预测周期性多孔材料等效杨氏模量的方法

摘要

本发明公开了一种预测周期性多孔材料等效杨氏模量的方法，首先建立周期性多孔梁结构的实体模型；对周期性多孔梁结构实体模型进行纯弯曲加载；将周期性多孔梁等效为均质梁；对等效均质梁加载相同的弯矩，预测周期性多孔材料等效杨氏模量和周期性多孔材料单胞等效杨氏模量。由于采用弯曲应变能等效的方法，解决了现有技术预测周期性多孔材料等效杨氏模量时无法反应周期性多孔材料等效杨氏模量随微结构尺寸变化的尺寸效应现象，给出了周期性多孔材料等效杨氏模量与尺度缩放因子n间的解析函数关系，真正反映出周期性多孔材料等效杨氏模量随微结构尺度缩放因子n变化的尺寸效应。

说明书

技术领域

本发明涉及一种预测材料等效杨氏模量的方法，具体是预测周期性多孔材料等效杨氏模量的方法。

背景技术

文献1“B Hassani，E Hinton.A review of homogenization and topology optimizationII-analytical and numerical solution of homogenization equations.Computers and Structures 69，1998，719-738.”公开了一种基于小尺度渐近展开求解实体层合材料体胞的等效模量的均匀化方法，同时给出了矩形孔洞材料单胞等效模量的数值计算结果。该方法为宏观尺度下的材料等效性能与材料尺度下的微结构构型、组分材料的力学性能以及材料体分比建立了严格的数学描述关系。但是，此方法所计算等效杨氏模量仅取决于不同材料相的体分比与弹性模量，而与体胞的大小无关，无法反映体胞的尺寸对单胞力学性能的影响。

文献2“L J Gibson，M F Ashby.Cellular solids：structure and properties(2nd ed)[M].Cambridge University Press，1997.”提出了一种对于薄壁单胞，体胞变形机理满足欧拉梁假设的细观力学方法，并对薄壁规则构型的单胞，如正方形单胞，三角形单胞，六边形单胞的等效弹性参数进行预测。然而，当单胞不满足薄壁假设时，等效杨氏模量预测结果误差就会很大；并且当组成单胞材料的体分比保持不变时，计算结果无法反映体胞尺寸对单胞力学性能的影响。

发明内容

为了克服现有技术方法预测材料等效杨氏模量无法反映体胞尺寸变化的不足，本发明提供一种预测周期性多孔材料等效杨氏模量的方法，弯曲应变能等效的方法，可以在预测周期性多孔材料等效杨氏模量时，准确反映体胞尺寸变化对单胞力学性能的影响。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种预测周期性多孔材料等效杨氏模量的方法，其特点是包括下述步骤：

(a)建立周期性多孔梁结构的实体模型；

(b)对周期性多孔梁结构实体模型进行纯弯曲加载，依据结构沿x方向的周期性和对称性，单个周期l上的弯曲应变能U_b为：

$U_b=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

式中，M是弯矩，E(x)是随x变化的应实体模型的杨氏模量，I(x)是随x变化实体模型的结构相对于中性层的惯性矩，l是沿x方向实体模型微结构的周期；

(c)将周期性多孔梁等效为均质梁；等效均质梁沿x方向的长度为L，沿z方向的梁厚度为h；

(d)对等效均质梁加载相同的弯矩M，则沿x方向上l长度内的弯曲应变能U′_b为：

$U_b^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}$

其中，E^H表示单胞微结构等效弹性模量，I^H表示等效结构相对于中性层的惯性矩；

(e)由于周期性多孔结构等效前、后的弯曲应变能相等，则

U′_b＝U_b

$\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

(f)周期性多孔材料等效杨氏模量是：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

(g)周期性多孔材料单胞等效杨氏模量是：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E(x,n)I(x,n)}\mathrm{dx}\right]}^{-1};$

式中，n是单胞尺寸缩放因子，n＝1，2...。

本发明的有益效果是：由于采用弯曲应变能等效的方法，解决了现有技术预测周期性多孔材料等效杨氏模量时无法反应周期性多孔材料等效杨氏模量随微结构尺寸变化的尺寸效应现象，给出了周期性多孔材料等效杨氏模量与尺度缩放因子n间的解析函数关系，真正反映出周期性多孔材料等效杨氏模量随微结构尺度缩放因子n变化的尺寸效应。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法一维周期性多孔阵列结构标样图。

图2是本发明方法周期性多孔结构的纯弯曲加载标样图。

图3是本发明方法与周期性多孔结构相对应的等效结构标样图。

图4是本发明方法周期性多孔结构等效结构的纯弯曲加载标样图。

图5是本发明方法尺寸效应标样图。

图6是本发明方法实施例1正方形单胞及其构成的蜂窝梁标样图。

图7是本发明方法实施例2三角形单胞及其构成的蜂窝梁标样图。

图8是本发明方法实施例3正六边形单胞及其构成的蜂窝梁标样图。

图9是本发明方法实施例1正方形孔单胞等效杨氏模量相对尺度因子n标定函数关系图。

图10是本发明方法实施例2正三角形孔单胞等效杨氏模量相对尺度因子n标定函数关系图。

图11是本发明方法实施例3正六边形孔单胞等效杨氏模量相对尺度因子n标定函数关系图。

具体实施方式

以下实施例参照图1-11。

实施例1：正方形孔单胞的等效杨氏模量。

1)建立对于周期性正方形孔多孔梁结构，其参数有梁的长度L＝60，沿x方向微结构的周期长度l＝1，沿z方向梁的厚度h＝2l，正方形孔单胞壁厚t＝0.1；实体材料属性为：杨氏模量E＝70e9，泊松比v＝0.34，密度ρ＝2774；设此时的尺度缩放因子n＝1。

2)对周期性正方形孔多孔梁结构进行纯弯曲加载，依据结构沿x方向的周期性和对称性，单个周期l上的弯曲应变能U_b为：

$U_b=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

其中，E(x)＝E，I(x)为：

$I\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{12}b{h}^3,x\in [0,\frac{t}{2}]\cup [l-\frac{t}{2},l]\\ I_2=\frac{1}{4}b{h}^{2}t-\frac{1}{4}\mathrm{bh}{t}^2+\frac{1}{6}b{t}^3,x\in (\frac{t}{2},l-\frac{t}{2})\end{array}\right)$

3)建立等效均质梁模型。等效均质梁沿x方向的长度为L＝60，沿z方向的梁厚度为h＝2。

4)对等效均值梁加载相同的弯矩M，则沿x方向上l长度内的弯曲应变能U′_b为：

$U_b^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}$

其中，等效结构相对于中性层的惯性矩I^H为：

$I^H=\frac{b{h}^3}{12}$

5)依据等效性，可知周期性多孔结构等效前后的弯曲应变能相等，则

U′_b＝U_b

$\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

6)微结构的等效杨氏模量可以表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

$=\frac{3}{2b{l}^3}\frac{E{I}_1{I}_2}{\frac{t}{l}{I}_2+\frac{l-t}{l}{I}_1},(h=2l)$

7)微结构单胞尺寸随尺度缩放因子n的变化而变化，而结构体分比在这一过程中保持不变；因此微结构的等效杨氏模量应表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E(x,n)I(x,n)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

其中，E(x，n)＝E，I(x，n)为：

$I(x,n)=\left(\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{12}b{h}^3,x\in [0,\frac{t}{2}]\cup [l-\frac{t}{2},l]\\ I_2=\frac{1}{12}b{h}^3-\frac{2}{3}b\underset{m=1}{\overset{n}{\Sigma }}[{\left(\frac{\mathrm{mh}-t}{2n}\right)}^3-{\left(\frac{(m-1)h+t}{2n}\right)}^3],x\in (\frac{t}{2},l-\frac{t}{2})\end{array}\right)$

由此得到正方形孔单胞等效杨氏模量E^H与尺度缩放因子n的函数解析表达式，该式真正反映出等效杨氏模量随单胞尺寸变化而变化的尺度效应。

实施例2：正三角形孔单胞的等效杨氏模量。

1)建立对于周期性正三角形孔多孔梁结构，其参数有梁的长度L＝60，沿x方向微结构的周期长度l＝1，沿z方向梁的厚度$h=\frac{\sqrt{3}}{2}l,$正三角形孔单胞壁厚t＝0.1；实体材料属性为：杨氏模量E＝70e9，泊松比v＝0.34，密度ρ＝2774；设此时的尺度缩放因子n＝1。

2)对周期性正三角形孔多孔梁结构进行纯弯曲加载，依据结构沿x方向的周期性和对称性，单个周期l上的弯曲应变能U_b为：

$U_b=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

其中，E(x)＝E，I(x)为：

$I\left(x\right)=\frac{1}{12}b(h^3+t^3)+\frac{3}{4}b{x}^{2}t,x\in \left[\mathrm{0,1}\right]$

3)建立等效均质梁模型。等效均质梁沿x方向的长度为L＝60，沿z方向的梁厚度为$h=\frac{\sqrt{3}}{2}l.$

4)对等效均值梁加载相同的弯矩M，则沿x方向上l长度内的弯曲应变能U′_b为：

$U_b^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}$

其中，等效结构相对于中性层的惯性矩I^H为：

$I^H=\frac{b{h}^3}{12}$

5)依据等效性，可知周期性多孔结构等效前后的弯曲应变能相等，则

U′_b＝U_b

$\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

6)微结构的等效杨氏模量可以表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

$=\frac{3\mathrm{lE}\sqrt{(h^3+t^3)t}}{h^3\arctan \left(\frac{3\mathrm{lt}}{\sqrt{(h^3+t^3)t}}\right)}$

7)微结构单胞尺寸随尺度缩放因子n的变化而变化，而结构体分比在这一过程中保持不变；因此微结构的等效杨氏模量应表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E(x,n)I(x,n)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

$=\frac{8\sqrt{3}E}{9l^2}\left\{\underset{m=1}{\overset{n}{\Sigma }}\right[\frac{\sqrt{3}{n}^3}{18t^3}\ln \left[\frac{3}{8}\right[\left(\frac{\sqrt{3}m}{n}l\right){\left(\frac{1}{n}t\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}m}{n}l\right)}^2\left(\frac{1}{n}t\right)]+\frac{1}{8}{\left(\frac{1}{n}t\right)}^3+6\sqrt{3}l{\left(\frac{1}{n}t\right)}^3]$

${-\frac{\sqrt{3}{n}^3}{18t^3}\ln \left[\frac{3}{8}\right[\left(\frac{\sqrt{3}m}{n}l\right){\left(\frac{1}{n}t\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}m}{n}l\right)}^2\left(\frac{1}{n}t\right)]+\frac{1}{8}{\left(\frac{1}{n}t\right)}^3]\left]\right\}}^{-1}$

由此得到正三角形孔单胞等效杨氏模量E^H与尺度缩放因子n的函数解析表达式，该式真正反映出等效杨氏模量随单胞尺寸变化而变化的尺度效应。

实施例3：正六边形孔单胞的等效杨氏模量。

1)建立对于周期性正六边形孔多孔梁结构，其参数有梁的长度L＝60，沿x方向微结构的周期长度3l＝3，沿z方向梁的厚度$h=\sqrt{3}l,$正六边形孔单胞壁厚t＝0.1；实体材料属性为：杨氏模量E＝70e9，泊松比v＝0.34，密度ρ＝2774；设此时的尺度缩放因子n＝1。

2)对周期性正六边形孔多孔梁结构进行纯弯曲加载，依据结构沿x方向的周期性和对称性，单个周期l上的弯曲应变能U_b为：

$U_b=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

其中，E(x)＝E，I(x)为：

$I\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{I}_1=\frac{1}{3}b{t}^3+b{h}^{2}t,x\in [0,\frac{l}{2})\cup [\frac{5l}{2},3l]\\ I_2=\frac{16}{3}b{t}^3+b{h}^{2}t+12b{(x-\frac{l}{2})}^{2}t,x\in [\frac{l}{2},l)\cup [2l,\frac{5l}{2})\\ I_3=\frac{1}{6}b{t}^3-\frac{1}{2}\mathrm{bh}{t}^2+b{h}^{2}t,x\in [l,2l)\end{array}\right)$

3)建立等效均质梁模型。等效均质梁沿x方向的长度为L＝60，沿z方向的梁厚度为$h=\sqrt{3}l.$

4)对等效均值梁加载相同的弯矩M，则沿x方向上l长度内的弯曲应变能U′_b为：

$U_b^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}$

其中，等效结构相对于中性层的惯性矩I^H为：

$I^H=\frac{b{h}^3}{12}$

5)依据等效性，可知周期性多孔结构等效前后的弯曲应变能相等，则

U′_b＝U_b

$\frac{1}{2}\frac{M^{2}l}{E^H{I}^H}=\frac{M^2}{2}{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}$

6)微结构的等效杨氏模量可以表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E\left(x\right)I\left(x\right)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

$=\frac{12\mathrm{Elt}\sqrt{70t^2+36h^2-6\mathrm{ht}}}{h^3\arctan \left(\frac{6l}{\sqrt{70t^2+36h^2-6\mathrm{ht}}}\right)+h^3\arctan \left(\frac{30l}{\sqrt{70t^2+36h^2-6\mathrm{ht}}}\right)}$

7)微结构单胞尺寸随尺度缩放因子n的变化而变化，而结构体分比在这一过程中保持不变；因此微结构的等效杨氏模量应表示为：

$E^H=\frac{l}{I^H}{\left[{\int }_0^l\frac{1}{E(x,n)I(x,n)}\mathrm{dx}\right]}^{-1}$

$=\frac{8\sqrt{3}E}{9l^2}\left\{\underset{m=1}{\overset{n}{\Sigma }}\right[\frac{\frac{m}{n}l}{{\left(\frac{t}{2n}\right)}^3}+\frac{2\sqrt{3}}{9{\left(\frac{t}{n}\right)}^2}\left[\ln \right[\frac{1}{4}{\left(\frac{t}{n}\right)}^3-\frac{3\sqrt{3}}{2}{\left(\frac{t}{n}\right)}^3\frac{m}{n}l]-\ln [\frac{1}{4}{\left(\frac{t}{n}\right)}^3\left]\right]$

${+\frac{\frac{m}{n}l}{\frac{9}{4}{\left(\frac{m}{n}l\right)}^2\frac{t}{2n}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\frac{m}{n}l{\left(\frac{t}{2n}\right)}^2+{\left(\frac{t}{2n}\right)}^3}\left]\right\}}^{-1}$

由此得到正六边形孔单胞等效杨氏模量E^H与尺度缩放因子n的函数解析表达式，该式真正反映出等效杨氏模量随单胞尺寸变化而变化的尺度效应。

从图9中可以看到，采用本发明方法预测正方形孔单胞等效杨氏模量随着尺度缩放因子n的增加而逐渐减小，当l＞＞t且尺度缩放因子n→∞时，上式简化为：

$E^H=\frac{t}{l}E=\mathrm{\alpha E}$

这一结果与均匀化方法和G-A细观力学法求得的结果完全一致。说明均匀化方法和G-A细观力学法求得的结果是微结构单胞无穷小时的极限值。

从图10中可以看到，采用本发明方法预测正三角形孔单胞等效杨氏模量随着尺度缩放因子n的增加而逐渐减增大并最终趋近于均匀化方法和G-A细观力学方法的求解结果。

从图11中可以看到，采用本发明方法预测正六边形孔单胞等效杨氏模量随着尺度缩放因子n的变化而呈非单调变化趋势。当尺度缩放因子n增大时，正六边形孔单胞的等效杨氏模量由小变大；当n＝5时，E^H达到最大值，此后逐渐减小并最终趋近于均匀化的结果。