一种非线性薄壁空间杆件及其稳定分析法

摘要

本发明涉及一种非线性薄壁空间杆件的稳定分析法，其特征为：所述薄壁空间杆件的非线性稳定分析法包括以下步骤：a.计算杆件的截面几何参数；b.输入单元结点荷载；c.输入单元初始内力；d.计算稳定特征值；e.计算单元刚度系数；f.形成单元刚度炬阵；g.形成杆件刚度炬阵；h.计算得到位移和单元内力；I.计算结点不平衡力；j.将计算出的结点不平衡力进行非线性误差比较，若满足误差再进行单元内力和结点不平衡力的迭代计算并进行误差比较直至其收敛，且荷载系数为1.8－2.8；k、若不能满足误差则需修改单元结点荷载和单元初始内力并重新b至j的各步骤。可得到准确的稳定安全系数，并判断结构设计是否合理，保证了非线性薄壁杆件结构的稳定性，最快几个小时即可作出稳定性的初步分析，并可节约材料，有效降低了工程造价。

说明书

技术领域：

本发明涉及桥梁、建筑的技术领域，具体地说是在该领域设计中的一种非线性薄壁空间杆件及其稳定分析法。

背景技术：

工程中大量采用杆件系统组成的结构，这种杆件的横截面很多情况下采用薄壁形式。当薄壁的厚度与截面的总尺寸比小于1∶10时，在工程上可以认为是薄壁结构。截面形式有开口和闭口两种，常见的截面如下图所示。

凡空间杆件结构物竣工后，必存在巨大初始内力，在此前提下计算由外力产生的结构内力、自振频率与不考虑初始内力存在的计算结果截然不同，而这些设计出的非线性薄壁空间杆件，往往存在负荷系数大，薄壁增厚，自重增加，浪费了材质，或存在负荷系数较小，存在结构安全的问题。

目前国内外薄壁杆件单元的位移函数用Hermite插值多项式或样条函数表示来推导单元刚度矩阵元素，这种位移函数现既没有数学意义也没有物理意义，导致非线性迭代中收敛很慢。不论是开口的或是闭口的，国内还没有具有较为理想的对非线性薄壁空间杆件的稳定分析法。

也有关于对设计出的非线性薄壁杆件所稳定性进行受力试验的报道，但这种受力试验需作出试验模型，且需要数个月的时间。

发明内容：

本发明的目的在于提供一种非线性薄壁空间杆件及其稳定的分析方法，它可克服现有技术中的一些不足，设计出的非线性薄壁杆件既可解决结构安全稳定的问题，又可在较短的时间内对其的稳定性作出分析和改进。

为了实现上述目的，本发明的技术方案是：一种非线性薄壁空间杆件，它主要包括拱形杆件的拱脚、拱梁接合部、拱顶，其特征在于：所述的非线性薄壁空间杆件的各受力参数符合如下形式的刚度阵A和内力阵B：

$>>A>=>\begin{array}{}>>>>EI>y>>>>>EI>xy>>>>0>>>>>>EI>xy>>>>>EI>x>>>>0>>>>>0>>>0>>>>>EI>\omega >>>(>1>->>>I>d>>>I>\rho >>>)>>>>>>>,>B>=>\begin{array}{}>>>P>>>0>>>>H>1>>>>>>0>>>P>>>>H>2>>>>>>>H>1>>>>>H>2>>>>>(>>H>3>>->>GI>\rho >>·>>>I>d>>>I>\rho >>>)>>>>>>>s>\end{array}\end{array}$

非线性薄壁空间杆件迭代计算是收敛的，整个荷载系数为1.8-2.8。

一种非线性薄壁空间杆件的稳定分析法，其特征在于：所述薄壁空间杆件的非线性稳定分析法包括以下步骤：a、计算杆件的截面几何参数；b、输入单元结点荷载；c、输入单元初始内力；d、计算稳定特征值；e、计算单元刚度系数；f、形成单元刚度炬阵；g、形成杆件刚度炬阵；h、计算得到位移和单元内力；I、计算结点不平衡力；j、将计算出的结点不平衡力进行非线性误差比较，若满足误差再进行单元内力和结点不平衡力的迭代计算并进行误差比较直至其收敛，且荷载系数为1.8-2.8；k、若不能满足误差则需修改单元结点荷载和单元初始内力并重新b至j的各步骤。

本发明与现有技术相比具有的技术效果为：

1.由于在单元刚度中已包含结构初始内力，可以计算出在这种状态下非线性薄壁杆件系统稳定、内力及双力矩计算结果。由此可得到准确的稳定安全系数，并判断结构设计是否合理，保证了非线性薄壁杆件结构的稳定性，最快几个小时既可作出稳定性的初步分析，并可节约材料，有效降低了工程造价；

2.目前国内外薄壁杆件单元的位移函数多用Hermite插值多项式或样条函数表示来推导单元刚度矩阵，这种位移函数既没有数学意义也没有物理意义，导致非线性收敛很慢。本发明可得出符合物理方程本身性质的位移函数来推导单元刚度元素，此元素最后用三角函数表示。比如元素中有一共同分母 $>>(>2>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->D>>\lambda >>l>)>>s>当它接近0时会直接导致总体刚度的矩阵的收敛和发散，加快了收敛速度一般0.1％精度的非线性迭代3～4次即可到位，结构内力相差可达20～30％。自振频率可相差8.8％；$

3.本发明可广泛用于土木建筑、桥梁工程，也可用于航空、造船等其它技术领域。

附图说明：

图1为本发明中进行稳定分析的流程图

图2为本发明一实例的结构示意图

具体实施方式：

下面结合附图和实例对本发明作进一步的描述。

1.稳定单元刚度矩阵

对于承受结构内力薄壁杆件结构，采用稳定函数来表达结构单元的位移，并将单元刚度矩阵表达成稳定系数的函数，形式如下：

a)各参数的具体意义描述

$>\begin{array}{}>>>>EF>l>>>>0>>>0>>>>>->EF>>l>>>>0>>>0>>>>>0>>>>1>>l>3>>>>S>T>>>VC>1>>>V>T>>S>>>>1>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>0>>>>>->1>>>l>3>>>>S>T>>>VC>1>>>V>T>>S>>>>1>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>>0>>>>1>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>1>l>>>S>T>>>VC>3>>>V>T>>S>>>0>>>>>->1>>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>1>l>>>S>T>>>VC>4>>>V>T>>S>>>>>>>->EF>>l>>>>0>>>0>>>>EF>l>>>>0>>>0>>>>>0>>>>>->1>>>l>3>>>>S>T>>>VC>1>>>V>T>>S>>>>>->1>>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>0>>>>1>>l>3>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>>->1>>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>>0>>>>1>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>1>l>>>S>T>>>VC>4>>>V>T>>S>>>0>>>>>->1>>>l>2>>>>S>T>>>VC>2>>>V>T>>S>>>>1>l>>>S>T>>>VC>3>>>V>T>>S>>>>>s>\end{array}$

材料的弹性模量为E、剪切模量为G，杆件长度为1，杆件横截面积为F，自由抗扭惯性矩Id，极惯性矩I_ρ，弯曲惯性矩Ix、Iy、Ixy，约束扭转惯性Iw，H1、H2、H3为与弯曲内力有关的项，P为轴力。将上述参数写成刚度阵A和内力阵B，形式如下：

$>>A>=>\begin{array}{}>>>>EI>y>>>>>EI>xy>>>>0>>>>>>EI>xy>>>>>EI>x>>>>0>>>>>0>>>0>>>>>EI>\omega >>>(>1>->>>I>d>>>I>\rho >>>)>>>>>>>,>B>=>\begin{array}{}>>>P>>>0>>>>H>1>>>>>>0>>>P>>>>H>2>>>>>>>H>1>>>>>H>2>>>>>(>>H>3>>->>GI>\rho >>·>>>I>d>>>I>\rho >>>)>>>>>>->->->>(>1>)>>>s>\end{array}\end{array}$

下三角矩阵S和上三角矩阵ST为对称矩阵A的三角分解，可以表达为如下所示

A＝S^TS                                          (2)V为矩阵(S^-1)^TB(S^-1)的特征向量，λ为特征值，即满足如下正交变换

稳定系数C1、C2、C3、C4为特征值的函数

$>>>C>1>>=>>>(>>\lambda >>l>)>>3>>>>(>2>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->D>>\lambda >>l>)>>>->1>>>->->->>(>4.1>)>>>s>$

$>>>C>2>>=>>>(>>\lambda >>l>)>>2>>>>(>2>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->D>>\lambda >>l>)>>>->1>>>·>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->->->>(>4.2>)>>>s>$

$>>>C>3>>=>>(>>\lambda >>l>)>>>(>Sin>>\lambda >>l>->D>>\lambda >>lCos>>\lambda >>l>)>>>>(>Sin>>\lambda >>l>)>>>->1>>>>>(>2>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->D>>\lambda >>l>)>>>->1>>>>D>>->1>>>->->->>(>4.3>)>>>s>$

$>>>C>4>>=>>(>>\lambda >>l>)>>>(>D>>\lambda >>l>->Sin>>\lambda >>l>)>>>>(>Sin>>\lambda >>l>)>>>->1>>>>>(>2>tan>>>>\lambda >>l>>2>>->D>>\lambda >>l>)>>>->1>>>>D>>->1>>>->->->>(>4.4>)>>>s>$

其中

$>>D>=>\begin{array}{}>>>1>>>0>>>0>>>>>0>>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>1>->p>>\lambda >3>>>>>>,>p>=>>>EI>\omega >>>>GI>\rho >>>>(>1>->>>I>d>>>I>\rho >>>)>>2>>>>->->->>(>5>)>>>s>\end{array}$

b)单元刚度矩阵的特例

上述单元刚度矩阵在特定的情况下可以退化成一些常规的形式

^*)开口薄壁有限单元法

其结果与闭口薄壁有限元形式相同，只需将(1)式中换成EI_ω、令(5)式D＝1即可。^**)设P≠0，My、Mx、B取0，并设Ixy＝0，即构成带有“稳定”(P-Δ关系)的有限单元刚度矩阵；当P＜0时，λ成复数(4)式中三角函数变成双曲函数变成索结构单元以此可用来解决悬索桥结构计算。

^***)当P＝0、My、Mx、B取0，则C₁＝12、C₂＝6、C₃＝4、C₄＝2，本有限单元法退化为一般的结构力学有限单元刚度矩阵。当初始内力为零时同一般的有限单元经典结果一致。

2.结构稳定分析和判定方法

上述稳定刚度矩阵中包含了结构内力，由于该内力在求解前是未知的，因此不能直接求解线性方程得到结构位移和内力，而是需要通过迭代求解非线性方程。该迭代过程可以采用常规的非线性方程求解的迭代过程，具体流程如图1所示。其中非线性收敛的误差准则可以人为确定，工程上容许的误差取5％即可。

通过迭代计算过程，可以进行结构的非线性稳定分析，从而进行结构稳定判定：

a)如果迭代过程不收敛，则结构必定不稳定。

b)如果收敛，则增大荷载系数，直到达到结构的容许内力，该荷载系数即为结构的稳定安全系数。

c)对钢结构而言，目前的可靠度标准下，稳定安全系数一般以2左右为宜，过大则造成材料浪费，过小则趋于不安全。

下面给出应用实例

1.一大桥空间结构非线性稳定分析该大桥为主跨550米拱矢高100米、边拱100米的中承式系杆拱，其结构示意如图2所示。

静力稳定分析工况包括：(a)恒载和横桥向风荷载作用；(b)恒载和竖向最不利活载作用。这两种工况分别是平面外和平面内的最不利受力状态。

为了确定结构的稳定安全系数、分析结构在达到极限状态之前的非线性行为，逐级增加荷载系数，直到结构部分位置材料进入塑性。在每级荷载迭代时，迭代收敛的误差限取0.1％，迭代3-4次即收敛。

a)荷载工况1：恒载和横桥向风荷载作用的非线性稳定分析

恒载和横向风荷载下，结构横向位移和平面外内力较大，以下列出主要的分析结果，其中荷载系数包括和恒载和风荷载。

①当荷载系数为2时，拱部分位置应力达到材料屈服强度，即结构在该荷载下的稳定安全系数为2，满足要求。

②拱顶1横向位移的计算结果如表1所示：当荷载系数为1时，非线性影响为4.8％；当荷载系数增加时，非线性影响的比例相应增加，当荷载系数达到2时，非线性影响达到10.3％。

表1  恒载和横桥向风荷载作用下拱顶横向位移  (单位：m)

荷载系  数  线性  非线性非线性影响    1  0.4592  0.4811    4.8％    1.5  0.6888  0.7401    7.4％    1.8  0.8266  0.9021    9.1％    2  0.9184  1.013    10.3％

③拱脚2、拱梁结合处、拱顶内力和应力的计算结果总结如下：对部位而言，拱顶非线性影响最大；对荷载系数而言，随荷载系数增大，非线性影响增大；对总的应力而言，非线性影响不大，当荷载系数为2时，拱顶最大影响为5.4％。

b)荷载工况2：恒载和竖向最不利活载的非线性分析

恒载和竖向最不利汽车荷载作用下，结构平面内内力和位移较大，以下列出主要的分析结果，其中荷载系数包括和恒载和活载。

^*)当荷载系数为2.3时，拱部分位置应力达到材料屈服强度，即结构在该荷载下的稳定安全系数为2.3，满足要求。

^**)拱顶竖向位移的计算结果如表2所示，当荷载系数为1时，非线性影响为5.5％；当荷载系数增加时，非线性影响的比例相应增加，当荷载系数达到2.3时，非线性影响达到18％。

表2恒载和竖向最不利活载共同作用下拱顶竖向位移(单位：m)

  荷载系    数    线性    非线性    误差    1    0.3732    0.3937    5.5％    1.5    0.5598    0.6118    9.3％    2    0.7464    0.8526    14.2％    2.3    0.8584    1.013    18.0％

^***)1/4拱截面、拱顶内力和应力的计算结果总结如下：对部位而言，1/4拱截面非线性影响最大；对荷载系数而言，随荷载系数增大，非线性影响增大；对总的应力而言，非线性影响较大，当荷载系数为1时，最大影响为4.1％，当荷载系数为2.3时，最大影响为13％。

2.另一拱桥方案非线性稳定分析

a)结构形式

该拱桥为下承式单片钢拱桥，跨径为200米，拱矢高40米，箱形拱截面高从拱脚5米变化到拱顶3米，加劲梁为三室箱形截面，桥面宽20.5米。在每级荷载迭代时，迭代收敛的误差限取0.1％，迭代3次即收敛。

b)恒载和横桥向风荷载作用下的非线性分析

由于单片拱横桥向比较薄弱，横桥向风荷载将是控制性的因素。这里采用薄壁杆系单元建立空间模型，并进行非线性稳定分析。主要分析结论如下：

^*)当荷载系数为1.7时，拱部分位置应力达到材料屈服强度，即结构在该荷载下的稳定安全系数为1.7，稳定安全度不满足要求，需要修改设计尺寸。

^**)恒载和横向风荷载下，结构横向位移和平面外内力较大，以下列出主要的分析结果。拱顶横向位移的计算结果如表3所示，当荷载系数为1时，非线性影响为15.5％；当荷载系数增加时，非线性影响的比例相应增加，当荷载系数达到1.7时，非线性影响达到30％。

表3 恒载和横向风荷载作用下拱顶横向位移  (单位：m)

荷载系数线性非线性非线性影响1 0.6737 0.7779 15.5％  1.7  1.145  1.489  30.0％

^***)拱脚、拱顶内力和应力的计算结果总结如下：对部位而言，拱脚非线性影响最大；对荷载系数而言，随荷载系数增大，非线性影响增大；对总的应力而言，非线性影响较大，当荷载系数为1时，最大增加为5％，当荷载系数为2时，最大增加为9.3％。