₀，0)，(ξ₀，η₀)，(0，η₀)；四边曲面的参数映射域对应两个待定 参数：ξ₀和η₀；对于复杂曲面，将其分为多个三边曲面与四边曲面的组合，再通过 平移、旋转、对称等操作将多个三角形参数映射域、多个矩形参数映射域或其他形 状的参数映射域进行组合，与相应的分块曲面形成映射关系；

(b)根据曲面曲边长度确定曲面参数；

对于三边曲面，设定其三个曲面边长分别为L₁，H₁和H₂，并且分别与三角形 映射域中的底边、右侧边和左侧边相对应；则三边曲面的三角形参数映射域参数由 下式确定：

$\left(\begin{array}{c}{\xi }_0=\lambda L_1\\ {\xi }_1=\frac{\lambda H_2{L}_1}{H_1+H_2}\\ {\eta }_0=0.5\lambda (H_1+H_2)\end{array}\right)---\left(2\right)$

对于四边曲面，假定其四个曲面边长分别为L₁，H₁，L₂和H₂，并且分别与矩 形映射域中的底边、右侧边、顶边和左侧边相对应；则四边曲面的矩形参数映射域 参数由下式确定：

$\left(\begin{array}{c}{\xi }_0=0.5\lambda (L_1+L_2)\\ {\eta }_0=0.5\lambda (H_1+H_2)\end{array}\right)---\left(3\right)$

式中，λ为大于0的长度比例系数；

(c)在曲面的参数方程公式(1)中选择仅与曲面形状相关的参数作为曲面设计 变量，采用拟合方法生成曲面结构的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\xi ,\eta )·x_i\\ y=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\xi ,\eta )·y_i\\ z=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\xi ,\eta )·z_i\end{array}\right),(\xi ,\eta )\in \Omega .---\left(4\right)$

式中，ξ和η为曲面的参变量，N_i(ξ，η)为第i个控制顶点的拟合基函数，(x_i，y_i，z_i)为曲 面的空间控制点坐标；

(d)在曲面内部坐标系ξ-η平面上建立平面孔周边界曲线的参数方程：

$\left(\begin{array}{c}\xi =\xi \left(u\right)\\ \eta =\eta \left(u\right)\end{array}\right),0\le u\le 1---\left(5\right)$

式中，u为孔周曲线的参变量；

(e)在平面孔周曲线的参数方程中选择仅与孔周曲线形状相关的参数作为孔形 设计变量，采用拟合方法生成的平面孔周边界曲线的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}\xi =\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·s_j\\ \eta =\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·t_j\end{array}\right),0\le u\le 1---\left(6\right)$

式中，B_j(u)为第j个控制顶点的拟合基函数，(s_j，t_j)为平面孔周边界曲线的控制点坐 标，b_k为第k个孔形设计变量的符号；

(f)将选定的孔形设计变量b_k进行正规化处理，得到相应的正规化孔形设计 变量α_k：

${\alpha }_k=\frac{b_k-b_k^{\min }}{b_k^{\max }-b_k^{\min }}\in \left[\mathrm{0,1}\right]---\left(7\right)$

式中，b_k^max和b_k^min分别为第k个孔形设计变量b_k变化的上限和下限，α_k为相应的 第k个正规化孔形设计变量，k的变化范围为从1到孔形设计变量的数目；

(g)这样，空间孔周边界曲线的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}x=x(\xi \left(u\right),\eta \left(u\right))\\ y=y(\xi \left(u\right),\eta \left(u\right))\\ z=z(\xi \left(u\right),\eta \left(u\right))\end{array}\right),0\le u\le 1---\left(8\right)$

其中即包含与空间曲面形状相关的曲面设计变量，又包含与孔周曲线形状相关的孔 形设计变量；

当空间曲面与平面孔周边界曲线都是采用拟合方式生成时，空间孔周边界曲线 的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}x=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\xi }_j,\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\eta }_j)·x_i\\ y=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\xi }_j,\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\eta }_j)·y_i\\ z=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{N}_i(\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\xi }_j,\underset{j=1}{\overset{m}{\Sigma }}{B}_j\left(u\right)·{\eta }_j)·z_i\end{array}\right),0\le u\le 1.---\left(9\right)$

式中，空间控制顶点(x_i，y_i，z_i)作为控制曲面形状的曲面设计变量，参数平面上的控制 顶点(ξ_j，η_j)作为控制孔周曲线形状的孔形设计变量；

(h)直接在参数映射域中划分有限元网格，再利用平面曲线—空间曲线，平 面区域—曲面结构之间的双重映射关系，分别将平面孔周边界曲线上的离散节点与 参数映射域中的离散节点映射到带孔曲面上，并根据参数映射域中离散节点的拓扑 结构，采用壳单元生成带孔曲面上的有限元网格；

(i)设定材料属性，并在曲面有限元模型上通过施加边界条件与载荷，建立带 孔薄壁曲面结构的力学模型；

(j)设定曲面设计变量的初始值与变化范围，孔形设计变量为曲面设计变量和 正规化孔形设计变量，选定正规化孔形设计变量的初始值；综合结构应力分布、重 量，建立带孔薄壁曲面结构曲面形状与孔洞形状协同优化设计问题的优化模型，通 常选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面积作为约束函数；

(k)采用基于梯度的优化算法或智能优化算法进行优化设计求解。

本发明相比现有技术的有益效果是：由于该方法同时定义与曲面形状相关的曲 面设计变量和与孔洞形状相关的孔形设计变量两种设计变量，将孔形设计变量定义 在随曲面形状变化而改变的曲面内部参数映射域中，从而有效地保证了有限元求解 的精度，并将孔形设计变量正规化到[0，1]区间上，这样能够根据曲面设计变量的变 化动态更新孔形位置，保证了孔形曲线始终位于参数映射域内，从而在保证结构完 整性的同时，实现了曲面形状与其上的孔洞形状的协同优化设计。采用本发明方法 的设计流程进行曲面形状与其上的孔洞形状协同优化设计后，初始体积约束下的带 孔薄壁双曲旋转曲壳结构有限元模型的最大等效应力由初始的135.199～ 360.649kPa降低到18.690～24.181kPa，降幅达到82.1～94.8％。

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

附图说明

图1是矩形映射域的示意图。

图2是三角形映射域的示意图。

图3是实施例1中的薄壁半椭球壳结构的尺寸示意图。

图4是实施例2中的薄壁双曲旋转曲壳结构的母线尺寸示意图。

具体实施方式

以下实施例参照图1～图4。

实施例1：带孔半椭球壳的曲面形状与其上孔洞形状协同优化设计。

带孔半椭球壳结构上有4个循环对称的孔洞，其材料及尺寸参数为：杨氏模量 E＝210GPa，泊松比μ＝0.3，密度为ρ＝8.0×10^-6kg/mm³，曲面厚度T＝2mm。

(a)带孔半椭球壳结构为三边曲面，将其与三角形映射域建立映射关系，可以 建立带一个孔洞的薄壁半椭球壳单胞结构的参数方程：

$\left(\begin{array}{c}x=a_1\cos \left(\frac{\mathrm{\pi \eta }}{2{\eta }_0}\right)\cos \left(\frac{\pi ({\eta }_0\xi -{\xi }_1\eta )}{2({\eta }_0-\eta ){\xi }_0}\right)\\ y=a_1\cos \left(\frac{\mathrm{\pi \eta }}{2{\eta }_0}\right)\sin \left(\frac{\pi ({\eta }_0\xi -{\xi }_1\eta )}{2({\eta }_0-\eta ){\xi }_0.}\right),\frac{{\xi }_1\eta }{{\eta }_0}\le \xi \le {\xi }_0-\frac{({\xi }_0-{\xi }_1)\eta }{{\eta }_0},0\le \eta \le {\eta }_0.\\ z=a_2\sin \left(\frac{\mathrm{\pi \eta }}{2{\eta }_0}\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中，a₁和a₂分别为半椭球壳的轴向半径与周向半径。这时，ξ₀、ξ₁和η₀为参数映射 域的三个待定参数。

从而在ξ-η参数平面的第一象限建立了与曲面相对应的参数映射域Ω。

这里给出一种建立参数映射域的方法：对于三边曲面，对应三角形参数映射域， 三角形映射域的一条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为原点，另两个顶点分别为 (ξ₀，0)，(ξ₁，η₀)。于是，三边曲面的平面参数映射域对应三个待定参数：ξ₀，ξ₁和η₀； 对于四边曲面，对应矩形参数映射域，其两条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为 原点，这时参数映射域的另三个顶点分别为(ξ₀，0)，(ξ₀，η₀)，(0，η₀)。于是，四边曲面 的参数映射域对应两个待定参数：ξ₀和η₀；对于复杂曲面，可以将其分为多个三边 曲面与四边曲面的组合，再通过平移、旋转、对称等操作将多个三角形参数映射域、 多个矩形参数映射域或其他形状的参数映射域进行组合，与相应的分块曲面形成映 射关系。

(b)将长度比例系数λ设为1，则三角形参数映射域对应的参数ξ₀、ξ₁和η₀的取 值满足：

$\left(\begin{array}{c}{\xi }_0=0.5\pi a_1\\ {\xi }_1=0.5{\xi }_0\\ {\eta }_0=0.25\pi (1.5(a_1+a_2)-\sqrt{a_1{a}_2})\end{array}\right)---\left(2\right)$

(c)这时，选取曲面的参数方程公式(1)仅与曲面形状相关的参数a₁和a₂作为 曲面设计变量。

(d)在曲面内部坐标系ξ-η平面上采用三次B样条拟合的方式建立平面孔周边 界曲线的参数方程，其中u为孔周曲线的参变量：

$\left(\begin{array}{c}\xi =\underset{j=1}{\overset{8}{\Sigma }}{C}_j\left(u\right)·s_j\\ \eta =\underset{j=1}{\overset{8}{\Sigma }}{C}_j\left(u\right)·t_j\end{array}\right),0\le u\le 1---\left(3\right)$

式中，C_j(u)为第j个控制顶点的三次B样条拟合基函数，(s_j，t_j)为平面孔周边界曲线 的控制点坐标。

(e)在平面孔周曲线的参数方程中，(s_j，t_j)为平面孔周边界曲线的控制点坐标， 仅与孔周曲线形状有关。该实施例中将孔形设置为对称孔形，将孔心设置在参数映 射域的中心位置(ξ₀/2，η₀/2)，作为定义孔形设计变量的局部坐标系。过孔心沿ξ轴正 向与负向分别设置1个纵向控制顶点，并且这两个纵向控制顶点在局部坐标系中仅 η向坐标t₁和t₅可以变化，沿与η轴平行的方向设置3个横向控制顶点，其中第一 个横向控制顶点在局部坐标系中的η向坐标为第一个纵向控制顶点相应坐标的一 半，第二个横向控制顶点在局部坐标系中的η向坐标为η₀/2，第三个横向控制顶点 在局部坐标系中的η向坐标为第二个纵向控制顶点相应坐标的一半，则这三个横向 控制顶点仅ξ向坐标s_j(j＝2，3，4)可以变化。将纵向控制顶点的η向坐标和横向控制顶 点的ξ向坐标仅与孔周曲线形状相关，将其绝对值b_k(k＝1，2，...5)设为孔形设计变量， 并且这个五个孔形设计变量满足：

$\left(\begin{array}{c}0\le b_j=t_j\le \frac{{\eta }_0}{2},j=\mathrm{1,5}\\ 0\le b_2=s_2\le \frac{{\xi }_0}{4}(1-\frac{b_1}{{\eta }_0})\\ 0\le b_3=s_3\le \frac{{\xi }_0}{4}\\ 0\le b_4=s_4\le \frac{{\xi }_0}{4}(1+\frac{b_5}{{\eta }_0}).\end{array}\right)---\left(4\right)$

(f)将选定的孔形设计变量b_k(k＝1，2，...5)进行正规化处理，可以得到相应的正 规化孔形设计变量α_k(k＝1，2，...5)：

$\left(\begin{array}{c}0\le {\alpha }_j=\frac{2b_j}{v_0}\le 1,j=\mathrm{1,5}\\ 0\le {\alpha }_2=\frac{4v_0{b}_2}{u_0(v_0-b_1)}\le 1\\ 0\le {\alpha }_3=\frac{{4b}_3}{u_0}\le 1\\ 0\le {\alpha }_4=\frac{{4v}_0{b}_4}{u_0(v_0+b_5)}\le 1.\end{array}\right)---\left(5\right)$

(g)这样，空间孔周边界曲线的参数方程为：

$\left(\begin{array}{c}x=a_1\cos (\frac{\pi }{2{\eta }_0}\underset{j=1}{\overset{8}{\Sigma }}{C}_j\left(u\right)·t_j)\cos \left(\frac{\pi ({\eta }_0{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·s_j-{\xi }_1{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·t_j)}{2{\xi }_0({\eta }_0-{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·t_j)}\right)\\ y=a_1\cos (\frac{\pi }{2{\eta }_0}\underset{j=1}{\overset{8}{\Sigma }}{C}_j\left(u\right)·t_j)\sin \left(\frac{\pi ({\eta }_0{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·s_j-{\xi }_1{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·t_j)}{2{\xi }_0({\eta }_0-{\Sigma }_{j=1}^8{C}_j\left(u\right)·t_j)}\right)\\ z=a_2\sin (\frac{\pi }{2{\eta }_0}\underset{j=1}{\overset{8}{\Sigma }}{C}_j\left(u\right)·t_j)\end{array}\right),0\le u\le 1.---\left(6\right)$

其中即包含与空间曲面形状相关的曲面设计变量，又包含与孔周曲线形状相关的孔 形设计变量。

(h)直接在参数映射域划分有限元网格，再利用平面曲线—空间曲线，平面 区域—曲面结构之间的双重映射关系，分别将平面孔周边界曲线上的离散节点与参 数映射域中的离散节点映射到带孔曲面上，并根据参数映射域中离散节点的拓扑结 构，采用壳单元生成带孔半椭球壳单胞结构的有限元网格，并通过循环对称操作生 成整个结构的有限元网格。

(i)设定材料属性，固定带孔半椭球壳，并沿负z向对带孔半椭球壳结构施加 重力载荷，建立其力学模型。

(j)曲面设计变量a₁和a₂的初始值均为0.3m与变化范围均为[0.15m，0.45m]， 孔形设计变量的上下限是随曲面设计变量的变化而迭代更新的，而实际优化中采用 的设计变量为曲面设计变量和正规化孔形设计变量，正规化孔形设计变量 α_k(k＝1，2，...，5)的初始值均为0.25；选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面面 积小于等于0.4670m²作为约束函数，建立带孔薄壁半椭球壳结构曲面形状与孔洞形 状优化设计问题的优化模型。

(k)采用基于梯度的优化算法GCMMA进行优化设计求解。

优化前后该结构孔周的单元最大等效应力、曲面面积如表1所示。

表1

实施例2：带孔薄壁双曲旋转曲壳结构的曲面形状与其上孔洞形状协同优化设计。

带孔薄壁双曲旋转曲壳结构上有12个循环对称的孔洞，其材料参数及曲壳厚 度与实施例1相同，其沿轴向，这里为z向，正向的最大高度为0.2m，负向的最大 高度为0.3m。

(a)带孔薄壁双曲线旋转曲壳结构四边曲面，将其与矩形映射域建立映射关系， 可以建立带一个孔洞的薄壁半椭球壳单胞结构的参数方程：

$\left(\begin{array}{c}x=a_1\sqrt{1+\frac{z^2\left(u\right)}{a_2^2}}\cos ({\theta }_0+({\theta }_1-{\theta }_0)\frac{\xi }{{\xi }_0})\\ y=a_1\sqrt{1+\frac{z^2\left(u\right)}{a_2^2}}\sin ({\theta }_0+({\theta }_1-{\theta }_0)\frac{\xi }{{\xi }_0})\\ z=H_0+(H_1-H_0)\frac{\eta }{{\eta }_0}\end{array}\right),0\le \xi \le {\xi }_0,0\le \eta \le {\eta }_0.---\left(1\right)$

其中，a₁和a₂分别为双曲线旋转曲壳的尺寸控制参数。这时，ξ₀和η₀为参数映射域的 两个待定参数。

从而在ξ-η参数平面的第一象限建立了与曲面相对应的参数映射域Ω。

这里给出一种建立参数映射域的方法：对于三边曲面，对应三角形参数映射域， 三角形映射域的一条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为原点，另两个顶点分别为 (ξ₀，0)，(ξ₁，η₀)。于是，三边曲面的平面参数映射域对应三个待定参数：ξ₀，ξ₁和η₀； 对于四边曲面，对应矩形参数映射域，其两条边在参数坐标轴上，并且一个顶点为 原点，这时参数映射域的另三个顶点分别为(ξ₀，0)，(ξ₀，η₀)，(0，η₀)。于是，四边曲面 的参数映射域对应两个待定参数：ξ₀和η₀；对于复杂曲面，可以将其分为多个三边 曲面与四边曲面的组合，再通过平移、旋转、对称等操作将多个三角形参数映射域、 多个矩形参数映射域或其他形状的参数映射域进行组合，与相应的分块曲面形成映 射关系。

(b)将长度比例系数λ设为1，则矩形参数映射域对应的参数ξ₀、ξ₁和η₀的取值 可近似为：

$\left(\begin{array}{c}{\xi }_0=\frac{\pi }{6(N+1)}\underset{i=0}{\overset{N}{\Sigma }}{R}_i\\ {\eta }_0=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}\sqrt{{(z_j-z_{j-1})}^2+{(R_i-R_{i-1})}^2}\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，N为一个较大的整数，用来离散该旋转曲壳的母线，实现对其长度的近似，这 里N取100。参数z_i和R_i为该旋转曲壳的母线第i个离散点的轴向与径向坐标，满足：

$\left(\begin{array}{c}{z}_i=H_0+\frac{(H_1-H_0)}{N}i\\ R_i=a_1\sqrt{1+\frac{z_i^2}{a_2^2}}\end{array}\right)i=\mathrm{0,1,2},...,N.---\left(3\right)$

(c)这时，选取曲面的参数方程公式(1)仅与曲面形状相关的参数a₁和a₂作为 双曲线旋转曲壳的曲面设计变量。

(d)采用与实施例1相同的方法在曲面内部坐标系ξ-η平面上建立平面孔周边 界曲线的参数方程，拟合方式及控制顶点的个数与实施例1相同。

(e)在平面孔周曲线的参数方程中，(s_j，t_j)为平面孔周边界曲线的控制点坐标， 仅与孔周曲线形状有关。该实施例中将孔心设置在参数映射域的中心位置 (ξ₀/2，η₀/2)，作为定义孔形设计变量的局部坐标系原点，将孔形设置为同时沿局部坐 标系的ξ轴和η轴双向对称的孔形，局部坐标系采用笛卡尔坐标系。过孔心沿ξ轴 正向设置1个纵向控制顶点，并且这个纵向控制顶点在局部坐标系中仅其η向坐标 t₁可以变化，沿与η轴平行的正方向设置4个横向控制顶点，其在局部坐标系中的 η向坐标分别为0.75t₁、0.5t₁、0.25t₁和0，而这四个横向控制顶点在局部坐标系中 仅其ξ向坐标可以变化。局部坐标系下前文定义的纵向控制顶点的η向坐标t₁和横 向控制顶点的ξ向坐标s_j(j＝2，3，4，5)仅与孔周曲线形状相关，设为孔形设计变量 b_k(k＝1，2，...，5)，并且这五个孔形设计变量满足：

$\left(\begin{array}{c}0\le b_1=t_1\le \frac{{\eta }_0}{2}\\ 0\le b_j=s_j\le \frac{{\xi }_0}{2},j=\mathrm{2,3,4,5}.\end{array}\right)---\left(4\right)$

(f)将选定的孔形设计变量b_k(k＝1，2，...，5)进行正规化处理，得到相应的正规化 孔形设计变量α_k(k＝1，2，...，5)：

$\left(\begin{array}{c}0\le {\alpha }_1=\frac{{2b}_1}{{\eta }_0}\le 1\\ 0\le {\alpha }_j=\frac{{2b}_j}{{\xi }_0}\le 1,j=\mathrm{2,3}.\end{array}\right)---\left(5\right)$

(g)这样，空间孔周边界曲线的参数方程中即包含与空间曲面形状相关的曲 面设计变量，又包含与孔周曲线形状相关的孔形设计变量。

(h)直接在参数映射域划分有限元网格，再利用平面曲线—空间曲线，平面 区域—曲面结构之间的双重映射关系，分别将平面孔周边界曲线上的离散节点与参 数映射域中的离散节点映射到带孔曲面上，并根据参数映射域中离散节点的拓扑结 构，采用壳单元生成带孔双曲旋转曲壳单胞结构的有限元网格，并通过循环对称操 作生成整个结构的有限元网格。

(i)设定材料属性，固定其轴向坐标最小的一端，并在其轴向坐标最大的一端 沿负轴向施加10kN的均布拉力，建立其力学模型。

(j)曲面设计变量a₁和a₂的初始值分别设为0.2m和0.15m，其变化范围都为 [0.05m，0.4m]，孔形设计变量的上下限是随曲面设计变量的变化而迭代更新的，而实 际优化中采用的设计变量为曲面设计变量和正规化孔形设计变量，正规化孔形设计 变量α_k(k＝1，2，...，5)的初始值均为0.25；建立带孔薄壁双曲旋转曲壳结构曲面形状与 孔洞形状优化设计问题的优化模型，选取孔周最大等效应力最小为优化目标，曲面 面积小于等于0.9701m²作为约束函数。

(k)采用基于梯度的优化算法GCMMA进行优化设计求解。

优化前后该结构孔周的单元最大等效应力、曲面面积如表2所示。

表2