基于误差球的球度误差评定方法

摘要

本发明一种基于误差球的球度误差评定方法，它包括如下步骤：1、获取测量点坐标和初始数据；2、确定寻优空间；3、给定评定精度ε；4、计算基准点坐标；5、计算每个基准点所对应的球度误差，并求取该次迭代的最小球度误差Emin及其所在基准点坐标Omin；6、终止判断并输出结果。本发明简化了划分过程并减少了冗余点的计算，提高了效率，能够得到给定评定精度下的满足最小区域条件的球度误差和参数。

说明书

技术领域

本发明涉及精密球面检测技术，特别是一种基于误差球的球度误差评定方法。

背景技术

随着现代科技的发展，球形零件的球面精度在航空航天、精密仪器仪表和医疗机械等领 域中的要求越来越高。这就对球度误差的科学评定提出了更高要求，然而国内外对于球度误 差的评定至今没有明确标准。因此，开展相关理论和方法的研究具有重要意义。

目前，球度误差评定通用的评定方法有：最小二乘法、最小区域法、最小外接球法和最 大内接球法。其中最小外接球法和最大内接球法的评定精度较差，最小二乘法虽然计算简单 可靠，但是它作为一种近似计算方法并不满足最小区域条件。最小区域法评定精度最高，也 是国家规定的仲裁准则但将其直接用于球度误差的评定属于不可微复杂最优化问题。目前， 相关学者多引入计算几何、数论规划理论等来逼近最小区域条件，但不足之处是原理较为复 杂，不利于推广和使用。

近年来，国内外一些学者将智能优化原理应用于球度误差的评定，如遗传算法、粒子群 算法、免疫进化理论等，均取得了一定成果。但这些算法的理论和数学基础不尽完善，如遗 传算法存在收敛速度较慢和“早熟”等问题，因此也不宜推广使用。

中国发明专利CN101957191A提出了一种基于自适应迭代领域搜索的圆度和球度误差的 评定方法，该方法原理简单也能满足最小区域条件，其不足之处在于：需要对整个区域进行 划分从而存在冗余方位点的计算问题；参数较多且区域划分参数和迭代参数选取为统计数据， 不够理想；终止判断以事先设定的迭代参数为依据，不够精确。

发明内容

本发明的目的在于提供了一种减少了对冗余方位点的计算、方法简单、能够达到给定的 评定精度的基于误差球的球度误差评定方法。

本发明有两种迭代方式：一种是按照给定评定精度ε直接进行迭代；另一种是引入二分 思想即将给定精度放大后再进行迭代。

一、直接迭代，包括以下步骤：

步骤1：获取测量点坐标和初始数据。测量并获得球面点的坐标P_i(x_i,y_i,z_i)，i＝1,2,... n；n为测点数目。利用最小二乘法的近似线性模型获取初始评定参数，以最小二乘球心作为 初始球心，评定的球度误差作为初始误差。

所述步骤1中最小二乘法的近似线性模型的目标函数为：

$\left(\begin{array}{c}F=\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{[{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2-r^2]}^2}{4r^2}\\ =\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}{[A({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)+D{x}_i+E{y}_i+F{z}_i+G]}^2\end{array}\right)$

其中x₀,y₀,z₀为最小二乘球心，r为最小二乘半径；D＝-2Ax₀,E＝-2Ay₀, F＝-2Az₀,$G=\frac{x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2}{2r}.$

则初始球心$O_0(x_0,y_0,z_0)=(-\frac{D}{2A},-\frac{E}{2A},-\frac{F}{2A});$初始误差E₀＝ΔR＝maxR₀-minR₀， 其中$R_0=\sqrt{{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2},$i＝1,2,...,n.

步骤2：确定寻优空间。以步骤1中所求的初始球心O₀为球心，初始误差E₀为半径所作 的球。

通过对球度误差评定原理的研究可知：实际被测球面的理想球心必然位于以评定点为球 心，评定误差为半径所构建的球内，称该球为误差范围球。由此最小区域法评定就转化为在 误差范围球内寻找最小误差范围球所在的球心。

步骤3：给定评定精度ε，建立迭代单元。以初始球心O₀为球心，给定评定精度ε为半径 所作的误差球即为迭代单元。

如果存在以理想球心作一个球，使得以该球内任意一点所评定的球度误差均能满足评定 精度要求，则称该球为误差球。由误差球定义可知，只要评定球心位于以理想球心所作的半 径为给定精度ε的球内，即可认为以该点来评定球度误差能满足精度要求。也就是说，只要 理想球心位于以评定点为球心以给定精度ε为半径的球内，就能满足评定要求。所以，以误 差球进行迭代所得到的球心可以作为该精度下的理想球心。

步骤4：计算基准点坐标，将步骤3所作的误差球按内接正八面体进行划分，则正八面 体的每个顶点坐标即为基准点坐标。故基准点的坐标O_j(x_j,x_j,z_j)(j＝1,2，...，6)为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=x_0+ϵ,y_1=y_0,z_1=z_0\\ x_2=x_0-ϵ{,y}_2=y_0,z_2=z_0\\ x_3=x_0,y_3=y_0+ϵ,z_3=z_0\\ x_4=x_0,y_4=y_0-ϵ,z_4=z_0\\ x_5=x_0,y_5=y_0,z_5=z_0+ϵ\\ x_6=x_0,y_6=y_0,z_6=z_0-ϵ\end{array}\right)$

由于误差球内各点均能满足给定精度要求，故只需考虑理想球心位于误差球之外的情况。 对误差球球面进行划分取点应满足：球面外任意一点距所取基准点的最小距离小于距误差球 球心的距离。由此，可取误差球内接正八面体的顶点作为该次迭代的基准点坐标。同时考虑 到取点的方便性和各向同性，以误差球与坐标轴的交点作内接正八面体。

步骤5：计算每个基准点所对应的球度误差，并求取该次迭代的最小球度误差E_min及其 所在基准点坐标O_min。

步骤6：将步骤5所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若E_min小 于E₀，则将步骤5所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作为新的初 始球心即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤3；否则将本次迭代的初始球心O₀和初始球度误差E₀分别作为评定球心和评定球度误差，输出结果。

二、引入二分思想进行迭代，包括如下步骤：

步骤1：获取测量点坐标和初始数据。测量并获得球面点的坐标P_i(x_i,y_i,z_i)，i＝1,2,... n；n为测点数目。利用最小二乘法的近似线性模型获取初始评定参数，以最小二乘球心作为 初始球心，评定的球度误差作为初始误差。

所述步骤1中最小二乘法的近似线性模型的目标函数为：

$\left(\begin{array}{c}F=\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{[{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2-r^2]}^2}{4r^2}\\ =\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}{[A({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)+D{x}_i+E{y}_i+F{z}_i+G]}^2\end{array}\right)$

其中x₀,y₀,z₀为最小二乘球心，r为最小二乘半径；D＝-2Ax₀,E＝-2Ay₀, F＝-2Az₀,$G=\frac{x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2}{2r}.$

则初始球心$O_0(x_0,y_0,z_0)=(-\frac{D}{2A},-\frac{E}{2A},-\frac{F}{2A});$初始误差E₀＝ΔR＝maxR₀-minR₀， 其中$R_0=\sqrt{{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2},$i＝1,2,...,n.

步骤2：确定寻优空间。以步骤1中所求的初始球心O₀为球心，初始误差E₀为半径所作 的球。

步骤(3)：给定评定精度ε和放大倍数B，建立迭代单元。以初始球心O₀为球心，给定评 定精度的B倍(B*ε)为半径所作的误差球即为迭代单元。其中常取B≈E₀/ε且B＝2ⁿ。

该迭代方式是先将给定精度ε放大B倍，其中B在每次迭代中减半，直至为1，之后再按 给定的评定精度ε进行迭代和终止判断。二分思想的引入是为了快速确定理想球心的方位， 进而加快评定速度。由于终止条件仍是给定评定精度ε，所以该迭代方式也能满足评定要求。

步骤(4)：计算基准点的坐标，将步骤(3)所作的误差球按内接正八面体进行划分，则正 八面体每个顶点坐标即为基准坐标。基准点坐标O_j(x_j,x_j,z_j)(j＝1,2，...，6)为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=x_0+B*ϵ,y_1=y_0,z_1=z_0\\ x_2=x_0-B*ϵ,y_2=y_0,z_2=z_0\\ x_3=x_0,y_3=y_0-B*ϵ,z_3=z_0\\ x_4=x_0,y_4=y_0-B*ϵ,z_4=z_0\\ x_5=x_0,y_5=y_0,z_5=z_0+B*ϵ\\ x_6=x_0,y_6=y_0,z_6=z_0-B*ϵ\end{array}\right)$

步骤(5)：计算每个基准点所对应的球度误差，并求取该次迭代的最小球度误差E_min及所 在基准点坐标O_min。

步骤(6)：判断B的值，若B不等于1，则令B自减半，即B＝B/2，继续执行；否则直 接跳到步骤(7)。

将步骤(5)所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若E_min小于E₀， 则将步骤(5)所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作为新的初始球心 即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤(3)；否则直接返回步骤(3)进行处理。

步骤(7)：将步骤(5)所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若E_min小 于E₀，则将步骤(5)所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作为新的初 始球心即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤(3)；否则将本次迭代的初始球心O₀和初始球度误 差E₀分别作为评定球心和评定球度误差，输出结果。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

1、明确了寻优空间，本方法通过构建误差范围球模型来明确理想球心所在范围，避免了 对多余空间的计算；

2、提出了误差球模型，并以此进行划分迭代而非之前文献对整个区域进行划分迭代，简 化了划分过程并减少了冗余点的计算，提高了效率；并对误差球采用内接八面体进行划分既 具有代表性又兼顾方向性；

3、引入了二分思想加快了评定速度；

4、以给定的评定精度作为终止判断依据，能够得到给定评定精度下的满足最小区域条件 的球度误差和参数。

附图说明

图1为本发明迭代模型；

图2为本发明对误差球面划分、取点模型；

图3为本发明的迭代流程图。

具体实施方式

实施例1

在图3所示的一种基于误差球的球度误差评定方法迭代流程图中，直接迭代，包括如下 步骤：

步骤1：获取测量点坐标和初始数据。测量并获得球面点的坐标P_i(x_i,y_i,z_i)，i＝1,2,... n；n为测点数目。利用最小二乘法的近似线性模型获取初始评定参数，以最小二乘球心作为 初始球心，评定的球度误差作为初始误差。

其线性模型的目标函数为：

$\left(\begin{array}{c}F=\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{[{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2-r^2]}^2}{4r^2}\\ =\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}{[A({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)+D{x}_i+E{y}_i+F{z}_i+G]}^2\end{array}\right)$

其中x₀,y₀,z₀为最小二乘球心，r为最小二乘半径；D＝-2Ax₀,E＝-2Ay₀, F＝-2Az₀,$G=\frac{x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2}{2r}.$

则初始球心$O_0(x_0,y_0,z_0)=(-\frac{D}{2A},-\frac{E}{2A},-\frac{F}{2A});$初始误差E₀＝ΔR＝maxR₀-minR₀， 其中$R_0=\sqrt{{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2},$i＝1,2,...,n.

步骤2：确定寻优空间。以步骤1中所求的初始球心O₀为球心，初始误差E₀为半径所作 的球。

步骤3：给定评定精度ε，建立迭代单元。以初始球心O₀为球心，以给定的评定精度ε为 半径作误差球即为迭代单元。

由于理想球心位于误差范围球内，可将整个误差范围球直接进行分割取点来寻找理想球 心。但直接进行区域划分和代表点选取较为复杂且存在冗余点的计算问题。为此，本发明提 出了基于误差球的迭代寻优方法，其模型如图1所示。

步骤4：计算基准点坐标。将步骤3所作的误差球按内接正八面体进行划分，则正八面 体每个顶点坐标即为基准点坐标。基准点坐标O_j(x_j,x_j,z_j)(j＝1,2，...，6)为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=x_0+ϵ,y_1=y_0,z_1=z_0\\ x_2=x_0-ϵ{,y}_2=y_0,z_2=z_0\\ x_3=x_0,y_3=y_0+ϵ,z_3=z_0\\ x_4=x_0,y_4=y_0-ϵ,z_4=z_0\\ x_5=x_0,y_5=y_0,z_5=z_0+ϵ\\ x_6=x_0,y_6=y_0,z_6=z_0-ϵ\end{array}\right)$

由于误差球内各点均能满足给定精度要求，故只需考虑理想球心位于误差球之外的情况。 对误差球球面进行划分取点应满足：球面外任意一点距所取基准点的最小距离小于距误差球 球心的距离。由此，可取误差球内接正八面体的顶点作为该次迭代的基准点坐标。同时考虑 到取点的方便性和各向同性，以误差球与坐标轴的交点作内接正八面体，如图2所示。

步骤5：计算每个基准点所对应的球度误差，并求取该次迭代的最小球度误差E_min及所 在基准点O_min的坐标。

分别以O_j为假想的理想球心按最小区域法评定球度误差E_j。即： E_j＝ΔR＝maxR_j-minR_j，其中：$R_j=\sqrt{{(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2+{(z_i-z_j)}^2};$i＝1,2,...,n；j ＝1,2,...,6.

比较各点的球度误差E_j的大小，将其中最小者所在点的坐标赋予O_min，球度误差赋予 E_min。

步骤6：将步骤5所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若E_min小 于E₀，则将步骤5所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作为新的初 始球心即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤3；否则将本次迭代的初始球心O₀和初始球度误差E₀分别作为评定球心和评定球度误差，输出结果。

实施2

引入二分思想进行迭代，包括如下步骤：

步骤1：获取测量点坐标和初始数据。测量并获得球面点的坐标P_i(x_i,y_i,z_i)，i＝1,2,... n；n为测点数目。利用最小二乘法的近似线性模型获取初始评定参数，以最小二乘球心作为 初始球心，评定的球度误差作为初始误差。

其线性模型的目标函数为：

$\left(\begin{array}{c}F=\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{{[{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2-r^2]}^2}{4r^2}\\ =\underset{i}{\overset{n}{\Sigma }}{[A({x_i}^2+{y_i}^2+{z_i}^2)+D{x}_i+E{y}_i+F{z}_i+G]}^2\end{array}\right)$

其中x₀,y₀,z₀为最小二乘球心，r为最小二乘半径；D＝-2Ax₀,E＝-2Ay₀, F＝-2Az₀,$G=\frac{x_0^2+y_0^2+z_0^2-r^2}{2r}.$

则初始球心$O_0(x_0,y_0,z_0)=(-\frac{D}{2A},-\frac{E}{2A},-\frac{F}{2A});$初始误差E₀＝ΔR＝maxR₀-minR₀， 其中$R_0=\sqrt{{(x_i-x_0)}^2+{(y_i-y_0)}^2+{(z_i-z_0)}^2},$i＝1,2,...,n.

步骤2：确定寻优空间。以步骤1中所求的初始球心O₀为球心，初始误差E₀为半径所作 的球。

步骤(3)：给定评定精度ε和放大倍数B，建立迭代单元。以初始球心O₀为球心，以给 定评定精度的B倍(B*ε)为半径作误差球即为迭代单元。其中常取B≈E₀/ε且B＝2ⁿ。

步骤(4)：计算基准点坐标。将步骤(3)所作的误差球按内接正八面体进行划分，则 正八面体每个顶点坐标即为基准点坐标。基准点坐标O_j(x_j,x_j,z_j)(j＝1,2，...，6) 为：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1=x_0+B*ϵ,y_1=y_0,z_1=z_0\\ x_2=x_0-B*ϵ,y_2=y_0,z_2=z_0\\ x_3=x_0,y_3=y_0-B*ϵ,z_3=z_0\\ x_4=x_0,y_4=y_0-B*ϵ,z_4=z_0\\ x_5=x_0,y_5=y_0,z_5=z_0+B*ϵ\\ x_6=x_0,y_6=y_0,z_6=z_0-B*ϵ\end{array}\right)$

步骤(5)：计算每个基准点所对应的球度误差，并求取该次迭代的最小球度误差E_min及 所在基准点O_min的坐标。

分别以O_j为假想的理想球心按最小区域法评定球度误差E_j。即： E_j＝ΔR＝maxR_j-minR_j，其中：$R_j=\sqrt{{(x_i-x_j)}^2+{(y_i-y_j)}^2+{(z_i-z_j)}^2};$i＝1,2,...,n；j ＝1,2,...,6.

比较各点的球度误差E_j的大小，将其中最小者所在点的坐标赋予O_min，球度误差赋予 E_min。

步骤(6)：判断B的值，若B不等于1，则令B自减半，即B＝B/2，继续执行；否则 直接跳到步骤(7)。

将步骤(5)所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若E_min小于E₀， 则将步骤(5)所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作为新的初始球 心即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤(3)；否则直接返回步骤(3)进行处理。

步骤(7)：将步骤(5)所得最小球度误差E_min与本次迭代初始球度误差E₀相比较，若 E_min小于E₀，则将步骤(5)所得最小球度误差E_min作为新的初始误差，其所在基准点O_min作 为新的初始球心即E₀＝E_min，O₀＝O_min，返回步骤(3)；否则将本次迭代的初始球心O₀和 初始球度误差E₀分别作为评定球心和评定球度误差，输出结果。

以下通过实验实例，说明本发明的有效性。表1为本发明所提供方法对文献[1Fan K C, Lee J C.Analysis of minimum zone sphericity error using minimum potential energy theory[J]. PrecisionEngineering,1999,23(2):65-72.]的测量数据(见表2)进行处理的结果。

由表1可见，由发明方法计算的球度误差与文献[1]基本一致，而明显优于最小二乘法， 证实了本方法的有效性。

通过改变判断条件，本发明同样适用于最小外接球法和最大外接球法对球度误差的评定， 例如将寻找基准点的最小球度误差改为寻找包容实测点的最小外接球半径即可用于最小外接 球法评定球度误差。

本发明也不局限于球度误差的评定，通过适当变通即可推广到直线度、圆度、圆柱度等 其它形状误差的评定中。

表1 数据处理结果

表2 文献[1]中测量数据

续表2