用于调节RLC滤波器的电压或电流的方法、记录介质和用于该方法的车辆

摘要

一种用于调节低通RLC滤波器的输出电压Uc或输出电流Il的无差拍控制方法包括：计算(92)在时刻ti和ti+1之间流过滤波器的第一输出点的DC电流Iu的平均强度的电流设定值，根据滤波器的离散化状态方程建立该设定值，以使得在时刻ti+1上电压Uc或线路电流Il等于电压Ucc或线路电流Ilc的预定设定值，控制(100)电变流器，以产生流过滤波器的电流Iu，该电流Iu在时刻ti和ti+1之间的平均强度等于设定值。

说明书

技术领域

本发明涉及用于调节RLC滤波器的电压或电流的方法、记录介质和用于该方法的车辆。

背景技术

具体而言，申请人了解调节固有周期T_f的低通RLC滤波器的第一和第二输出点之间的电压U_c的方法，该RLC滤波器包括分别与通过悬链线供电的电动车辆的DC总线的导体电连接的两个输入点(端)，第一和第二输出点(端)与用于控制由电动车辆的电气牵引电机(electric traction motor)施加的转矩的可控电变流器电连接，该电机的定子时间常数τ严格小于固有周期T_f。

这些调节方法包括测量或估计在时刻t_i流过滤波器的电感的线路电流I_l的强度I_li、时刻t_i滤波器的输出点之间的电压U_ci和滤波器的输入点之间的线路电压U_l。

申请人还了解用于调节流过固有周期T_f的低通RLC滤波器的电感L的线路电流I_l的方法，该滤波器包括：

-分别与通过悬链线供电的电动车辆的DC总线的导体电连接的两个输入点，和

-第一和第二输出点，该第一和第二输出点为了导致电动车辆的电气牵引电机的转矩变化与可控电变流器电连接，该电机的定子时间常数τ严格小于固有周期T_f。

这些方法包括测量或估计时刻t_i的线路电流I_l的强度I_li、时刻t_i的滤波器的输出点之间的电压U_ci和滤波器的输入点之间的线路电压U_l。

这里，术语“悬链线”指的是导电弓为了向电动车辆供电在上面摩擦的高架线路和触靴为了向电动车辆供电在上面滑动的基于地面的铁轨。该基于地面的铁轨常被称为术语“第三轨”。

电机的定子时间常数τ由以下的关系限定：

$\tau =\frac{L_m}{R_m}$

这里，

-L_m是电机的定子电感，

-R_m是电机的定子电阻。

对于电动车辆的电气牵引电机，该时间常数一般为4～200ms。

RLC滤波器的固有周期T_f由下式限定：

$T_f=2\pi \sqrt{\mathrm{LC}}$

该固有周期T_f必须严格地比电机的时间常数τ大，否则，RLC滤波器不能关于由电机消耗或产生的电流的迅速变化实现其作为低通滤波器的功能。RLC滤波器的另一目的是，降低从变流器观察的电源阻抗或负载阻抗。

加速电机的时间这里被定义为以其最大转矩导致其速度变化其最大速度的很大的分数、例如1/1000所需要的时间。

在已知的方法中，调节过程包括使用反馈环以建立滤波器的输出点之间的电压设定值U_cc或线路电流设定值I_lc和测量值之间的差值。这些方法正确地操作，但不对于电机的线路电压U_l或抵抗转矩的突然变化提供足够快的反应。例如，如果出现以下情况会出现线路电压U_l或抵抗转矩的这些突然的变化：

-如果导电弓从悬链线脱落，即，当导电弓失去与悬链线的机械和电气接触时，

-如果导电弓重新附着到悬链线上，即，当导电弓重新建立与悬链线的机械和电气接触时，或者，

-在电动车辆的驱动轮和车轮承载结构之间损失粘附性的情况下。

发明内容

本发明目的在于，通过提出用于调节电压U_c或线路电流I_l的更迅速的方法解决这些问题。

因此，本发明的主题是用于调节电压U_c的无差拍(deadbeat)控制方法，其中，该方法包括：

-计算在时刻t_i和时刻t_i+1之间流过滤波器的第一输出点的DC电流I_u的平均强度I_u的电流设定值I_uc，根据滤波器的离散化状态方程建立该设定值I_uc，以使得在时刻t_i+1电压U_c等于预定的电压设定值U_cc，这些离散化状态方程在分别在时刻t_i和t_i+1的线路电流I_l的强度I_li和I_li+1、分别在时刻t_i和t_i+1的滤波器的输出点之间的电压U_ci和U_c，i+1、时刻t_i和t_i+1之间的平均线路电压U_l和平均强度I_u之间建立关系，和

-控制电变流器以产生流过滤波器的输出点的电流I_u，该电流I_u在时刻t_i和t_i+1之间的平均强度I_u等于电流设定值I_uc，时刻t_i和t_i+1之间的时间间隔T严格小于5τ。

本发明的另一主题是用于调节线路电流I_l的强度的无差拍控制方法，其中，该方法包括：

-计算在时刻t_i和时刻t_i+1之间流过滤波器的第一输出点的DC电流I_u的平均强度I_u的电流设定值I_uc，根据滤波器的离散化状态方程建立该设定值I_uc，以使得在时刻t_i+1上电压U_c等于预定的电压设定值U_cc，这些离散化状态方程在分别在时刻t_i和t_i+1的线路电流I_l的强度I_li和I_li+1、分别在时刻t_i和t_i+1的滤波器的输出点之间的电压U_ci和U_c，i+1、时刻t_i和t_i+1之间的平均线路电压U_l和平均强度I_u之间建立关系，和

-控制电变流器以产生流过滤波器的输出点的电流I_u，该电流I_u在时刻t_i和t_i+1之间的平均强度I_u等于设定值I_uc，时刻t_i和t_i+1之间的时间间隔T严格小于5τ。

这些“无差拍控制”方法用于从下一调节时刻t_i+1到达设定值。为此，这些方法不实现反馈环。

具体而言，在以上的无差拍控制方法中，在不使用反馈环的情况下从RLC滤波器的离散化状态方程确定平均强度设定值I_uc。这些方法因此保证电压U_c或线路电流I_l确切地在间隔T结束时达到其设定值。并且，由于间隔T在这种情况下被选择为较小，即，比电机的时间常数τ的5倍小，因此，这些方法的反应比实施反馈环的调节方法快得多。在这些条件下，特别是在导电弓脱落或重新附着的情况下或者在损失粘附性的情况下，线路电压U_l的电压浪涌或线路电流I_l的电流浪涌更有效地得到限制。

还应注意，在比5τ小的间隔T上进行对于平均强度I_u的调节。由于带到电机轴的电动车辆的惯性并且由于电机本身的转子的惯性，因此这些间隔T比加速电机的时间短得多，使得该车辆的驾驶员或乘客感觉不到它们。它们因此也不妨碍用于调节电机的转矩的方法。

用于调节电压U_c的方法的实施例可包括以下特征中的一个或更多个：

-电压设定值U_cc被选择为总是小于或等于电压极限U_cmax，该电压极限U_cmax与电变流器的输入上或滤波器的输出点之间的最大容许电压对应，

-构建在时刻t_i+1电压U_c等于电压设定值U_cc时将达到的线路电流I_l的估计I_lp，

-将估计I_lp与至少一个预定的线路电流极限I_lm相比较，

-只有当超出预定的线路电流极限I_lm时，才修改电压设定值U_cc以获得与不超出预定的线路电流极限I_lm的线路电流估计I_lp对应的临时电压设定值U_ccm，并且，仅对于当前间隔T在平均电流设定值I_uc的计算中使用临时电压设定值U_ccm来代替电压设定值U_cc，

-如果不超出预定极限I_lm，那么对于当前间隔T使用用于计算平均电流设定值I_uc的电压设定值U_cc；

设定值I_uc是以下的方程组的解：

$I_{\mathrm{lp}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{cc}}=e^{{\mu }_1·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{ci}})+a_1·({\mu }_2·{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)$

$I_{\mathrm{lp}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{cc}}=e^{{\mu }_2·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{ci}})+a_2·({\mu }_1·{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)$

这里，

-R和L分别是串联连接在第一输入点和输出点之间的RLC滤波器的电阻和电感的值，

-C是连接在第一和第二输出点之间的电容器的电容量，

-μ₁和μ₂是演化矩阵的特征值并由以下的关系限定：

${\mu }_1=\frac{-R·C+\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

${\mu }_2=\frac{-R·C-\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

-a₁和a₂是由以下的关系限定的值：

$a_1=\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}$

$a_2=\frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}$

-从线路电压U_l构建电压设定值U_cc，以使得其功率谱不表现出超出频率0.9/T_f的任何谐波。

并且，用于调节电压U_c的方法的实施例表现出以下的优点：

-通过使电压U_c保持在极限U_cmax以下，避免诸如用于削去DC总线上的任何电压浪涌的变阻器斩波器(rheostatic chopper)的安全装置的过早跳闸，

-通过使用临时电压设定值U_ccm，可以在限制电压U_c的变化的同时在可接受的范围内维持线路电流I_l的强度，并且，

-通过选择电压设定值U_cc使得其功率谱不表现出超出频率0.9/T_f的任何谐波，避免接近滤波器的固有频率的线路电流I_l和电容器电压Uc的振荡并且还使控制能量最小化。

用于调节线路电流I_l的强度的方法的实施例可包括以下特征中的一个或更多个：

线路电流设定值I_lc被选择为总是小于或等于极限I_lmax，该极限I_lmax与悬链线的变电站的断路器或车辆的断路器跳闸时的线路电流I_l的强度对应。

线路电流设定值I_lc被选择为总是大于或等于极限I_lmin，该极限I_lmin与线路电流的强度对应，在该强度以下，滤波器的电感L饱和度降低。

构建在时刻t_i+1线路电流I_l的强度等于设定值I_lc时将在时刻t_i+1在滤波器的输出点之间达到的电压U_c的估计U_cp，

将电压估计U_cp与至少一个预定的电压极限U_cm相比较，

只有当超出预定的电压极限U_cm时，才修改线路电流设定值I_lc以获得与不超出预定的电压极限U_cm的估计U_cp对应的临时线路电流设定值I_lcm，并且，仅对于当前间隔T在变流器的控制中使用临时线路电流设定值I_lcm来代替线路电流设定值I_lc，以及

如果不超出预定的电压极限U_cm，那么对于当前间隔T在平均电流设定值I_uc的计算过程中使用线路电流设定值I_lc。

平均电流设定值I_uc是以下方程组的解：

$I_{\mathrm{lc}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{cp}}=e^{{\mu }_1·T}(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{ci}})+a_1·({\mu }_2·{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)$

$I_{\mathrm{lc}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{cp}}=e^{{\mu }_2·T}(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{ci}})+a_2·({\mu }_1·{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)$

这里，

-R和L分别是串联连接在第一输入和输出点之间的RLC滤波器的电阻和电感的值，

-C是连接在第一和第二输出点之间的电容器的电容量，

-μ₁和μ₂是演化矩阵的特征值并由以下的关系限定：

${\mu }_1=\frac{-R·C+\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

${\mu }_2=\frac{-R·C-\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

-a₁和a₂是由以下的关系限定的值：

$a_1=\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}$

$a_2=\frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}$

用于仅调节滤波器的第一和第二输出点之间的电压U_c的第一阶段，

-用于仅调节线路电流I_l的强度的第二阶段，

-一旦线路电流I_l超出极限I_lm，就从第一阶段切换到第二阶段，并且，一旦线路电流I_l的强度沿相反方向超出同一或另一极限，就从第二阶段切换到第一阶段。

并且，用于调节线路电流I_l的方法的实施例表现出以下的优点：

-通过将线路电流设定值I_lc选择为小于极限I_lmax，一直避免变电站的断路器或车辆本身上的断路器保护设备的过早跳闸，

-通过将线路电流设定值I_lc选择为一直大于极限I_lmin，饱和的电感L被一直保持，并因此这用于维持在线性操作区域内，由此避免电感L在饱和度降低的同时突然释放较高的能量的情况，

-通过使用临时线路电流I_lcm，在限制线路电流I_l的变化的同时一直在可接受操作范围内维持电压U_c，

-在仅调节电压U_c和仅调节线路电流I_l的阶段之间交替用于将电压U_c和线路电流I_l两个方面维持在可接受操作范围内。

用于调节电压U_c或线路电流I_l的方法可包括以下特征中的一个或更多个：

-该方法包括控制变阻器，以与对变流器的控制组合产生流过第一输出端子的电流I_u，该电流I_u在时刻t_i和t_i+1之间的平均强度I_u等于电流设定值I_uc；

-间隔T小于或等于τ/5。

并且，以上的用于调节电压U_c或线路电流I_l的方法的实施例表现出以下优点：

-通过除了变流器以外使用变阻器以产生电流I_u，可以比仅使用变流器的情况更迅速地补偿电压U_c或线路电流I_l的变化，

-通过将间隔T选择为小于或等于τ/5，电流I_u的变化的幅度可被限制，由此改善调节方法的特性。

本发明的另一主题是一种信息记录介质，该信息记录介质包括当被电子计算机执行时实现以上的调节方法中的任一个的指令。

本发明的另一主题是一种电动车辆，该电动车辆包括：

-由两个导体形成的DC总线，

-具有定子时间常数τ的电动车辆的至少一个牵引电机，

-使牵引电机的转矩变化的可控电变流器，

-低通RLC滤波器，包括分别与DC总线的两个导体电连接的两个输入点和与电变流器电连接的第一和第二输出点，

-传感器或估计器，测量或估计在时刻t_i流过滤波器的电感的线路电流I_l的强度I_li、在时刻t_i的滤波器的输出点之间的电压U_ci和滤波器的输入点之间的线路电压U_l，

-计算在时刻t_i和时刻t_i+1之间流过滤波器的第一输出点的DC电流I_u的平均强度I_u的电流设定值I_uc的计算机，根据滤波器的离散化状态方程建立该电流设定值I_uc，以使得在时刻t_i+1电压U_c等于预定的电压设定值U_cc，这些离散化状态方程在分别在时刻t_i和t_i+1的线路电流I_l的强度I_li和I_l，i+1、在时刻t_i和t_i+1的滤波器的输出点之间的电压U_ci和U_c，i+1、时刻t_i和t_i+1之间的平均线路电压U_l和平均强度I_u之间建立关系，

-控制电变流器的控制单元，以产生流过滤波器的输出点的电流I_u，该电流I_u在时刻t_i和t_i+1之间的平均强度I_u等于电流设定值I_uc，时刻t_i和t_i+1之间的时间间隔T严格小于5τ。

本发明的另一主题是另一电动车辆，该电动车辆包括：

-计算在时刻t_i和时刻t_i+1之间流过滤波器的第一输出点的DC电流I_u的平均强度I_u的电流设定值I_uc的计算机，根据滤波器的离散化状态方程建立该电流设定值I_uc，以使得在时刻t_i+1线路电流I_l的强度等于预定的线路电流设定值I_lc，这些离散化状态方程在分别在时刻t_i和t_i+1的线路电流I_l的强度I_li和I_l，i+1、在时刻t_i和t_i+1的滤波器的输出点之间的电压U_ci和U_c，i+1、时刻t_i和t_i+1之间的平均线路电压U_l和平均强度I_u之间建立关系，

-控制电变流器的控制单元，以产生流过滤波器的输出点的电流I_u，该电流I_u在时刻t_i和t_i+1之间的平均强度I_u等于电流设定值I_uc，时刻t_i和t_i+1之间的时间间隔T严格小于5τ。

附图说明

参照附图阅读纯粹作为非限制性例子给出的以下说明，将更好地理解本发明，其中，

图1是配备有电变流器的RLC滤波器上游的电动车辆的示意图，

图2是图1的车辆的RLC滤波器的简化等效电路图，

图3和图4是用于分别调节图1的车辆的RLC滤波器的电压U_c和线路电流I_l的无差拍控制方法的流程图，

图5是用于调节图1的RLC滤波器的电压U_c和线路电流I_l的无差拍控制方法的状态图，

图6是线路电压U_l的扰动的示图，

图7是表示在没有图3和图4的方法的情况下电压U_c、线路电流I_l和电流I_u响应在图6的示图中给出的扰动随时间变化的示图，

图8表示在图7中给出的相同的量对于实现的调节方法是图5的方法的情况随时间变化的示图。

在这些图中，相同的附图标记用于表示相同的条目。

具体实施方式

以下，在本说明书中，本领域技术人员公知的特征和功能不被详细说明。

图1代表配备在高架悬链线6上滑动的导电弓4的电动车辆2。车辆2是例如诸如火车的有轨车辆。悬链线6在本例子中经由以规则的间隔沿悬链线6配置的几个变电站通过直流电源被供电。这些变电站例如相互分开大于几千米的距离。

为了简化图1，仅表示一个变电站8。该变电站8与三相配电网络10连接。变电站8将三相电压转换成输送给网络6的直流电压。一般地，变电站8包含如果悬链线6中的电流越过极限I_lmax则能够将悬链线6与网络10电隔开的断路器12。

车辆2配备意图在于通过传动轴18旋转驱动车辆的主动轮的电机16。

这里，电机16是三相同步或异步电机。该电机16由电变流器20供电，该电变流器20意图在于从直流电压U_c产生供给电机16的三相电压。电机16在拖动模式中工作，并且，作为可替代方案，例如当车辆2制动时作为三相发电机工作。

电机16的定子时间常数τ为4～100ms。

这里，变流器20由并联连接在输入点22和24之间的三个臂形成。各个臂包括通过中间点串联连接的两个可控开关。各中间点与电机16的各个相连接。

点22和24分别通过RLC滤波器30与直流总线的导体26和28连接。

导体26通过诸如例如断路器、变压器和整流器电桥的没有示出的各种设备与导电弓4电连接，以通过悬链线6被供给直流电压。导体28通过铁道的铁轨或可被高架或采取电流返回触靴(current returncontact shoe)在上面滑动的基于地面的铁轨的形式的第二导体与参考电势32电连接。

滤波器30是低通RLC滤波器，其固有周期T_f严格地比电机16的时间常数τ大。优选地，滤波器30的固有周期T_f比电机16的时间常数τ大至少五倍或十倍，使得它可完成其滤波功能。

滤波器30包含分别与导体26和28连接的两个输入点34和36，以在这些输入点之间接收线路电压U_l。滤波器30还包含分别与变流器20的输入点22和24电连接的两个输出点38和40。电阻R和电感L被串联连接在点34和38之间。电阻R和电感L在这里被示为两个单独的物品。但是，在实际中，电阻R和电感L可由诸如绕组的同一个部件形成。

流过电感L的电流由I_l表示，该电流被称为线路电流。

滤波器30还包含直接电连接在输出点38和40之间的电容C。跨过该电容C的端子的电压由U_c表示。流过点38的电流由I_u表示。

车辆2还可包括连接在点38和40以及点22和24之间的电力制动变阻器46。一般地，该变阻器46意图在于当电机16作为发电机工作时或当悬链线6或车辆2没有处于回收制动能量的条件时消耗由电机16产生的电能。例如，变阻器46由与输出点38和40之间的可控开关48串联连接的电阻R_h形成。开关48是可控制的，以调节流过电阻R_h的电流的强度。

车辆2还包括用于另外基于在滤波器30上进行的测量驱动变阻器46和变流器20的单元50。为此，单元50与包含用于执行图3～5的方法中的一种的指令的存储器52连接。存储器52还包含将参照图3和图4进一步详细说明的各种操作极限的值。

单元50由一个或更多个电子计算机构成。

这里，单元50例如由计算机54形成，该计算机54意图在于基于在滤波器30上进行的测量建立对于间隔T上的DC电流I_u的平均强度I_u的设定值(setting)I_uc。

单元50还包含意图在于为了达到设定值I_uc控制变阻器46和变流器20的控制单元56。为此，单元56与变阻器46和变流器20连接。单元56还能够根据对于为了对于车辆2进行加速和制动通过电机16供给的转矩的设定值Γ_c控制变流器20。

图2表示滤波器30的简化电路图，在该图上定义用于线路电压U_l、线路电流I_l、电流I_u和电压U_c的各种符号规约。在图2中给出了分别用于线路电压U_l、电压U_c和线路电流I_l的强度的传感器60、62和64。这些传感器60、62和64与计算机54连接。

图3表示用于调节电压U_c的无差拍控制方法，该方法由驱动单元50实现。

首先，在步骤80中，选择采样周期T。以下，在本说明书中，t_i表示对由传感器60、62和64进行的各种测量进行采样的时刻，t_i+1表示下一采样时刻。这些时刻t_i和t_i+1被时间间隔T分开。

这里，为了使得在单一间隔T上电流I_u的强度没有时间达到其渐近值即U_c/R_m，将间隔T选择为充分地小，这里，R_m是电机16的定子电阻。这是因为，该渐近值可以一直达到比对于电流I_u的强度可接受的上限I_umax高一百倍。为此，间隔T被选择为严格地小于5τ。优选地，间隔T被选择为小于或这里，在电动车辆的背景中，间隔T一般小于20ms。

选择不太小使得电流I_u的强度有时间在时刻t_i和t_i+1之间以明显的方式变化的间隔T也是有益的。为此，这里，间隔T被选择为大于10μs。

然后，在步骤82中，在时刻t_i上测量电压U_c、线路电压U_l和线路电流I_l。这些测量的结果分别由U_ci、U_li和I_li表示。在步骤82中，如果滤波器30的电感L的值随电流I_l变化，那么还能够对该值进行计算。

在下一步骤84中，固定对于电压U_c的电压设定值U_cc。例如，从在前面的采样时刻上测量的电压U_l的平均值定义电压设定值U_cc。在确切地比滤波器30的固有周期T_f大并优选比固有周期T_f大至少十倍的时间周期上产生该平均值。例如，通过使用以下关系确定电压设定值U_cc：

$U_{\mathrm{cc}}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}(U_{\mathrm{li}}-{\mathrm{RI}}_{\mathrm{li}})---\left(1\right)$

这里，

-N是计算平均值所考虑的间隔T的数量，

-电压U_li是在前面的时刻i上测量的线路电压，

-强度I_li是在前面的时刻t_i上测量的线路电流强度I_l，

-R是滤波器30的电阻。

然后，在步骤86中，构建如果在时刻t_i+1上电压U_c等于电压设定值U_cc那么将在时刻t_i+1上达到的电流I_l的强度的估计I_lp。例如，从以下的关系构建估计I_lp：

$I_{\mathrm{lp}}=\frac{{\mu }_1·{\mu }_2·C·(a_2-a_1)·U_{\mathrm{cc}}-(a_1·{\mu }_2·e^{{\mu }_2·T}-a_2·{\mu }_1·e^{{\mu }_1·T})·I_{\mathrm{li}}+{\mu }_1·{\mu }_2·C·[a_1·a_2({\mu }_1-{\mu }_2)·{\bar{U}}_1+(a_1·e^{{\mu }_2·T}-a_2·e^{{\mu }_1·T})·U_{\mathrm{ci}}]}{(a_2·{\mu }_1-a_1·{\mu }_2)}---\left(2\right)$

这里，

-C是滤波器30的电容C的值，

-U_l是间隔T上的电压U_l的平均值，

-μ₁、μ₂、a₁、a₂如下面那样被限定，

-e^x是指数函数。

这里假定线路电压在间隔T上是常数，使得平均值U_l等于U_li。

μ₁和μ₂是滤波器30的演化矩阵(evolution matrix)的特征值。这些值通过以下的关系被限定：

${\mu }_1=\frac{-R·C+\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}---\left(3\right)$

${\mu }_2=\frac{-R·C+\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}---\left(4\right)$

这里，R、C和L分别是滤波器30的电阻R的值、电容C的电容值和电感L的值。

a₁和a₂通过以下的关系被限定：

$a_1=\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}---\left(5\right)$

$a_2=\frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}---\left(6\right)$

在以下的方程组(7)和(8)中估计I_u之后，从滤波器30的以下的离散化状态方程获得关系(2)：

$I_{\mathrm{li}+1}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{ci}+1}=e^{{\mu }_1·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\stackrel{·}{\mu }}_2·C·U_{\mathrm{ci}})+a_1·({\mu }_2·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)---\left(7\right)$

$I_{\mathrm{li}+1}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{ci}+1}=e^{{\mu }_2·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{ci}})+a_2·({\mu }_1·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_1)---\left(8\right)$

这里，

-U_ci和I_li是在时刻t_i上测量的电压U_c和电流I_l的强度，

-I_l，i+1和U_c，i+1是时刻t_i+1的电流I_l的强度和电压U_c。

假定实现的调节方法是无差拍控制方法，在时刻t_i+1上，电压U_c，i+1等于电压设定值U_cc。并且，假定线路电压U_l在间隔T上是常数，那么平均电压U_l等于U_li。在这些条件下，关系(7)和(8)形成具有两个未知数即I_l，i+1和I_u的两个方程的方程组。因此，能够为了获得与值I_l，i+1对应的估计I_lp(2)以解析的方法求解该方程组，消去方程组(7)和(8)中的I_u。

在本说明书的最后的标题为“建立离散化的状态方程”的部分中进一步详细说明获得关系(7)和(8)的方式。

然后，在步骤88中，将估计I_lp与必须在其中维持线路电流I_l的强度的操作极限I_lmin和I_lmax相比较。例如，极限I_lmin被选择为与电感L的饱和状态对应，由此，只要执行图3的方法就用于保持电感L饱和。这表现出避免电感在减小饱和度时突然释放大量的能量的情况的优点。极限I_lmin关于断路器12或关于用于保护车载设备的车辆上的断路器、根据车辆对它们各自的跳闸限制(tripping limit)被限定。对于断路器12，该跳闸限制根据能够在给定时间上在由被断路器12保护的变电站供电的线路的一部分上运行的车辆的数量而与各个车辆有关，例如，变电站的跳闸限制除以车辆的最大数量。

如果估计I_lp没有落入范围[I_lmin，I_lmax]内，那么，在步骤90中，计算机54修改电压设定值U_cc，以获得用于在时刻t_i+1上获得在范围[I_lmin，I_lmax]内的电流I_l的强度的临时电压设定值U_ccm。例如，从以下的关系获得临时电压设定值U_ccm：

$U_{\mathrm{ccm}}=\frac{(a_2·{\mu }_1-a_1·{\mu }_2)·I_{\mathrm{lm}}+(a_1·{\mu }_2·e^{{\mu }_2·T}-a_2·{\mu }_1·e^{{\mu }_1·T})·I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·{\mu }_2·C·[a_1·a_2({\mu }_1-{\mu }_2)·{\bar{U}}_1+(a_1·e^{{\mu }_2·T}-a_2·e^{{\mu }_1·T})·U_{\mathrm{ci}}]}{{\mu }_1·{\mu }_2·C·(a_2-a_1)}---\left(9\right)$

这里，I_lm是从组{I_lmin；I_lmax}选择的线路电流I_l的强度的极限值。

更特别地，如果在步骤86中构建的估计I_lp比极限I_lmin小，那么I_lm被选择为等于I_lmin。否则，即，如果该估计比极限I_lmax大，那么强度I_lm的值被选择为等于极限I_lmax。

关系(9)用于在维持线路电流I_l的强度处于范围[I_lmin，I_lmax]内的同时获得最接近初始电压设定值U_cc的临时电压设定值U_ccm。

在步骤90之后，在步骤92中，计算机54计算对于时刻t_i和t_i+1之间的电流I_u的平均强度的电流设定值I_uc。

如果在步骤88中估计I_lp被包含于范围[I_lmin，I_lmax]内，那么计算机54直接前进到步骤92。

以解析的方式确定设定值I_uc，使得在时刻t_i+1上电压U_c精确地等于电压设定值U_cc，或者，如果步骤90已被执行，那么等于临时电压设定值U_ccm。例如，从以下的关系建立电流设定值I_uc：

${\bar{I}}_{\mathrm{uc}}=\frac{(e^{{\mu }_1·T}-e^{{\mu }_2·T})·I_{\mathrm{li}}+C·[{\mu }_1·{\mu }_2·(a_1-a_2)·{\bar{U}}_1-({\mu }_1-{\mu }_2)·U_{\mathrm{cc}}-({\mu }_2·e^{{\mu }_1·T}-{\mu }_1·e^{{\mu }_2·T})·U_{\mathrm{ci}}]}{(a_2·{\mu }_1-a_1·{\mu }_2)}---\left(10\right)$

在消去方程组(7)和(8)中的I_l，i+1之后，为了从关系(7)和(8)提取未知的I_u求解通过它们限定的离散化的状态方程获得关系(10)。

然后，在步骤94中，将电流设定值I_uc与可接受的预定的操作范围[I_umin，I_umax]相比较。

作为例子，当电机16作为发电机操作时，极限I_umin被选择为等于可由变流器20产生的电流I_u的最小平均强度。该平均值是建立在采样周期T上的。由于电机作为发电机操作，因此，极限I_umin是负的。

极限I_umax对于其一部分例如被选择为等于可被变阻器46吸收的电流的最大平均强度和可被变流器20吸收的电流的最大平均强度的和。可被变流器20吸收的最大平均强度是该变流器的电气特性的函数。可被变阻器吸收的最大平均强度例如由导体26和28之间的最大容许电压U_cmax与电阻R_h的值的比给出。这些平均值是建立在采样周期T上的。

如果电流设定值I_uc处于范围[I_umin，I_umax]内，那么该设定值本身在步骤96中被传送给单元56。否则，两个极限I_umin或I_umax中的一个在步骤98中被传送给单元56。

具体而言，在步骤98中，如果在步骤92中建立的电流设定值I_uc比极限I_umin小，那么极限I_umin作为电流设定值I_uc被传送给单元56。否则，极限I_umax作为电流I_u的平均强度的设定值被传送给单元56。

在步骤96或98之后，在步骤100中，为了产生平均强度等于电流设定值I_uc的电流I_u，在间隔T上，单元56控制变流器20，并在必要时控制变阻器46。具体而言，对于电流设定值I_uc为正的情况，即，当电流被消耗时，单元56可仅控制变阻器46或仅控制变流器20，或者同时控制变阻器46和变流器20，以产生平均强度在间隔T上等于电流设定值I_uc的电流I_u。

例如，如果只有变阻器46被控制，那么从以下的关系计算开关48的占空因数或开口角：

$\alpha =\frac{R_h·{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}}{{\bar{U}}_c}---\left(11\right)$

这里，U_c是时刻t_i和t_i+1之间的电压U_c的平均值。

可例如从以下的关系计算平均值U_c：

${\bar{U}}_c=\frac{U_{\mathrm{cc}}+U_{\mathrm{ci}}}{2}---\left(12\right)$

为了使得平均强度I_u等于电流设定值I_uc，单元56还可修改对于电机16必须产生的转矩的设定值Γ_c。

同时控制变流器20和变阻器46以产生平均强度I_u等于电流设定值I_uc的电流I_u也是可能的。

对于电流设定值I_uc为负的情况，即，当变流器20产生电流时，单元56仅控制变流器20。

在标称点(nominal point)周围，有时沿正方向、有时沿负方向产生平均强度I_u等于设定值I_uc的电流I_u所需要的转矩设定值Γ_c的变化。并且，修改的转矩设定值Γ_c仅在与加速发动机的时间相比非常小的间隔T上持续。因此，车辆2的驾驶员或乘客感觉不到这些非常快的转矩变化。

在步骤100之后，方法返回步骤82。步骤82～100因此在各个采样时刻被重复。

图4表示用于调节线路电流I_l的强度的无差拍控制方法；该方法从与步骤80相同的步骤110开始。然后，在步骤112中，测量电压U_ci、U_li和线路电流I_li。该步骤112例如与步骤82相同。

在步骤114中，固定对于线路电流I_l的强度的线路电流设定值I_lc。设定值I_lc被选择为处于范围[I_lmin，I_lmax]内。例如，I_lc被选择为等于I_lmin或I_lmax。

然后，在步骤116中，如果线路电流I_l的强度在时刻t_i+1上等于线路电流设定值I_lc，那么构建该时刻的电压U_c的估计U_cp。例如，从以下的关系构建电压估计U_cp：

$U_{\mathrm{cp}}=\frac{(a_1·{\mu }_2-a_2·{\mu }_1)·I_{\mathrm{lc}}-(a_1·{\mu }_2·e^{{\mu }_2·T}-a_2·{\mu }_1·e^{{\mu }_1·T})·I_{\mathrm{li}}+{\mu }_1·{\mu }_2·C·[a_1·a_2·({\mu }_1-{\mu }_2)·{\bar{U}}_1-(a_2·e^{{\mu }_1·T}-a_1·e^{{\mu }_2·T})·U_{\mathrm{ci}}]}{(a_1-a_2)·{\mu }_1·{\mu }_2·C}---\left(13\right)$

通过对于I_l，i+1等于I_lc的情况求解由关系(7)和(8)限定的状态方程组，消除方程组(7)和(8)中的I_u，求解关系(13)。

在步骤118中，将电压估计U_cp与可接受操作范围[U_cmin，U_cmax]相比较。

极限U_cmax例如等于导体26和28之间的可接受的最大电压，并且，在超出该极限U_cmax时，变阻器46被操作为削去(clip)超过变流器20的该定尺寸极限的任何电压。

极限U_cmin例如被选择为处于用于在低速下操作的可接受的电压的最小值，在超出该极限U_cmin时，必须从线路对电容器进行再充电。

在步骤120中，如果电压估计U_cp没有落入范围[U_cmin，U_cmax]内，那么线路电流设定值I_lc被修改以获得用于在时刻t_i+1将电压U_c维持在范围[U_cmin，U_cmax]内的临时线路电流设定值I_lcm。例如，这里，为了使得在时刻t_i+1上电压U_c等于极限U_cmin或极限U_cmax，选择临时线路电流设定值I_lcm。例如，为此，从以下的关系构建临时设定值I_lcm：

$I_{\mathrm{lcm}}=\frac{(a_1·{\mu }_2·e^{{\mu }_2·T}-a_2·{\mu }_1·e^{{\mu }_1·T})·I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·{\mu }_2·C·[a_1·a_2({\mu }_1-{\mu }_2)·{\bar{U}}_1-(a_2·e^{{\mu }_1·T}-a_1·e^{{\mu }_2·T})·U_{\mathrm{ci}}-(a_1-a_2)·U_{\mathrm{cm}}]}{a_1·{\mu }_2-a_2·{\mu }_1}---\left(14\right)$

这里，U_cm是选自组{U_cmin；U_cmax}的值。

具体而言，如果估计U_cp比极限U_cmin小，那么值U_cm被选择为等于U_cmin。否则，即，如果估计U_cp比极限U_cmax大，那么值U_cm被选择为等于极限U_cmax。

在步骤120之后，或者，如果估计U_cp落入范围[U_cmin，U_cmax]内，那么实施用于计算对于时刻t_i和t_i+1之间的电流I_u的平均强度的电流设定值I_uc的步骤122。具体而言，如果步骤120已被执行，那么，为了使得确切地在时刻t_i+1上电流I_l的强度等于线路电流设定值I_lc或临时线路电流设定值I_lcm，计算电流设定值I_uc。

例如，从以下的关系计算设定值I_uc：

${\bar{I}}_{\mathrm{uc}}=\frac{({\mu }_1-{\mu }_2)·I_{\mathrm{lc}}-({\mu }_1·e^{{\mu }_1·T}-{\mu }_2·e^{{\mu }_2·T})·I_{\mathrm{li}}+{\mu }_1·{\mu }_2·C·(e^{{\mu }_1·T}-e^{{\mu }_2·T})·(U_{\mathrm{ci}}-{\bar{U}}_1)}{{\mu }_1·{\mu }_2·(a_1-a_2)}---\left(15\right)$

在消去U_c，i+1之后，通过对于I_l，i+1等于I_lc并且I_u的等于I_uc的情况求解由关系(7)和(8)限定的离散化的状态方程组获得关系(15)。

然后，单元56执行分别与图3的方法的步骤94、96、98和100相同的步骤124、126、128、130。

假定驱动单元50不能作用于被悬链线6的电压固定的线路电压U_l，那么只有电流I_u的强度可被控制。在这些条件下，在间隔T上，只能调节电压U_c或线路电流I_l。换句话说，不能同时执行图3和图4的方法。另一方面，能够通过替代性地执行图3和图4的方法替代性地调节电压U_c和线路电流I_l。这具有例如在将线路电流I_l维持在操作范围[I_lmin，I_lmax]内的同时稳定电压U_c的效果。例如，为了防止超过极限I_lmax，执行图5的方法。

图5的方法包括：

-用于通过使用图3的方法调节电压U_c的阶段140；和

-用于通过使用图4的方法调节线路电流I_l的阶段142。

当测量的强度I_li变得严格地比极限I_lmax大时，单元50自动地从阶段140切换到阶段142。

相反，当强度I_li变得小于预定的极限，例如等于I_lmax时，单元50自动地从阶段142切换到阶段140。

因此，只要测量的电流I_l的强度严格地小于极限I_lmax，电压U_c就在各个时刻t_i上保持等于电压设定值U_cc。跟随线路电压U_l的扰动而来的设定值电压U_cc的振荡因此被限制。如果电流I_l的强度超过极限I_lmax，那么放弃调节电压U_c的第一目标，并且出现向阶段142的切换。例如，在阶段142中，线路电流设定值I_lc可被选择为等于极限I_lmax或严格地小于极限I_lmax。测量的线路电流I_l的强度一旦小于或等于极限I_lmax，阶段142就停止，然后切换回到阶段140。

因此，通过及时交替阶段140和142，可以在维持线路电流I_l的强度小于极限I_lmax的同时使得电压U_c稳定化。

类似地，为了维持线路电流I_l的强度大于极限I_lmin，交替执行阶段140和142。

对于在图6上表现的线路电压U_l的扰动的特定情况，示出图5的方法的操作。该扰动包含使得线路电压U_l瞬间从3000伏特降到2400伏特并将等于2400伏特的线路电压U_l维持0.1秒。然后，线路电压U_l瞬间升到3450伏特，并在瞬间返回3000伏特之前保持等于该值0.1秒。在这种情况下瞬间出现线路电压U_l的变化。因此，可以理解，在图6中所表现为的仅是理论的扰动。

用以下的数值从车辆2的模型的模拟获得在图7和图8表现的示图：

-L＝3mH，

-R＝25mΩ，

-C＝18mF，

-U_l＝3000V，

-U_cmax＝3500V，

-I_umax＝470A，

-I_umin＝-470A，

-I_lmax＝2000A，

-R_h＝2Ω.

图7表示对于没有执行用于调节电压U_c或线路电流I_l的方法的情况的电压U_c、线路电流I_l的强度和电流I_u的强度的随时间的变化。可以看到，这导致电压U_c和线路电流I_l的强度的强烈的振荡。

在其它一切相同的条件下，图8表示在实现图5的方法时的响应在图6中表示的扰动的电压U_c、线路电流I_l和I_u的强度的随时间的变化。并且，电压设定值U_cc在这里被选择为在最后的十毫秒上等于线路电压U_l的平均值，以施加该设定值的突然变化，这必然导致产生电流设定值I_uc达到范围[I_umin，I_umax]的极限的情况。应当注意，在这种情况下，仅作说明进行这种选择以表示当设定值I_uc达到极限I_umin或I_umax中的一个时出现什么。实际中，将以使得消除参照步骤82指示的线路电压U_l的扰动的方式选择电压设定值U_cc。

从图8示出的那样，电压U_c被维持为接近电压设定值U_cc。因此，可以理解，使用该方法，即使在线路电压U_l突然变化的情况下也能够很好地控制电压U_c的变化。

并且，如表示电流I_u随时间的变化的示图中的平稳段所示，达到极限I_umax和I_umin，使得在这些平稳段中，电压U_c不严格等于电压设定值U_cc。另一方面，在这些平稳段外面，电压U_c等于电压设定值U_cc。

因此，如图8所示，借助于图5的方法，在将强度I_u和I_l维持在它们各自的操作范围的同时控制电压U_c的变化。

许多其它的实施例是可能的。

例如，在由交流单相电压供给的悬链线的情况下，DC总线的导体26可通过诸如二极管桥式整流器的整流器并通过变压器与导电弓4连接。

可以估计而不是测量线路电流强度I_l和电压U_c中的一个。线路电流的强度I_l和电压U_c也可被估计。

上述说明也适用于直流电机的情况。在这种情况下，变流器20为例如斩波器/下变换器。

最后，应当注意，技术约束可需要使用电流设定值I_uc的近似值而不是由关系(10)或(15)给出的精确值。例如，这些技术约束中的一个是计算机54可产生的小数点后面的数字的位数。因此，在本说明书，从实际的观点，如果以下的互相关系数α比0.9大，那么从由关系(7)和(8)定义的状态方程组建立电流设定值

$\alpha =\frac{1}{\mathrm{NT}}\underset{0}{\overset{\mathrm{NT}}{\int }}\frac{{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}\left(t\right){\hat{I}}_{\mathrm{uc}}\left(t\right)}{\sqrt{{\bar{I}}_{\mathrm{uceff}}{\hat{I}}_{\mathrm{uceff}}}}\mathrm{dt}---\left(16\right)$

这里，

-N是计算互相关系数α所考虑的间隔T的大于20的总数，

-I_uc(t)是从关系(10)或(15)获得的对于电流I_u的平均强度的设定值的精确值，

是由计算机54发送给单元56的设定值I_uc(t)的近似值，

-I_uceff由以下的关系定义：

${\bar{I}}_{\mathrm{uceff}}=\frac{1}{\mathrm{NT}}\underset{0}{\overset{\mathrm{NT}}{\int }}{\bar{I}}_{\mathrm{uc}}^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(17\right)$

由以下的关系定义：

${\hat{I}}_{\mathrm{uceff}}=\frac{1}{\mathrm{NT}}\underset{0}{\overset{\mathrm{NT}}{\int }}{\hat{I}}_{\mathrm{uc}}^2\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(18\right)$

如上所述，互相关系数α代表近似值和精确的电流设定值I_uc之间的相关程度。

优选地，如果必须得到近似值，将以使得上面定义的互相关系数α甚至比0.97或0.99大的方式产生它们。

附录1：

建立用于滤波器30的离散化的状态方程

I-线路滤波器的电工模型

I-1-RLC滤波器的微分方程组

$U_l-U_c=L·\frac{{\mathrm{dI}}_l}{\mathrm{dt}}+R·I_l$

$I_l-I_u=C·\frac{{\mathrm{dU}}_c}{\mathrm{dt}}$

I-2-状态方程组

滤波器是二阶系统，因此它具有两个自由度。状态矢量因此是具有两个维度的矢量。线路电流和电容器的电压可被选择为滤波器的状态矢量的两个坐标：

$\overrightarrow{X}\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}{I}_l\left(t\right)\\ U_c\left(t\right)\end{array}\right)$

这两个变量被测量并因此是已知的。如果事实不是这样，那么必须估计它们中的一个或对其进行观察。

方程组的控制变量是使用电流和线路电压。由于线路电压不能被直接修改，因此它在模型中反映为被测量并且不被计算的控制变量。

$\overrightarrow{V}=\left(\begin{array}{c}{I}_u\\ U_l\end{array}\right)$

可以从以下的微分方程表示由此定义的状态方程组：

$\frac{{\mathrm{dI}}_l}{\mathrm{dt}}=-\frac{R}{L}·I_l-\frac{1}{L}·U_c+\frac{1}{L}·U_l$

$\frac{{\mathrm{dU}}_c}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{C}·I_l-\frac{1}{C}·I_u$

由此导出连续时间状态方程：

$\left(\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dI}}_l}{\mathrm{dt}}\\ \frac{{\mathrm{dU}}_c}{\mathrm{dt}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{I}_l\\ U_c\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{I}_u\\ U_l\end{array}\right)$

通过与以下的连续时间形式的方程组相比较：

$\stackrel{·}{\overrightarrow{X}}=A·\overrightarrow{X}+B·\overrightarrow{V}$

$\overrightarrow{Y}=E·\overrightarrow{X}$

得到：

$\stackrel{·}{\overrightarrow{X}}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right)·\overrightarrow{X}+\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right)·\overrightarrow{V}$

$\overrightarrow{Y}=E·\overrightarrow{X}$

并且，假定测量矢量是状态矢量：

$\left(\begin{array}{cc}A=\left(\begin{array}{cc}-\frac{R}{L}& -\frac{1}{L}\\ \frac{1}{C}& 0\end{array}\right)& B=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right)\end{array}\right)$

E＝I₂

这里，

-I₂是维度2的单位矩阵，

-A是自由演化矩阵(evolution matrix)，

-b是控制矩阵。

II-演化矩阵的对角线化

II-1-演化矩阵的特征方程

矩阵的行列式为：μ·I-A，等于0：

因此，

$\det \left(\begin{array}{cc}\mu +\frac{R}{L}& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& \mu \end{array}\right)=0$

$\mu ·(\mu +\frac{R}{L})+\frac{1}{L·C}=0$

${\mu }^2+\mu ·\frac{R}{L}+\frac{1}{L·C}=0$

II-2-演化矩阵的特征值

存在特征方程的根：

${\mu }_1=\frac{-R·C+\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

${\mu }_2=\frac{-R·C-\sqrt{R^2·C^2-4·L·C}}{2·L·C}$

有意义的是，注意到，在电感不随电流变化的范围内这些特征值是常数，并且它们另外依赖于电流。

这些根验证特征方程：

${\mu }_1·({\mu }_1+\frac{R}{L})={\mu }_2·({\mu }_2+\frac{R}{L})=-\frac{1}{L·C}$

该特征方程可被这样重写：

$({\mu }_i+\frac{R}{L})·{\mu }_i+\frac{1}{L·C}=0$

特征方程还提供特征值的和和积作为值得注意的关系：

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1+{\mu }_2=-\frac{R}{L}& {\mu }_1·{\mu }_2=\frac{1}{L·C}\end{array}\right)$

还可注意到，对于下式获得双根μ₁＝μ₂：

$R=2·\sqrt{\frac{L}{C}}$

该R是临界阻尼电阻。

如果R＝0，那么μ_i＝±i·ω，这里，$\omega =\frac{1}{\sqrt{L·C}}.$复共轭极点被认出。如果R≠0，那么极点是具有负的实部的复共轭，并且，如果电阻在临界阻尼值之上足够大，那么极点是实数的并且是负的。

II-3-演化矩阵的特征矢量

由下式计算它们：

(μ_i·I-A)·∏_i＝0

即，

$\left(\begin{array}{cc}{\mu }_i+\frac{R}{L}& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& {\mu }_i\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{\pi }_{\mathrm{li}}\\ {\pi }_{2i}\end{array}\right)=0$

矩阵的积然后被表示为方程组：

$({\mu }_i+\frac{R}{L})·{\pi }_{\mathrm{li}}+\frac{1}{L}·{\pi }_{2i}=0$

$-\frac{1}{C}·{\pi }_{\mathrm{li}}+{\mu }_i·{\pi }_{2i}=0$

从方程组的第二方程导出下式：

π_1i＝μ_i·C·π_2i

并且，该关系使得第一方程能够被这样重写：

$[({\mu }_i+\frac{R}{L})·{\mu }_i+\frac{1}{L·C}]·{\pi }_{2i}=0$

由于第一因子根据特征方程以相同的方式为零，因此，与π_2i≠0的值无关，总是对于两个特征值验证该方程。

因此，使π₂₁＝-1且π₂₂＝1。由此导出下式：

π₁₁＝-μ₁·C且π₁₂＝μ₂·C

通过特征矢量形成变换矩阵：

$P=\left(\begin{array}{cc}{\pi }_{11}& {\pi }_{12}\\ {\pi }_{21}& {\pi }_{22}\end{array}\right)$

即，

$P=\left(\begin{array}{cc}-{\mu }_1·C& {\mu }_2·C\\ -1& 1\end{array}\right)$

变换矩阵的逆阵列是：

$P^{-1}=\frac{1}{({\mu }_2-{\mu }_1)·C}·\left(\begin{array}{cc}1& -{\mu }_2·C\\ 1& -{\mu }_1·C\end{array}\right)$

II-4-对角矩阵

我们现在可写出下式：

A＝P·D^-1·P^-1

这里，

$\left(\begin{array}{cc}D=\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& 0\\ 0& {\mu }_2\end{array}\right)& D^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mu }_1}& 0\\ 0& \frac{1}{{\mu }_2}\end{array}\right)\end{array}\right)$

III-状态方程的设计

III-1-离散化的的状态方程

通过持续时间T的采样周期的从初始时刻t_i到结束t_i+1的积分获得离散化的状态方程。

${\overrightarrow{X}}_{t_{i+1}}=F·{\overrightarrow{X}}_{t_i}+G·{\stackrel{\bar{\to }}{V}}_{t_i\to t_{i+1}}$

其中，

F＝e^A·T  G＝A^-1·(e^A·T-I)·B

如果代表初始时刻的状态矢量，那么代表状态矢量的预测。现在注意：

${\overrightarrow{X}}_i={\overrightarrow{X}}_{t_i}\mathrm{and}{\overrightarrow{X}}_p={\overrightarrow{X}}_{t_{i+1}}$

使用演化矩阵的变换矩阵P和对角矩阵以计算转移和控制矩阵：

F＝P·e^D·T·P^-1G＝A^-1·P·(e^D·T-I)P^-1·B

离散化状态方程组可被写为：

${\overrightarrow{X}}_p=P·e^{D·T}·P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_i+A^{-1}·P·(e^{D·T}-I)P^{-1}·B·\bar{\overrightarrow{V}}$

III-2-状态矢量的预测

现在仅是通过自左乘(premultiply)变换矩阵的逆矩阵在特征矢量的基中投射(project)离散化状态方程组和隔离状态“特征矢量”的情况。

${P^{-1}·\overrightarrow{X}}_p=e^{D·T}·P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_i+{P^{-1}·A}^{-1}·P·(e^{D·T}-I)P^{-1}·B·\bar{\overrightarrow{V}}$

注意：

P^-1·A^-1·P＝(P^-1·A·P)^-1＝D^-1

简化矢量关系：

$[P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_p]=e^{D·T}·[P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_i]+D^{-1}·(e^{D·T}-I)·[P^{-1}·B]·\bar{\overrightarrow{V}}$

为了简化状态方程的最终形式，将方程的两个成分乘以常数(μ₂-μ₁)·C：

$({\mu }_2-{\mu }_1)·C·[P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_p]=e^{D·T}·({\mu }_2-{\mu }_1)·C[P^{-1}·{\overrightarrow{X}}_i]+D^{-1}·(e^{D·T}-I)·({\mu }_2-{\mu }_1)·C·[P^{-1}·B]·\bar{\overrightarrow{V}}$

状态特征矢量由下式定义：

$\overrightarrow{\Psi }=({\mu }_2-{\mu }_1)·C·[P^{-1}·\overrightarrow{X}]$

$\overrightarrow{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}1& -{\mu }_2·C\\ 1& -{\mu }_1·C\end{array}\right)·\overrightarrow{X}$

$\overrightarrow{\Psi }=\left(\begin{array}{cc}1& -{\mu }_2·C\\ 1& -{\mu }_1·C\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{I}_l\\ U_c\end{array}\right)$

它们的坐标因此为：

$\left(\begin{array}{c}{\Psi }_1\\ {\Psi }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{I}_l-{\mu }_2·C·U_c\\ I_l-{\mu }_1·C·U_c\end{array}\right)$

可通过使用该新定义表达状态矩阵方程，并且，注意，

$e^{D·T}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{{\mu }_1·T}& 0\\ 0& e^{{\mu }_2·T}\end{array}\right)$

${\overrightarrow{\Psi }}_p=e^{D·T}·{\overrightarrow{\Psi }}_i+\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{{\mu }_1}& 0\\ 0& \frac{1}{{\mu }_2}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}{e}^{{\mu }_1·T}-1& 0\\ 0& e^{{\mu }_2·T}-1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}1& -{\mu }_2·C\\ 1& -{\mu }_1·C\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{L}\\ -\frac{1}{C}& 0\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{\bar{I}}_u\\ {\bar{U}}_l\end{array}\right)$

${\overrightarrow{\Psi }}_p=e^{D·T}·{\overrightarrow{\Psi }}_i+\left(\begin{array}{cc}\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}& 0\\ 0& \frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{cc}{\mu }_2& \frac{1}{L}\\ {\mu }_1& \frac{1}{L}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{\bar{I}}_u\\ {\bar{U}}_l\end{array}\right)$

${\overrightarrow{\Psi }}_p=e^{D·T}·{\overrightarrow{\Psi }}_i+\left(\begin{array}{cc}\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}& 0\\ 0& \frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}{\mu }_2·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l\\ {\mu }_1·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l\end{array}\right)$

控制“特征矢量”由下式定义：

$\overrightarrow{\Xi }=\left(\begin{array}{c}{\mu }_2·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l\\ {\mu }_1·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l\end{array}\right)$

现在可以简化的方式写出状态方程组：

${\overrightarrow{\Psi }}_p=e^{D·T}·{\overrightarrow{\Psi }}_i+\left(\begin{array}{cc}\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}& 0\\ 0& \frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}\end{array}\right)·\overrightarrow{\Xi }$

或者，

${\Psi }_{1p}=e^{{\mu }_1·T}·{\Psi }_{\mathrm{li}}+\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}·{\Xi }_1$

${\Psi }_{2p}=e^{{\mu }_2·T}·{\Psi }_{2i}+\frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}·{\Xi }_2$

最后，通过使得：

$\left(\begin{array}{c}{a}_1=\frac{e^{{\mu }_1·T}-1}{{\mu }_1}\\ a_2=\frac{e^{{\mu }_2·T}-1}{{\mu }_2}\end{array}\right)$

“特征”状态方程变为：

$\left(\begin{array}{c}{\Psi }_{1p}=e^{{\mu }_1·T}·{\Psi }_{\mathrm{li}}+a_1·{\Xi }_1\\ {\Psi }_{2p}=e^{{\mu }_2·T}{·\Psi }_{2i}+a_2·{\Xi }_2\end{array}\right)$

现在可通过使用中间变量的定义解释前面的方程组：

$\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{lp}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{cp}}=e^{{\mu }_1·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_2·C·U_{\mathrm{ci}})+a_1·({\mu }_2·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l)\\ I_{\mathrm{lp}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{cp}}=e^{{\mu }_2·T}·(I_{\mathrm{li}}-{\mu }_1·C·U_{\mathrm{ci}})+a_2·({\mu }_1·{\bar{I}}_u+\frac{1}{L}·{\bar{U}}_l)\end{array}\right).$