一种用于矿石粒度累积分布估计的单调插值方法

摘要

本发明涉及一种用于矿石粒度累积分布估计的单调插值方法，其包括以下步骤：1)使用n种孔径的筛网对矿石样本进行粒度筛分测量，测量得到矿石粒度的累计分布数据，并将筛网孔径大小由小到大依次记为x1,x2,...,xn，矿石粒度的累计分布数据记为y1,y2,...,yn，且y1≤y2≤...≤yn，由此得到n个已知数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中n为自然数；2)计算每相邻两数据点连线斜率；3)对各已知数据点进行log30.5次幂均值Hermite插值。本发明采用“幂均值Hermite插值框架”，可以证明，该框架下的所用方法中，采用log30.5次幂均值的方法是能够保证插值的单调性且平坦度最低的方法。同时，本发明计算步骤简洁，不需要像很多已有方法中那样使用额外的修正步骤，应用非常方便。

说明书

技术领域

本发明涉及一种单调插值方法，具体涉及一种用于矿石粒度累积分布估计的单调插值方法。 

背景技术

单调插值问题是对满足单调性的已知数据点进行插值，使得插值曲线仍然满足相同单调性的插值问题。由于现实中的诸多问题，例如种群数量的增长、工作量的累积等，都存在单调性，若希望对其进行插值计算，则插值得到的曲线也应满足单调性，否则与物理意义相悖。因此，单调插值问题有很大的实际应用空间。 

矿石粒度累积分布是对矿石粒度的一种表示方式，广泛应用在选矿工业中。选矿时首先需要对从矿场开采出的大粒度矿石进行破碎、研磨，使其成为粒度微小的矿粉，才能进行进一步的选别，而磨碎、研磨的质量高低对最终产品的质量的产量有着重大影响。因此，选矿工业对于矿石粒度的变化非常关注。矿石累积分布由2个n维向量组成，粒级向量和分布向量。粒级向量表示一系列粒级，分布向量表示粒度小于等于对应粒级的矿石质量占矿石总质量的百分比。由于实际测量矿石粒度的方法为筛分法，而筛分法受筛网孔径的限制只能对若干特定粒级进行测量。涉及表达的完整性和仿真的匹配性等问题，通常仅仅几个特定粒级的分布并不能满足使用需求，因此，通常希望得到任意粒级的累积分布，为了满足此要求，需要进行插值计算。矿石粒度累积分布插值问题是一个典型的单调插值问题，但在现有的很多国际知名选矿仿真软件中，对于矿石粒度累积分布的插值处理过于武断，并没有利用有效的单调插值方法，得到的插值效果不尽如人意，这对于选矿工业非常关注的矿石粒度变化的仿真是一个非常不利的状况。况且，现有的主要插值方法,如多项式插值、3次样条插值等，均无法满足单调性的需求。而现有的单调插值方法各有优劣，很多尚有改进的空间。 

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是一种性能优异的用于矿石粒度累积分布的单调插值方法。 

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种用于矿石粒度累积分布估计的单调插值方法，其包括以下步骤： 

1)使用n种孔径的筛网对矿石样本进行粒度筛分测量，测量得到矿石粒度的累计分布数据，并将筛网孔径大小由小到大依次记为x₁,x₂,...,x_n，矿石粒度的累计分布数据记为y₁,y₂,...,y_n，且y₁≤y₂≤...≤y_n，由此得到n个已知数据点(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)， 其中n为自然数； 

2)计算每相邻两已知数据点连线的斜率； 

3)对各已知数据点进行log₃0.5次幂均值Hermite插值： 

①估计各已知数据点处的导数：采用log₃0.5次幂均值估计k＝2,3,...,n-1处的数据点的导数： 

$m_k={\left(\frac{s_k^{{\log }_{3}0.5}+s_{k-1}^{{\log }_{3}0.5}}{2}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{3}0.5}},k=\mathrm{2,3},...,n-1;$

上式中，m_k表示第k个已知数据点处的导数估计值；s_k表示第k个与第k+1个已知数据点连线的斜率；由于k＝1和k＝n时数据点处于两端，不存在斜率s₀与s_n，因而使用单侧斜率进行估计： 

m₁＝s₁,m_n＝s_n-1； 

②计算插值函数：对于x∈(x_k,x_k+1),k＝1,2,...n-1，插值函数为： 

p(x)＝h₀₀(t)y_k+h₁₀(t)(x_k+1-x_k)m_k+h₀₁(t)y_k+1+h₁₁(t)(x_k+1-x_k)m_k+1； 

上式中，p(x)表示所求的插值函数；t是为了表述方便对自变量x进行变量替换得到的变量，且h₀₀,h₁₀,h₀₁,h₁₁均表示Hermite基函数，具体形式如下： 

h₀₀(t)＝2t³-3t²+1 

h₁₀(t)＝t³-2t²+t 

h₀₁(t)＝-2t³+3t²； 

h₁₁(t)＝t³-t²

至此，插值计算完毕，所得插值函数p(x)即为最终插值结果。 

在上述步骤2)中，每相邻两已知数据点连线斜率的计算公式为： 

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明提出“幂均值Hermite插值框架”，该框架可以涵盖多个已有的插值方法，其中包括应用最为广泛的经典Hermite插值，以及重要的调和平均Hermite插值，具有一定的普适性。可以证明，在该框架中，本发明所采用的log₃0.5次幂均值Hermite插值，是所有基于该框架的插值方法中能够满足插值的单调性且插值曲线平坦度最低的方法，在单调插值领域优于框架中的所有方法。2、对于框架外的方法，可以证明，本发明采用的插值方法在平坦度方面不亚于任何一种已有方法。同时，本发明计算步骤简洁，不需要像很多已有方法中那样使用额外的修正步骤，应用非常方便。 

附图说明

以下结合附图来对本发明进行详细的描绘。然而应当理解，附图的提供仅为了更好地理解本发明，它们不应该理解成对本发明的限制。 

图1是本发明的流程示意图； 

图2(a)和(b)是两种不同插值方法平坦度的对比图； 

图3是本发明实施例的插值结果曲线图； 

图4(a)是调和平均Hermite插值结果曲线图； 

图4(b)是某国际著名选矿仿真软件插值结果曲线图； 

图4(c)是应用广泛的3次样条插值结果曲线图； 

图4(d)是应用广泛的多项式插值结果曲线图。 

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。 

如图1所示，本发明提供的矿石粒度累积分布估计的单调插值方法包括以下步骤： 

1)数据采集：使用n种孔径的筛网(孔径大小由小到大依次记为x₁,x₂,...,x_n)对矿石样本进行粒度筛分测量，测量得到矿石粒度的累计分布数据，记为y₁,y₂,...,y_n，由此得到n个已知数据点(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(x_n,y_n)，其中n为自然数。由于筛网孔径是由小到大排列的，因此有x₁<x₂<...<x_n，又由于累积分布的特性，有y₁≤y₂≤...≤y_n，满足单调性。 

2)通过下式计算每相邻两数据点连线斜率： 

$s_k=\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k},k=\mathrm{1,2},...,n-1---\left(1\right)$

上式中，s_k表示第k个与第k+1个已知数据点连线的斜率。由于x₁<x₂<...<x_n且y₁≤y₂≤...≤y_n，因此对于任意k，有s_k≥0。 

3)对各已知数据点进行log₃0.5次幂均值Hermite(埃尔米特)插值： 

①估计各已知数据点处的导数：利用以上斜率s_k，采用log₃0.5次幂均值估计k＝2,3,...,n-1处的数据点的导数： 

$m_k={\left(\frac{s_k^{{\log }_{3}0.5}+s_{k-1}^{{\log }_{3}0.5}}{2}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{3}0.5}},k=\mathrm{2,3},...,n-1---\left(2\right)$

上式中，m_k表示第k个已知数据点处的导数估计值。由于k＝1和k＝n时数据点处于两端，不存在斜率s₀与s_n，因而可使用单侧斜率进行估计： 

m₁＝s₁,m_n＝s_n-1   (3) 

需要说明的是，幂均值即幂形式的平均值，对于任意2个正实数a,b，其p次幂均 值为： 

${\left(\frac{a^p+b^p}{2}\right)}^{\frac{1}{p}}---\left(4\right)$

当p＝1时，a与b的1次幂均值即为算数平均值；当p→0时，a与b的0次幂均值即为几何平均值；当p＝-1时，a与b的-1次幂均值即为调和平均值。基于此，本发明提出，若将导数估计统一为幂均值的形式，即： 

$m_k={\left(\frac{s_k^p+s_{k-1}^p}{2}\right)}^{\frac{1}{p}},k=\mathrm{2,3},...,n-1---\left(5\right)$

则对于不同的p，存在一系列插值方法，本发明将其称为“幂均值Hermite插值框架”。可以证明，该框架下的所用方法中，采用log₃0.5次幂均值的方法是能够保证插值的单调性且平坦度最低的方法。其中，平坦度是评判插值方法优劣的重要标准。如图2(a)和(b)所示，图2(a)与图2(b)分别是2种不同插值方法在相同已知数据点上得到的插值曲线(横坐标代表自变量X，纵坐标代表因变量Y)，二者均满足单调性与1阶光滑性，然而很明显，图2(a)的插值效果要优于图2(b)，原因正是图2(b)的曲线平坦度过高，远不及图2(a)的曲线圆润。因此，本发明提出的log₃0.5次幂均值Hermite插值方法是框架中的最优方法。 

②计算插值函数：对于x∈(x_k,x_k+1),k＝1,2,...n-1，插值函数为： 

p(x)＝h₀₀(t)y_k+h₁₀(t)(x_k+1-x_k)m_k+h₀₁(t)y_k+1+h₁₁(t)(x_k+1-x_k)m_k+1   (6) 

上式中，p(x)表示所求的插值函数；t是为了表述方便对自变量x进行变量替换得到的变量，且h₀₀,h₁₀,h₀₁,h₁₁均表示Hermite基函数，具体形式如下： 

h₀₀(t)＝2t³-3t²+1 

h₁₀(t)＝t³-2t²+t   (7) 

h₀₁(t)＝-2t³+3t²

h₁₁(t)＝t³-t²

至此，插值计算完毕，所得插值函数p(x)即为最终插值结果，满足与单调性和1阶光滑性，并且平坦度低。 

下面通过一个具体的实施例以进一步说明本发明的流程及达到的效果，该实施例提供的矿石粒度累积分布估计的单调插值方法包括以下步骤： 

1)数据采集：在国内某金矿磨浮过程车间采取矿石样本，进行粒度筛分测量，共使用10种孔径的筛网，孔径分别为0.037毫米，0.074毫米，0.15毫米，0.2毫米,0.355 毫米,1.18毫米,2毫米,6毫米,10毫米，12毫米，测量得到的累积分布分别为20.0％，28.7％，46.0％，67.1％，75.3％，78.3％，86.7％，93.2％，99.0％，100％。即得到10个已知数据点(x₁,y₁)＝(0.037,0.200)、(x₂,y₂)＝(0.074,0.287)…(x₁₀,y₁₀)＝(12,100)，满足单调递增特性，x₁<x₂<...<x₁₀且y₁≤y₂≤...≤y₁₀。 

2)计算每相邻两数据点连线斜率： 

$s_k=\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k},k=\mathrm{1,2},...,9$

3)利用以上斜率，采用log₃0.5次幂均值估计各数据点处的导数： 

$m_k={\left(\frac{s_k^{{\log }_{3}0.5}+s_{k-1}^{{\log }_{3}0.5}}{2}\right)}^{\frac{1}{{\log }_{3}0.5}},k=\mathrm{2,3},...,9$

上式仅对k＝2,3,...,9处的导数进行估计，由于k＝1和10时数据点处于两端，不存在s₀与s₁₀，因而使用单侧斜率进行估计： 

m₁＝s₁,m₁₀＝s₉

4)计算插值函数：对于x∈(x_k,x_k+1),k＝1,2,...n-1，插值函数为： 

p(x)＝h₀₀(t)y_k+h₁₀(t)(x_k+1-x_k)m_k+h₀₁(t)y_k+1+h₁₁(t)(x_k+1-x_k)m_k+1

对于本实施例的各数据点，本发明方法与一些现有方法的插值结果对比如图3、图4所示(横坐标代表矿石粒级，单位为mm，使用对数坐标；纵坐标代表累积分布，单位为％。)。其中，图3为本发明方法插值结果，效果令人满意；图4(a)为调和平均Hermite插值结果，虽然满足单调性，但平坦度相比本发明方法明显高，不能尽如人意；图4(b)为当前某知名选矿仿真软件插值结果，虽然同样满足单调性，但损失了一些已知的数据信息，效果不能令人满意；图4(c)与图4(d)分别为应用最为广泛的3次样条插值与多项式插值结果，二者均不能满足单调性，其中多项式插值结果更加难以接受。 

上述各实施例仅用于对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。