对视频信号使用时变非线性变换的自适应对比度增强方法

摘要

增强一个时变视频信号的对比度。每个数字图像由具有在下限C到上限U的范围内的分度级的采样所表示。确定表示一个第一数字图像的这些采样的分度级的平均值。根据分度级小于或等于平均值的采样的分布，构建一个第一变换函数。根据分度级大于或等于平均值的采样的分布，构建一个第二变换函数。第一变换函数和第二变换函数用于构成一个对比度增强变换，它最好构建成一个查询表的形式。这个对比度增强变换用于一组表示第一数字图像的采样或表示时间在后的图像的采样。

说明书

技术领域

本发明涉及一种对视频信号使用时变非线性变换的自适应对比度增强方法。

技术背景

现代数字视频技术已经有效地改善了诸如数字视盘播放机(DVD)和数字电视(DTV)系统的消费产品的视频质量。当DTV系统的视频质量与当前的模拟电视系统的可获得的视频质量比较时，这一点特别明显。然而，应当注意的是，这种数字视频系统仅在信噪比(SNR)和分辨率方面提高了视频质量。有各种其它涉及增强视频的方法，例如是增强对比度、增强亮度和增强清晰度。一般地说，增强视频的处理由一个用于寻求提高显示视频的视觉表像的技术集合组成。这些技术主要包括灰度级和对比度处理，噪声降低，边缘的鲜明和锐化，上述技术例如可参见W.K.Pratt的Digital Image Processing，第二版，Wieley Interscience。与图像恢复问题相反，增强视频或图像的方法既不增加数据中固有的信息内容，也不要求数学模型化。通常，包括在增强视频过程中的基本操作是对一个给定的图像序列进行处理，以便改善其在一个显示媒介上的表像。由于量化增强的标准是困难的，所以大量的增强视频技术是完全根据经验的并且要求交互式的过程，以获得满意的结果。

在用于增强视频的现有技术当中，增强对比度可能是最重要的一个，因为它在如何使一个图像的整体表像被人所察觉的过程中扮演了一个重要的角色。众所周知的，人类的感知对于反差是灵敏的，胜于对绝对值本身的感知(例如参见A.K.Jain的Fundamentals of Digital ImageProcessing，Prentice Hall，Englewood Cliffs，1989)。因此，为了提供一个可以更好被人感知到的图像，增强图像的对比度是很自然的。

增强对比度注重于一个给定图像的整体表像，而不是诸如边缘的鲜明和锐化的局部表象。例如根值法则和对数法则的对比度的模型能够在A.K.Jain的书中见到。通过对比度处理来增强图像的应用已经被应用于例如医学图像处理、天文学图像处理、人造卫星图像处理和红外线图像处理等的许多领域中。例如，直方图均衡化在X射线图像处理过程中是一种有用的方法，因为它显著地强化了一个X射线图像的各个细节，并因此容易探测到肿瘤。

虽然用于增强对比度的几种方法在理论上是可行的，但是它们主要的应用限于静止图像。从而，由于直接应用上述方法可能导致一些视觉假象，如不自然的表像或过度加强，所以难于找到一种方法适用于一组本身具有时变特征的视频序列。因此，增强对比度的这些方法不能够适用于例如电视机的以图像序列形式提供视频内容的消费产品，

发明内容

因此，本发明的目的在于提供一种方法，该方法根据视频信号的时变特性自适应的增强该时变视频信号中的图像或图形的对比度。

根据本发明的前述的或其它的目的，提供一种方法用于自适应地增强一个时变视频信号的对比度，此信号包括大量按时间排序的数字图像。每个数字图像由一组采样来表示。每个采样包括一个从下限C到上限U范围内的分度级。通过执行以下步骤构建一个至少包括第一变换函数和第二变换函数的对比度增强变换：a)对于数字图像中的第一图像，在下限C到上限U之间选择第一个值；该第一个值最好是这个数字图像中第一个图像各图像采样分度级的平均值；b)将表示这个数字图像中的第一图像的这组采样划分为至少一个第一部分和一个第二部分，所述第一部分具有其分度级不大于所述第一个值的采样，所述第二部分具有其分度级不小于所述第一个值的采样；c)根据在第一部分中的分度级的分布状况选择所述第一变换函数，和d)根据在第二部分中的分度级的分布状况选择第二变换函数。

通过对一组表示数字图像的采样应用这个对比度增强变换，所述数字图像的对比度被增强了。这个被增强的实际数字图像可以是这个数字图像中的第一个图像，并且在这种情况下，在构建所述增强变换的同时，存储数字图像中的第一个图像。

因为在瞬时定位为彼此接近的两个图像的分度级分布之间具有很高的相关性，所以这个由数字图像中的第一个图像构建的增强变换能够被应用于最好是紧随其后的一个数字图像的后续数字图像，以增强后续数字图像的对比度。这在这种情况下，以类似的方式，将被应用于数字图像中的第一个图像的实际增强变换，将从时间上暂时先于这个数字图像中的第一个图像的数字图像中获得。也可以理解，在这种情况下，由于对比度增强变换将被用于随后的数字图像中，所以不必存储正在被用于构建对比度增强变换的数字图像，以便随后对其施加对比度增强变换。然而，在这两种情况下，根据表示这个时变视频信号的按时间排序图像的采样的分度级分布，对比度增强变换将做自适应改变。所述对比度增强变换最好以查询表的形式构建。至少在某些范围内通过增大采样的动态范围，对比度增强变换增强了所述对比度。

根据本发明一个附加的特性，步骤a)包括：根据表示该数字图像中第一个图像的所有采样的分度级计算平均值m，并选择所述第一个值为平均值m。

根据本发明一个附加的特性，该方法包括：在执行增强对比度的步骤时选择被增强的数字图像作为这个数字图像的第一个图像，或作为暂时位于所述第一个数字图象之后的一个数字图象。

根据本发明的另一个特性，在执行增强对比度步骤时被增强的数字图像是一个暂时直接位于所述第一个数字图像之后的图像。

根据本发明的再一个特征，所述方法包括：使用对比度增强变换来构建一个查询表，用于接收在从下限C到上限U之间的范围内的输入分度级和提供相应的输出分度级，与所述输入分度极的相应区域相比较，该输出分度级至少在两个区域中具有增加的动态范围；和通过将所述查询表应用到该组采样并借此内在地将所述对比度增强变换应用到该组采样上执行增强所述对比度的步骤。

根据本发明的另一个附加特征，构建对比度增强变换的步骤包括：通过根据随分度极的函数变化的第一增强函数构建所述第一变换函数执行选择所述第一变换函数的步骤，所述第一变换函数在下限C处等于0，在所述第一值处等于0，并且在下限C到第一值的范围内仅有一个极值；和通过根据随分度级函数变化的第二增强函数构建所述第二变换函数执行选择所述第二变换函数的步骤，所述第二变换函数在第一值处等于0，在上限U处等于0，并且在从所述第一值到所述上限U的范围内仅有一个极值。

根据本发明的另一个附加特征，构建对比度增强变换的步骤包括：在从下限C到第一值的区域内将第一增强函数选择为非负；选择随第一分布速率函数单调增加的第一增益函数，当所述第一分布速率等于0时，所述第一增益函数等于-1，当第一分布速率等于1时第一增益函数等于1；将第二增强函数在第一值到上限U的区域内选择为非负；选择随第二分布速率函数单调增加的第二增益函数，当第二分布速率等于0时第二增益函数等于-1，当第二分布速率等于1时第二增益函数等于1；通过确定一个分度级值定义一个第二值，第一增强函数在该分度级值处于它的极值状态；通过确定一个分度级值定义一个第三值，第二增强函数在该分度级值处于它的极值状态；通过将具有从所述下限C到所述第二值范围内分度级的该组采样中的采样数除以在具有从所述下限C到所述第一值范围内的分度级的该组采样数获得所述第一分布速率；通过将具有从所述第一值到所述第三值范围内分度级的该组中的采样数除以具有在从所述第一值到所述上限U范围内分度级的该组中采样数获得所述第二分布速率；以所述第一分布速率估算第一增益函数，以获得一个第一增益常数；以第二分布处估算第二增益函数，以获得一个第二增益常数；用第一增益函数乘以第一增强函数构造第一变换函数；用第二增益函数乘以第二增强函数构造第二变换函数。

根据本发明的再一个附加特征，构建对比度增强变换的步骤包括：当在从下限C到第一值的区域内将第一增强函数选为非负时，选择一个随第一分布速率单调增加的第一增益函数，当第一分布速率等于0时第一增益函数等于-1，当第一分布速率等于1时第一增益函数等于1；当在从所述第一值到所述上限U区域内将所述第二增强函数选择为非负时，选择一个随所述第二分布速率单调增加的第二增益函数。当第二分布速率等于0时第二增益函数等于-1，当第二分布速率等于1时第二增益函数等于1；当将第一增强函数在下限C到第一值的区域内选为非正时，则选择随所述第一分布速率单调减少的一个第一增益函数，当第一分布速率等于0时第一增益函数等于1，当第一分布速率等于1时第一增益函数等于-1；当将第二增强函数在从第一值到上限U的区域内选为非正时，选择随所述第二分布速率单调减少的一个第二增益函数，当第二分布速率等于0时第二增益函数等于1，当第二分布速率等于1时第二增益函数等于-1；通过确定其第一增强函数处于极值的一个分度级的值定义一个第二值；  通过确定其第二增强函数处于极值的一个分度级的值定义第三值；通过将这组采样中具有在从下限C到第一值的范围内的分度级的采样数除以这组采样中具有在从下限C到第二值的范围内的分度级的采样数，获得第一分布速率；通过将这组采样中具有在从第一值到上限U的范围内的分度级的采样数除以这组采样中具有在从第一值到第三值的范围内的分度级的采样数，获得第二分布速率；以第一分布速率处估算第一增益函数，以获得一个第一增益常数；以第二分布速率处估算第二增益函数，以获得一个第二增益常数；用第一增益函数乘以第一增强函数构造第一变换函数；和用第二增益函数乘以第二增强函数构造第二变换函数。

根据本发明的再一个附加特征，所述方法包括：选择第一增强函数为K₁(x-C)(m-x)，其中K₁是常数，x是一个输入采样；选择第二增强函数为K_u(m-x)(x-U)，其中K_u是常数。

根据本发明的再一个特征，该方法包括：选择K₁不大于1/(m-C)；和选择K_u不大于1/(U-m)。

根据本发明的再一个附加特征，方法包括：选择K₁等于1/(m-C)；和选择K_u等于1/(U-m)。

根据本发明相伴的一个特征，该方法包括：选择第一增益函数为2r₁-1，其中r₁是第一分布速率；和选择第二增益函数为2r_u-1，其中r_u是第二分布速率。

附图说明

图1示出了一个变换的例子，它能够用于增加具有在某一范围内的分度级的采样的动态范围；

图2示出了一个变换的例子，它能够用于增加具有在另一范围内的分度级的采样的动态范围；

图3A～3C示出了增强函数的例子；

图4A～4C示出了增益增强函数的例子；

图5A示出了增强函数f₁(x)和f_u(x)一个例子；

图5B示出了f₁(x)·g₁(r₁)和f_u(x)·g_u(r_u)的的曲线；

图5C示出了使用图5B中的项f₁(x)·g₁(r₁)和f_u(x)·g_u(r_u)获得的变换函数的曲线；

图6A是用于执行自适应增强对比度方法的一个装置的第一实施例的方框图；和

图6B是用于执行自适应增强对比度方法的一个装置的第二实施例的方框图。

最佳实施例描述

在下面的讨论中，应当知道术语“图形”或“图像”用于表示一个视频序列中所个图形中的一张图形。用f_n(·)表示在时刻n时一组引入的视频序列中的一张图像(一帧或半帧)，这里假设这张图像f_n(·)由将要被增强的采样组成。每个采样表示一个在范围{C，C+1，......，U}内的分度级，其中C表示一个视频系统中最暗的分度级，U表示最亮的分度级。在大多数的视频系统中，通常是C＝0、U＝255，但是，C和U的实际值可以根据应用而改变。

所说算法的第一参数(第一值)最好是平均亮度，或是这个输入视频图像f_n(·)的平均值m。最好使用平均值m，因为使用这个参数能够获得好的结果。但是，应当知道偏离平均值m的其它的值也能够替换使用。概念上任何一个位于C和U之间的数值都能够使用，但是，最好使用平均值或非常接近于平均值的数值以使平均亮度不发生改变，或至少不会显著改变。这个观点在下面进一步论述。现在，用h(x)表示f_n(·)的概率密度函数(PDF)，其中h(x)表示在f_n(·)中分度级等于x的采样的数量。定义， $>>N>=>>\Sigma >>x>=>C>>U>>h>>(>x>)>>>s>表示在要被增强的输入视频图像f$_n(·)中的采样总数。那么，那些采样的平均值可以通过 $>>m>=>>\Sigma >>x>=>C>>U>>x>·>h>>(>x>)>>/>N>>s>计算出来。可选择的，平均值m可以简单的计算得到，即，通过对要被增强的输入视频图像的采样的分度级求和，并用这个结果除以N。$

基于平均值m，输入的图像f_n(·)实际上被分为两个子图像组：一个由分度值小于或等于平均值m的采样组成，另一个由分度值大于或等于平均值m的采样组成。随后结合分成的子图像组的局部直方图，计算出下列参数：

$>>>n>a>>=>>\Sigma >>x>=>C>>Mi>>h>>(>x>)>>->->->>(>1>)>>>s>$

和

$>>>n>b>>=>>\Sigma >>X>=>M>>Mu>>h>>(>x>)>>->->->>(>2>)>>>s>$

其中M₁和M_u是分别在C和m之间、m和U之间的变量。M₁和M_u的取值将结合增强函数在后面阐述。应当注意的是，参数n_a和n_b各自表示分度级在(C，M₁)和(m，M_u)中的采样总数。

在计算或估算了输入的视频图像的参数n_a和n_b后，在区域(C，m)和(m，U)中表示各自采样分布的其它参数会被确定。第一分布速率r₁和第二分布速率r_u确定如下：

$>>>r>1>>=>>>n>a>>>N>1>>>>s>和$ >>>r>u>>=>>>n>b>>>N>u>>>->->->>(>3>)>>>s>$$

其中

$>>>N>1>>=>>\Sigma >>x>=>C>>m>>h>>(>x>)>>>s>和$ >>>N>u>>=>>\Sigma >>x>=>m>>U>>h>>(>x>)>>>s>$$

注意，参数N₁和N_u各自表示分度级在(C，m)和(m，U)中的采样总数。

还应注意，规定0≤r₁≤1和0≤r_u≤1。这些参数表明各自的采样是如何分布在每个区域(C，m)和(m，U)中的。例如，第一分布速率r₁＝1意味着在区域(C，m)中的采样仅分布在子区域(C，M₁)中，相反，r₁＝0意味着在区域(C，m)中没有采样分布在子区域(C，M₁)中。对于第二分布速率r_u的值可以做同样的分析。第一分布速率r₁和第二分布速率r_u用于设置第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)的值。这些增益函数的函数式和用途将在下面描述。

图1示出了一种变换，其中x表示输入采样的输入分度级，f(x)是这个变换的输出。这个变换将被用于说明在这个具备创造性的增强方法之后的原理。在这个特殊的例子中，可以看出在区域(p，k)中的分度值被映射到区域(p，k′)中的值。重要的是，作为变换的结果，分度级在(p，k)中的采样的动态范围D_in已经被增大到D_out。通过使用这种变换，如果输入的图像在区域(p，k)中的采样多于在区域(k，q)中的采样，则这个图像的总体对比度能被提高，因为那些采样的动态区域已经被增加。从而，当有比在区域(k，q)中更多的采样分布于区域(p，k)中时，图1中描述的变换就适于增强对比度。另一方面，如果有比在区域(p，k)中更多的采样分布于区域(k，q)中，那么很容易看到诸如图2所示的变换函数使用同样的原理，能够用于提高这个图像的总体对比度。

通过根据一个输入视频序列输入图形的(p.q)中的采样分布适当地组合图1和图2所示的变换，自适应对比度增强是可能的。从而，增强对比度方法的基本目标是依照输入图像的分度级的分布状况，自适应的调整变换函数，以提高图像的总体对比度。在公式(3)中定义第一分布速率r₁和第二分布速率r_u的目的是为了能够调整变换函数以达到这个目标。图1图2所示的变换函数将被称为增强函数。

第一增强函数f₁(x)定义在区域(C，m)上，而第二增强函数f_u(x)定义在区域(m，U)上。通过利用下面的约束，增强函数f₁(x)和f_u(x)在它们各自的区域内被选择确定为正：

1、f₁(C)＝f₁(m)＝0，和f_u(m)＝f_u(U)＝0，                  (4)

2、对所有的实时值x∈(C，m)，在(C，m)中f₁(x)仅有一个极值(局部最小值或局部最大值)，换句话说，仅当x＝M₁时才能够满足 $>>>d>dx>>>f>1>>>(>x>)>>=>0>,>>s>其中，$

    C＜M₁＜m，    (5)

3、对所有的实时值x∈(m，U)，在(m，U)中f_u(x)仅有一个极值(局部最小值或局部最大值)，换句话说，仅当x＝M_u时 $>>>d>dx>>>f>u>>>(>x>)>>=>0>,>>s>$

其中

    m＜M_u＜U。    (6)

任何任意的增强函数都可以使用，只要这些增强函数符合(4)、(5)和(6)中给定的约束。满足(4)、(5)和(6)中给定的约束条件的增强函数的例子示于图3A～3C中。

应注意的是，M₁和M_u与输入图像的分组有关，用以估算在(1)和(2)中定义的局部直方图。一旦这些增强函数依赖于其应用被确定，M₁和M_u的值就能够通过确定其 $>>>d>dx>>>f>1>>>(>x>)>>=>0>>s>和$ >>>d>dx>>>f>u>>>(>x>)>>=>0>>s>的各自分度级而获得。还应注意的是，由于(4)中给定的条件，M$$₁和M_u的值应当是m的函数。

为了依据分别在区域(C，m)和(m，U)中的局部直方图的分布状况来调节增强函数f₁(x)和f_u(x)的增益，定义了第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)。应注意的是，所述增益函数分别是第一分布速率r₁和第二分布速率r_u的函数。还应注意的是，前面在(3)中定义的第一分布速率r₁和第二分布速率r_u的特征是在区域(C，m)和(m，U)中各自的采样分布。为了达到增益函数的目标，增益函数被强加了两个条件：

1、g₁(0)＝g_u(0)＝-1和g₁(1)＝g_u(1)＝1，     (7)

和

2、g₁(r₁)是一个相对第一分布速率r₁的单调增函数，和g_u(r_u)是一个相对第二分布速率r_u的单调增函数。                (8)

其中，假定第一增强函数f₁(x)和第二增强函数f_u(x)在区域(C，m)和(m，U)中分别为非负。从而，当第一分布速率r₁从0变换到1时，第一增益函数g₁(r₁)的值将从-1变换到1，而当第二分布速率r_u从0变换到1时，第二增益函数g_u(r_u)的值将从-1变换到1。应注意的是，增益参数的作用是根据参考图1和图2论述的采样分布调整增强函数。还应注意的是，在所述第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)的值在逐个图像变化的同时，相对任一个图像来讲，它们都将是一个恒定值。

任一增益函数都可以使用，只要这些增益函数符合(7)和(8)中的约束。一些增强函数的例子示于图4A～4C中。

应当注意的是，如果我们假定第一增强函数f₁(x)和第二增强函数f_u(x)在区域(C，m)和(m，U)中各自为非正，则(7)和(8)中的条件应改为：

1、g₁(0)＝g_u(0)＝1和g₁(1)＝g_u(1)＝-1，和

2、g₁(r₁)是一个相对所述第一分布速率r₁的单调减函数，和g_u(r_u)是一个相对所述第二分布速率r_u的单调减函数。

基于上述的增益函数g₁(r₁)和g_u(r_u)以及增强函数f₁(x)和f_u(x)，可以获得以下的自适应对比度增强变换：

自适应对比度增强变换ψ(x)包括一个第一变换函数g₁(r₁)·f₁(x)和一个第二变换函数g_u(r_u)·f_u(x)。应注意的是，如果x∈(C，m)则输入分度级由g₁(r₁)·f₁(x)改变，如果x∈(m，U)则输入分度级由g_u(r_u)·f_u(x)改变。还应注意的是，其最大的改变分别发生在x＝M₁和x＝M_u处。还应注意的是，由于我们限定f₁(m)＝f_u(m)＝0，使得(9)中给出的自适应对比度增强变换ψ(x)映射m到m。设置这样的限制是为了使变换后图像的平均亮度与输入图像的平均亮度相比不发生显著变化。

重要的是，由于视频信号的特性或分度级分布逐图改变，所以(9)中所述的自适应对比度增强变换ψ(x)的特征也在逐图地改变。特别是，由于平均值m、第一分布速率r₁和第二分布速率r_u的值都逐图改变，所以(9)中所述的自适应对比度增强变换ψ(x)的最终形式也都逐图改变。这样保证了这个对比度增强方法的类型是自适应的。

图5A～5C示出了一个例子，用于说明(9)中所述的自适应对比度增强变换ψ(x)的操作。图5A表示了第一增强函数f₁(x)和第二增强函数f_u(x)的一个例子，两个增强函数分别在x＝M₁和x＝M_u处取得最大值。图5B示出了f₁(x)·g₁(r₁)和f_u(x)·g_u(r_u)的曲线，用(9)中给出的自适应对比度增强变换ψ(x)将f₁(x)·g₁(r₁)和f_u(x)·g_u(r_u)加到输入分度级上。在这个例子中，g₁(r₁)＝1和g_u(r_u)＝-0.25。最后，图5C是准备用于输入视频的(9)中所给出的变换的曲线。记住确定具有(7)和(8)中条件的第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)的目的，将会注意到与在区域(C，M₁)中采样相关的动态范围已经增加到(C，M₁′)，从而使得该采样与变换前相比具有更高的对比度。同样的，由于动态范围从(M_u，U)增加到(M_u′，U)，所以在区域(M_u，U)中的采样变换后具有更高的对比度。因而，能够提高图像的整体对比度。

总之，基于(9)中给出的对比度增强变换ψ(x)的对比度增强方法可描述如下：

1、预先确定能够满足在(4)-(8)中披露的各自条件的f₁(x)，f_u(x)，g₁(r₁)和g_u(r_u)的具体函数形式；

2、计算引入图像f_n(·)的PDF、h(x)，并同时计算出输入图像的平均值m；

3、以平均值和PDF为基础，估算关系到分组直方图的(1)和(2)中的参数n_a、n_b。

4、根据参数n_a、n_b计算出第一和第二分布速率((3)中的r₁和r_u)，然后计算第一和第二增益函数g₁(r₁)和g_u(r_u)；

5、一旦这些参数被计算出来，使用(9)中给出的自适应对比度增强变换ψ(x)构造所述变换查询表(LUT)，用于分度级x＝C，1，...，U；和

6、将LUT应用到所引入的视频输入信号上。

图6A是用于执行自适应增强对比度方法的一个装置20的第一实施例的方框图。如功能块12所示，当使用从图像中获取的参数构建变换查询表时，所引入的图像被存储在存储器10中。如功能块14所示，提供存储器10用于将所述输入视频延迟一帧或一场周期，使得变换LUT能应用于被用来构造变换LUT的图像。从而使得所述变换LUT能够被应用于已经被用于构建所述变换LUT的图像，如功能框14所示。

一个视频序列通常在时间方向中具有很高的相关性，因此，在大多数应用中，根据一个图像构造的LUT变换能够被用于这个视频序列中后继的图像。图6B是用于执行自适应增强对比度方法的一个装置30的第二实施例的方框图。在使用根据引入图像获取的参数构建变换LUT的同时，该引入图像没有存储在存储器中。已经根据所述视频序列在前图像构建的所述变换被应用于这个引入图像。同样的，正在根据这个引入图像构建的变换将被用于这个视频序列中后继的图像。将变换LUT用于输入图像是一种用于输出与所述输入像素分度级x相关的ψ(x)的逐个像素的操作。在这两个实施例中，LUT变换可以以和图像SYNC信号同步的方式被更新。

自适应增强对比度方法基于增强函数f₁(x)、f_u(x)与自适应增益调整函数g₁(r₁)、g_u(r_u)的结合，它取决于引入图像的采样分布。此外，对于函数f₁(x)、f_u(x)、g₁(r₁)和g_u(r_u)任一函数都可以使用，只要它们以(4)到(8)中给定的条件为依据。

为了说明，此方法的一个具体实施例将在下面予以叙述。用于自适应增强对比度的变换函数ψ(x)(9)的第一和第二增强函数被规定为以下的二阶多项式：

 f₁(x)＝K₁(x-C)(m-x)                     (10)和

 f_u(x)＝K_u(m-x)(x-U)                     (11)其中，K₁和K_u是预先确定的常数。注意，这些函数满足(4)～(6)定义中的约束。容易表明，仅当x各自取值 $>>x>=>>>C>+>m>>2>>>s>和$ >>x>=>>>m>+>U>>2>>>s>时，才满足条件$ >>>d>dx>>>f>1>>>(>x>)>>=>0>>s>和$ >>>d>dx>>>f>u>>>(>x>)>>=>0>.>>s>因此，这里$ >>>M>1>>=>>>C>+>m>>2>>>s>和$ >>>M>u>>=>>>m>+>U>>2>>.>>s>于是，得出(9)中给定的自适应对比度增强变换\psi (x)：$$$$$$

如上所述，满足(7)和(8)中给定的限定条件的第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)的选择是多样的。实际上，不同的增益函数将导致ψ(x)的不同特性，因此，这个选择能够依赖于具体的应用而改变。对于第一增益函数g₁(r₁)和第二增益函数g_u(r_u)的一个简单的选择如下：

g₁(r₁)＝2·r₁-1和g_u(r_u)＝2·r_u-1                        (13)

应注意的是，由于当(C，M₁)和(M₁，m)中的采样数受到约束(即r₁＝0.5)进而使(12)中第一部分的变换简单变为“旁路”的g₁(r₁)＝0，(13)中第一增益函数g₁(r₁)将同等地处理在子区域(C，M₁)和(M₁，m)中的采样分布。对于(13)中第二增益函数g_u(r_u)的具体实例能够得出相似的论述。

直接应用(12)中给出的变换的一个关键问题是灰度反转问题，所述灰度反转依据m的值而发生。灰度反转问题意味着下面的关系：

对于一些x₁＜x₂，ψ(x₁)＞ψ(x₂)。

使用下面约束条件的一个简单的代数处理：

为了防止所述灰度反转问题，它很容易的示出，K₁和K_u必须被限制于：

$>>>K>1>>\le >>1>>m>->C>>>>s>和$ >>>K>u>>\le >>1>>U>->m>>>>s>$$

从而，如果我们取得K₁和K_u的边界值，则(11)中给定的变换成为：