表面地形的重新构建

摘要

重新构建物体表面的系统包括输入端120，输入端120用于接收表示物体表面的2维测量网格。对于每个网格点，测量包括关于在x方向和y方向上的该表面的斜率的相应信息。处理器100在程序的控制下操作，选择2维网格部分，并且使该表面的相应部分符合于在所选择的部分内的所有网格点的测量值。对于所选择部分的每个网格点，符合是基于相应的第一和第二斜率信息的；该系统的输出端160给用户提供至少重新构建表面部分的表示。

说明书

本发明涉及一种重新构建物体表面的方法，其中物体由2维测量网格表示。对于每个网格点，测量包括关于在第一方向上的该表面的第一斜率和在不同的第二方向上的该表面的第二斜率的相应信息。本发明还涉及用于执行这种方法的软件，以及用于重新构建物体表面的系统。

例如硅片等物体的表面，能够从测量的斜率重新构建。一般通过沿多条线扫描表面并测量斜率来测量这些斜率。测量结果产生2维网格，其中对于每个网格点给出在“水平”方向上的斜率和在“垂直”方向上的斜率。这种测量方法可以使用偏斜测量法(deflectometry)得到，其中光(例如，来自于激光器)投射到表面并且测量反射角度，提供在该斜率上的信息。图1示出了典型的等距测量网格，沿着矩形坐标线具有多个测量点。

对于多种应用，实际表面(即表面的地形)需要基于测量的斜率进行确定。当前的重新构建算法是基于沿着一条穿过该测量网格的路经执行线积分。例如，通过沿着每条“水平”路径(即与坐标线之一平行的每条路经)执行这种线积分，能够重新构建地形。对于沿着该线路的每个点，线积分使用在该网格点处在该路径的方向上测量的斜率。通常，测量的斜率包括测量误差。沿着该路径的积分在该路径方向上的这些斜率上积累了所有的测量误差。这样，因此，不唯一确定在网格点处确定的表面地形，而依赖于穿过网格所选择的路径。例如，线积分沿着一条闭合路径，如路径从(i，j)到(i+1，j)，到(i+1，j+1)，到(i，j+1)并返回到(i，j)，通常将不给出该表面地形的开始值。

通常，这种测量将不产生具有沿着矩形坐标线的多个测量点的图1的矩形等距测量网格。实际上，测量扫描线并不总是直的，而可以是弯曲的。如果所使用的扫描系统仅能在扫描期间获得一个方向上的斜率信息，那么就需要在两个方向上进行扫描。在这种情况下，在一个方向上的测量点可以不与在另一个方向上的测量点完全成直线排列。为了补偿测量中的不规则性，通常执行校准程序来修正测量点的位置以获得理想的等距矩形测量网格。这种校准通常基于插值，其本身在测量中引入了另外的误差，并且是耗费时间的。

本发明的一个目的是提供一种改进的方法，重新构建表面地形。另一个目的是提供用于执行这种方法的软件以及用于执行这种方法的系统。

为了达到本发明的目的，在重新构建物体表面的方法中，物体由2维测量网格表示，对于每个网格点，测量包括关于在第一方向上的该表面的第一斜率和在不同的第二方向上的该表面的第二斜率的相应信息，该方法包括选择2维网格部分，并且使该表面的相应部分符合于(fitting)在所选择的部分内的所有网格点的测量值，其中对于所选择部分的每个网格点的符合是基于相应的第一和第二斜率信息的。通过执行基于所选择部分的所有测量的斜率的符合，局部测量误差的影响显著减小到主要误差范围内。根据这种方法，更多的测量完全用于这种重新构建。代替于沿着一维路径执行积分操作，现在执行2维符合操作，涉及更多的测量数据。此外，代替于仅使用每个涉及的网格点的一个测量斜率，现在使用两个斜率。这显著减少了测量误差的传播。优选地，用户能够指示出期望根据本发明进行精确重新构建的区域。所选择区域之外，可以执行传统的重新构建。在一个优选实施例中，如在从属权利要求4中所描述的，在基本上由网格测量表示的整个表面上执行根据本发明的符合。

根据从属权利要求2的措施，通过一种最小二乘方最小化操作执行这种符合。这是一种有效的最小化符合误差的方法。

根据从属权利要求3的措施，通过求解方程来执行该最小二乘方最小化操作，该方程描述了肥皂膜的形状，肥皂膜加载有等于斜率向量的发散度的压力场，斜率向量包括第一和第二斜率信息。发明人认为通过这种方式根据本发明的表面符合能够以一种与描述加载有压力场的肥皂膜形状相似的方式来表示。这使得能够利用已知的用于确定这种肥皂膜形状的方法来确定表面地形。

根据从属权利要求5的措施，对于每个网格点使用偏斜测量法来测量第一和第二斜率。

为了达到本发明的目的，计算机程序产品可操作地使处理器执行如权利要求1中所述的方法的步骤。

为了达到本发明的目的，重新构建物体表面的系统包括输入端、处理器和输出端。输入端用于接收表示物体表面的2维测量网格，其中对于每个网格点，测量包括在第一方向内的该表面的第一斜率上和在不同的第二方向内的该表面的第二斜率上的相应信息；处理器用于在程序的控制下，选择2维网格部分，并且使该表面的相应部分符合于在所选择的部分内的所有网格点的测量，其中对于所选择部分的每个网格点的符合是基于相应的第一和第二斜率信息的；输出端用于提供至少重新构建表面部分的表示。

根据从属权利要求8的措施，该系统包括测量单元，用于为测量网格的每个测量点测量相应的第一和第二斜率信息。

根据从属权利要求9的措施，测量是沿着非直线进行的；测量网格直接用于重新构建。根据本发明的方法和系统执行一种符合，只要能够在多个测量点(类似于在FEM网中属于有限单元的节点)之间建立连接，那么就进行符合。不要求整齐地排列网格，例如在两个方向上的多个测量点形成等距x，y或r、φ网格。要求对用于重新构建的网格不校准测量网格，以避免引入附加误差。

根据从属权利要求10的措施，测量单元包括偏斜测量法测量单元。

参照以下说明的实施例，将阐明本发明的这些和其它方面，并且它们是显而易见的。

附图中：

图1示出了对应于测量网格的四边形有限单元网；

图2示出了能够使用本发明的系统的方框图；

图3示出了由三角形单元组成的有限单元网；

图4示出了在以四个单元示出的单元网上的分段双线性基函数；

图5A和B示出了从使用根据本发明的方法从精确斜率中获得的示例性的初始表面以及重新构建的表面；

图6示出了离散误差，即在重新构建的表面和精确确定的表面之间的差值；

图7示出了精确斜率、包括有用于重新构建表面的噪声的斜率、重新构建的表面和在重新构建的表面内的误差。

图2示出了能够使用本发明的系统的方框图。在这个示例系统中，处理器100加载了适当的程序，执行表面地形的重新构建。程序可以存储在永久存储器150上，例如硬盘，并且由随机存储器执行，例如DRAM(未示出)。处理器对从输入端150接收的测量值进行操作。输入可以从测量系统130接收。测量系统130可以在该系统的外部，在该情况下可以通过适当的通信系统(例如，有线或无线LAN或广域网，例如Internet)接收测量值。优选地，测量系统是系统用于重新构建这个表面的部分。有利地，测量系统是偏斜测量法系统，例如如在此引入作为参考的US或US中所描述的系统。以描述为目的，假定为多个测量点的2维网格提供测量，其中对于每个点给定在x轴和y轴方向上的斜率。本方法同样良好地工作在其它适当的坐标系中，例如使用r、φ网格。它不要求整齐地排列网格，例如在两个方向上的测量点形成等距x，y网格；能够在测量点(类似于在FEM网中属于有限单元的节点)之间建立连接是充足的。

输入端120还能够接收来自用户的输入。所示的输入装置，例如是鼠标140和键盘150。通过包括显示器的输出装置160可以提供输出给用户。特别是输入可以使用户指示表面(和/或网格)区域，其中要求精确重新构建该表面。对于其它区域，可以进行传统的重新构建。这种传统的重新构建可以用于重新构建所选择区域的边缘。下面，将描述根据本发明的重新构建方法。

重新构建方法：

考虑域DR²，在其上使用偏斜测量法测量系统测量未知表面的地形。使用这种测量系统，测量未知表面 $>>z>=>z>>(ver>>x>\to >>)>>>s>的斜率如果没有产生测量误差，那么描述这个表面的未知函数满足：$

$>ver>>▿>\to >>z>>(ver>>x>\to >>)>>=ver>>N>\to >>>(ver>>x>\to >>)>>,ver>>x>\to >>\in >D>->->->>(>1>)>>>s>$

因此，除了常数函数z＝z₀还确定表面通过在某个点 $>>ver>>x>\to >>0>>\in >D>>s>指定这个表面，获得了唯一的表面，从而$ >>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>.>>s>$$

通常，测量的斜率包括测量误差。那么，因为在所有情况中 $>>rot>>(ver>>N>\to >>)>>=ver>>▿>\to >>\times ver>>N>\to >>\ne >0>,>>s>不存在满足(1)的函数，所以很可能不存在满足(1)的函数然而，能够在域D内沿着一条从到的路经来积分(1)以获得表面地形的值$

$>>z>>(ver>>x>\to >>)>>=>>z>0>>+>>\int >>\Gamma >>(ver>>x>\to >>,>ver>>x>\to >>0>>)>>>ver>>N>\to >>·>dver>>s>\to >>->->->>(>2>)>>>s>$

注意，如果 $>>rot>>(ver>>N>\to >>)>>\ne >0>,>>s>那么这些值依赖于路经并且因此不是唯一的。通过沿着一条封闭表面\Omega$_Γ的闭合路径执行线积分(2)，并且使用斯托克斯定理(Stokes theorem)，就可以看到，因此

$>>>\int >>\Gamma >>(>ver>>x>\to >>0>>,ver>>x>\to >>)>>>ver>>N>\to >>·>dver>>s>\to >>=>>>\int >\int >>>\Omega >\Gamma >>>rot>>(ver>>N>\to >>)>>·>ver>>n>\to >>\Omega >>da>->->->>(>3>)>>>s>$

其中是在R³内的Ω_Γ上的单位法线。接下来，提出一种方法来找出近似满足(1)的唯一函数。因此，由所提出的方法获得的重新构建的表面与是否为0无关。

由在最小二乘法的意义上满足(1)的函数接近未知的表面地形，因此是具有 $>>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>>s>的函数来最小化函数$

$>>J>>(>z>)>>=>>\int >D>>>(ver>>▿>\to >>z>-ver>>N>\to >>)>>·>>(ver>>▿>\to >>z>-ver>>N>\to >>)>>da>->->->>(>4>)>>>s>$

其中在测量域D上执行这个积分。为了对于的每个扰动都是最小值，最小化函数必须满足

$>>\delta J>>(>z>)>>=>>\int >D>>\{>>(ver>>▿>\to >>z>-ver>>N>\to >>)>>·ver>>▿>\to >>\delta z>\}>da>=>0>,>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>->->->>(>5>)>>>s>$

这个解决最小化问题(4)的最终公式是公式(6)的弱公式化

$>ver>>▿>\to >>·ver>>▿>\to >>z>=ver>>▿>\to >>·ver>>N>\to >>,ver>>x>\to >>\in >D>->->->>(>6>)>>>s>$

具有边界条件

$>>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>;ver>>n>\to >>·ver>>▿>\to >>z>=ver>>n>\to >>·ver>>N>\to >>,ver>>x>\to >>\in >\partial >D>->->->>(>7>)>>>s>$

其中是在域D上的单位法线。

通过取(1)的左和右手侧的发散度也可直接得到公式(6)。等式(6)还说明了确定加载有等于的压力分布的肥皂膜的形状的机械问题的解决方案，在弱化公式(5)中微分的阶数为一，而在公式(6)中为二。因此，对(5)而不是对(6)求解意味着，未知函数在水列夫(Sobolev)空间内是充足的，而在C¹(D)(一阶导数存在并且连续)内不是必要的。此外，在公式(6)中所测量的斜率的一阶导数必须存在。

代替执行路经积分(2)而求解公式(5)的益处在于：

-同时使用两个测量的斜率信号来确定所测量表面的地形。

-所有测量的斜率数据用于重新构建所测量表面的地形。

-所确定的地形与使用简单线积分方法选择的积分路径无关。

-类似于加载的肥皂膜问题，在所确定的地形上的测量的斜率数据内的误差(不准确性)主要限于不准确的位置。使用这种线性积分方法，局部误差沿着剩余的积分路径传播，并且因此对重新构建的地形具有更大的影响(更大的误差)。

优选地，使用有限单元方法(FEM)求解等式(5)。当然可以使用其它的方法求解这个等式，例如使用一种频谱方法。可选择地，等式(6)能够使用例如有限差方法来求解。将在直角坐标系中实现求解(5)的有限单元方法的方程。对于其它坐标系，公式与当前讨论的类似。

考虑直角坐标系(x，y，z)。假设测量网格D_MDR²由n·m个离散点(x_ij，y_ji)，i＝1…n，j＝1…m组成，其中x_i，j＜x_i+1，j和y_j，i＜y_j+1，i。如图1所示，使用这些离散测量点，通过连接点(x_i，j，y_j，i)、(x_i+1，j，y_j，i+1)、(x_i+1，j+1，y_j+1，i+1)和(x_i，j+1，y_j+1，i)，其中i＝1…n-1和j＝1…m-1，建立四边形有限单元网。因此，使用测量网格的节点(x_ij，y_ji)，测量域分成(n-1)·(m-1)个四边形单元体D₀。将测量域D分成多个四边形单元体的选择是没有限制的。例如，如图3所示，如果每个四边形单元体分成两个三角形，能够创建包括多个三角形单元的有限单元网。在那种情况下，单元的数量以2倍增长。

将未知表面地形z＝z(x，y)写为有限组逼近函数_k(x，y)k＝1…m·n的线性组合，因此

在(3)中(8)的代换和根据系数a_k最小化函数J(z)，或在(4)中使用δz＝_l(x，y)的等效代换，得到

通过代替l^th阶方程，其中l是通过条件 $>>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>>s>在具有最大值处的指数，构造这个线性方程奇异组。这个线性方程组的解确定了所测量的表面地形的逼近(8)。$

在有限单元逼近中，测量域D在有限单元D_c的子部分用于在(9)中将积分写为

函数_k选择为每单元双线性，并且在一个节点具有值1，在所有其它节点具有值0，如图4所示。图4示出了在以四个单元[-1，0]×[-1，0]、[0，1]×[-1，0]、[0，1]×[0，1]和[-1，0]×[0，1]示出的单元网上的分段双线性基函数。

为了求解在这些单元上的积分，进行实际四边形单元到标准四边形单元的相同参数变换

其中 $>ver>>x>\to >>=>>>(>x>,>y>)>>T>>,ver>>\xi >\to >>=>>>(>\xi >,>\eta >)>>T>>,>>s>并且节点数函数k(i)是这样的，即使用单元的实际4个节点。那么在单元D上的函数的积分看作是$

$>>>\int >>D>0>>>\int >f>>(ver>>x>\to >>)>>da>=over>>\int >>->1>>1over>over>>\int >>->1>>1over>>f>>(ver>>x>\to >>>(ver>>\xi >\to >>)>>)>>J>>(ver>>\xi >\to >>)>>d\xi d\eta >->->->>(>12>)>>>s>$

其中是雅可比矩阵 $>>F>=>>>\partial ver>>x>\to >>>>\partial ver>>\xi >\to >>>>>s>的行列式(determinant)。双线性逼近或基函数$_k(ξ，η)看作是

并且它们的梯度为

在(9)的右手侧求解积分期间，出现涉及测量的斜率值的积分。使用(10)、(11)和(12)将这些积分变换为在标准四边形单元上的积分。在标准单元上，斜率向量的变化与双线性函数近似。

由(10)、(11)和(12)获得的表达式中(21)的代换得到了这种形式的积分

能够解析地求解这些积分。然而，在当前的操作中应用4点的高斯求积法则。这种方法的积分点和权重是

$>>>>(>\xi >,>\eta >)>>1>>=>>(>>>->1>>3>>>3>>,>>>->1>>3>>>3>>)>>;>>w>1>>=>1>->->->>(>24>)>>>s>$

$>>>>(>\xi >,>\eta >)>>2>>=>>(>>1>3>>>3>>,>>>->1>>3>>>3>>)>>;>>w>2>>=>1>->->->>(>25>)>>>s>$

$>>>>(>\xi >,>\eta >)>>3>>=>>(>>1>3>>>3>>,>>1>3>>>3>>)>>;>>w>3>>=>1>->->->>(>26>)>>>s>$

$>>>>(>\xi >,>\eta >)>>4>>=>>(>>>->1>>3>>>3>>,>>1>3>>>3>>)>>;>>w>4>>=>1>->->->>(>27>)>>>s>$

执行所有的积分，将这些单元矩阵和向量集中在大的矩阵和向量中。现在将条件 $>>z>>(>ver>>x>\to >>0>>)>>=>>z>0>>>s>并入到方程中，如前所述，并且必须求解得到的这组线性离散方程$

        A_lka_k＝f_l                                (28)存在多种求解(28)的技术。优选地使用高斯消去法过程(LU分解)，这是一种直接的方法。如果这个方程的系统非常大，那么能够使用迭代过程来求解(28)，例如高斯-塞德尔、多栅(Mutigrid)，等等。

实例：

在这个部分，使用虚拟测量数据调查所提出的方法的精确性和有效性。

假设测量域为D＝[0，1]×[0，1]R²。测试表面为

   z(x，y)＝sin²(2πx)sin²(2πy)                (29)具有精确的斜率向量

$>ver>>N>\to >>=>\begin{array}{}>>>>>\partial >z>>>\partial >x>>>>>>>>>\partial >z>>>\partial >y>>>>>>>=>\begin{array}{}>>>4>\pi >sin>>(>2>\pi x>)>>cos>>(>2>\pi x>)>>>sin>2>>>(>2>\pi y>)>>>>>>4>\pi >>sin>2>>>(>2>\pi x>)>>sin>>(>2>\pi y>)>>cos>>(>2>\pi y>)>>>>>>->->->>(>30>)>>>s>\end{array}\end{array}$

在图5A和B中分别示出了使用21×21个点等距测量网格从根据当前所提出的方法的精确斜率(30)中获得的初始表面以及重新构建的表面。在图6中示出了离散误差，即在重新构建的和精确指定表面之间的差值。重新构建表面很好的接近于初始表面。接下来，当改变了测量网格和/或有噪声加入到斜率向量中时，调查所获得的重新构建表面的精确性。

首先，调查使用有限离散网重新构建指定的测试表面的离散误差。在表1中示出了这个使用有限离散网重新构建指定的测试表面的离散误差，其中‖f‖_L2，是L₂范数

$>>>>|>|>f>|>|>>>L>2>>>=>>\int >>\int >D>>>f>2>>da>>->->->>(>31>)>>>s>$

和‖f‖_∞是无穷大(或最大)范数

$>>>>|>|>f>|>|>>\infty >>=>>max>ver>>x>\to >>>i>,>j>>>>|>f>>(>ver>>x>\to >>>i>,>j>>>)>>|>->->->>(>32>)>>>s>$

离散误差平方地(quadratically)减少了网尺寸(即，单元的一般尺寸，例如，符合单元的最大圆的半径)。这种情况是使用双线性单元所期望的。

表1：重新构建指定的测试表面的离散误差。

其次，使用相同的网(测量网格)，具有幅值等于斜率值的幅值的白噪声(随机值)加入到斜率向量

$>ver>>N>\to >>>(ver>>x>\to >>)>>\to ver>>N>\to >>>(ver>>x>\to >>)>>+>a>\begin{array}{}>>>>r>x>>>(ver>>x>\to >>)>>>>>>>r>y>>>(ver>>x>\to >>)>>>>>>->->->>(>33>)>>>s>\end{array}$

其中 $>>a>=>>max>ver>>x>\to >>,>i>>>>(>>N>i>>>(ver>>x>\to >>)>>)>>->>min>ver>>x>\to >>,>i>>>>(>>N>i>>>(ver>>x>\to >>)>>)>>>s>并且和在范围内产生随机值。在这种情况下，由离散误差和在斜率数据中的噪声引起在重新构建的和初始测试表面之间的差值。对于包括21\times 21个点的网格，图7示出了：初始斜率：(A)在x方向，(B)在y方向；用于重新构建表面的斜率：(c)在x方向具有噪声的斜率，(D)在y方向具有噪声的斜率；和重新构建的表面(E)和在重新构建的表面内的误差(F)。即使使用具有与原始斜率相同幅值的附加白噪声的斜率，重新构建的表面也相当好地接近初始表面。由于这个问题在这些已知斜率中是线性的，所以在斜率向量中的噪声引起的差值与噪声的幅值成线性。在表2中示出了在重新构建的表面和初始测试表面之间的差值。依照表1和表2，在重新构建的和原始表面之间的差值主要由斜率上的噪声引起。如果噪声的幅值减半，那么在重新构建的和原始表面之间的差值也减半。注意，由于没有可重复的随机产生值，所以在所考虑的两种不同幅值的情况下噪声的特性是不同的。$

表2：当噪声加入到斜率向量时，在重新构建的和初始测试表面之间的差值。

应当注意，上述实施例说明而不限制本发明，并且本领域技术人员将能够在不脱离所附权利要求的范围内设计许多可替换的实施例。在权利要求中，在括号之间的参考标记将不构成为限制权利要求。术语“包含”和“包括”不排除在权利要求中出现那些所列之外的元件和步骤。通过包括多个不同元件的硬件和通过适当的编程计算机，能够实施本发明。其中系统/装置/设备权利要求列举了多种部件，若干这些部件能够由一个和相同项目的硬件实现。计算机程序产品可以存储/分布在适当的介质上，例如光存储器，但也可以以其它形式分布，例如通过Internet或无线通信系统分布。