一种修形圆柱齿轮的有限元网格自动生成方法

摘要

本发明涉及一种修形圆柱齿轮的有限元网格自动生成方法，用以解决修形圆柱齿轮仿真分析中有限元网格模型建立操作繁杂的问题。该方法基于齿轮修形加工的基本原理，通过计算出修形齿轮的齿廓曲线点以及内部点，形成齿轮有限元模型的网格节点坐标，进而建立起齿轮的有限元网格模型。本发明建立了修形齿轮有限元网格自动生成的方法，可以免去三维建模以及划分网格的繁琐工作，在很短的时间内建立起齿轮有限元模型，大大提高齿轮有限元计算分析的效率和精度。

说明书

技术领域

本发明涉及齿轮仿真的技术领域，具体涉及一种修形圆柱齿轮的有限元网格自动生成方 法，适用于齿轮仿真分析中有限元网格自动生成。

背景技术

目前国内外对于齿轮有限元仿真分析的前处理，一般是先通过三维建模软件建立齿轮的 三维几何模型，然后将齿轮模型导入有限元分析软件中进行网格划分，最后根据仿真工况条 件定义载荷及边界条件。为了保证有限元仿真分析的计算精度并顾及计算效率，需要建立网 格分布合理的齿轮网格模型，在有限元软件中进行齿轮的划分网格操作费时费力，需要进行 线、面、体网格划分定义多个步骤，迫切需要一种能够根据给定基本参数自动生成修形齿轮 网格模型的方法。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：通过给定齿轮的基本参数、修形参数、网格划分参数，便 可以自动生成齿轮的三维有限元网格模型，免去了在三维建模软件中的建模及在有限元软件 中网格划分的复杂操作流程，大大提高了仿真分析前处理的效率。

本发明采用的技术方案是：一种修形圆柱齿轮的有限元网格自动生成方法，其特征在于 实现步骤如下：

步骤(1)：已知齿轮基本参数、齿廓修形参数、齿向修形参数、网格参数四组参数，基 本参数包括：齿数z、模数m、压力角α、螺旋角β、齿宽B、变位系数x、齿轮安装中心距 a、法向侧隙j_bn；齿廓修形参数包括：齿顶修形量Δ_a、齿顶修形高度l_a、齿顶修形指数b_a， 齿根修形量Δ_f、齿根修形高度l_f、齿根修形指数b_f；齿向修形参数包括：左侧修形量Δ_l、左 侧修形长度l_l、左侧修形指数b_l，右侧修形量Δ_r、右侧修形长度l_r、右侧修形指数b_r；网格 参数包括：齿廓上部网格数n₁、齿廓中部网格数n₂、齿廓下部网格数n₃、齿根圆角网格数 n₄、齿根底部网格数n₅、齿厚网格数n₆、齿底网格数n₇、齿向左侧网格数n₈、齿向中部网格 数n₉、齿向右侧网格数n₁₀(网格参数的划分区间位置如附图2所示)；

步骤(2)：根据步骤(1)中的基本参数计算中间参数，齿顶圆半径，r_a＝r_p+h_a，齿根 圆半径r_f＝r_p-h_f，齿顶高h_a＝(h_a^*+x-Δy)·m，齿根高h_f＝(h_a^*+c^*-x)·m，其中的 Δy＝x₁+x₂-y，a’为实际中心距，a为理论中心距齿高系数 h_a^*＝1，顶隙系数c^*＝0.25；

步骤(3)：根据齿向网格数将齿轮沿齿向方向分割为n个截面n＝n₈+n₉+n₁₀+1，分别求 取n个截面上的网格点，每个截面的位置由l_x表示，齿向修形量随着l_x的变 化而改变，计算截面对应的齿向修形量Δ：当时，当$l_x\in [-(\frac{B}{2}-l_1),(\frac{B}{2}-l_r)]$时，Δ＝0；当$l_x\in \left[\frac{B}{2}-l_r,\frac{B}{2}\right]$时，$\Delta ={\Delta }_r·{\left(\frac{l_x-\frac{B}{2}+l_r}{l_r}\right)}^b;$

步骤(4)：由步骤(3)中的齿向修形量Δ计算其中齿轮分 度圆半径$r_p=\frac{m_t·z}{2},$端面模数$m_t=\frac{m}{\cos \beta };$

步骤(5)：根据步骤(4)得到的r_pa计算齿廓曲线计算公式为其中：

——齿轮转角，决定齿廓上点的位置

ξ——相邻两齿间夹角的一半

与齿轮转角相关的刀具点计算方程：

式中

r_p——齿轮分度圆半径，

m——齿轮模数

α_t——端面压力角，${\alpha }_t=\arctan \left(\frac{{\tan \alpha }_n}{\cos \beta }\right)$

s_t——刀具端面上齿距的一半，

m_t——端面模数，

齿廓上距齿轮圆心半径为r的任一点对应的及刀具上点的坐标(x,y)：

$\left(\begin{array}{c}x=\frac{-2·(x_n·m+r_{\mathrm{pa}}·{\tan }^2{\alpha }_t)+\sqrt{{\left[2(x_n·m+r_{\mathrm{pa}}·{\tan }^2{\alpha }_t)\right]}^2-4·(1+{\tan }^2{\alpha }_t)·[{(r_{\mathrm{pa}}·\tan {\alpha }_t)}^2+{(x_n·m)}^2-{(r·{\tan \alpha }_t)}^2]}}{2·(1+{\tan }^2{\alpha }_t)}\\ y=-\frac{s_t}{2}+x·\tan {\alpha }_t\end{array}\right)$

式中：

r——齿廓上任一点距齿轮中心的距离

r_pa——砂轮中心与齿轮圆心的距离，控制齿向修形量的大小

x_n——齿轮法向变位系数

Δ为齿廓上距齿轮圆心半径为r的任一点对应的齿廓修形量，当r∈[r_a,r_a-l_a]时， 当r∈[r_a-l_a,r_f+l_f]时，Δ＝0；当r∈[r_f+l_f,r_f]时，

步骤(6)：计算齿根过渡曲线，根据基本参数中的顶隙和压力角计算刀具圆角半径 顶隙c＝c^*·m，计算刀具圆角中心坐标 $R_o(x,y)=({{m·h}_a}^{*}+c-r_c,\frac{s_t}{2}+m·{h_a}^{*}·\tan {\alpha }_t+r_c·\cos {\alpha }_t)\text{,}$根据刀具圆角中心坐标求得刀具圆角 上任意一点$R_r\left({\alpha }_c\right)=\left(\begin{array}{c}{-R}_o\left(x\right)-r_c·{\sin \alpha }_c\\ {-R}_o\left(y\right)+r_c·{\cos \alpha }_c\\ 0\\ 1\end{array}\right),$通过坐标变换将刀具圆角坐标转变为齿根过渡曲 线坐标：经过步骤(5)(6)后可以得到齿廓曲线各点(如附图3a 所示)；

步骤(7)：根据步骤(2)中的中间参数计算内部分割边界点M1(r_acosξ,r_asinξ)， M2(r_fcosξ,r_fsinξ)，M3(r_dcosξ,r_dsinξ)，(各分割点位置如图2所示，计算完成后得到各边界点，如图3b 所示)；

步骤(8)：根据步骤(5)计算的齿廓曲线步骤(6)计算的齿根过渡曲线步骤(7)计算的内部分割边界点，按步骤(1)输入的网格划分数计算出截面分割边界点(如 附图3c所示)，将分割边界点之间进行等分，得到包含内部网格点的l_x＝0截面位置的网格节 点(如附图3d所示)；

步骤(9)：将步骤(8)得到的截面网格节点经过旋转运动变换，得到当前l_x对应 的左侧截面网格节点计算公式为：

式中：

$M_1\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& l_x\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

θ——螺旋运动角，每个截面对应一个θ，

p——螺旋参数，由齿轮螺旋角β决定，

步骤(10)：根据步骤(9)得到的l_x截面位置网格点经过对称变换得到l_x截面的 右侧网格节点计算公式为：

$M_2\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos (2\xi +2\theta )& \sin (2\xi +2\theta )\theta & 0& 0\\ \sin (2\xi +2\theta )& -\cos (2\xi +2\theta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

将与步骤(9)中得到的整合，得到l_x截面对应的截面点(如附图3e所示)；

步骤(11)：重复步骤(4)～(10)直到所有l_x对应的截面点均计算完成(如附图4)； 各截面网格点坐标计算完成后，通过相邻8个节点之间连线，构成由多个六面体网格单元组 成的齿轮有限元模型(附图5、6)，按照有限元元件前处理文件格式存储节点和单元信息， 利用该电子文件，可以快速建立起齿轮的有限元网格模型。

本发明的原理：基于齿轮修形加工的基本原理，计算出修形齿轮的齿廓曲线点以及内部 点，形成齿轮有限元模型的网格节点坐标，从而建立齿轮的有限元网格模型。

本发明与现有技术相比的有益效果是：目前修形齿轮建模操作复杂，有限元分析前处理 操作复杂、专业技术要求高、效率低，本发明建立了修形齿轮有限元网格自动生成的方法， 可以免去三维建模以及划分网格的繁琐工作，在很短的时间内建立起齿轮有限元模型，大大 提高齿轮有限元计算分析的效率和精度。

附图说明

图1为本发明的方法流程图；

图2为齿轮截面划分示意图；

图3为齿轮界面点生成过程示意图；

图4为单齿节点计算结果示意图；

图5为单齿有限元网格模型示意图；

图6为完整齿轮有限元网格模型示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例进一步说明本发明。

本发明是针对圆柱齿轮有限元建模而设计的快速建模方法，以模数为5的齿轮为例，建 模流程图如图所示。本实施实例以表参数中的小轮为对象，建模的实现步骤如下：

步骤(1)：给定基本参数

步骤(2)：根据基本参数和安装参数，结合齿高系数、顶隙系数，计算齿轮的分度圆、 齿顶圆、齿根圆半径。

h_a^*＝1

c^*＝0.25

$r_p=\frac{m_t·z_1}{2}=51.96125$

$a=\frac{(z_1+z_2)·m}{2\cos \beta }=147.2243$

$y=\frac{(a^{\prime }-a)}{m}=0.555136$

Δy＝x₁+x₂-y＝0.0281638

h_a＝(h_a^*+x-Δy)·m＝6.2342

h_f＝(h_a^*+c^*-x)·m＝4.875

r_a＝r_p+h_a＝58.1957

r_f＝r_p-h_f＝47.0865

$\xi =\frac{\pi }{z}=0.1745330$

步骤(3)：计算齿向修形量，对于中间截面，以l_x＝0为例，Δ＝0；

对于左侧截面，以l_x＝-0.018m为例，$\Delta ={\Delta }_1·{\left(\frac{{-l}_x-\frac{B}{2}+l_1}{l_1}\right)}^2=0.01·{\left(\frac{-0.018-\frac{0.036}{2}+0.05}{0.05}\right)}^2=0.01;$

对于右侧截面，以l_x＝0.018m为例，$\Delta ={\Delta }_r·{\left(\frac{l_x-\frac{B}{2}+l_r}{l_r}\right)}^b=0.01·{\left(\frac{0.018-\frac{0.036}{2}+0.05}{0.05}\right)}^2=0.01;$

步骤(4)：根据齿向修形量计算不同截面刀具中心与齿轮中心的距离：

Δ＝0截面，

Δ＝0.01截面，

步骤(5)：根据齿廓上距齿轮圆心半径为r的任一点对应的计算齿廓点坐标，以r＝51.04248为例：

$\left(\begin{array}{c}x=\frac{-2·(x_n·m+r_{\mathrm{pa}}·{\tan }^2{\alpha }_t)+\sqrt{{\left[2(x_n·m+r_{\mathrm{pa}}·{\tan }^2{\alpha }_t)\right]}^2-4·(1+{\tan }^2{\alpha }_t)·[{(r_{\mathrm{pa}}·\tan {\alpha }_t)}^2+{(x_n·m)}^2-{(r·{\tan \alpha }_t)}^2]}}{2·(1+{\tan }^2{\alpha }_t)}=-2.281119\\ y=-\frac{s_t}{2}+x·\tan {\alpha }_t=5.493199\end{array}\right)$

步骤(6)：计算齿根过渡曲线，根据基本参数中的顶隙和压力角计算刀具圆角半径 顶隙c＝c^*·m＝1.25，计算刀具圆角中心坐标：

$R_o(x,y)=({{m·h}_a}^{*}+c-r_c,\frac{s_t}{2}+m·{h_a}^{*}·\tan {\alpha }_t+r_c·\cos {\alpha }_t)=\left(\mathrm{4.209353,8.517136}\right)$

通过坐标变换将刀具圆角坐标转变为齿根过渡曲线坐标，计算公式为 其中：

刀具圆角坐标$R_r\left({\alpha }_c\right)=\left(\begin{array}{c}{-R}_o\left(x\right)-r_c·{\sin \alpha }_c\\ {-R}_o\left(y\right)+r_c·{\cos \alpha }_c\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

${\alpha }_c\in [{\alpha }_t,\frac{\pi }{2}]=\left[\mathrm{0.397863,1.570796}\right]$

步骤(7)：根据齿轮参数计算分割边界点坐标：

r_d＝r_a-2(h_a+h_f)＝35.977343

M1(r_acosξ,r_asinξ)＝(57.311582,10.105578)

M2(r_fcosξ,r_fsinξ)＝(46.310974,8.165874)

M3(r_dcosξ,r_dsinξ)＝(35.430766,6.247400)

上式中x_m，y_m的计算方法：当α_c，取最大值时，利用步骤(7)中过渡曲线公式求得 (x_m,y_m)＝(47.025396,0.499455)；

步骤(8)：根据步骤(5)计算的齿廓曲线步骤(6)计算的齿根过渡曲线步骤(7)计算的内部分割边界点，按步骤(1)输入的网格划分数计算出各点之间的中间点， 得到l_x＝0截面位置的网格点

步骤(9)：将步骤(8)得到的截面网格点经过旋转运动变换，得到当前l_x对应的 左侧截面网格点计算公式为：

式中：

$M_1\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& l_x\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

θ——螺旋运动角，每个截面对应一个θ，

p——螺旋参数，由齿轮螺旋角β决定，

步骤(10)：根据步骤(9)得到的l_x截面位置网格点经过对称变换得到l_x截面的 右侧网格点计算公式为：

$M_2\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos (2\xi +2\theta )& \sin (2\xi +2\theta )\theta & 0& 0\\ \sin (2\xi +2\theta )& -\cos (2\xi +2\theta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

将与步骤(9)中得到的整合变得到l_x截面对应的截面点

步骤(11)：根据齿向各截面的r_pa，重复步骤(4)～(10)，计算出其他截面点，获得一 个齿的所有节点，将相邻八个节点连接成为单元，建立齿轮的有限元网格模型。

综上，通过以上流程，可以建立建立齿轮的有限元网格模型，将本流程编写成计算程序， 可实现齿轮有限元网格模型的快速自动建立，极大简化齿轮有限元分析前处理所需要的建模 及网格划分工作。本发明适用于圆柱齿轮有限元分析前处理过程中的有限元网格划分，为齿 轮啮合性能有限元分析提供了一种快速的建模方法。

本发明未详细阐述部分属于本领域公知技术。凡采用等同变换或者等效替换而形成的技 术方案，均落在本发明权利保护范围之内。