阶梯波多电平变换器特定谐波消除开关角度的求解方法

摘要

本发明涉及一种关于阶梯波多电平变换器特定谐波消除开关角度的求解方法，使用了初等对称多项式对方程组进行降次以及groebner基算法对方程组进行三角化，将多元高次多项式方程组的求解转化为两个一元高次多项式方程以及一组单变元一次方程的求解，并结合约束条件可以得出消谐方程组的所有解，通过评价每一组解的总谐波失真，进而可以得出最优开关角度。与目前常用的数值算法和随机搜索算法相比，无需给定初值，且能够得出消谐方程组的所有解；与目前已有的其他代数算法相比，计算量大幅降低，可以处理更多的开关角度，具有更高的实用价值。

说明书

技术领域

本发明涉及电力电子系统及其控制方法领域，特别是关于逆变器以及多电平变换器的控制与谐波消除方法，具体地说，是一种关于特定谐波消除（Selective Harmonic Eliminated，SHE）开关角度的求解方法。

背景技术

特定谐波消除（以下简称SHE）调制不同于传统的波形调制PWM技术，它是一种通过求解方程组来求得开关角度的方法。与正弦脉宽调制技术相比， SHE调制具有开关频率低、开关损耗小和波形质量高等特点。由于消除了低次谐波，剩余谐波多集中于高频，可以大大降低对滤波器的要求，此外还可以获得较高的电压增益，节约能源。如图1所示为阶梯波11电平SHE调制的输出波形，其中α₁, α₂…α₅是四分之一周期中的开关角度，V_dc为直流电平的电压大小。根据函数的奇偶对称性，输出波形的傅里叶级数中只含有奇数次正弦分量，如（式1）所示。

                                （式1）

其中n = 2k-1，k为自然数，b_n为各奇次谐波的幅值，计算公式如下：

                              （式2）

SHE调制的基本思想是通过控制四分之一周期波形中的开关角度α₁, α₂…α₅，使得输出电压的某些高次谐波的幅值为零，即如（式2）所示的谐波幅值b_n=0。那么可以得到如下关于开关角度的非线性方程组：

                      （式3）

其中0 < α₁ < α₂ < … < α₅ < π/2，调制比m =0.25πb₁/V_dc，表示基波幅值b₁与直流电压V_dc的比值关系，方程的个数等于开关点数5,能够消除的谐波个数为4，对于三相变换器，零序谐波将会在线电压中相互抵消，因此在（式3）中无需列出三次及其整数倍次谐波的方程。（式3）很容易推广至开关点数为N的情形，以下称之为SHE方程组。

关于SHE方程组的求解，目前多采用数值方法（如牛顿迭代法、同伦算法等）或随机搜索算法（如遗传算法、群体智能算法等）进行求解，由于数值算法或随机搜索算法的局部收敛性，求解过程严重依赖于初值的选择，合适的初值可以使收敛的速度大大加快，否则会收敛很慢甚至发散，而关于初值的选取目前尚没有系统有效的方法。而且SHE方程组很有可能会存在多个局部极值点，通过数值算法或随机搜索算法求得的局部最优解不能保证就是全局最优的，从而变换器的性能也不能保证是最优的。近年来，有基于代数理论（例如结式消元法、吴方法等）的求解方法提出，此类方法无需给定初值且能给出SHE方程组的所有解，但是目前能够有效处理的开关点数最高为5，对于开关点数更多的情形由于计算量太大而无法给出最终结果。因此，研究能够处理更多开关角度、无需给定初值且能得出所有开关角度组合的求解方法对于进一步提高变换器的谐波消除效果、提高电网的电能质量具有重要的实际应用价值。

发明内容

本发明要解决目前已有的关于阶梯波多电平变换器SHE调制开关角度的求解方法所存在的以下三个问题：1. 初值的选取。目前，初值的选取仍没有系统、有效的方法，研究者普遍采用试凑的手段，能够得到一些经验公式或在某些特定情况下有效的方法，但是指导性理论的缺乏不能保证已有的这些方法能够适应所有的情况，并限制了该技术的实用化。2. 全局最优解的求取。由于数值算法和随机搜索算法本身的局部收敛性，不仅求解过程严重依赖于初值的选择，而且对于一个给定的初值也只能是收敛到一个局部最优解，而实际上SHE方程组往往存在多组解，如何找出所有的局部最优解进而确定全局最优解对特定消谐逆变器的设计具有重要的价值。3. 代数算法计算量太大。目前能够处理的开关点数最多为5，对于开关点数更多的情况由于计算量太大而无法给出最终结果。

为达成所述目的，本发明阶梯波多电平变换器特定谐波消除开关角度的求解方法包括如下步骤。

步骤S1：利用三角函数倍角公式及变量代换  将SHE方程组转化为多项式方程组,不难发现中的每一个多项式关于变元  都是对称的。

步骤S2：根据任一对称多项式都可以唯一地表示为关于初等对称多项式  的多项式这一结论，将转化为关于  的多项式方程组。

步骤S3：令调制比  为一个具体的数值，然后将  代入，并计算  在纯字典序  下的约化groebner基，为 ，其中为关于的一元高次多项式， 为关于和的二元多项式，且关于是一次的。

步骤S4：求解一元高次多项式方程 ，并结合约束条件, 得到  个满足约束条件的实解 。

步骤S5：将步骤S4中求得的每一个  代入 ，代入之后的  为线性方程组，求出。

步骤S6：对每一组，构造如下的一元N次多项式方程：

根据初等对称多项式的定义，可以将  的求解转化为上述的一元N次多项式方程的求解。

步骤S7：求解步骤S6中得到的  个一元高次多项式方程，得到  组解 。

步骤S8：依次检验  是否满足以下两个条件：（1） 为  个互异实解；（2）所有实解都位于区间  之间。舍弃不满足以上两个条件的解，最终得到一共存在  组解。

步骤S9：对步骤S8中得到的  组解  中的每一组，根据  计算出相应的开关角度，并将开关角度按照从小到大的顺序排列得到 。

步骤S10：评价  组开关角度 的消谐效果，给出消谐效果最优的那一组开关角度为全局最优解。

本发明提出的技术方案通过利用对称多项式和groebner基方法对SHE方程组进行简化和三角化，将多元高次方程组的求解等价转化为求解两个一元高次方程以及线性方程组。不同于常用的数值算法和随机搜索算法，该方法无需给定初值，且能得到SHE方程组的所有解。相对于目前已有的代数算法，能够处理的开关角度数量得到了大幅提升。具有更强的实用性。对SHE方程组的所有解进行评价进而可以得到最优开关角度，从而可以设计出性能最优的变换器。

附图说明

图1为阶梯波11电平SHE调制的输出波形。

图2为本发明阶梯波多电平变换器特定谐波消除开关角度的求解方法的流程图。

图3为阶梯波11电平变换器输出的相电压波形。

图4为阶梯波11电平变换器输出的相电压波形的傅里叶分析。

图5为阶梯波11电平变换器输出的线电压波形。

图6为阶梯波11电平变换器输出的线电压波形的傅里叶分析。

具体实施方式

下面就本发明所采用的技术方案给出一些具体的实施例，应当指出的是，所描述的实施例仅旨在便于对本发明的理解，而不对其起任何限定作用。

具体实施例一：结合开关点数N=3的阶梯波多电平变换器对求解方法中的各个步骤进行详细说明。

对于N=3的三相阶梯波多电平变换器，其SHE方程组为：

                      （式4）

其中0 < α₁ < α₂ < α₃ < π/2，调制比m取值范围一般为0 < m < 3，在实际中m的值一般事先给定，这里不妨以m = 2为例进行说明。

步骤S1：根据余弦函数多倍角公式有：

                （式5）

     （式6）

将（式5）和（式6）代入（式4），并令，消谐方程组转化为如下的多项式方程组：

                           (式7)  。

步骤S2：N=3时，初等对称多项式的定义为：

                                   （式8）

根据对称多项式理论，任一对称多项式都可以唯一地表示为关于初等对称多项式的多项式。也就是说（式7）可以转化为关于  的多项式方程组。转化的方法有逐步消首项法和待定系数法等，本实施例中调用了符号计算软件mathematica的  命令，得到如下与（式7）等价的方程组：

     （式9） 。

步骤S3：令m = 2，由（式9）第一个方程得 ，代入（式9）的后两个方程，得到

           （式10）

对（式10）等式左边的两个多项式，计算其在纯字典序下的约化groebner基，关于groebner基的计算方法为现有技术，具体技术细节可以参考有关文献（例如：《计算机代数基础：代数与符号计算的基本原理》，张树功主编，科学出版社，2005），这里不做详细介绍。在具体实施中可以调用符号计算软件Maple中Groebner工具箱中的Basis() 函数来计算，具体的调用方式为：

with(Groebner);

G₁ := Basis([h₂, h₃], plex(e₂, e₃));

其中 h₂, h₃为（式10）中等式左边的多项式，得到如下等价的多项式方程组：

       （式11）

根据groebner基理论，（式11）和（式10）具有相同的解。

步骤S4：求解（式11）中的第一个方程。在Maple环境下可以调用fsolve()函数求解，得出方程只有1个实解，且满足，为：

      。

步骤S5：将  代入(式11)的第二个方程，求得如下：

      。

步骤S6：根据  构造如下方程：

      （式12） 。

步骤S7：求解（式12），得到：

    。

步骤S8：检验步骤S7中得到的三个解：为三个互异实解，且都位于区间  之间，因此为方程组（式7）的解。

步骤S9：根据  将步骤S8中求得的关于(式7)的解转化为开关角度，并且按照从小到大的顺序排列，最终得到开关角度为：

             。

步骤S10：由于当m=2时，只存在步骤9中求得的一组开关角度，所以自然这组开关角度是全局最优的。如果存在多组解，可以以如下的总谐波失真指标来评价每一组解的谐波消除效果：

  。

其中V₁,V₁₁,V₁₃,V₁₇,V₁₉分别为基波幅值和第11、13、17、19次等非零序谐波的幅值，其计算公式如（式2）所示。最终选择THD最小的那一组解作为最优解。在本实施例中选择了第11、13、17、19次谐波的总和来评价开关角度的消谐效果，也可以选择更多的高次谐波来计算。

为了更好地说明本发明所采用的技术方案，以N=5的情况给出第二个实施例，由于N=5时中间过程的表达式比较庞大，这里只给出计算结果，省略具体的表达式。每一步骤所使用的方法与具体实施例一相同。

具体实施例二：当N=5时，三相阶梯波变换器需要消去的谐波次数为5,7,11,13次谐波，因此SHE方程组除了基波方程外，还需令5,7,11,13次谐波的幅值为零，一共5个方程。

步骤S1：根据余弦函数多倍角公式和变量代换  将原始的SHE方程组转化为多项式方程组 ，其中。

步骤S2：将  转化为关于初等对称多项式的多项式方程组 ，其中为关于  的初等对称多项式。

步骤S3：令调制比m = 3.5，根据  得 ，代入，并计算在纯字典序下的groebner基，方程组转化为 ，其中第一个方程为  的一元高次多项式方程， 除了变元  外，只含有一个变元，且关于是一次的。

步骤S4：求解 ，并舍弃不满足的实解，最终得一共有3个满足条件的实解，分别为：

，，  。

步骤S5：将  代入，求得为：；将和也代入求得相应的，最终得到关于的三组解，如下：

步骤S6：根据步骤S5得到的三组解  分别构造如下的一元五次多项式方程：

  。

步骤S7：分别求解步骤S6中得到的三个一元五次多项式方程，得到关于  的三组解 。

步骤S8：检验步骤S7中得到的三组解 是否满足以下两个条件：（1）为5个互异实根；（2）是否都位于区间  之间。检验的结果为第三组解不满足条件，前两组解满足条件，如下：

   。

步骤S9：根据  将步骤S8中求得的两组解转化为开关角度，并且按照从小到大的顺序排列，最终得到两组开关角度为：

   。

步骤S10：对步骤S9中得到的两组解，分别按照以下公式计算THD：

   。

求得两组解的THD分别为：，所以第二组解为最优解。

以本实施例中得到的两组开关角度控制三相11电平级联式阶梯波多电平变换器得到的输出电压波形及电压波形的傅里叶分析见图3、图4、图5和图6所示，直流电源电压为100伏特，输出电压频率为50赫兹。图3为输出的相电压波形，横坐标为时间（单位：秒），纵坐标表示输出电压（单位：伏特），VP1为第一组开关角度生成的相电压，VP2为第二组开关角度生成的相电压；图4 中VP1_fft和VP2_fft分别为为相电压VP1和VP2的傅里叶分析，横坐标为频率（单位：赫兹），纵坐标为电压（单位：伏特），表示基波和各次谐波的幅值大小。可以看到第5,7,11,13次谐波都已经被消去，但是第3,9次等零序谐波分量依然存在。图5为输出的线电压波形，VL1和VL2分别为第一组和第二组开关角度生成的线电压，图6中VL1_fft和VL2_fft分别是线电压VL1和VL2的傅里叶分析，可以看出，第5, 7, 9, 11, 13, 15次谐波都已经被消去，最低次谐波为第17次。

需要指出的是，可以将阶梯波多电平SHE调制推广至一般的多电平SHE调制，此时输出的PWM波形中，基波和各次谐波分量幅值的通用计算公式为

                         （式13）

其中N为开关点数，余弦项前面的“”号依赖于该开关时刻PWM波形的跃迁状态，如果为上升沿，则为“+”号，如为下降沿，则为“-”号。根据需要消去的谐波，同样可以得出类似于（式3）的SHE方程组，区别在于余弦项前面不再全部为“+”号，而是有正有负。此种情况下，由于当n为奇数时，有：。所以对前面为“-”号的余弦项，做变量代换 ，对前面为“+”号的余弦项，做变量代换 ，SHE方程组就可以转化为对称形式，本发明提出的求解方法依然适用。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。