基于四元数分解和相关函数判断彩色图像相关性的方法

摘要

基于四元数分解和相关函数判断彩色图像相关性的方法，属于图像处理领域，本发明的目的是解决采用ELL提出的方法分解四元数的水平和垂直分量，以及基于平行垂直分解的方法计算两幅彩色图像的相关函数计算速度低的问题。本发明的方法包括：步骤一、大小均为M×N像素的两幅彩色图像的纯四元数表达式分别为p(m，n)＝b1(m，n)i+c1(m，n)j+d1(m，n)k和q(m，n)＝b2(m，n)i+c2(m，n)j+d2(m，n)k；步骤二、将第二幅彩色图像q(m，n)沿方向分解为q(m，n)＝q∥(m，n)+q⊥(m，n)；步骤三、按公式获取两幅彩色图像的相关函数cr(m，n)，所述相关函数cr(m，n)的值表示两幅彩色图像的相关性。本发明方法用于判断两幅彩色图像的相关性强弱。

说明书

技术领域

本发明涉及一种判断彩色图像相关性的方法，主要利用四元数分解和相关函数的计算，属于图像处理领域。

背景技术

四元数，也称Hamilton数，是1843年由英国数学家哈密顿(W.R.Hamilton)首先发现的，建立四元数理论最初的目的是为研究空间矢量找到类似解决平面问题中使用的复数方法。

设g＝a+bi+cj+dk，a，b，c，d∈R是实数，i，j，k∈C代表虚数单位，若有

i²＝j²＝k²＝-1，ij＝k，jk＝i，ki＝j

称g为Hamilton四元数，a为四元数g的实部，bi+cj+dk为g的虚部。特别地当c＝d＝0时，g就是复数，当b＝c＝d＝0时，g就是实数，故四元数是实数和复数的扩充。

从Hamilton四元数的定义上可以看出，如果改变i，j，k之间的运算定义规则，就可以出现其它不同于Hamilton四元数的定义。如定义i²＝j²＝-k²＝-1，ij＝ji＝k，kj＝jk＝-i，ki＝jk＝-j，则是有人称之为“超复数”的四元数。

在相当长的一段时间里，四元数没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。近20年来它逐渐成为国内外相关领域研究的热点，并且已经在刚体动力学、惯性导航、航天器姿态控制、机器人技术、计算机图形学、信号处理、图像处理等领域得到广泛应用。

由于ij≠ji，乘法交换律对Hamilton四元数不再适用，直接计算一个四元数乘法需要计算16个实数乘法运算。针对四元数特有的性质，研究定义在四元数域上的计算方法及其快速算法具有重要的理论和实际意义。

在彩色图像处理中，可以用纯四元数形式表示彩色图像，纯四元数g＝bi+cj+dk中的b，c，d分别表示彩色图像的红(Red)、绿(Green)、蓝(Blue)分量，这样可以在多维空间上把彩色图像的色彩分量作为矢量整体进行处理，可以充分考虑它们之间的色彩关联。近年来，四元数广泛应用于彩色图像处理，如彩色图像边缘检测、彩色图像滤波、彩色图像配准等。

在图像配准、图像压缩和图像融合等图像处理领域，图像的相关性有着重要的应用，如可以通过寻找相关性的最大值进行图像配准，可以通过相关性衡量两帧图像间的冗余度，进而为压缩和融合提供依据。如何快速准确地度量图像的相关性是图像处理领域一个重要课题。

过去，传统的相关性技术只能用于灰度图像。当处理彩色图像时，必须将彩色图像按其颜色色彩空间(对应R、G、B)的每一维分别看成是一个灰度图像，并分别进行处理，这显然忽略了彩色图像各色彩之间的内在关系。

1999年Sangwine等人提出了基于四元数的彩色图像相关性度量，在多维空间上进行处理，比传统互相关性更能体现图像的色彩关联，它表达了两帧图像色彩之间的映射、旋转等，同时可以减少光照变化等的影响。对于大小为M×N的两幅彩色图像ξ(m，n)和g(m，n)，其相关函数可表示成：

$>\mathrm{cr}(m,n)=\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\xi (x,y)\overline{g(x-m,y-n)}---\left(1\right)$>

其中ξ(m，n)＝r(m，n)i+s(m，n)j+t(m，n)k，

g(m，n)＝b(m，n)i+c(m，n)j+d(m，n)k。

这里(m，n)为时域坐标，表示图像所处的位置，b，c，d分别表示彩色图像的红、绿、蓝分量，g(m，n)表示g(m，n)的共轭复数。

对于式(1)这样的值域为复数域的函数，可以利用卷积定理即时域上的卷积等价于频域上相乘的性质计算其相关函数，但由于四元数的乘法不满足交换律，使得无法用类似手段计算四元数的相关函数。

2000年ELL和Sangwine提出把四元数Fourier变换(傅立叶变换)分解成平行和垂直的分量来计算两个四元数的相关函数。即对于两个纯四元数ξ(m，n)＝r(m，n)i+s(m，n)j+t(m，n)k和g(m，n)＝b(m，n)i+c(m，n)j+d(m，n)k，ξ(m，n)为单位四元数(即r²+s²+t²＝1)，可将g分解为g＝g_//+g_⊥，其中：

$>\left(\begin{array}{c}{g}_{//}=\frac{1}{2}(g-\mathrm{\xi g\xi }),g_{//}//\xi \\ g_{\perp }=\frac{1}{2}(g+\mathrm{\xi g\xi }),g_{\perp }\perp \xi \end{array}\right)---\left(2\right)$>

而且满足：

$>\left(\begin{array}{c}\mathrm{g\xi }=\mathrm{\xi g},g//\xi \\ \mathrm{g\xi }=-\mathrm{\xi g},g\perp \xi \end{array}\right)---\left(3\right)$>

公式(3)可以理解为四元数的“乘法交换律”，分解公式(2)需要21次实数乘法。

对于上述给定的两幅彩色图像ξ(m，n)和g(m，n)，ELL等人给出了相关函数cr(m，n)的计算公式为：

$>\mathrm{cr}(m,n)=F^{-R}\left({F_{\xi }}^R(u,v)\stackrel{‾}{{F_{g_{//}}}^R(u,v)}\right)+F^R\left({F_{\xi }}^R(u,v)\stackrel{‾}{{F_{g_{\perp }}}^R(u,v)}\right)---\left(4\right)$>

或$>\mathrm{cr}(m,n)=F^{-R}\left({F_{\xi }}^R(u,v)\stackrel{‾}{{F_{g_{//}}}^L(u,v)}\right)+F^{-R}\left({F_{\xi }}^R(u,v)\stackrel{‾}{{F_{g_{\perp }}}^L(u,v)}\right)---\left(5\right)$>

其中有关变量定义如下：

对于二维实值函数变量x(m，n)，假如其大小为M×N，其右Fourier变换、右Fourier逆变换、左Fourier变换、左Fourier逆变换分别定义如下：

$>\left(\begin{array}{c}{F}_x^R(u,v)=F^R\left(x(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}x(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}\\ F_x^{-R}(u,v)=F^{-R}\left(x(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}x(m,n)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}\\ F_x^L(u,v)=F^L\left(x(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}x(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}\\ F_x^{-L}(u,v)=F^{-L}\left(x(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}x(m,n)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}\end{array}\right)---\left(6\right)$>

这里(m，n)表示时域坐标；(u，v)表示频域坐标；μ为复数虚部单位，这里定义为特定单位四元数向量，$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}}.$>

对于四元数而言，由于分解后的水平和垂直分量可以满足一定意义下的“乘法交换律”，使得利用卷积定理来计算相关函数的思想得以推广到四元数空间，采用Sangwine提出的方法分解四元数的水平和垂直分量需要21次实数乘法，利用Sangwine等提出的基于平行垂直分解的方法计算两幅彩色图像的相关函数，最好的结果计算量为MN(6.5log₂MN+105)，计算速度低，仍然有待进一步提高。

发明内容

本发明的目的是解决采用ELL提出的方法分解四元数的水平和垂直分量，以及基于平行垂直分解的方法计算两幅彩色图像的相关函数计算速度低的问题，提供了一种基于四元数分解和相关函数判断彩色图像相关性的方法。

本发明方法具体包括以下步骤：

步骤一、大小均为M×N像素的两幅彩色图像的纯四元数表达式分别为p(m，n)＝b₁(m，n)i+c₁(m，n)j+d₁(m，n)k和q(m，n)＝b₂(m，n)i+c₂(m，n)j+d₂(m，n)k，

其中，b₁(m，n)、c₁(m，n)、d₁(m，n)∈R是实数，分别代表第一幅彩色图像p(m，n)的红、绿、蓝分量；

b₂(m，n)、c₂(m，n)、d₂(m，n)∈R是实数，分别代表第二幅彩色图像q(m，n)的红、绿、蓝分量；

i，j，k∈C是虚数单位，

步骤二、将第二幅彩色图像q(m，n)沿$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}}$>方向分解为q(m，n)＝q_//(m，n)+q_⊥(m，n)，

其中，第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)//μ，

第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)⊥μ，

μ为复数虚部单位，这里定义为特定单位四元数向量，

第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)和垂直分量q_⊥(m，n)按下述公式计算：

$>\left(\begin{array}{c}{q}_{//}(m,n)={\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \\ q_{\perp }(m,n)=q-{\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \end{array}\right),$>

其中，$>{\alpha }_{\mathrm{q\mu }}=[b_2(m,n)+c_2(m,n)+d_2(m,n)]/\sqrt{3},$>

步骤三、按下述公式获取两幅彩色图像的相关函数cr(m，n)：

$>\mathrm{cr}(m,n)=-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}^{-R}[F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)]$>

其中，(m，n)表示时域坐标，(u，v)表示频域坐标，

F_p^R(u，v)为第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶变换，

F_p^-R(u，v)为第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶逆变换，

为第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)函数的右傅立叶逆变换，

为第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的右傅立叶逆变换，

所述相关函数cr(m，n)的值表示两幅彩色图像的相关性。

在实际应用时，将本发明的方法获得的相关函数cr(m，n)的值与设定的阈值进行对比，当所述相关函数cr(m，n)的值大于设定的阈值时，说明两幅彩色图像的相关性较强；否则，说明两幅彩色图像的相关性较弱。

本发明的优点：

1、利用本发明方法平行垂直分解四元数的速度明显优于ELL等提出的方法，ELL理论中每个像素的分解需要3×3+3×4＝21次实数乘法运算，而本发明方法仅需要3+1＝4次实数乘法；

2、利用本发明方法判断两幅彩色图像的相关性，计算相关函数的速度明显优于ELL理论中相关函数的计算速度，ELL等提出的理论最好的结果计算量为MN(6.5log₂MN+105)，本发明方法的计算量为MN(5.5log₂MN+43)。

附图说明

图1是本发明方法的流程图。

具体实施方式

具体实施方式一：下面结合图1说明本实施方式，本实施方式方法包括以下步骤：

步骤一、大小均为M×N像素的两幅彩色图像的纯四元数表达式分别为p(m，n)＝b₁(m，n)i+c₁(m，n)j+d₁(m，n)k和q(m，n)＝b₂(m，n)i+c₂(m，n)j+d₂(m，n)k，

其中，b₁(m，n)、c₁(m，n)、d₁(m，n)∈R是实数，分别代表第一幅彩色图像p(m，n)的红、绿、蓝分量；

b₂(m，n)、c₂(m，n)、d₂(m，n)∈R是实数，分别代表第二幅彩色图像q(m，n)的红、绿、蓝分量；

i，j，k∈C是虚数单位，

步骤二、将第二幅彩色图像q(m，n)沿$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}}$>方向分解为q(m，n)＝q_//(m，n)+q_⊥(m，n)，

其中，第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)//μ，

第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)⊥μ，

μ为复数虚部单位，这里定义为特定单位四元数向量，

第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)和垂直分量q_⊥(m，n)按下述公式计算：

$>\left(\begin{array}{c}{q}_{//}(m,n)={\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \\ q_{\perp }(m,n)=q-{\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \end{array}\right).---\left(7\right)$>

其中，$>{\alpha }_{\mathrm{q\mu }}=[b_2(m,n)+c_2(m,n)+d_2(m,n)]/\sqrt{3}---\left(8\right)$>

步骤三、按下述公式获取两幅彩色图像的相关函数cr(m，n)：

$>\mathrm{cr}(m,n)=-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}^{-R}[F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)]---\left(9\right)$>

其中，(m，n)表示时域坐标，(u，v)表示频域坐标，

F_p^R(u，v)为第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶变换，

F_p^-R(u，v)为第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶逆变换，

为第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)函数的右傅立叶逆变换，

为第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的右傅立叶逆变换，

所述相关函数cr(m，n)的值表示两幅彩色图像的相关性。

下面分两部分介绍本发明的方法：

一、本发明提出的对第二幅彩色图像q(m，n)沿μ方向分解的公式(7)与ELL等人提出的公式(2)是等价的，具体推导过程如下：

ELL提出的公式(2)为：

$>\left(\begin{array}{c}{g}_{//}=\frac{1}{2}(g-\mathrm{\xi g\xi }),g_{//}//\xi \\ g_{\perp }=\frac{1}{2}(g+\mathrm{\xi g\xi }),g_{\perp }\perp \xi \end{array}\right)$>

根据i²＝j²＝k²＝-1，ij＝k，jk＝i，ki＝j，可得：

ξgξ＝i((r²+s²+t²)b-2r(rb+sc+td))

+j((r²+s²+t²)c-2s(rb+sc+td))

+k((r²+s²+t²)d-2t(rb+sc+td))

由于ξ为单位四元数，有r²+s²+t²＝1

记α_gξ＝rb+sc+td

则：

利用公式(3)的乘法交换律，将ξgξ＝g-2α_gξξ代入公式(2)，可得：

$>\left(\begin{array}{c}{g}_{//}={\alpha }_{\mathrm{g\xi }}\xi \\ g_{\perp }=g-{\alpha }_{\mathrm{g\xi }}\xi \end{array}\right).---\left(10\right)$>

公式(10)表明，纯四元数g沿单位四元数ξ分解的快速算法与ELL提出的公式(2)是等价的，用公式(10)分解的速度要明显优于ELL提出的四元数分解方法的速度。

在本发明中用四元数q(m，n)＝b₂(m，n)i+c₂(m，n)j+d₂(m，n)k代替ELL理论中的g(m，n)＝b(m，n)i+c(m，n)j+d(m，n)k，二者都是纯四元数，涉及各参量代表的意义相同；用更为特殊的特定单位四元数向量$>\mu =(i+j+k)/\sqrt{3}$>代替ELL理论中的单位四元数ξ(m，n)＝r(m，n)i+s(m，n)j+t(m，n)k，很显然，根据推导出的公式(10)可得公式(7)成立，即：

$>\left(\begin{array}{c}{q}_{//}(m,n)={\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \\ q_{\perp }(m,n)=q-{\alpha }_{\mathrm{q\mu }}\mu \end{array}\right)$>

上述关于本发明对彩色图像的分解方法与ELL提出的分解方法等价的论述，以及本发明提出的两幅彩色图像的相关函数与ELL提出的两幅彩色图像的相关函数等价的论述，说明本发明方法的结论与ELL提出的理论是等价的，但本发明方法的计算量比现有方法要少很多，进而提高了运算速度，节省了计算所用的资源、提高了工作效率。

ELL理论中分解水平垂直分量所涉及公式为式(2)，每个像素的分解需要3×3+3×4＝21次实数乘法运算。利用本发明提出的分解公式(7)，应用于彩色图像时，得到同样的分解结果，仅需要3+1＝4次实数乘法；应用于实部不为零的四元数分解是也只需要3+3＝6次实数乘法。从结果上分析，本发明分解的速度明显优于ELL提出的理论。

作为上述公式(10)的扩展，在上面分解(10)和(9)中，如果g的实部不为零，公式(10)的分解依然有效，只是可将g的实部保留在水平分量中，相应的(3)式变为：

$>\left(\begin{array}{c}\mathrm{g\xi }=\mathrm{\xi g},g//\xi \\ \mathrm{g\xi }=\xi \bar{g},g\perp \xi \end{array}\right)---\left(11\right)$>

其中g表示g的共轭复数，即g＝-bi-cj-dk。

由于彩色图像处理中，g为纯四元数，因此下面只讨论g为纯四元数的情况。

二、基于时域的四元数相关函数cr(m，n)计算方法：

针对ELL等人提出的公式(4)或(5)，本发明提出了用于彩色图像处理的基于时域分解的四元数相关函数计算公式，使相关函数的计算更加方便。

对于上述给定的两幅大小为M×N的彩色图像p(m，n)和q(m，n)，其相关函数计算公式(9)为：

$>\mathrm{cr}(m,n)=-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}^{-R}[F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)]$>

公式(9)与ELL提出的公式(4)是等价的，利用第一部分所述四元数分解方法，并考虑p(m，n)、q(m，n)为纯四元数的情况，推导过程如下：

大小为M×N的第二幅彩色图像q(m，n)沿μ方向分解成：

q(m，n)＝q_//(m，n)+q_⊥(m，n)

其中q_//(m，n)//p(m，n)，q_⊥(m，n)⊥p(m，n)。

由公式(6)的定义可知：

$>\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=\sqrt{\mathrm{MN}}{F}^R\left(\mathrm{cr}(m,n)\right)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\mathrm{cr}(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}.---\left(12\right)$>

其中μ为复数虚部单位，这里定义为特定单位四元数向量，$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}}.$>

将公式(1)中g换成q，ξ换成p，并带入公式(12)得：

$>\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)\overline{q(x-m,y-n)}{e}^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}$>

$>=\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)\overline{q(x-m,y-n)}{e}^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{e}^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}---\left(13\right)$>

考虑表示彩色图像的q(m，n)为纯虚数(即四元数的实部为0)，q(m，n)＝-q(m，n)，公式(13)整理为：

$>\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=-\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)q(x-m,y-n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{e}^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}---\left(14\right)$>

将q(m，n)＝q_//(m，n)+q_⊥(m，n)带入公式(14)中并整理，可得：

$>q(x-m,y-n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=(q_{//}(x-m,y-n)+q_{\perp }(x-m,y-n))e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}---\left(15\right)$>

根据公式(3)的乘法交换律，进一步整理公式(15)，可得：

$>\left(\begin{array}{c}{q}_{//}(x-m,y-n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{q}_{//}(x-m,y-n)\\ q_{\perp }(x-m,y-n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}=-e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{q}_{\perp }(x-m,y-n)\end{array}\right)---\left(16\right)$>

$>=e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xm}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{q}_{\perp }(x-m,y-n)$>

于是公式(14)进一步整理为：

$>\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=-\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{q}_{//}(x-m,y-n)e^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}$>

$>-\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{q}_{\perp }(x-m,y-n)e^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}---\left(17\right)$>

改变公式(17)的求和顺序：

$>\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=-\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{q}_{//}(x-m,y-n)e^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}$>

$>-\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{q}_{\perp }(x-m,y-n)e^{\mu 2\pi (\frac{(x-m)u}{M}+\frac{(y-n)v}{N})}---\left(18\right)$>

根据公式(6)，将公式(18)整理为：

$>F_{\mathrm{cr}}^R(u,v)=-\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{F}_{q_{//}}^{-R}(u,v)-\underset{x=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{y=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}p(x,y)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{xu}}{M}+\frac{\mathrm{yv}}{N})}{F}_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)$>

$>=-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)$>

$>=-\sqrt{\mathrm{MN}}(F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v))$>

于是获得本发明方法所述的公式(9)：

$>\mathrm{cr}(m,n)=-\sqrt{\mathrm{MN}}{F}^{-R}[F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)].$>

第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)函数的右傅立叶逆变换采用实数快速傅立叶变换方法获得，由于q_//(m，n)//μ，$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}},$>可以把μ看成常规复数虚部单位，按常规实数右Fourier逆变换处理，其计算量为MN(0.5log₂(MN)+1)。

本发明计算两幅彩色图像相关函数cr(m，n)的公式(9)时涉及：

第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶变换F_p^R(u，v)、第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶逆变换F_p^-R(u，v)、第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)函数的右傅立叶逆变换和第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的右傅立叶逆变换的计算量分析如下：

1、第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶变换F_p^R(u，v)和第一幅彩色图像函数p(m，n)的右傅立叶逆变换F_p^-R(u，v)的计算按如下方法进行：

p(m，n)＝b₁(m，n)i+c₁(m，n)j+d₁(m，n)k，实数b₁(m，n)，c₁(m，n)，d₁(m，n)的Fourier变换分别记为F_b1(u，v)，F_c1(u，v)，F_d1(u，v)，即：

$>F_{b1}(u,v)=F^R\left(b_1(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{b}_1(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}---\left(19\right)$>

$>F_{c1}(u,v)=F^R\left(c_1(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{c}_1(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}---\left(20\right)$>

$>F_{d1}(u,v)=F^R\left(d_1(m,n)\right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{d}_1(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}---\left(21\right)$>

则：

$>F_p^R(u,v)=F_{b1}(u,v)i+F_{c1}(u,v)j+F_{d1}(u,v)k---\left(22\right)$>

$>F_p^{-R}(u,v)=\overline{F_{b1}(u,v)}i+\overline{F_{c1}(u,v)}j+\overline{F_{d1}(u,v)}k---\left(23\right)$>

在利用式(22)和式(23)计算相关函数时，可利用上述性质减少计算量，计算量为MN(1.5log₂(MN)+3)。

式(22)和式(23)的推导过程如下：

$>F_q^R(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}(i\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}b(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}$>

$>+j\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}c(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}+k\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}d(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}$>

$>=F_b(u,v)i+F_c(u,v)j+F_d(u,v)k$>

$>F_q^{-R}(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}(i\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}b(m,n)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}$>

$>+j\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}c(m,n)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}+k\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}d(m,n)e^{\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}$>

$>=\overline{F_b(u.v)}i+\overline{F_c(u,v)}j+\overline{F_d(u,v)}k$>

2、第二幅彩色图像q(m，n)的水平分量q_//(m，n)函数的右傅立叶逆变换采用实数快速傅立叶变换方法获得，由于q_//(m，n)//μ，$>\mu =\frac{i+j+k}{\sqrt{3}},$>可以把μ看成常规复数虚部单位，按常规实数右Fourier逆变换处理，其计算量为MN(0.5log₂(MN)+1)。

3、第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的右傅立叶逆变换获取的方法为：

第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的纯四元数表达式为：

q_⊥(m，n)＝α(m，n)i+β(m，n)j+γ(m，n)k

α(m，n)，β(m，n)，γ(m，n)∈R是实数，i，j，k∈C是虚数单位，

第二幅彩色图像q(m，n)的垂直分量q_⊥(m，n)函数的右傅立叶逆变换按如下公式获得：

$>F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)=i(\mathrm{real}\left(F_{\alpha }^{-R}\right)+\mathrm{\mu imag}\left(F_{\alpha }^{-R}\right))+j(\mathrm{real}\left(F_{\beta }^{-R}\right)+\mathrm{\mu imag}\left(F_{\beta }^{-R}\right))$>

$>+k(\mathrm{real}\left(F_{\gamma }^{-R}\right)+\mathrm{\mu imag}\left(F_{\gamma }^{-R}\right))$>

其中，F_α^-R表示实数α(m，n)的右傅立叶逆变换；

F_β^-R表示实数β(m，n)的右傅立叶逆变换；

F_γ^-R表示实数γ(m，n)的右傅立叶逆变换；

real()代表取其复数的实部；

imag()代表取其复数的虚部。

计算量为MN(1.5log₂(MN)+3)。

综上，两幅彩图像相关函数cr(m，n)中涉及的F_p^R(u，v)、F_p^-R(u，v)和]按如上所述的方法进行计算，则cr(m，n)的计算最后涉及的F^-R[……]按如下方法计算：

设$>x(m,n)=F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v),$>则：

$>F^{-R}[F_p^R(u,v)F_{q_{//}}^{-R}(u,v)+F_p^{-R}(u,v)F_{q_{\perp }}^{-R}(u,v)]$>

$>=F^{-R}\left[x(m,n)\right]$>

$>=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{MN}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}x(m,n)e^{-\mu 2\pi (\frac{\mathrm{mu}}{M}+\frac{\mathrm{nv}}{N})}.$>

两幅彩图像相关函数cr(m，n)按本发明方法进行计算，最终的计算量为MN(5.5log₂MN+43)，而利用ELL等提出的基于平行垂直分解的方法，两幅彩图像相关函数cr(m，n)最好的结果计算量为MN(6.5log₂MN+105)，江淑红提出的不基于平行垂直分解的方法(参见：江淑红，郝明非，张建秋，胡波.快速超复数傅氏变换和超复数互相关的新算法及应用。电子学报，2008：36(1)，100-105.)，计算量为MN(7log₂MN+36)。从结果分析，本发明方法明显优于它们。

表1、表2是本发明的方法与上述两种方法计算彩色图像相关函数计算量比较。

表1计算彩色图像相关函数的计算量(所需实数乘法次数)

表2本发明的方法与已有的方法计算彩色图像相关函数计算量的比较