材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法

摘要

一种材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法，双弹性模量法采用数据合并法和能量比法确定出载荷变形曲线初始直线段以及该段的弹性模量E；在使用曲线平移法后，以初始直线段的终点P

说明书

(一)技术背景：

本发明涉及一种材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法，简 称双弹性模量法，属于材料力学性能测试领域中的数据处理，以及绘制载荷变 形曲线并确定弹性模量的材料试验机。

(二)背景技术：

材料试验机绘制的某些材料的载荷变形曲线初始直线段很短，这些试验曲 线常常被称为没有明确的初始直线部分。由于只有直线段才能使用线性虎克定 律，所以这些材料直线段以上的弹性区间承载能力没有得到充分利用。为了利 用虎克定律计算出这些材料较大的承载力，扩大虎克定律的应用范围，工程上 采用了弦线模量法。该方法对于破断力为P_b的初始直线段很短的脆性材料，通 过拉伸变形曲线上力值为0.1P_b和0.5P_b的两个点作直线，根据直线斜率求出弹 性模量；对于非比例伸长力为P_0.2的初始直线段很短的塑性材料，通过拉伸变 形曲线上力值为0.1P_0.2和0.5P_0.2的两个点作直线，根据直线斜率求出弹性模量。

这种方法，实质上就是将计算弹性模量的直线作水平移动，使直线通过坐 标原点，以这条平移以后的通过原点的直线代替0.5P_b和0.5P_0.2高度以下的拉 伸变形曲线。这种书本和标准化手册中提供的近似弹性模量，虽然提高了虎克 定律的应用范围，却人为地将曲线区域视为直线区域，使计算出的力与变形偏 离实际值过大，实用价值很低。

(三)发明内容：

鉴于上述问题，本发明的目的是提出一种既能扩大线性虎克定律的应用范 围，又能精确计算出材料的受力与变形，使材料的承载能力得到充分发挥的方 法。

本发明的另一目的是提供一种融合采用数据合并方式获得材料载荷变形曲 线的方法、确定材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数的方法、采用曲 线平移法处理材料载荷变形曲线的法和材料载荷变形曲线初始直线段很短时的 双弹性模量法等等方法的将材料受力变形的非线性计算转化成线性计算的方 法。

本发明的再一目的是提供一种可广泛用于拉伸、压缩、弯曲、扭转以及剪 切等材料载荷变形曲线初始直线段很短时能扩大线性虎克定律应用范围和计算 精度的方法。

通过以下技术方案来实现上述目的：

本发明一种材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法，该方法 包括以下步骤：

(1)在确定了初始直线段两端点P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_iP，y_iP)、弹性模量E、 比例伸长力P_p和比例极限σ_p之后；对于脆性材料，确定出破断力P_b，对于无屈 服阶段的塑性材料，确定出非比例伸长力P_p0.2，简称P_0.2；

(2)在曲线上找一点P_C，对脆性材料，0.5P_b≤P_c≤0.55P_b，对于无屈服阶段 的塑性材料，0.5P_0.2≤P_c≤0.55P_0.2；

(3)满足条件判别式P_P＜P_C的试验曲线，视为初始直线段很短，需要画出一 条补充直线，补充直线的起点为初始直线段的终点P_p点，终点为P_p点上方的P_c点；

(4)根据补充直线的起点P_p点和终点P_c点坐标算出弹性模量E₁，根据P_c点 力值算出应力σ_c；

(5)根据E、σ_p写出初始直线段的线性虎克定律，根据E、σ_p、E₁和σ_c写 出补充直线段的线性虎克定律。

其中，在步骤(1)中确定初始直线段的两端点P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_iP，y_iP) 使用的是确定材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数的方法；初始直线 段的弹性模量$E=\frac{(y_{\mathrm{ip}}-y_{\mathrm{io}})L_e}{(x_{\mathrm{ip}}-x_{\mathrm{io}})A_0};$比例极限${\sigma }_p=\frac{y_{\mathrm{ip}}}{A_0};$其中L_e是引伸计跨度；A₀是试 件横截面面积。

其中，在步骤(4)中所述的补充直线段弹性模量E₁的计算公式为 $E_1=\frac{(y_{\mathrm{ic}}-y_{\mathrm{ip}})L_e}{(x_{\mathrm{ic}}-x_{\mathrm{ip}})A_0},$公式中x_ip、y_ip表示补充直线段起点P_p(x_iP，y_iP)点的坐标，x_ic、 y_ic表示补充直线段终点P_c(x_ic，y_ic)点的坐标，L_e是引伸计跨度，A₀是试件横 截面面积，E₁是补充直线段的弹性模量；补充直线段终点的应力σ_c的计算公式 为${\sigma }_c=\frac{y_{\mathrm{ic}}}{A_0},$其中y_ic是补充直线段终点P_c点的纵坐标，σ_c是补充直线段终点的 应力。

其中，在步骤(5)中所述初始直线段的虎克定律为ε＝σ/E，其中0≤σ≤ σ_p，此公式不仅是线性的，而且应力σ与应变ε成正比。

其中，在步骤(5)中所述补充直线段的虎克定律为ε＝σ/E₁-(1/E₁-1/E)σ_p， 其中σ_p≤σ≤σ_c，此公式是线性的，但有一项常数项，所以应力σ与应变ε不 成正比。

其中，该材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法可用于材料 受到拉伸、压缩、弯曲、扭转和剪切时初始直线段很短的载荷变形曲线，使虎 克定律的应用范围和计算精度大大提高，因而具有良好的工程应用价值。

本发明的方法所使用的材料试验机，包括试验机主体、试验数据采集处理 系统及显示器，该材料试验机在完成材料测试后，试验数据采集处理系统自动 采用上述的方法来获得材料载荷变形曲线，并在显示器中显示。

对该材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法进一步说明如 下：

完成了曲线平移法后的载荷变形曲线，所有的力学参数都已求出，如果是 比例伸长力P_p很低的脆性材料，就在特定区间内找一点P_c，0.5P_b≤Pc≤0.55P_b， 当P_p＜P_c时，就以初始直线段终点P_p为起点，P_c点为终点，画出一条补充直线。 P_c点最好选靠近0.5P_b的值。如果是比例伸长力P_p很低的塑性材料，是不会有 屈服阶段的，这时就用平行线法确定出非比例伸长力P_0.2，然后在特定区间内找 一点P_c，0.5P_0.2≤P_c≤0.55P_0.2，当P_p＜P_c时，就以初始直线段终点P_p为起点，P_c点为终点，画出一条补充直线。P_c点最好选择靠近0.55P_0.2的值。这样选出的 P_c点的应力σ_c与脆性材料和塑性材料的许用应力接近。

试验曲线初始直线段的两个端点P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_iP，y_iP)的坐标，决 定了初始直线段的弹性模量E和比例极限σ_p；弹性模量$E=\frac{(y_{\mathrm{ip}}-y_{\mathrm{io}})L_e}{(x_{\mathrm{ip}}-x_{\mathrm{io}})A_0};$比例极 限${\sigma }_p=\frac{y_{\mathrm{ip}}}{A_0};$其中L_e是引伸计跨度；A₀是试件横截面面积。

补充直线段的弹性模量E₁也是由该直线段的两个端点坐标决定的。

E₁＝(y_ic-y_ip)L_e/(x_ic-x_ip)A_o，其中(x_ip，y_ip)是补充直线段的起点P_p点坐标， (x_ic，y_ic)是补充直线段的终点P_c点坐标，L_e是引伸计跨度，A₀是试件的横截 面面积。

σ_c＝y_ic/A₀，其中y_ic是补充直线段的终点纵坐标。

E和E₁就是双弹性模量，他们是两个虎克定律的核心参数。从原点到曲线 平移后的P_p点之间的这条直线，虎克定律是线性的，并且载荷与变形成正比， 也即应力与应变成正比，公式为：

ε＝σ/E，(0≤σ≤σ_p)

或写成：σ＝Eε，(0≤ε≤ε_p，其中ε_p＝σ_p/E)

从P_p点到P_c点的这条包含两个弹性模量的补充直线的虎克定律也是线性 的，但是应力与应变不成正比，因为后面有一项常数项，公式为

ε＝σ/E₁-(1/E₁-1/E)σ_p，(σ_p≤σ≤σ_c)

或写成：σ＝E₁ε+(1-E₁/E)σ_p，(ε_p≤ε≤ε_c，其中ε_c＝ε_p+(σ_c-σ_p)/E₁)。 双弹性模量法的核心思想是将从原点到P_c点这样一段曲线转换成从原点到P_p点，再从P_p点到P_c点这样一段折线，即两段直线，将一个复杂的非线性问题转 换成了两个简单的线性问题。这种方法，扩大了线性虎克定律的应用范围和计 算精度，具有弦线模量无可比拟的优点，因此具有良好的实际应用价值。

从材料试验机中取出对某一材料测试所获得的数据，对这些数据使用能量 比法和曲线平移法；如果是模拟式试验机和精度欠佳的数字式试验机完成的测 试，则要先使用数据合并法进行预处理，再使用能量比法和曲线平移法。具体 的使用方法可以参见申请人同时申请的发明名称为《采用数据合并方式获得材 料载荷变形曲线的方法》、《确定材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数 的方法》和《采用曲线平移法处理材料载荷变形曲线的法》的专利申请。

采用数据合并方式获得材料载荷变形曲线的方法，简称数据合并法；确定 材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数的方法，简称能量比法；采用曲 线平移法处理材料载荷变形曲线的法，简称曲线平移法。

上述数据合并法、能量比法和曲线平移法的内容如下：

数据合并法的主要内容是：

将变形值x_i相同的数据点分成一组，求出每组数据点中所有载荷值y_i的平 均值y_i，从而合并为新数据点(x_i，y_i)；将新数据点(x_i，y_i)在坐标系中显 示，从而获得该材料的载荷变形曲线。算出平均值y_i之后，还进一步包括是否 选择：舍去每一组中离平均值y_i最远的一个或几个载荷值y_i，然后再一次求出 该组的平均值，从而合并为新数据点(x_i，y_i)，使曲线更光滑。

能量比法的主要内容是：

a、从材料试验机中取出对某一材料进行测试所获得的数据，当数据点前 后蹦跳时，要采用数据合并方式获得材料载荷变形曲线的方法后的数据，例如 采用数据合并方式获得材料载荷变形曲线的方法，将所述数据构建于横轴为伸 长，纵轴为载荷的坐标系中，形成数据点组成的试验曲线；

b、使用两数据点之间直线下的面积作分子，曲线下的面积作分母的能量 比法，即根据确定材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数的方法确定出 试验曲线初始直线段的起点P₀和终点P_P，并显示P₀点和P_P点；

c、根据初始直线段的终点P_P算出比例极限σ_P；

d、根据初始直线段的起点P₀和终点P_P算出弹性模量E；

e、用直线连接初始直线段的两个端点，延长此直线与横轴相交，显示此 直线及延长线；

f、输出有关数据和力学性能参数，包括试件尺寸、试验速度、材料的弹 性模量、比例极限、强度极限、破断力。

其中，在步骤b中用确定材料载荷变形曲线初始直线段和力学性能参数的 方法确定初始直线段的两个端点包括以下步骤：

(1)、选定许用能量比aR_u；

(2)、确定曲线中数据点的序号及坐标，规定整条曲线中数据点的序号为 i，坐标表示为(x_i，y_i)；规定整条曲线中的一段初始曲线的起点序号为i₀，坐 标为(x_i0，y_i0)；终点序号为i_P，坐标为(x_ip，y_ip)；

(3)、选定一组序号i₀和i_p，应用公式$U={\Sigma }_{i=i_0}^{i_p-1}0.5(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x_i)$求出数 据点序号i₀和i_p之间的曲线区域能量，其中：U代表数据点序号i₀和i_p之间曲 线下的面积，x_i代表数据点的横坐标，y_i代表数据点的纵坐标；

(4)、应用公式U₀＝0.5(y_i0+y_ip)(x_ip-x_i0)求出数据点序号i₀和i_p之间直线下 的面积，这是一个大梯形的面积，是一种理想化能量，其中：U₀是数据点序号 i₀和i_p之间直线下的面积，(x_i0，y_i0)和(x_ip，y_ip)是数据点序号i₀和i_p对应的 坐标值；

(5)、应用公式$R_U=\frac{U_0}{U}$计算出能量比，其中R_U代表能量比，其理想取值为1， U₀是数据点序号i₀和i_p之间直线下的面积，U代表数据点序号i₀和i_p之间曲线 下的面积；

(6)、令数据点不断变化，当i_P是使R_U大于等于aR_U的最后一个数据点序号 时，序号i₀和i_P之间的线段才可以视为初始直线段，并用P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_iP，y_iP)表示初始直线段的起点和终点。

其中，在步骤(1)中，aR_U可以选定的数值范围为0.9-1.1。

其中，aR_U可以设定的数值范围进一步为0.950-0.999，0.950常常用于初 始直线段很短的试验曲线，0.999常常用于初始线段很长的试验曲线，当初始 直线段右凸左凹时，计算出的R_U会大于1。

其中，在步骤(3)中，i₀可以选定的范围为2-7。

其中，在步骤c中应用公式${\sigma }_P=\frac{y_{\mathrm{iP}}}{A_0}$求出比例极限σ_P；其中σ_P是比例极限， y_iP是初始直线段终点的纵坐标，A₀是试件的横截面面积。

其中，在步骤d中应用公式$E=\frac{(y_{\mathrm{iP}}-y_{i0})L_e}{(x_{\mathrm{iP}}-x_{i0})A_0}$求出弹性模量；其中E是弹性模 量，x_i0，y_i0是初始直线段起点的坐标；x_iP，y_iP是初始直线段终点的坐标；L_e是 引伸计跨度，A₀是试件的横截面面积。

曲线平移法的主要内容是：

采用曲线平移法处理材料载荷变形曲线的方法，包括以下步骤：

(a)、用由材料试验机获得的初始直线段的两个端点P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_ip，y_ip) 之后，作两端点连线并使连线向下延长，使延长线与横轴相交，将该交点的 坐标记作(ΔX，0)；

(b)、用公式$\mathrm{\Delta X}=x_{i0}-y_{i0}\frac{(x_{\mathrm{ip}}-x_{i0})}{(y_{\mathrm{ip}}-y_{\mathrm{io}})},$算出ΔX并输出；

(c)、将载荷变形曲线、初始直线段两端点的连线及延长线一起水平移动- ΔX，使延长线通过坐标原点；

(d)、当数据点前后蹦跳时，要采用数据合并方式获得材料载荷变形曲线 的方法后的数据画出的曲线。

其中，在步骤(a)中所述的初始直线段两端点，是使用确定材料载荷变形 曲线初始直线段和力学性能参数的方法确定的。

其中，对于没有屈服极限的塑性材料，只有在完成曲线平移后，才能按平 行线法来确定非比例伸长应力并显示出该点；最后，输出试验曲线上关键点， 包括比例极限点、上下屈服点、最高力值点和破断点的应力和应变并显示出关 键点。

其中，曲线平移后的初始直线段的上端点P_P到坐标原点的直线就是力与变 形成正比的虎克定律及应用范围的直观几何图形。

其中，用平行线法确定非比例伸长应力的步骤应该按力学测试标准进行： 从坐标原点向右侧水平轴找到引伸计长度千分之二的那个点；从该点向上作初 始直线段两端连线的平行线与已经平移过的曲线相交，交点就是要确定的点并 显示该交点；用交点的纵坐标，即力值，除以试件横截面面积，得到非比例伸 长应力；用交点的横坐标，即伸长值，除以引伸计跨度，得到非比例伸长应变； 输出此应力和应变。

其中，曲线上的关键点包括比例极限点、上下屈服点、最高力值点和破断 点，它们的变形值必须加上-ΔX，才是精确值。

对于模拟式试验机和精度欠佳的数字式试验机采集的数据，由于前后蹦跳， 要先进行数据合并，用数据合并法后的数据画出载荷变形曲线，再用能量比法 确定曲线上初始直线段的两个端点，才能使用曲线平移法。对性能良好的数字 式试验机给出的试验曲线，先使用能量比法，再用曲线平移法。

本发明的优点及功效在于：提出一种既能扩大线性虎克定律的应用范围， 又能精确计算出材料的受力与变形，使材料的承载能力得到充分发挥的方法。

(四)附图说明：

图1为铸铁-2的拉伸曲线与确定双弹性模量的两条直线。

图2为黄铜-2的拉伸曲线与确定双弹性模量的两条直线；

图3为双弹性模量法的N-S流程图。

图中符号说明如下：

Load载荷      Extension变形

(五)具体实施方式：

本发明一种材料载荷变形曲线初始直线段很短时的双弹性模量法，该方法 包括以下步骤：

(1)在确定了初始直线段两端点、弹性模量E、比例伸长力P_p和比例极限 σ_p之后；对于脆性材料，确定出破断力P_b，对于无屈服阶段的塑性材料，确定 出非比例伸长力P_p0.2，简称P_0.2；

(2)在曲线上找一点P_C，对脆性材料，0.5P_b≤P_c≤0.55P_b，对于无屈服阶段 的塑性材料，0.5P_0.2≤P_c≤0.55P_0.2；

(3)满足条件判别式P_P＜P_C的试验曲线，视为初始直线段很短，需要画出一 条补充直线，补充直线的起点为初始直线段的终点P_p点，终点为P_p点上方的P_c点；

(4)根据补充直线的起点P_p点和终点P_c点坐标算出弹性模量E₁，根据P_c点 力值算出应力σ_c；

(5)根据E、σ_p写出初始直线段的线性虎克定律，根据E、σ_p、E₁和σ_c写 出补充直线段的线性虎克定律。

其中，在步骤(1)中确定初始直线段的两端点P₀(x_i0，y_i0)和P_P(x_iP，y_iP) 使用的是能量比法；初始直线段的弹性模量$E=\frac{(y_{\mathrm{ip}}-y_{\mathrm{io}})L_e}{(x_{\mathrm{ip}}-x_{\mathrm{io}})A_0};$比例极限${\sigma }_p=\frac{y_{\mathrm{ip}}}{A_0};$其中L_e是引伸计跨度；A₀是试件横截面面积。

其中，在步骤(4)中所述的补充直线段弹性模量E₁的计算公式为 $E_1=\frac{(y_{\mathrm{ic}}-y_{\mathrm{ip}})L_e}{(x_{\mathrm{ic}}-x_{\mathrm{ip}})A_0},$公式中x_ip、y_ip表示补充直线段起点P_p(x_iP，y_iP)点的坐标，x_ic、 y_ic表示补充直线段终点P_c(x_ic，y_ic)点的坐标，L_e是引伸计跨度，A₀是试件横 截面面积，E₁是补充直线段的弹性模量；补充直线段终点的应力σ_c的计算公式 为${\sigma }_c=\frac{y_{\mathrm{ic}}}{A_0},$其中y_ic是补充直线段终点P_c点的纵坐标，σ_c是补充直线段终点的 应力。

其中，在步骤(5)中所述初始直线段的虎克定律为ε＝σ/E，其中0≤σ≤ σ_p，此公式不仅是线性的，而且应力σ与应变ε成正比。

其中，在步骤(5)中所述补充直线段的虎克定律为ε＝σ/E₁-(1/E₁-1/E)σ_p， 其中σ_p≤σ≤σ_c，此公式是线性的，但有一项常数项，所以应力σ与应变ε不 成正比。

本发明将以全自动方式完成双弹性模量法的各种计算、图形与公式的显示， 力学性能参数的输出，结合附图对所述方法具体说明如下：

将材料试验机测试所获得的某一材料载荷变形数据使用能量比法和曲线平 移法；将模拟式试验机和精度欠佳的数字式试验机采集的数据，先采用数据合 并法，再使用能量比法和曲线平移法。完成曲线平移后的试验曲线，所有的材 料力学性能参数都已求出，参数包括弹性模量E，比例伸长力P_p，比例极限σ_p， 脆性材料的破断力P_b，没有屈服阶段的塑性材料的非比例伸长力P_0.2，而且与上 述参数有关的关键点和曲线初始直线段两端连线及其延长线也已在计算机屏幕 中建立的坐标平面中显示出来了。

如果是脆性材料，只要比例伸长力P_p小于P_c，0.5P_b≤Pc≤0.55P_b，图形下方 就会自动出现需要用户填入P_c等于多少P_b的填空框，并会显示出选值范围为0.5 -0.55，靠近0.5为佳；

如果是没有屈服阶段的塑性材料，只要比例伸长力P_p小于Pc， 0.5P_0.2≤Pc≤0.55P_0.2，图形下方也会自动出现需要用户填入P_c等于多少P_0.2的填 空框，并会显示出选值范围为0.5-0.55，靠近0.55为佳。

不管是脆性材料还是塑性材料，只要填入所需要数值，就会选出最接近所 需力值的那个数据点作为P_c点，并将P_p点与P_c点用直线连接起来，在求出补充 直线的弹性模量E₁和P_c点的应力σ_c之后，在指定框中显示E₁和σ_c的同时，还 会在专门的框中显示出两线性虎克定律的表达式及它们的应力范围，其显示的 后者内容如下：

从原点到曲线平移后的P_p点之间的这条直线，虎克定律是线性的，并且载 荷与变形成正比，也即应力与应变成正比，公式为

ε＝σ/E，(0≤σ≤σ_p)

或写成：σ＝Eε，(0≤ε≤ε_p，其中ε_p＝σ_p/E)

从P_p点到P_c点的这条包含两个弹性模量的补充直线的虎克定律也是线性 的，但是应力与应变不成正比，因为后面有一项常数项，公式为

ε＝σ/E₁-(1/E₁-1/E)σ_p，(σ_p≤σ≤σ_c)

或写成：σ＝E₁ε+(1-E₁/E)σ_p，(ε_p≤ε≤ε_c，其中ε_c＝ε_p+(σ_c-σ_p)/E₁)。

图1中所示为铸铁-2的拉伸曲线与确定双弹性模量的两条直线。其中选定 许用能量比aR_u＝0.95，实际算出的能量比R_u＝0.954，比例伸长力P_p＝5260.408N， 比例极限σ_p＝74.21339MPa，P_c点的应力σ_c＝114.4274MPa，初始直线段的弹 性模量E＝225.5534GPa，补充直线段的弹性模量E₁＝114.4274GPa，破断力 P_b＝15997.76N，P_c点的力值P_c＝0.507P_b＝8110.868N，0.5P_b＜P_c＜0.55P_b，P_c靠近 0.5P_b。

图2为黄铜-2的拉伸曲线与确定双弹性模量的两条直线。其中：许用能量 比aR_u＝0.95，计算出的能量比R_u＝0.952，比例伸长力P_p＝900.6354N，比例极限 σ_p＝45.86714MPa，P_c点的应力σ_c＝85.39795MPa，弹性模量E＝87.70976GPa， 补充直线段的弹性模量E₁＝60.26037GPa，非比例伸长力P_0.2＝3063.962N， P_c＝0.547P_0.2＝1676.852N，0.5P_0.2＜P_c＜0.55P_0.2，P_c靠近0.55P_0.2。