利用根奈奎斯特、自变换脉冲形状进行通信的方法和装置

摘要

通信系统(20)包括发射器(22)和接收器(24)。发射器(22)包括：信息符号来源(30)；脉冲整形波函数生成器(32)；以及组合器(34)，配置成将从上述来源接收的信息符号表示为在时域和频域通过波函数整形的信号。脉冲整形波函数生成器(32)配置成提供波函数，该波函数具有奈奎斯特性质，并且具有与它自己的傅里叶变换相同的形状。组合器(34)配置成将波函数与数字数据符号流组合以产生滤波流供发射器传输。

说明书

本申请要求在2007年5月25日提交的题为“Communicating WithRoot-Nyquist，Self-Transform Pulse Shapes(利用根奈奎斯特、自变换脉冲形状进行通信)”的美国临时专利申请60/924,673的优先权和权益，同时该申请的全文通过引用结合于本文。

技术领域

本发明涉及电信，具体来说涉及在无线电信中用于传送信息的脉冲的整形。

背景技术

在典型的蜂窝无线电系统中，无线终端(又称为移动终端、移动站和移动用户设备单元(UE))经由无线电接入网(RAN)的基站通信到一个或多个核心网络。无线终端(WT)可以是诸如移动电话(“蜂窝”电话)和具有移动终止的膝上型设备的移动站，并且因而可以是例如便携式、口袋式、手持式、包含在计算机内的、或安装在车内的移动设备，它们与无线电接入网进行语音和/或数据通信。基站(例如，无线电基站(RBS))在一些网络中又称为“NodeB”或“B节点”。基站通过空中接口(例如射频)与基站范围内的无线终端通信。

有多种技术可用于在例如基站与无线终端之间通过无线电或无线接口调节和传送信号。一种技术是正交频分复用(OFDM)。OFDM扩频方案用于许多广泛使用的应用，包括：澳大利亚、日本和欧洲的数字TV广播；欧洲的数字音频广播；异步数字订户线(ADSL)调制解调器和全球无线联网(IEEE 802.11a/g)。

在OFDM系统中，将非常高速率的数据流划分成多个并行的低速率数据流。然后，将每个较小的数据流映射到各个数据副载波，并利用某一风格的PSK(相移键控)或QAM(正交调幅)(即，BPSK、QPSK、16-QAM、64-QAM)进行调制。

不管是否通过OFDM技术或以其它方式对信号进行处理，通过带限信道以高调制速率传送信号都会产生符号间干扰。随着调制速率的增加，信号的带宽也会增加。当信号的带宽变成大于信道带宽时，信道开始在信号中引入失真，此失真通常被视为是符号间干扰(ISI)。

可以利用脉冲整形过程来改变所传送的通信信号的波形。脉冲整形用于使所传送的信号更适合于用来传送它的通信信道，并且这通过例如限制传输的有效带宽来实现。通过利用脉冲整形波形来对所传送的脉冲进行滤波，可以控制由信道引起的符号间干扰。

因此，脉冲形状对于信号质量很重要。奈奎斯特脉冲是这样一种脉冲形状，它以符号速率的整数倍离开其峰值通过零点，从而确保当在最优点采样时，信号没有任何来自与采样符号相邻的任何符号的符号间干扰。奈奎斯特脉冲形状的傅里叶变换定义了频域中的滤波函数，它将从它的输入端的脉冲在它的输出端产生奈奎斯特脉冲形状。因为通常在发射器和接收器处都具有滤波器，其中前者用于限制所传送的频谱，而后者用于限制接收器对相邻信道信号的响应，所以通常会决定在发射器和接收器间均等地平分由奈奎斯特脉冲形状的傅里叶变换定义的滤波函数，并且因而在每个中使用“根奈奎斯特”滤波器。由于发射器和接收器的组合频率响应是它们各自的频率响应的乘积，所以这两个根奈奎斯特滤波器的相乘结果是具有奈奎斯特性质的滤波器。

本领域中已知频谱范围是有限的、但持续时间却是无限的、并且具有根奈奎斯特性质的脉冲形状。例如，其傅里叶变换具有根升余弦形状的脉冲的平方为升余弦形，并且这是等于-6dB单边带宽的两倍或等于-6dB双边带宽的符号速率的奈奎斯特滤波器。这样的滤波器形状是奈奎斯特，因为如果在它的约-6dB点折叠(fold)并将重叠的折叠部分相加，那么在整个带宽上结果是一(unity)。因此，滤波器没有改变信号的任何带内频率分量。这样的滤波器指定用于IS136 US数字蜂窝TDMA系统标准。

还已知持续时间是有限的、但在频域却是无限的、并且在时域和频域都具有根奈奎斯特性质的脉冲形状。例如，已提出IOTA脉冲(等方性正交变换算法)用于脉冲整形OFDM符号。US专利7103106中还公开了对IOTA脉冲的改进，此专利通过引用结合于本文。

从高斯函数还可知一个函数可以是它自己的傅里叶变换。高斯函数在时域和频域中的范围都是无限的，但是两者中都会迅速降低，使得最终的截断不会具有严重的有害效果。高斯滤波指定用于GSM数字蜂窝系统的MSK传输，于是这些传输称为GMSK。不幸的是，高斯波形不是奈奎斯特；因此，即使当传播路径没有引入符号间干扰(ISI)时，通常仍利用均衡器来接收GSM传输以消除所得符号间干扰。

发明内容

在它的一个方面，技术涉及包括发射器的通信系统。该发射器包括：信息符号来源；脉冲整形波函数生成器；以及组合器，配置成将从上述来源接收的信息符号表示为在时域和频域通过波函数整形的信号。脉冲整形波函数生成器配置成提供波函数，该波函数具有根奈奎斯特性质，并且具有与它自己的傅里叶变换相同的形状。组合器配置成将波函数和数字数据符号流组合以产生滤波流供发射器传输。

在特别适合于OFDM技术的示范实施例中，来源配置成提供由复合数块表示的连续的数字数据符号块。发射器还包括配置成对每个复数块执行傅里叶变换以产生OFDM符号的傅里叶变换。组合器配置成利用波函数对连续OFDM符号加权并组合连续的加权OFDM符号以产生经脉冲整形的OFDM符号用于传输。

在它的另一方面，技术涉及操作发射器的方法。在基本模式中，该方法包括：提供波函数，该波函数具有根奈奎斯特性质，并且具有与它自己的傅里叶变换相同的形状；以及将输入信息符号表示为在时域和频域通过波函数整形的信号。例如，该方法可包括将波函数与数字数据符号流形式的输入信息符号进行组合以产生滤波流供发射器传输。

特别适合于OFDM技术的方法的一个示范模式包括：接收由复数块表示的连续的数字数据符号块；对每个复数块执行傅里叶变换以产生OFDM符号；利用波函数对连续OFDM符号加权；以及组合连续的加权OFDM符号以产生经脉冲整形的OFDM符号用于传输。

在一个示范实施例中，脉冲整形波函数生成器包括存储器，该存储器包括预先计算的查找表。

因此，公开一系列脉冲形状，它们的平方具有奈奎斯特性质，同时这些脉冲形状也是它们自己的傅里叶变换。还公开用于以数值方法生成这一系列中的示范性脉冲形状的方法。这些脉冲形状可用于生成传送数字数据的通信信号。有利的是，这些脉冲形状在(一方面)频谱范围是限的、但不会随时间快速减小的脉冲与(另一方面)具有有限持续时间、但它们的频谱旁瓣不会随着频率偏离频谱的中心频率而快速减小的脉冲之间提供折衷。

在一个示范实现中，利用这一系列中的脉冲形状来对符号的一连串连续重复(successive repeats)加权，并在传输之前将它与相邻符号的时移加权重复进行组合，以获得经脉冲整形的符号传输。接收器接收经脉冲整形的符号传输，并再次用脉冲形状对经脉冲整形的符号传输加权，以获得经加权、脉冲整形的信号。然后，将在时间上间隔符号周期的倍数的经加权、脉冲整形的传输相加，以获得经双重脉冲整形的信号。由于脉冲形状的平方具奈奎斯特性质，所以在用脉冲形状的平方加权之后，经双重脉冲整形的信号从而不会具有来自其它符号的符号间干扰。此外，由于脉冲形状是它自己的傅里叶变换，所以奈奎斯特性质也适用于频域，使得当符号是OFDM符号时，可以基本消除OFDM符号的副载波之间的干扰。

通常不知道除了高斯函数以外还有其它函数是它们自己的傅里叶变换。如果这样的函数也具有根奈奎斯特性质，使得可以获得没有符号间干扰(ISI)以及在时间和频率包含(containment)之间折衷的优点，那就最好了。本文公开借助这些脉冲的通信以及预先计算这些脉冲形状的方法。

附图说明

通过以下对附图中示出的优选实施例的更详细的描述，本发明的以上和其它目的、特征和优点将显而易见，各个视图中的参考字符表示相同的部分。附图不一定按比例绘制，而是将重点放在说明本发明的原理上。

图1是根据一个示范实施例、包括发射器的通信系统的示意图。

图2是根据第一示范模式操作发射器的方法的流程图。

图3是根据另一个示范实施例、包括发射器的通信系统的示意图。

图4是适合在图3的通信系统中使用的组合器的示范实施例的示意图。

图5是根据第二示范模式操作发射器的方法的流程图。

图6是根据示范实施例的波整形函数生成器的示意图。

图7是根据示范模式生成波整形函数的方法的流程图。

图8是缺少零频率、零时间元素、但完全对称的半信道偏移8×8DFT矩阵的简图。

图9是示出频域中的奈奎斯特准则的图形，频域中的奈奎斯特准则是，当用匹配的窗函数对所接收的块重复(block-repeats)加权并将它们相加时，结果是在该块上加权的平直净值(flat net)。

图10是16阶自变换脉冲形状的图形。

图11是在线性标度上示出的图10中的自变换脉冲形状的图形。

图12是利用图7中的方法生成的第一脉冲形状的图形。

图13是图12中的脉冲的对数幅度的图形。

图14是对于宽度为-1dB的高斯函数的另一个第一脉冲形状的图形。

图15是图14中的脉冲的对数幅度的图形。

图16是对于宽度为-20dB的高斯函数的另一个第一脉冲形状的图形。

图17是图16中的脉冲的对数幅度的图形。

图18是根据示范实施例、包括接收器的通信系统的示意图。

具体实施方式

在以下描述中，出于说明而非限制的目的，阐述诸如特定体系结构、接口、技术等具体细节，以便充分理解本发明。但是，本领域技术人员将明白，可在不偏离这些具体细节的其它实施例中实现本发明。即，本领域技术人员能够想出各种布局，尽管本文没有明确描述或示出，但这些布局仍可实施本发明的原理，并且包含在它的精神和范围内。在一些情况下，省去了对熟知设备、电路和方法的详细描述，以免用不必要的细节混淆对本发明的描述。本文中叙述本发明的原理、方面和实施例及其具体实例的所有陈述要涵盖本发明的结构和功能等效物。另外，这些等效物要包括当前已知的等效物以及未来开发的等效物，即，开发的用于执行相同功能而与结构无关的任何元件。

因此，例如，本领域技术人员将明白，本文中的框图可以表示实施本技术的原理的说明性电路的概念图。同样地，将明白，任何流程图、状态转变图、伪代码等表示各种过程，这些过程基本上可在计算机可读介质中表示并且因此可由计算机或处理器执行，而不管是否明确示出这样的计算机或处理器。

标记为“处理器”或“控制器”、或作为“处理器”或“控制器”描述的包括功能块的各种元件的功能可通过使用专用硬件以及能够执行软件的硬件结合合适的软件来提供。当由处理器提供时，这些功能可以由单个专用处理器、单个共享处理器或多个个别处理器(其中一些处理器可以是共享型或分布式)来提供。此外，明确使用术语“处理器”或“控制器”时不应理解为排他性地表示能够执行软件的硬件，而是可以包括但不限于数字信号处理器(DSP)硬件、用于存储软件的只读存储器(ROM)、随机存取存储器(RAM)和非易失性存储设备。

如图1所示，通信系统20包括发射器22和接收器24，它们之间通过信道26进行通信。在一个示范实现中，发射器22和接收器24包括无线电接入网的元件(如节点或参与者)，其中信道26出现在无线或无线电接口上。例如，发射器22可以属于基站节点(又称为NodeB或BNode)，而接收器24可以属于无线终端(例如，移动站或用户设备单元(UE))，或反之，发射器22可以属于无线终端，而接收器24属于基站节点。但是，在此涵盖除了无线电接入网以外的环境，因为将明白，本技术特别适合于其它应用和其它类型的传输信道。

图1中还示出，在它的基本形式，发射器22包括：信息符号来源30；脉冲整形波函数生成器32；以及组合器34。发射器22用于将从来源30接收的信息符号表示为在时域和频域通过由脉冲整形波函数生成器32生成的波函数整形的信号。如下文将更详细地说明，脉冲整形波函数生成器32配置成提供具有特定特性的波函数，例如，该波函数既具有根奈奎斯特性质，而且还具有与它自己的傅里叶变换相同的形状。组合器34配置成将波函数(从脉冲整形波函数生成器32接收)与数字数据符号流(从信息符号来源30获得)进行组合以产生滤波流供发射器传输。在图1的非限制性示范实施例中，调制器36随后对滤波流进行调制，然后通过收发器38将它应用于信道26。

本领域技术人员明白，图1中的发射器22包括与本技术的理解无密切关系的其它(未示出)元件或组件。这些其它元件的性质和功能可取决于例如包含发射器22的节点或设备的类型。接收器24可包括用于解调通过信道26接收的信号以及用于从所接收的信号中包括的符号导出用户数据的组件或功能性，在某个方面，这些实质上是在发射器22中进行的过程的逆过程。此外，当接收器24包含在也可通过信道26传送信息的设备或节点中时，该设备或节点可包括与发射器22类似的发射器。

图2描绘在诸如图1的发射器22的发射器的操作模式执行的基本的代表性动作或步骤。在基本模式，图2中的方法包括提供具有根奈奎斯特性质并具有与它自己的傅里叶变换相同的形状的波函数(动作2-1)。该波函数由例如图1的实施例中的脉冲整形波函数生成器32提供。图2中的方法的动作2-2包括将输入信息符号(从信息符号来源30接收)表示为在时域和频域通过波函数整形的信号。例如，该方法可包括将波函数与数字数据符号流形式的输入信息符号进行组合以产生滤波流供发射器传输。

图3示出特别适合于OFDM技术的通信网络20(3)和发射器22(3)的示范实施例。图3中的发射器22(3)的构成组件与图1的实施例中的发射器22的构成组件相似，它们用同样数字的下标示出(一些具有括弧后缀用来表示适合于图3的变型)。在图3的实施例中，来源30(3)配置成提供由复数块表示的连续的数字数据符号块。来源30(3)连接成将数字数据符号块应用于傅里叶变换40。傅里叶变换40对每个复数块执行傅里叶变换(以本领域技术人员了解的方式)以产生OFDM符号，因此图3描绘源自傅里叶变换40的未加权OFDM符号流。图3中的组合器34(3)配置成利用波函数(从脉冲整形波函数生成器32生成或获得)来对连续OFDM符号加权并组合连续的加权OFDM符号以产生加权OFDM符号用于传输。

图4示出图3中的组合器34(3)的示范实现。组合器34(3)包括复数个波形存储元件，例如波形贮存库(store)44-1至44-7并包括44-7。波形贮存库44-1至44-7接收连续符号的波形。每个符号波形可包括用于在符号周期定义符号波形的多个值。例如，对于具有1024个副载波的OFDM系统，一个OFDM符号的波形由至少1024个复值定义，或者如果使用2∶1过采样法，则甚至由2048个值定义。用于整形的波函数分成多段，每段包含与一个符号波形相同数量的点以及因此的值。从波形贮存库提取符号波形，并在乘法器46-1至46-7中将其与波函数的对应段逐点相乘。因此，使用2∶1过采样法利用1024个副载波的OFDM系统的实例，从波形贮存库44-1提取编号为N+3的符号的2048个波形点，并将它们与来自整形波函数的2048个点的第3段的对应点相乘。同样地，从波形贮存库44-4提取符号N的2048个波形点，并将它们与整形波函数的2048点的第0段逐点相乘。加权乘法优选并行地在乘法器46-1至46-7中进行，使得当将符号的每个点与整形波函数段的对应点相乘时，来自每个乘法器的加权点一直流到加法器48，在加法器48中，将这7个点组合以产生加权输出符号波形的一个点。当对每个符号的所有2048个点加权并在加法器48中组合时，将获得加权输出符号的2048个点，然后在进行数字-模拟(D-A)转换、平滑处理、滤波和调制之后传送这2048个点。然后，将波形贮存库的内容下移一个位置，使得符号波形N-2从贮存库44-6移到44-7，波形N-1移到贮存库44-6，依此类推，其中符号N+4的新符号波形进入贮存库44-1。将明白，并非在贮存库之间移动大量数据点，而是微处理器或DSP可以改变到从中读取和写入值的环形缓冲存储器的地址。在OFDM以外的情况下，例如，如果使用单载波QPSK，则通常用少得多的点(例如，每个符号16个点)来描述每个符号，并且也用同样减小的分辨率来定义整形波函数。

图5描绘在适于OFDM的发射器(例如，图3中的发射器22(3))的操作模式执行的基本的代表性动作或步骤。图5中的示范动作5-1包括(从信息符号来源30(3))接收由复数块表示的连续的数字数据符号块。动作5-2包括对每个复数块执行傅里叶变换以产生OFDM符号。动作5-3包括利用波函数来对连续OFDM符号加权(以参照之前对组合器34(3)的论述以及本文描述的其它考虑理解的方式)。动作5-4包括组合连续的加权OFDM符号以产生加权OFDM符号用于传输。连续的加权OFDM符号的这种组合可通过例如本文描述的符号加法器48来执行。

图6示出可在装置中实施的诸如脉冲整形波函数生成器32(6)的脉冲整形波函数生成器的示范实施例，它包括预先计算的查找表54。脉冲整形波函数生成器32(6)还可包括用于将信息加载到查找表54中或从查找表54访问信息的接口56。在典型的装置中，波函数只可在制造过程中加载一次，但如果需要，可使用服务中软件更新来提供备选的波函数。

本文描述的技术还可用于接收器，例如图18中的接收器24(18)。接收器24(18)包括：收发器60；脉冲整形波生成器62；加权组合器64；加法器66。收发器60接收(通过信道26)经脉冲整形的符号传输，并将所接收的每个符号波形应用于加权组合器64的输入。图18中的加权组合器64、脉冲波整形函数生成器62和加法器66用点划线框起，以便反映这样一个事实，即，这些元件的各方面基本上以与图4中的结构类似的方式起作用，其操作可参见之前的说明。组合器64再次用脉冲形状(从脉冲整形波生成器62获得)对在传输之前已经经过一次脉冲整形的符号加权，以获得经加权、脉冲整形的接收符号。然后，通过加法器66(它与图4中的加法器48基本相同)将在时间上间隔符号周期的倍数的经加权、脉冲整形的接收符号相加，以获得经双重脉冲整形的接收符号。然后，将经过脉冲形状的平方加权的经双重脉冲整形的符号输出到所接收的符号的应用或用户(例如，应用70，它可包括软错误纠正解码、语音或图像解码等)。由于脉冲形状的平方具奈奎斯特性质，所以经双重脉冲整形的信号不具有来自其它符号的符号间干扰。此外，由于脉冲形状是它自己的傅里叶变换，所以奈奎斯特性质也适用于频域，使得当符号是OFDM符号时，可以基本消除相同OFDM符号的副载波之间的干扰，并且也可基本消除在不同OFDM符号的相同副载波上传送的数据符号之间的干扰。

在OFDM系统中，在不同OFDM符号的不同副载波上传送的数据符号之间，主要是在时间上相邻传送的OFDM符号的相邻副载波上传送的数据符号之间，仍存在少量符号间干扰，这称为对角符号间干扰。这种对角ISI要么足够小而可忽略不计，要么可以通过具有中等复杂度的均衡化技术来处理。

因此，如参照上文所理解以及现在将进一步详细说明，所关心的是找到本身是根奈奎斯特且其傅里叶变换也是根奈奎斯特的脉冲形状。例如，上文提到的IOTA脉冲在两个域中都是根奈奎斯特。在一个域中，它的范围是有限的，而在另一个域中，它是无限的。因此，该函数显然不等于它自己的傅里叶变换。可以选择任一个为频域或时域信号形状，但这两种情况之间的系统特性显然有差别。另一方面，如果如本文所公开和要求权利的，根奈奎斯特函数也是它自己的傅里叶变换，那么就脉冲在一个域中的时间范围和在另一个域中的频率范围来说，系统特性没有差别。

寻找是它们自己的傅里叶变换的函数的问题可以用离散数值项表示为寻找离散傅里叶变换(DFT)矩阵的特征向量的问题，即，寻找[H]G＝vG的解G′＝(g1，g2，g3，...gn)，其中H是DFT矩阵，v是特征值，且′用于表示转置。

如果想要位于N×N阵列G的中心的脉冲以及同样地在中心具零频率的对称变换，那么使用DFT矩阵，其行和列重新排序以使全为1的行和列处于编号为(N/2+1)的行/列上。以下示出8×8实例，其中w是单位的主8次方根(w is the principal 1/8 root of unity)：

1    -1    1      -1    1    -1    1    -1

-1   w     w6     w3    1    w-3   w-6  w-1

1    w6    -1     w2    1    w-2   -1   w-6

-1   w3    w2     w     1    w-1   w-2  w-3

1    1     1      1     1    1     1    1

-1   w-3   w-2    w-1   1    w     w2   w3

1    w-6   -1     w2    1    w2    -1   w6

-1   w-1   w--6   w-3   1    w3    w6   w

可备选地使用半信道偏移DFT矩阵，其缺少零频率、零时间元素，但是其完全对称，如图8中针对8×8情况所示。

非半信道偏移N×N DFT矩阵(其中，N是2的幂)的特征值由MATLAB给出为：

值为根(N)(root(N))的(N/4+1)个特征值；

值为-根(N)的N/4个特征值；

值为i.根(N)的(N/4-1)个特征值；以及

值为-i.根(N)的N/4个特征值。

虽然虚根不是成共轭对出现看起来很奇怪，但是关于特征值的乘积等于矩阵的行列式的检验证实，这是因为DFT矩阵的行列式是虚数并且等于i.N²。

现在表明，对于实特征值的情况，以上DFT矩阵的特征向量是实数且是对称的。DFT矩阵包括对称(偶)实部WR和斜对称虚部WI。令特征向量的实部具有偶部ER和奇部OR，并且同样地，虚部为EI+OI。由于根据特征向量的定义，(WR+jWI)(ER+OR+jEI+jOI)＝v(ER+OR+jEI+jOI)，并利用两个奇函数的点积为偶数的事实，可以使实部和虚部、奇部和偶部相等，从而获得：

WR.ER-WI.OI＝v.ER

因为偶WR与OR的乘积为零，并且奇WI与偶EI的乘积也为零，所以WR.OR-WI.EI＝v.OR＝0。

因为偶WR与OR的乘积为零，并且奇WI与偶EI的乘积也为零，所以WR.OI+WI.ER＝v.EI＝0。

由于根据上文RI和OR为零，所以WR.EI+IR.OR＝v.OI＝0。因此，实特征值的DFT矩阵的特征向量是由以下仅存的方程给出的实偶(即，对称)函数：

WR.ER＝v.ER

通过只检查DFT矩阵的实部可见，(N/2-1)个行重复，因此它们不是独立方程，从而留下(N/2+1)个独立行。而且，由于特征向量具镜面对称性，所以未知数的数量只有(N/2+1)个，并且可折叠每个剩余行，以得到大小为(N/2+1)²的矩阵的特征向量方程，矩阵的所有量为实数，以下表达式1示出N＝8情形的示范性矩阵：

表达式1：$\mathrm{Re}\left(\begin{array}{ccccc}-1& -2& 2& -2& -1\\ -1& 2w& 2w^6& 2w^3& 1\\ 1& {2w}^6& -2& 2w^2& 1\\ -1& 2w^3& 2w^2& 2w& 1\\ 1& 2& 2& 2& 1\end{array}\right)$

因为选择特征值以使方程的行列式为零，所以特征向量方程显然是缺秩的。通常，它可通过取一个未知数为一(unity)并将它移到右手边来求解。将现在变成矩形的矩阵乘以它自己的转置以获得方矩阵，该方矩阵有望具满秩，然后可对方矩阵求逆以根据假设的未知数求解剩余未知数。然后，如果需要，可通过将特征向量的所有元素除以它们的平方和的平方根来将解归一化为单位向量。但是，当特征值有多个时，特征向量方程的秩缺少不只一个。

表1中列出对于各种DFT大小的以上折叠矩阵的秩。

表1

  DFT大小  折叠大小  秩  缺秩数  16×16  9×9  4  5  64×64  33×33  16  17  256×256  127×127  32  95

显然，在指定函数应当是它自己的傅里叶变换之后，还剩下很多个多余自由度。高斯函数是唯一一个具有这种性质的函数闭联集。必须/可以指定某些其它条件以便定义特定解。

这里所加的额外条件需要函数也是根奈奎斯特。因为它是它自己的傅里叶变换(FT)，所以这意味着，根据OFDM应用的需要，它在时域和频域都将是根奈奎斯特。

频域中的奈奎斯特准则是，当以与图4中的过程所描述的方式等同的方式再次用匹配的窗函数对所接收的加权符号进行加权和组合、并将它们相加时，结果是在块上加权的平直净值。图9中示出此准则。

在离散时间方面，相隔块间距的函数值的平方和应为一(unity)。为了在离散时域中精确地应用此准则，每个OFDM块周期必须有整数个时间点。

对于分析窗内的整数个块周期，如果分析窗包含二的幂(2^N)个点，那么分析窗中的块数也必须是二的幂2^N1。然后，以每个块周期2^N-N1个点的时间采样密度来定义脉冲形状。块频率是分析周期的倒数的2^N1倍，即，有2^N1个频率样本定义副载波频谱形状。如果由变换后的阵列定义的频谱形状因此等同于由时域阵列定义的脉冲形状，那么给定N1＝N/2，2^N1必须等于2^N-N1，因此分析窗内的块数必须是变换大小的平方根，并且样本数(每块的时间样本或每个块频率间距的频率样本)也必须是变换大小的平方根。因此，变换大小必须是平方，如16、或64、或256，而不是2的奇数幂，如32。

现在针对16点变换情形将奈奎斯特准则表示为：

g1²+g5²+g9²+g5²＝1

g2²+g6²+g8²+g4²＝1

g3²+g7²+g7²+g3²＝1

g4²+g8²+g6²+g2²＝1

其中，利用阵列(g1，g2，...g9，g10，...g16)关于g9的对称性来用g8取代g10，用g7取代g11，依此类推。

以上只构成三个独立方程。一种求解方法是对其中5个g元素进行初始猜测，然后求解秩-4特征值方程以获得剩余的4个元素。假设元素g9、g8、g7、g6和g1是初始猜测的值，那么g2、g3、g4和g5的解由表达式2给出：

表达式2：$\left(\begin{array}{c}g2\\ g3\\ g4\\ g5\end{array}\right)=\left[A_{4X5}\right]\left(\begin{array}{c}g1\\ g6\\ g7\\ g8\\ g9\end{array}\right)$

其中矩阵A由[w₁^tw₁]^-1w₁^tw₂给出，其中w1是折叠DFT矩阵的2、3、4、5列，且w2是1、6、7、8、9列。

然后，将结果归一化以迫使满足这三个奈奎斯特方程。然后，替代初始猜测的元素的归一化值并再次求解特征值方程，迭代地重复直到收敛。

因为对于九个未知数只有七个方程，所以由于有两个自由度而无法确定解。可见，由于初始猜测值g6和g8由同一个奈奎斯特方程归一化，所以它们的比值不会从初始猜测值改变。这揭示了一直未用的自由度之一。第二个可以通过例如选择g1为零来指定。令g1＝0，一系列解都可生成，并且这一系列解的特征在于g6/g8有不同值。可凭经验尝试g6/g8的特定值，以产生如图10所示的合宜的脉冲形状。

这些脉冲的异常特征是双驼峰峰值，这在图11的线性标度上更容易看清。基于以下原因，这可用于说明既是奈奎斯特又是它们自己的傅里叶变换的脉冲：

1、对于在时域是奈奎斯特，在距离中心根(N)个点的位置有负的第一旁瓣(特征“A”)，使得自相关函数在隔开符号(块)周期的位置为零。

2、在变换域，负的第一旁瓣转化为频率为根(N)的负余弦波纹，它在块周期内正好一个循环。这导致双驼峰(′B′)。

为了获得64点脉冲，必须用其它条件来满足特征值方程的17个缺秩数。在64点情形中，奈奎斯特准则提供如下5个额外方程：

g1²+g9²+g17²+g25²+g33²+g25²+g17²+g9²＝1

g2²+g10²+g18²+g26²+g32²+g24²+g16²+g8²＝1

g3²+g11²+g19²-+g27²+g31²+g23²+g15²+g7²＝1

g4²+g12²+g20²+g28²+g31²+g23²+g15²+g7²＝1

g5²+g13²+g21²+g29²+g30²+g22²+g14²+g6²＝1

一般来说，奈奎斯特准则得到根(n)+2个方程，但方程对相同。

因此，可指定12个额外的准则来定义特定的64点脉冲。就OFDM而言，有用准则可以是指定在时间上偏移块周期的一倍或多倍并且在频率上偏移块周期倒数的一倍或多倍的两个脉冲之间的相互关系应为零。IOTA脉冲对所有这样的偏移实现零相互关系，但是只针对相互关系的实部或虚部，并且可能要以频谱包含为代价。其它准则可以是，在考虑截断的情况下，需要在末端具有尽可能多的为零的脉冲形状的导数，以便减少截断的影响。由于脉冲(g1)是偶数阶圆函数，所以在脉冲(g1)的中心点和极点(extremity)，奇数阶导数d/dt、d/dt3等自动为零。

例如，对于16点情形，如果满足以下条件，则在端点(g1)，二阶导数为零：

(64，-49，36，-25，16，-9，4，-1，0，-1，4，-9，16，-25，36，-49).G＝0

在因G具对称性而折叠的情况下，获得额外行以与特征值方程组合，该行是：

(64，-98，72，-50，32，-18，8，-2，0)

然后可对方程求解。

将不会进一步详细阐述这种直接数值法，因为实际上，需要利用比16、或甚至256多得多的点来指定函数，例如，可能需要多达65536个点。由于对32k×32k矩阵求逆充满数值问题，所以难以求解这么多方程的系统。

作为替代，为了以高分辨率找到函数，可使用诸如具有如图7所示的基本动作或步骤的方法的方法：

动作7-1：从与期望结果相似的诸如具有适当宽度的高斯函数的近似函数开始。

动作7-2：利用FFT例行程序对函数执行傅里叶变换。

动作7-3：将函数与它的傅里叶变换平均。

动作7-4：通过将每个点的值除以相隔根(N)个点的点(包括那个点)的平方和的平方根来修正平均函数以具有奈奎斯特性质。

动作7-5：从步骤7-2重复，直到实现收敛(动作7-6)。

利用以上过程，产生图12中的脉冲形状。这个脉冲的对数幅度也是它的频谱的对数幅度，如图13所示。

图14和图15中对于高斯-1dB以及图16和图17中对于高斯-20dB示出通过用不同宽度的高斯函数初始化以上过程而产生的脉冲形状的其它实例。

与高斯函数-样，以上所有示范性脉冲均具有它们是它们自己的傅里叶变换的性质。但是，与高斯函数不同，它们具有是根奈奎斯特的额外性质。可采用以上方法通过从不同的原型函数开始、然后迭代地迫使它们符合期望的性质而产生变化无穷的这类脉冲形状。可能的情况是，对于特定应用，可产生在那些应用中具有比本文少数示出的函数更合宜性质的函数。但是，所有这些函数的特征是它们是根奈奎斯特且是它们自己的傅里叶变换。

因为图12、图14和图16中的脉冲都是根奈奎斯特，所以它们都将在块宽度具有1/根(2)或0.7071或-3dB的幅度。对于图14中的脉冲频谱，在距离中心约+/-3个块宽度的位置，脉冲大幅度下降到-80dB区域。因此，为了利用图12和图13中的脉冲来实现发射器，所发射的每个信号值只需依赖不超过约7个连续符号，三个在当前符号之前，三个在当前符号之后。

本领域中熟知要如何利用查找表来为有限符号字母表构建这样的发射器。例如，对于二进制字母表，7个连续二进制符号只有2⁷＝128种可能的不同组合，而且，那些组合中有一半是另一半的负数。因此，在一个符号周期只可产生64种不同的波形，并且它们可预先计算并存储在小型查找表中。现有技术中还已知，可预先计算波形，然后将这些波形编码为1位∑-Δ调制样本，这些样本中每个样本只需一个位来存储。这允许只需利用低通滤波器来随后转换为模拟调制波形，从而不需要数字-模拟(DAC)转换器。这在以下专利中进行了描述：US专利5530722；US专利5867537；以及US专利7046738，这些专利通过引用结合于本文。

如同OFDM符号一样，当这些符号变成多值时，可使用其它方法。

首先，通过用分配用于表示数据符号的唯一复数来取代每个数据符号，而从具有例如1024个数据符号的块构建OFDM符号。例如，可分别用复数1+j、-1+j、-1-j和1-j表示位对00、01、11、10，于是该表示称为QPSK。然后，利用快速傅里叶变换(FFT)来对复数块执行傅里叶变换，以获得1024点OFDM符号波形。然后，用期望的脉冲形状(例如，图12中的脉冲)的中心或峰值部分附近的1024个对应值来对这1024个OFDM符号波形值加权，并将它们与通过用1024个脉冲值的相邻块对相邻OFDM符号的波形加权而获得的值相加。如上所述，通常只需考虑当前符号左边的三个符号和当前符号右边的三个符号。因此，获得具有1024个信号值的块，这些信号值取决于用脉冲形状的合适的1024点的段加权的7个连续的1024点OFDM符号波形。此操作对于每个发射信号样本花费7个乘累加操作(MAC)，或者对于过采样成比例地增加。上文也可参照图4和图5来理解。

在过采样时，首先，可通过形成在每一边附加512个零符号的2048符号块而利用2048点变换来对这1024个表示符号的复值进行FFT。然后，利用期望的脉冲形状的2048点的段对如此产生的2048点OFDM符号波形加权，以产生发射信号样本的2048点块。过采样的优点是，一旦进行数字-模拟转换，可利用放宽规范的低通滤波器来对信号进行平滑处理。

因此，采用2∶1过采样的实际OFDM系统对于所传送的每个数据符号花费14个MAC。数据符号是指在一个OFDM副载波上调制的数据符号。因此，具有1024个副载波的一个OFDM符号承载1024个数据符号。对于合理的数据速率，可通过可编程数字信号处理器(DSP)来执行这些操作，但是对于非常高的数据速率，可使用可能采用并行操作的多个算术单元的专用硬件。

如上文例如参照图6所公开，并参照US专利6219375(通过引用结合于本文)所理解，也可使用查找表来简化一组多位值的加权相加。有效的是，通过一次从每个值选择类似有效(significance)的一个位以给出单位值(single bit value)的向量来使用这些多位值。这适用于预先计算的查找表以获得部分结果。对每个连续有效位重复并将具有相对位偏移的部分结果相加可产生期望的加权值。这种方法对于每个数据符号花费N次累加且无乘法，在2∶1过采样时为2倍，其中N是多位值的位长度。精通本领域的算术逻辑设计者可确定2N个查找和累加操作是否比14个乘累加操作简单。利用以上方法的OFDM方案的一个特殊优点是，通过在进行FFT操作之前从OFDM块中删去位于频谱的特定部分中及其附近的符号，即，所谓的“删除(exision)”，可保护频谱的那个特定部分免于被使用。如果频谱的这部分中存在现有无线业务并且OFDM系统需要对这些业务进行保护以免受干扰，就会发生这种情况。

因此，上文表明了如何定义在时域和频域具有特殊的有用性质的函数以及如何利用常规调制技术或OFDM方案来使用这些函数来传送和接收数字数据。

尽管以上描述包含很多细节，但不应将这些细节理解为是限制本发明的范围，而应理解为是只提供对本发明的一些目前优选实施例的说明。因此，将明白，本发明的范围完全涵盖对于本领域技术人员显而易见的其它实施例，并且本发明的范围因此不受过多限制。除非明确指出，否则提到单数形式的元件时不是表示“一个且仅一个”，而是表示“一个或多个”。本领域技术人员已知的以上描述的优选实施例的元素的所有结构、化学和功能等效物通过引用明确结合于本文，并且由此涵盖在内。此外，一种设备或方法不一定解决本发明想要解决的涵盖在此的每个问题。