利用时域法进行差分测量的精确重构方法

摘要

利用时域法进行差分测量的精确重构方法，其特点是它根据被测对象两个不同间距或剪切量测得的差分值，然后将两组不同的差分值分别用逐次两点法进行评价，每组各得到的评价曲线的数目为相应的传感器间距或剪切量与采样间隔之比值，再利用这两组曲线之间的相互关系，计算出调零误差对评价结果的影响，求出两组曲线中每条曲线之间的相互关系，最后将这些曲线合成一条评价曲线，从而实现被测参数的精确重构。本发明针对现有技术存在的问题，不需任何先验知识，就能无理论误差地精确重构出一般情况下被测参数，可适用于采样间隔不等于传感器间距或剪切量、被测件尺寸不需等于传感器间距或剪切量的整数倍、被测参数为周期、非周期、光滑和非光滑等情况。

说明书

技术领域：

本发明涉及检测应用技术领域，具体涉及一种根据被测参数的差分测量值来重构原被测参数的检测方法，包括精密、超精密工件表面的直线度、平面度、圆柱度、自由曲面面形的检测以及横向剪切干涉的波前重构。

背景技术

在超精密加工中，为了检测被加工件表面的直线度、圆柱度、平面度和面形精度，常常采用多测头扫描法，这种方法将位移测头(常用非接触传感器如电涡流或电容等)或角度检测仪(如自准直仪等)安装在溜板上，沿工件的被测轮廓作直线运动，或者将传感器固定，工件随溜板一起运动。当需要测量的工件轮廓误差与溜板的直线运动误差处于同一档次时，要想得到精确的工件轮廓参数如直线度、圆柱度、平面度和面形精度等，便需要采用误差分离的办法。比如工件的在位测量就是直接利用机床溜板作扫描运动的测量方法，此时必须将工件的表面轮廓误差与溜板的运动误差分离开来。横向剪切干涉法同多测头扫描法的原理基本相同，都是基于差分值的测量，因此解决了基于差分的精确重构问题就解决了多测头扫描法和横行剪切干涉法的测量问题。

对于直线度、圆柱度、平面度以及采用位移传感器检测时的面形精度重构问题，其最基本的问题就是解决直线度的重构问题，基于差分值的测量问题就可简单地概括为直线度和横行剪切干涉测量两个方面。

为了高精度地检测工件表面轮廓，人们很早就开始了这方面的研究，并一直到现在还在不断的提出各种方法以求能高精度地重构工件表面直线度轮廓。对于扫描测头法的直线度测量方法，根据采用传感器数的不同，分为单点法和多点法(包括两点法、三点法甚至四点法等)。在用单点法测量时，要想对误差进行分离，常常需要将工件进行翻转或平移作两次扫描测量后才能进行。这样溜板运动的重复精度以及两次测量中传感器相对工件安装位置的一致性程度都对最终的评价结果有影响，并且这种影响无法完全消除。故在超精密测量中，这一方法可操作性不好。与翻转法或平移法不同，多点法使用一个以上的测头，进行误差分离，因此即使溜板运动重复性不高也能对工件进行重复测量。

两点法使用两个测头，是最简单的多点法。这种方法用两个测头分别在两个间隔点检测被测表面的轮廓高度，采用两测头的差分输出以消除扫描溜板的平动误差并给出被测工件表面的轮廓高度的差分值。三点法使用三个位移传感器，多出的一个传感器一般用来消除溜板偏摆误差的影响。但是，由于传感器实际安装中会存在难以消除的调零误差(即传感器在理想的无运动误差的导轨上运动并检测一理想的无直线度误差的工件表面时所感知量的差异)，从而会使差分值产生偏移，特别当工件尺寸较长时，这种调零误差便成为三点法测量最大的误差源。采用两个角度测头的差分激光自准直仪方法以及采用两个位移传感器和一个角度传感器的混合法，均具有同样的问题。

根据误差分离方法的不同，扫描测头法又可分为时域法和频域法。现有时域法有逐次法、广义法、组合法等。逐次两点法(STP)用来测量工件和导轨运动的直线度，溜板每次进给传感器的间隔距离，即采样间隔等于传感器间距，一次扫描即可完成测量。后来又对该方法的特性进行了研究，并将其扩展为逐次三点法(STRP)，它不但能分离出溜板直线运动的平动误差而且能分离出偏摆误差。逐次两点法在采样间隔等于传感器间距时，可以精确地确定离散点的相对高度，但是在这种情况下数据点太少难以精确地表达出被测面轮廓。另一方面，当采样间隔小于传感器间距时，通过偏移起始点得到的多条离散曲线由于数据集之间的不匹配也会产生错误的结果。广义两点法(GTP)是通过对间隔远小于传感器间距的采样数据进行积分，从而有可能获得关于空间波长详细的轮廓信息。其缺点是将周期等于传感器间隔的频率及其谐波分量丢失了，在特定的情况下会带来不可接受的误差。组合两点法(CTP)用来测量表面轮廓，它将广义两点法与逐次两点法结合起来测量包含高频分量的轮廓，其空间波长小于传感器的间隔。组合两点法(CTP)又扩充为组合三点法(CTRP)不仅能表达出包含高频分量的轮廓，而且能将扫描方向上的z向误差与偏摆误差消除掉。但是应用组合法进行误差分离时，必须选用一段平滑的标准区域作最小二乘拟合才能得到较高的评价精度。在两点法的基础上，又开发了一种精密逐次三点法(FSTRP)的测量方法，该法采用作非等间距布置的三个传感器进行测量，忽略溜板偏摆误差的影响，分别由两点法可得到两条评价曲线，在两个间距的公倍数点处两曲线应重合，假设两曲线各点间的差值成线性，再通过插值的方法求得“加密”了的工件直线度。由于该法对噪声的影响较敏感，在这基础上又发展成改进的精密三点法，即在选择的一段平滑区域上用最小二乘法进行拟合，可较好地对噪声进行抑制。为解决逐次三点法采样点数受限，不适应短工件、高精度测量的问题，又有人提出了四点法测量直线度，采用该法时前三个传感器等间距布置，第四个传感器多偏移一采样间隔距离布置，通过预置合适的初值并经过递推运算可重构工件直线度。后来将这种方法又应用到时域两点法中，可以避免由于表面非连续性导致高阶谐波分量而引起的畸变。目前提出的多测头系统测量圆柱体直线度方法采用两组共六个测头，同样利用三点法的原理进行测量，为避免调零误差的影响，该方法要通过翻转工件进行两次测量，因此代价昂贵且实用性不强。

从以上可看出，人们对直线度的测量方法特别是其算法进行越来越深入的研究，以求能高精度地在足够小的采样间隔点上重构出工件的直线度轮廓，但现有这些算法均还不能达到这一目的，即还不能够在小于传感器间距的足够小的采样间隔各点上无理论误差地精确重构出任意工件的直线度。

而对于横向剪切干涉法，由于它具有结构简单稳定、不需要高精度参考面等特点，故被广泛应用于高精度光学表面面形检测，特别是非球面等自由曲面的检测，但同时，对基于差分的重构却是一个非常复杂的问题，20多年来人们开发了多种计算方法，早先的方法是基于相邻点差分值重构，直到近几年才提出适应大的剪切量的重构方法，使得最近对横向剪切干涉的研究引起了更广泛的兴趣，但所有这些方法都存在某种局限性，要么假设被研究的波前具有某种“先验”知识如光滑性等，要么采用等于测量点间隔的小的剪切量进行测量(这时检测的灵敏度就会受到影响)，甚至只能得到一个逼近的解。

发明内容：

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的缺陷，在基于被测参数差分值的基础上，针对现有的差分重构技术存在的问题，不需任何“先验”知识，就能无理论误差地精确重构出一般情况下的被测参数。

本发明是通过下面的技术方案解决上述技术问题的。其特征在于它是根据被测对象上两个不同间距或剪切量测得的差分值，然后将两组不同的差分值分别用逐次两点法进行评价，每组各得到的评价曲线的数目为相应的传感器间距或剪切量与采样间隔之比值，再利用这两组曲线之间的相互关系，计算出调零误差对评价结果的影响，求出两组曲线中每条曲线之间的相互关系，最后将这些曲线合成一条评价曲线，从而实现被测参数的精确重构。本发明包括下述步骤：(1)选择一定的采样间隔Δ和传感器间距rΔ、vΔ；(2)对被测对象进行测量；(3)计算测量的差分值；(4)对两组不同的差分值分别用逐次两点法进行评价，求得两组各r、v条曲线：(5)计算调零误差与传感器间距或剪切量之比的差值：(6)消除调零误差的影响，并求得某一传感器间距测时评价曲线各点正确位置关系；(7)求被测参数的评价曲线；(8)去掉评价曲线的线性偏移量，求得最终评价曲线。

本发明具有下列技术效果：

1、可适用于两点法或三点法对工件直线度进行评价，以及适用于可变剪切量的各种剪切干涉测量，包括评价圆柱度、平面度和面形精度。因此不需要采用复杂的装置。

2、可采用大的传感器间距或剪切量。对于直线度、圆柱度、平面度等的评价而言，由于传感器外形尺寸的影响，导致传感器间距不能太小，如只应用逐次法评价时，则间距越大，评价点的间隔距离也越大，对同一个被测对象，则评价点数越少，因此越难以理想地评价被测对象。对于横向剪切干涉法来说，过小的剪切量会导致灵敏度降低，同样会影响评价效果。而采样本发明的方法，则不需要采用小的传感器间距或剪切量。

3、不需要任何“先验”知识，即不需假定被测参数具有光滑性或周期性等，故可以适用普遍的被测对象。

4、可求得对被测对象的精确评价而非已有方法所得到的近似或逼近的评价。

5、由于精确地计算出了传感器调零误差对评价结果的影响，因此在安装传感器时，不必进行精确的调零或者将调零误差精确地测量出来。因此本发明大大提高了检测效率和降低了成本。

6、在工件尺寸小于或大于传感器间距或剪切量的整数倍时仍可进行精确重构。

附图说明：      

图1为本发明测量过程示意图；

图2为本发明精确评价的流程图。

具体实施方式： 

本发明是根据被测对象上两个不同间距或剪切量测得的差分值，通过时域法精确重构被测参数。它首先对两组不同的差分值分别用逐次两点法进行评价，每组各得到的评价曲线的数目为相应的传感器间距或剪切量采样间隔之比值，然后利用这两组曲线之间的相互关系，计算出调零误差对评价结果的影响，求出两组曲线中每条曲线之间的相互关系，最后将这些曲线合成一条评价曲线。这种方法本身可以适用于被测件尺寸不是两种传感器间距或剪切量之积的整数倍时的一般情况，如采样间隔不等于传感器间距或剪切量、被测件尺寸不需等于传感器间距或剪切量的整数倍、被测参数为周期、非周期、光滑和非光滑等情况，使得精确重构方法能够真正应用于实践。

如图1所示，设传感器间隔分别为s₁和s₂，传感器安装架4在导轨5上运动，工件6表面直线度为Ms(x)，工件测量长度为p，工件上总的测量点数为N，采样间隔为Δ＝p/N，传感器的调零误差分别为e₁、e₂。由于传感器存在调零误差，故实际测量的工件表面直线度曲线相对原始曲线产生了偏移。如果两个调零误差与传感器间隔的比值相等的话，即e₁/s₁＝e₂/s₂，则偏移的结果不会对直线度的评价带来影响，但实际测量中上述等式是难以成立的，即e₁/s₁≠e₂/s₂，也难以准确测得e₁和e₂，但要想准确地重构工件直线度，则至少需要知道两者之间的关系或其差值。图1中为采用两个传感器(此时不用传感器3)作两次测量或采用三个传感器作一次测量的示意图。实践中，可取s₁＝A，而s₂可根据需要取s₂＝B，或s₂＝C，传感器的调零误差e₁＝e_A，e₂＝e_B或e₂＝e_C。注意当采用三个传感器时，如取s₂＝B时，溜板的起始检测位置是传感器2在工件的起始点，此时传感器1对空，直到溜板移动S₁时传感器1才开始采集数据。当s₂＝C时，则溜板的起始检测位置是传感器1在工件的起始点7，溜板运动的终点位置是传感器2移动到工件终止点8，传感器3超出工件被测区域时则不采集数据。

由于调零误差的存在，使得两个剪切量测量得到的评价曲线具有不同的线性偏移，如不消除调零误差的影响，则最终的评价结果同样会产生错误。现有的国内外所有直线度测量方法以及基于差分的重构算法中均没有仅采用两个传感器间距或剪切量测得的差分值就计算出调零误差的影响的报道，而采用六个传感器分为两组对圆柱体工件翻转测量将调零误差的影响计算出来，这种方法在实际中可操作性不强，并且若是对于不是圆柱体的非旋转对称工件的直线度，则其方法便难以实施。

如图2所示，本发明在仔细分析两个剪切量测得数据相互关系得基础上，将调零误差的影响精确地计算出来，下面提供具体的计算方法。

设工件的直线度用函数f(x)表示，不失一般性，令f(0)＝0(如不为零则可通过平移得到)。选择合适的互质整数r、v，取两个传感器跨距分别为s₁＝vΔ、s₂＝rΔ，采用两种不同的传感器间距时采样总点数分别为 $>>>n>>s>1>>>=>>(>r>->1>)>>v>,>>>$ >>>n>>s>2>>>=>>(>v>->1>)>>r>.>>>分两种情况讨论，一种是当工件总长p＝s$$₁·s₂时的特殊情况，—种是当工件总长p≠s₁·s₂时的一般情况。以下为叙述方便，取Δ＝1，则p＝N，s₁＝v、s₂＝r，且假设v＜r。

一、当工件总长p＝s₁·s₂时的特殊情况

步骤1：设p＝s₁·s₂，此时总的测量点数为N＝rv，为表达的方便，令f(m)＝f(x_m)，m＝0，K，N-1；

步骤2：对被测对象进行测量；

步骤3：计算差分值：Δf(x)＝f(x+s)-f(x)，即 $>>\Delta >>f>>j>,>\sigma >>>>(>\alpha >)>>=>>f>>j>,>\sigma >>>>(>\alpha >+>>s>j>>)>>->>f>>j>,>\sigma >>>>(>\alpha >)>>,>->->->\alpha >=>0>,>K>,>>n>>>s>j>>>>->1>,>j>=>1,2>>>$

步骤4：采用逐次两点法评价时，可分别得到s₁、s₂条曲线，由于两点法测量不能确定出这些曲线之间的相互关系，故在评价时令这些曲线的首点均为零，因而在两次测量中，我们实际测得的结果如下： $>>f>>(>m>)>>+>>>e>j>>>s>j>>>>(>m>->>r>j>>)>>->f>>(>>r>j>>)>>=>>G>j>>>(>>r>j>>+>1>,>>t>j>>+>1>)>>,>j>=>1,2>,>m>=>0>,>K>,>N>->1>->->->>(>1>)>>>>$

分开写成以下算式：

传感器间距为s₁时： $>>f>>(>n>)>>+>>>e>1>>>s>1>>>>(>n>->>r>1>>)>>->f>>(>>r>1>>)>>=>>G>1>>>(>>r>1>>+>1>,>>t>1>>+>1>)>>->->->>(>2>)>>>>$

传感器间距为s₂时： $>>f>>(>n>)>>+>>>e>2>>>s>2>>>>(>n>->>r>2>>)>>->f>>(>>r>2>>)>>=>>G>2>>>(>>r>2>>+>1>,>>t>2>>+>1>)>>->->->>(>3>)>>>>$

式中，n＝0，1，Λ，N-1，r₁＝rem(n，s₁)，r₂＝rem(n，s₂)，t₁＝fix(n/s₁)，t₂＝fix(n/s₂)。符号rem(x，y)表示求两数x、y整除后的余数部分，fix(x)表示求不大于x的最大整数。显然r_j＝n-t_j·s_j，且0≤r_j≤s_j，j＝1，2。上面(2)(3)两式等号的右端为存放评价曲线数据的数组，数组中每一行为用逐次两点法得到的一条曲线的数据，数组下标从1开始。

步骤5：计算e₁/s₁-e₂/s₂值。

(1)当n＝k₁·s₁，k₁＝0，Λ，N/s₁-1时，有： $>>f>>(>>k>1>>·>>s>1>>)>>+>>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>1>>·>>s>1>>)>>=>>G>1>>>(>1>,>>k>1>>+>1>)>>->->->>(>4>)>>>>$ >>f>>(>>k>1>>·>>s>1>>)>>+>>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>1>>·>>s>1>>->>r>2>>)>>->f>>(>>r>2>>)>>=>>G>2>>>(>>r>2>>+>1>,>>t>2>>+>1>)>>->->->>(>5>)>>>>(4)(5)式右端为用逐次两点法得到的直线度评价数据，为已知量。将(4)(5)两式相减可得：$ >>>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>1>>·>>s>1>>)>>->>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>1>>·>>s>1>>->>r>2>>)>>+>f>>(>>r>2>>)>>=>>G>1>>>(>1>,>>k>1>>+>1>)>>->>G>2>>>(>>r>2>>+>1>,>>t>2>>+>1>)>>=>>A>1>>->->->>(>6>)>>>>(2)当n＝k$$$₂·s₂，k₂＝0，Λ，N/s₂-1时，有： $>>f>>(>>k>2>>·>>s>2>>)>>+>>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>2>>·>>s>2>>)>>=>>G>2>>>(>1>,>>k>2>>+>1>)>>->->->>(>7>)>>>>$ >>f>>(>>k>2>>·>>s>2>>)>>+>>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>2>>·>>s>2>>->>r>1>>)>>->f>>(>>r>1>>)>>=>>G>1>>>(>>r>1>>+>1>,>>t>1>>+>1>)>>->->->>(>8>)>>>>$$

同样，(7)(8)式右端为用逐次两点法得到的直线度评价数据，为已知量。将(7)(8)两式相减可得： $>>>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>2>>·>>s>2>>)>>->>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>2>>·>>s>2>>->>r>1>>)>>+>f>>(>>r>1>>)>>=>>G>2>>>(>1>,>>k>2>>+>1>)>>->>G>1>>>(>>r>1>>+>1>,>>t>1>>+>1>)>>=>>A>2>>->->->>(>9>)>>>>$

考察(6)(9)两式，当r₁＝r₂＝r时，两式相减，可得： $>>>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>1>>>s>1>>+>>k>2>>>s>2>>->r>)>>->>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>1>>>s>1>>+>>k>2>>>s>2>>->r>)>>=>>A>1>>->>A>2>>->->->>(>10>)>>>>$

从而由(10)式可得： $>>>>e>1>>>s>1>>>->>>e>2>>>s>2>>>=>>>>A>1>>->>A>2>>>>>k>1>>>s>1>>+>>k>2>>>s>2>>->r>>>->->->>(>11>)>>>>$

显然，我们知道，至少可以由v-1个方程求得e₁/s₁-e₂/s₂值，在实际测量中，可将所有这些值进行加权平均以降低噪声的影响。

步骤6：将s₁或s₂条曲线合成一条曲线，即在采样间隔的各点上重构工件直线度轮廓。下面以前者作为说明：

以G₁(1，j₁)曲线为标准，将其它曲线分别提升相应的差值即可拟合成一条曲线，这个差值由G₂(1，j₂)来确定，其中j₁＝1，Λ，N/s₁，j₂＝1，Λ，N/s₂。令r＝rem((j₂-1)s₂，s₁),t＝fix((j₂-1)s₂/s₁)，则提升后的评价曲线组为： $>>ver>>G>~>>1>>>(>>(>r>+>1>)>>,>:>)>>=>>G>1>>>(>r>+>1>,>:>)>>+>>(>>G>2>>>(>1>,>>j>2>>)>>->>G>1>>>(>r>+>1>,>t>+>1>)>>)>>+>>(>>>e>1>>>s>1>>>->>>e>2>>>s>2>>>)>>>(>>j>2>>->1>)>>·>>s>2>>->->->>(>12>)>>>>$

此时评价函数为： $>>ver>>f>~>>1>>>(>n>)>>=>ver>>G>~>>1>>>(>i>,>j>)>>->->->>(>13>)>>>>$

式中，n＝i+(j-1)·s₁，i＝1，Λ，s₁，j＝1，Λ，N/s₁。

同样我们以P₂(1，j₂)曲线为标准，将其它曲线分别提升相应的差值也可拟合成一条曲线： $>>ver>>f>~>>2>>>(>n>)>>=>ver>>G>~>>2>>>(>i>,>j>)>>->->->>(>14>)>>>>$

式中，n＝i+(j-1)·s₂，i＝1，Λ，s₂，j＝1，Λ，N/s₂。

步骤7：选择适当的加权系数w₁(n)和w₂(n)(n＝0，1，Λ，N-1)。简单起见，取w₁(n)＝0.5，w₂(n)＝0.5。

步骤8：求得最终的评价函数 $>ver>>f>~>>>(>n>)>>=>>>>w>1>>>(>n>)>>ver>>f>~>>1>>>(>n>)>>+>>w>2>>>(>n>)>>>(>ver>>f>~>>2>>>(>n>)>>+>>(>>>e>1>>>s>1>>>->>>e>2>>>s>2>>>)>>·>n>)>>>>>w>1>>>(>n>)>>+>>w>2>>>(>n>)>>>>->->->>(>15>)>>>>$

步骤9：去掉线性趋势，求得最终的评价函数。

二、当p≠s₁·s₂时一般情况

一般情况是p≠s₁·s₂，且信号f(x)不满足f(p)＝f(0)，此时仍可按以上办法处理。又分两种情况：

1、当p＞p′，即所测工件的长度p＞s₁·s₂，则可将p分为两段来处理，第一段长为p′＝s₁·s₂，0≤x＜p′，第二段长亦为p′＝s₁·s₂，且p-p′≤x＜p分别按上述方法得到两次直线度评价曲线，由于这两条曲线中有p-p′≤x＜p′区域测的是工件的同一部分，故将这一段曲线移位以重叠，从而可得到整个工件长度上的精确评价结果。

2、当p＜p′，即所测工件的长度p＜s₁·s₂，在工件长度不小于某一最小值p_min时仍能精确地将工件直线度重构出来。此时工件的最小长度必须满足一定的条件，该条件至少要求能够将e₁/s₁-e₂/s₂计算出来，此条件即为r₁＝r₂，其中r₁＝rem(n，s₁)，r₂＝rem(m，s₂)，n＝k₁·s₁，m＝k₂·s₂，求得这时最小的n_min和m_min，因此工件最小可精确重构长度为p_min＝max(n_min，m_min)。

我们假设最小的采样间隔为Δ_min，传感器间距或剪切量的最小值为s_1min＝v·Δ_min，为保证两种传感器间距或剪切量互质，同时又能检测最小的工件长度，则取另一传感器间距或剪切量为s_2min＝(v+1)·Δ_min。此时若工件长度为p≥s_1min·s_2min，则可采用前述方法进行精确重构。以下的方法便是基于这一思想提出的，具体步骤如下：

步骤1：选择适当的采样间隔Δ和传感器间距rΔ、vΔ

步骤2：计算此时能精确重构的工件最短长度

采用Matlab工具软件编程时，其程序结构如下：

Nf＝v*r；N1＝Nf-s1；％搜寻范围

for i＝1：(Nf/s1-1)

    r1＝rem(i*s1，s2)；

    for j＝1：(Nf/s2-1)

        r2＝rem(j*s2，s1)；

        if r1＝r2

            N＝max(i*s1，j*s2)；％工件可重构的最短长度

            if N＞＝N1

                 N＝N1；

            end

            N1＝N；

        end

    end

end

步骤3：判断被测工件实际长度是否大于该最短长度，如不是则不能精确重构；

步骤4：对被测对象进行测量；

步骤5：计算差分值；

步骤6：这一步的表达方式与前述的方法有所改变。先前的方法是将两种传感器间距或剪切量测量时得到的数据用逐次两点法进行评价的结果，分成两组分别包含s₁和s₂条评价曲线，每条评价曲线的起始点均为零。现在的方法是首先就将各组中的s₁和s₂条评价曲线组合成一条评价曲线，而后的步骤则是确定评价曲线上的各点的相互关系，分别将这些点摆在其应该的位置上。设工件直线度用函数f(x)表示，传感器间距或剪切量为s₁和s₂时的初始评价曲线分别用和表示，最后得到的评价函数用表示。将各组中所有曲线组合成一条曲线表示如下：

当传感器间距或剪切量为s₁时，初始评价曲线为 $>>ver>>f>~>>1>>>(>i>)>>=>0>,>i>=>0,1>,>\Lambda >,>>s>1>>->1>->->->->>(>17>)>>>>$ >>ver>>f>~>>1>>>(>i>)>>=>ver>>f>~>>1>>>(>j>->>s>1>>)>>+>\Delta >>f>1>>>(>i>->>s>1>>)>>,>i>=>>s>1>>,>>s>1>>+>1>,>\Lambda >,>N>->->->>(>18>)>>>>$$

同样，当传感器间距或剪切量为s₂时，初始评价曲线为 $>>ver>>f>~>>2>>>(>i>)>>=>0>,>i>=>0,1>,>\Lambda >,>>s>2>>->1>->->->>(>19>)>>>>$ >>ver>>f>~>>2>>>(>i>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>i>->>s>2>>)>>+>\Delta >>f>2>>>(>i>->>s>2>>)>>,>i>=>>s>2>>,>>s>2>>+>1>,>\Lambda >,>N>->->->>(>20>)>>>>$$

步骤7：计算e₁/s₁-e₂/s₂：

当i＝k₁s₁时， $>>f>>(>>k>1>>>s>1>>)>>+>>>e>1>>>s>1>>>·>>k>1>>>s>1>>=>ver>>f>~>>1>>>(>>k>1>>>s>1>>)>>->->->>(>21>)>>>>$ >>f>>(>>k>1>>>s>1>>)>>+>>>e>2>>>s>2>>>·>>(>>k>1>>>s>1>>->>r>2>>)>>->f>>(>>r>2>>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>>k>1>>>s>1>>)>>->->->>(>22>)>>>>$$

式中r₂＝rem(i，s₂)＝rem(k₁s₁，s₂)

当i＝k₂s₂时， $>>f>>(>>k>2>>>s>2>>)>>+>>>e>2>>>s>2>>>·>>k>2>>>s>2>>=>ver>>f>~>>2>>>(>>k>2>>>s>2>>)>>->->->>(>23>)>>>>$ >>f>>(>>k>2>>>s>2>>)>>+>>>e>1>>>s>1>>>·>>(>>k>2>>>s>2>>->>r>1>>)>>->f>>(>>r>1>>)>>=>ver>>f>~>>1>>>(>>k>2>>>s>2>>)>>->->->>(>24>)>>>>$$

式中r₁＝rem(i，s₁)＝rem(k₂s₂，s₁)。

由(21)、(22)可得： $>>>>e>1>>>s>1>>>>k>1>>>s>1>>->>>e>2>>>s>2>>>>(>>k>1>>>s>1>>->>r>2>>)>>+>f>>(>>r>2>>)>>=>ver>>f>~>>1>>>(>>k>1>>>s>1>>)>>->ver>>f>~>>2>>>(>>k>1>>>s>1>>)>>=>>B>1>>->->->>(>25>)>>>>$

由(23)、(24)可得： $>>>>e>2>>>s>2>>>>k>2>>>s>2>>->>>e>1>>>s>1>>>>(>>k>2>>>s>2>>->>r>1>>)>>+>f>>(>>r>1>>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>>k>2>>>s>2>>)>>->ver>>f>~>>1>>>(>>k>2>>>s>2>>)>>=>>B>2>>->->->>(>26>)>>>>$

当r₁＝r₂＝r_m时，由(25)、(26)可得： $>>>>e>1>>>s>1>>>->>>e>2>>>s>2>>>=>>>>B>1>>->>B>2>>>>>k>1>>>s>1>>+>>k>2>>>s>2>>->r>>>->->->>(>27>)>>>>$

步骤8：确定被测参数在某一传感器间距或剪切量时各点的位置关系；

步骤9：构成被测参数的评价曲线 $>ver>>f>~>>>(>i>)>>=>ver>>f>~>>1>>>(>i>)>>,>i>=>0>:>>s>1>>:>N>->->->>(>28>)>>>>$

注：i＝0∶s₁∶N表示i∈[0，N]，且i＝0，s₁，2s₁，Λ，下同。

同理： $>ver>>f>~>>>(>j>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>j>)>>+>>(>>e>1>>/>>s>1>>->>e>2>>/>>s>2>>)>>·>j>,>j>=>0>:>>s>2>>:>N>->->->>(>29>)>>>>$

令 $>>\delta >=ver>>f>~>>>(>j>)>>->ver>>f>~>>1>>>(>j>)>>,>>>则$ >ver>>f>~>>>(>k>)>>=>>ver>>f>~>>1>>>(>k>)>>+>\delta >,>k>=>r>>>:>s>>1>>:>N>->->->30>>>>$$

其中r＝rem(j，s₁)。

由以上步骤可求得i＝(0∶s₁∶N)，(1∶s₁∶N)，Λ，(r_m∶s₁∶N)时的值。还需另外想办法重构其余当i＝(r_m+1∶s₁∶N)，(r_m+2∶s₁∶N)，Λ，(s₁-1∶s₁∶N)时的值。此时则需利用传感器间距或剪切量为s₂时的初始评价曲线我们知道，由以上步骡已求得了评价曲线的首段([0，s₁-1])上的一部分即[0，r_m]时的值。故利用初始评价曲线当n＝r_m-1∶s₂∶N或n＝r_m∶s₂∶N时的值为： $>ver>>f>~>>>(>n>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>n>)>>+>f>>(>>r>m>>->1>)>>+>>(>>e>1>>/>>s>1>>->>e>2>>/>>s>2>>)>>·>>(>n>->>r>m>>+>1>)>>->->->>(>31>)>>>>或$ >ver>>f>~>>>(>n>)>>=>ver>>f>~>>2>>>(>n>)>>+>f>>(>>r>m>>)>>+>>(>>e>1>>/>>s>1>>->>e>2>>/>>s>2>>)>>·>>(>n>->>r>m>>)>>->->->>(>32>)>>>>$$

求r′＝rem(n，s₁)，则此时的r′＝(Λ，r_m+1，r_m+2，Λ，s₁-1)，从而就可以重构当i＝(r_m+1∶s₁∶N)，(r_m+2∶s₁∶N)，Λ，(s₁-1∶s₁∶N)时的值。

以下的Matlab程序可继续精确重构这些点上的评价曲线值。

for i＝rm∶s2∶N-1

       fxe(i+1)＝fxe2(i+1)+fxe(rm+1)+dt*(i-rm)；

       if(i~＝rm)&(i~＝N)

         dat＝fxe(i+1)-fxe1(i+1)；

         for j＝rem(i，s1)∶s1∶N-1

             fxe(j+1)＝fxe1(j+1)+dat；

          end

       end

    end

程序中rm即为r_m＝max(rem(j，s₁))值，dt为e₁/s₁-e₂/s₂的值，fxe()为评价曲线数组，fxe1()为初始评价曲线数组。

步骤10：去掉线性趋势，求得最终的评价函数。

至此，最终评价曲线上所有点i∈[0，N]的值均已重构出来。

另外要说明的是，在以上采用位移传感器检测工件的直线度、圆柱度、平面度和面形精度时，我们均忽略了溜板运动时相对工件的偏摆角度对评价结果的影响，因为在实验中我们发现这个影响非常小，可以忽略，如果这个偏摆角度的影响不能忽略时，我们则可以在溜板上设置一角度传感器(如自准直仪等)实时检测传感器安装架的偏摆角度ri(其中i＝0，N-s，s为剪切量)，然后在相应的差分值中减去s·tg(r_i)项，即Δf′(i)＝Δf(i)-s·tg(r_i)，用Δf′(i)代替相应的Δf(i)，再按本发明的方法计算即可。