分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计系统及估计方法

摘要

本发明涉及分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计方法。本发明按照根据所述DOA估计值的计算公式计算DOA估计值所需要的迭代周期数，利用gossip算法对实现DOA估计的信号组成部分不断更新至一个信息完全共享的理想状态，执行完所有迭代周期后，可以得到DOA的良好估计。本发明不需要矩阵求逆的方法，即可实现分布式网络中信息共享及DOA值的估计。

说明书

技术领域

本发明涉及一种分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计系统及估 计方法。

背景技术

在分布式网络中，由于不存在fusion center收集所有接收信号并进行处 理，因此无法采用传统的DOA估计算法对目标进行参数估计。即使存在中心节 点对信号进行处理，也需要耗费大量的传输代价，且系统的稳定性依赖于中心 节点的稳定性。分布式网络中，已有算法一般将整个系统划分为多个子系统并 在多个子系统中进行信号传递并进行参数估计，然而这对网络结构有一定的要 求，且要求每个子系统中存在一个中心节点，算法的稳定性依然不高。

由于在传感器网络内部实现信息共享时不需要特定的路线，也不需要预先 设置中心节点以避免出现由于中心节点崩溃使得整个网络崩溃的问题，在不稳 定的传感器网络中算法性能也很稳定，gossip算法在近几年颇受关注，在计算 机科学、控制、信号处理和信息理论领域都有gossip算法的应用。将gossip 算法应用到分布式网络的DOA估计主要是在节点之间共享信息以得到每个节点 的DOA估计。然而，利用原始的DOA算法如CAPON算法进行分布式的DOA估计 时必须利用噪声相关信号替代接收信号的自相关矩阵。由于矩阵求逆不易实现， 这在多目标的场景下会产生很多干扰。因此寻求不需要矩阵求逆的DOA估计算 法并结合gossip算法进行分布式网络中的DOA估计意义重大。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提出一种分布式网络中基于gossip算法的 多目标DOA估计系统及估计方法，不需要矩阵求逆的方法，即可实现分布式网 络中信息共享及DOA值的估计。本发明是这样实现的：

一种分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计方法，包括如下步骤：

在第φ迭代周期中，根据第φ迭代规则对所述第φ信号数据向量进行 gossip迭代，每次迭代后，判断所述第φ信号数据向量与迭代前是否相等，如 果是，则记录并累加相等次数，否则将相等次数归零；其中,φ的初始值为1, 所述第φ信号数据向量利用第φ迭代周期中各接收节点的初始值构建得到；

当所述相等次数达到预设次数，且φ的值未达到预设值时，完成第φ迭代 周期的迭代，并储存此时的第φ信号数据向量，并将第φ信号数据向量中各接 收节点的信号作为第φ+1迭代周期中各接收节点的初始值；

循环执行上述各步骤，每次循环时，φ的值比上一循环中φ的值增加1， 当φ的值达到预设值时，根据各迭代周期的迭代结果，利用DOA估计值的计算 公式计算DOA估计值；所述预设值为根据所述DOA估计值的计算公式计算DOA 估计值所需要的迭代周期数。

进一步地，所述预设值为6。

进一步地，当φ＝1时，所述DOA估计方法包括如下步骤：

各接收节点接收初始信号z_i(l-1)，并根据构建第一迭 代周期中各节点的初始值其中，λ表示发射信号的波长，表示角 度为θ的目标与第i接收节点的近似距离z_i(l-1)表示第i节点在第l-1采样点的接 收信号，L表示采样点数目，[]^*表示共轭操作；

将第一迭代周期中各接收节点的初始值存储在N_rG维向量中， 形成第一信号数据向量；其中，N_r为接收节点个数，G为角度空间的离散化精 度；

根据第一迭代规则对第一信号数据向量进行迭代；其 中，表示gossip更新矩阵,表示N_rG的单位 矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一个G维 向量，t表示迭代次数；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；其中，和分别为第i个接收节 点在第t和第t-1次迭代得到的值，θ为目标的角度，C为计数器变量；

当相等次数C_T达到预设次数C_T时，储存当前每个接收节点的信号并将其作为第二迭代周期中各接收节点的初始值；其中：C_T＝ρN_r，ρ是预设的 常数；其中，t₁表示实现第一迭代周期信息共 享所耗费的迭代次数，N_r为接收节点个数，λ表示发射信号的波长，角度为θ的 目标与第i接收节点的近似距离，z_i(l-1)表示第i节点在采样点l-1的接收信号， L表示采样点数目；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

进一步地，当φ＝2时，所述DOA估计方法包括如下步骤：

根据计算第二迭代周期中各接收节点的 新的初始值

利用第二迭代周期中各接收节点的新的初始值构成新的L维初始 向量：${\tilde{X}}_{2i}(\theta ,t_1)={[{\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,0),...,{\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,L-1)]}^T;$

将各接收节点的存储在N_rGL维向量中，形成第二信号数据向 量；

根据第二迭代规则对第二信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_{r}G(L+1),G(L+1)}\left(t\right)=I_{N_{r}G(L+1)}-\frac{1}{2}(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j}){(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j})}^T$表示gossip更 新矩阵,表示N_rG(L+1)的单位矩阵，e_G(L+1)i表示第iG(L+1)-G(L+1)-1个元素 至第iG(L+1)个元素为1而其他元素都为0的一个G(L+1)维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；其中，和分别为第i个接收节 点在第t和第t-1次迭代得到的值；

当相等次数C达到预设次数C_T时，根据计算γ₁(θ)， 并储存当前每个接收节点的输出并将其作为第三迭代周期中各接收 节点的初始值；其中：t₂为实现第二迭代周期信息共享所 耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

进一步地，当φ＝3时，所述DOA估计方法包括如下步骤：

根据${\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_2,l)$得到

根据${\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,l)=N_r{z}_i^{*}(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,l_1)$得到第三迭代周期中各接收节点 的新的初始值

根据第三迭代周期中各接收节点的新的初始值构成新的L维初 始向量：${\tilde{X}}_{3i}(\theta ,t_2)={[{\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,0),...,{\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,L-1)]}^T;$

将各接收节点的存储在N_rGL维向量中，形成第三信号数据向 量；

根据第三迭代规则对第三信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_{r}G(L+1),G(L+1)}\left(t\right)=I_{N_{r}G(L+1)}-\frac{1}{2}(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j}){(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j})}^T$表示gossip更 新矩阵,表示N_rG(L+1)的单位矩阵，e_G(L+1)i表示第iG(L+1)-G(L+1)-1个元素 至第iG(L+1)个元素为1而其他元素都为0的一个G(L+1)维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当相等次数C达到预设次数C_T时，根据计算γ₂(θ)，并存储 当前每个接收节点的信号并将其作为第四迭代周期中各接收节点的 初始值；其中，${\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_2,l);$t₃为实现第三迭代周期信 息共享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

进一步地，当φ＝4时，所述DOA估计方法包括如下步骤：

根据计算第四迭代周期中各接收节点 的新的初始值

将第四迭代周期中各接收节点的新的初始值存储在N_rG维向量 中，形成第四信号数据向量；

根据第四迭代规则对所述第四信号数据向量进行迭代； 其中，表示gossip更新矩阵，表示N_rG的 单位矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一 个G维向量，t表示迭代次数；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据得到γ₃(θ)，并存储当前每个接收节 点的γ₁(θ)，γ₂(θ)，γ₃(θ)，并将存储的当前每个接收节点的γ₁(θ)，γ₂(θ)，γ₃(θ)作 为第五迭代周期中各接收节点的初始值；其中：由 第二迭代周期结束时获得；由第三迭代周期结束时获得； 由第四迭代周期结束时获得，t₄为实现第四迭代周期信息共 享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

进一步地，当φ＝5时，所述DOA估计方法的包括如下步骤：

根据${\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_4)=e^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)$计算

根据${\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4,l)=z_i(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l_1-1)$计算

根据计算γ₆(θ)；其中，L为采样点的个数，M_t为发射节点个数，x_m为第m发射节点的发射信号，R_x为发射信号的自相关矩阵， λ表示发射信号的波长，表示第m发射节点与角 度为θ的目标之间的近似距离，表示角度为θ的目标与第i接收节点的近似 距离，[]^*表示共轭操作，[]^T表示转置操作；

利用和γ₆(θ)，构成新的L维初始向量：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4)=[({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,0))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right),...,\\ {({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,L-1))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)]}^T\end{array}\right),$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-{3\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_4)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,l)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-{3\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4,l)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-{4\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]{\gamma }_6\left(\theta \right)\end{array}\right);$

将存储在N_rGL维向量中，形成第五信号数据向量；

根据第五迭代规则对所述第五信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_r\mathrm{GL},\mathrm{GL}}\left(t\right)=I_{N_r\mathrm{GL}}-\frac{1}{2}(e_{\mathrm{GLi}}-e_{\mathrm{GLj}}){(e_{\mathrm{GLi}}-e_{\mathrm{GLj}})}^T$表示gossip更新矩阵,表 示N_rGL的单位矩阵，e_GLi表示第iGL-GL-1个元素至第iGL个元素为1而其他元 素都为0的一个GL维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据计算γ₄(θ)；并存储当前每个接收节 点的信号并将其作为第六迭代周期中各接收节点的初始值，t₅为实 现第五迭代周期信息共享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

进一步地，当φ＝6时，所述DOA估计方法包括如下步骤：

根据公式${\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_5)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_5,l),$得到

根据构成新的L维向量： ${\tilde{X}}_{6i}(\theta ,t_5)=({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime \prime }\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime \prime }(\theta ,t_5))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right),$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime \prime }\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\gamma }_4\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime \prime }(\theta ,t_5)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_5)\end{array}\right);$

将存储在N_rG维的向量中，形成第六信号数据向量；

根据第六迭代规则对所述第六信号数据向量进行迭代； 其中，表示gossip更新矩阵,表示N_rG的单 位矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一个G 维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据得到γ₅(θ)；并计算DOA估计值；计 算公式为：${\hat{\beta }}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)}{{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)},$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\gamma }_4\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\gamma }_5\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-4{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]{\gamma }_6\left(\theta \right)\end{array}\right);$

其中，${\gamma }_6\left(\theta \right)v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)=L\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2;$

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

一种分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计系统，包括：

循环迭代模块，用于在第φ迭代周期中，根据第φ迭代规则对所述第φ信 号数据向量进行gossip迭代，每次迭代后，判断所述第φ信号数据向量与迭代 前是否相等，如果是，则记录并累加相等次数，否则将相等次数归零；其中, φ的初始值为1,所述第φ信号数据向量利用第φ迭代周期中各接收节点的初 始值构建得到；当所述相等次数达到预设次数，且φ的值未达到预设值时，完 成第φ迭代周期的迭代，并储存此时的第φ信号数据向量，并将第φ信号数据 向量中各接收节点的信号作为第φ+1迭代周期中各接收节点的初始值；循环执 行上述各步骤，每次循环时，φ的值比上一循环中φ的值增加1；

DOA估计值计算模块，用于当φ的值达到预设值时，根据各迭代周期的迭 代结果，利用DOA估计值的计算公式计算DOA估计值；所述预设值为根据所述 DOA估计值的计算公式计算DOA估计值所需要的迭代周期数。

进一步地，所述预设值为6。

与现有技术相比，本发明按照根据所述DOA估计值的计算公式计算DOA估 计值所需要的迭代周期数，利用gossip算法对实现DOA估计的信号组成部分不 断更新至一个信息完全共享的理想状态，执行完所有迭代周期后，可以得到DOA 的良好估计。本发明不需要矩阵求逆的方法，即可实现分布式网络中信息共享 及DOA值的估计。

附图说明

图1：本发明实施例提供的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估 计方法流程示意图；

图2：本发明实施例提供的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估 计系统组成示意图；

图3：本发明实施例提供的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估 计方法流程中各步骤得到的值示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实 施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅 用于解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明以由三个发射阵元、三个接受阵元组成的无线通信分布式系统为例， 说明采用gossip迭代算法结合AV算法实现DOA估计的过程。对于分布式的无 线通信系统信息共享的实现，gossip方法是比较有效的方法，且对于分布式信 号求自相关矩阵的逆运算，本发明采用不需要求矩阵逆运算也能得到最优权值 的AV算法，最终实现分布式网络中的DOA估计。图1示出了本发明实施例提供 的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计方法流程示意图；图2示出 了本发明实施例提供的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计系统组 成示意图。

首先对现有技术中的gossip算法进行详细说明，以便更清楚地阐述本发明 的具体实施方案。

经典的随机gossip算法：

随机的gossip算法可以用来解决分布式的凸问题，假设给定一个随机的N 节点网络和第i个节点的初始标量值。随机gossip算法的目的在于通过仅使用 局部信息和局部处理和一种迭代机制来实现所有目标端达到一个均值。假设

g(t)＝[g₁(t),...,g_N(t)]^T(0.1)(注，“(0.1)”表示该公式的编号，并不是该 公式的一部分，后续各公式同理。)

表示第t次迭代后的每个节点的值组成的向量。第t次迭代过程中，每个节 点运行一个独立的泊松时钟，当第i个节点的时钟响起时，该节点以概率p_i,j随 机选择一个邻近的j节点并与之通信。所有两两节点之间的概率p_i,j可以组成一 个N×N的概率矩阵p。如果第i个节点与第j个节点之间能够通信，则p_i,j＞0， 否则p_i,j＝0。每次迭代,节点i和j交换它们的局部信息并将它们的当前局部信息 更新为g_i(t)＝g_j(t)＝(g_i(t-1)+g_j(t-1))/2，除了这些活跃的节点，网络中其他节点 保持它们上一次迭代后得到的信息不变。Gossip算法的一般向量表达形式为

g(t)＝U(t)g(t-1)   (0.2)

其中U(t)是每个时间段独立选择的随机N×N的更新矩阵，第t次迭代过程中对于 2个通信节点i和j的更新矩阵为

$U\left(t\right)=I-\frac{1}{2}(e_i-e_j){(e_i-e_j)}^T---\left(0.3\right)$

其中e_i＝[0,...,0,1,0,...,0]^T为第i个元素为1的N维向量。当U(t)是双重倒向随 机矩阵且网络联通时，能够确保网络中的所有节点能够收敛到均值g_ave。注意， 在gossip算法中，最重要的任务是定义所有节点的初始向量g(0)。

无线传感器网络的信号模型:

假设无线传感器网络(WSN)中有M_t个发射节点和N_r个接收节点，且它们 均匀分布在一个半径为r的小区域内。为简单起见，假设目标和节点处在同一 个平面且无杂波干扰。并且假设已知节点的位置信息且相位完全同步，和 分别表示极坐标中第i个发射节点和第j个接收节点的坐标信息。假设系 统中有K个节点，且第k个节点方位角为θ_k且以固定的速度v_k移动。目标的距离 为d_k(t)＝d_k(0)-v_kt，其中d_k(0)是目标在0时刻与原点之间初始距离。在远场假设 下，因此第i个发射、接收节点与目标之间的距离可以表示如 下

$d_{\mathrm{ik}}^{t/r}{d}_{\mathrm{ik}}^{t/r}\approx d_k\left(t\right)-{\eta }_i^{t/r}\left({\theta }_k\right)=d_k\left(0\right)-v_{k}t-{\eta }_i^{t/r}\left({\theta }_k\right)---\left(0.4\right)$

其中，${\eta }_i^{t/r}\left({\theta }_k\right)=r_i^{t/r}\cos ({\theta }_k-a_i^{t/r})$

假设第i个发射节点连续时间发射波形表示为x_i(t)e^j2πft，其中f为载波频率 且所有发射节点使用相同的载波频率，x_i(t)为以T_p为周期窄带信号。

第k个目标端的接收信号可以表示为

$y_k\left(t\right)={\beta }_k\underset{i=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{x}_i(t-d_{\mathrm{ik}}^t\left(t\right)/c)\exp \left(j2\mathrm{\pi f}(t-d_{\mathrm{ik}}^t\left(t\right)/c)\right),k=1,...,K---\left(0.5\right)$

{β_k,k＝1,...,K}是第k个目标的反射系数复幅度，且对于所有接收节点都是一 致的。后者的假设是基于远场假设，即网络节点之间的距离远远小于节点与目 标之间的距离因此，由于节点之间相隔较近，可以视为所有接收节 点看到目标的同一表面。

由于目标反射，第l个接收端接收到的信号表示如下

$\left(\begin{array}{c}{z}_l\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{y}_k(t-\frac{d_{\mathrm{lk}}^r\left(t\right)}{c})+{ϵ}_l\left(t\right)\\ =\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k\underset{i=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{x}_i(t-\frac{d_{\mathrm{lk}}^t\left(t\right)+d_{\mathrm{lk}}^r\left(t\right)}{c})e^{j2\mathrm{\pi f}(t-\frac{d_{\mathrm{lk}}^t\left(t\right)+d_{\mathrm{lk}}^r\left(t\right)}{c})}+{ϵ}_l\left(t\right),l=1,...,N_r\end{array}\right)---\left(0.6\right)$

其中ε_l(t)表示独立同分布，均值为0，方差为σ²的高斯噪声。

对于目标分布在一个小区域内，采样信号可以看成是第一个目标反射回来 的信息的同步信号，且由于发射波形是窄带信号，可以忽略发射波形x_i(t)中的 延时，只需要考虑相位部分的延时即可。因此，第l个接收端的接收基带信号可 以近似表示为

$\left(\begin{array}{c}{z}_l\left(t\right)\approx \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k\underset{i=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{x}_i\left(t\right)e^{j2\mathrm{\pi f}(t-\frac{d_{\mathrm{lk}}^t\left(t\right)+d_{\mathrm{lk}}^r\left(t\right)}{c})}+{ϵ}_l\left(t\right)\\ =\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{2d}_k\left(0\right)}{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_l^r\left({\theta }_k\right)}{e}^{j2\pi f_{k}t}{x}^T\left(t\right)v\left({\theta }_k\right)+{ϵ}_l\left(t\right)\end{array}\right)---\left(0.7\right)$

其中λ是发射信号波长，f_k＝2v_kf/c是第k个目标产生的多普勒平移，

$v\left({\theta }_k\right)={[e^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_1^t\left({\theta }_k\right)},...,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{M_t}^t\left({\theta }_k\right)}]}^T---\left(0.8\right)$

$x\left(t\right)={[x_1\left(t\right),...,x_{M_t}\left(t\right)]}^T---\left(0.9\right)$

假设L为波形的长度，lT_s,l＝0,...,L-1表示脉冲内的时间，T表示脉冲重复 间隔，接收端在第m个脉冲上的采样信号表示为：

$z_{\mathrm{lm}}=\left(\begin{array}{c}{z}_l((m-1)T+{0T}_s)\\ ·\\ ·\\ ·\\ z_l((m-1)T+(L-1)T_s)\end{array}\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\gamma }_k{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_l^r\left({\theta }_k\right)}{e}^{j2\pi f_k(m-1)T}D\left(f_k\right)\mathrm{Xv}\left({\theta }_k\right)+{ϵ}_{\mathrm{lm}}---\left(0.10\right)$

其中：

${\gamma }_k={\beta }_k{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{2d}_k\left(0\right)}---(0.11)$

$D\left(f_k\right)=\mathrm{diag}\left\{\right[e^{j2\pi f_{k}0T_s},...,e^{j2\pi f_k(L-1)T}\left]\right\}---\left(0.12\right)$

ε_lm＝[ε_l((m-1)T+0T_s),...ε_l((m-1)T+(L-1)T_s)]^T     (0.13)

X＝[x(0T_s),...,x((L-1)T_s)]^T(L×M_t)     (0.14)

在此，作如下两种假设:

目标移动非常缓慢，因此，一个脉冲内的多普勒频移可以忽略不计，即对 于k＝1,...,K有f_kT_p＞＞1，其中T_p为脉冲持续时间。

每个发射天线的发射波形是独立的，因此，相对来说，i≠i′ 时是可以忽略不计的。

传统的集中式DOA估计:

假设目标是固定的，因此只需要考虑一个脉冲内的数据，因此第l个节点的 接收信号简化表示如下：

$z_l=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_l^r\left({\theta }_k\right)}\mathrm{Xv}\left({\theta }_k\right)+{ϵ}_l---\left(0.15\right)$

将N_r个接收节点的信号放在一个矩阵里

$Z={[z_1,...,{z_N}_r]}^T=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_k{v}_r\left({\theta }_k\right)v^T\left({\theta }_k\right)X^T+E---\left(0.16\right)$

其中$v_r\left({\theta }_k\right)={[e^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_1^r\left({\theta }_k\right)},...,e^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{N_r}^r\left({\theta }_k\right)}]}^T,E={[{ϵ}_1,...,{{ϵ}_N}_r]}^T$

传统的CAPON算法产生可以抑制噪声的波束合成向量w，干扰和噪声被抑 制的同时，期望的信号保持不失真。特别地，w可以表示如下：

其中R＝ZZ^H，公式(0.17)的解可以表示如下：

$w^{*}\frac{R^{-1}{v}_r\left(\theta \right)}{v_r^H\left(\theta \right)R^{-1}{v}_r\left(\theta \right)}---\left(0.18\right)$

通过w^*将LS方法应用到波束合成输出，基于假设第三点可以很容易得到 目标反射系数的估计为如下所示：

$\hat{\beta }\left(\theta \right)=\frac{{\left(w^{*}\right)}^H{\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)v_r^H\left(\theta \right)w^{*}}{{\left(w^{*}\right)}^H{v}_r{\left(\theta \right)v}^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)v_r^H\left(\theta \right)w^{*}}=\frac{v_r^H\left(\theta \right)R^{-1}{\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)}{v_r^H\left(\theta \right)R^{-1}{v}_r\left(\theta \right)v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)}---\left(0.19\right)$

其中R_x＝X^TX^*。

传统的Auxiliary Vector(AV)技术:

传统的capon算法中，为了获得公式(0.18)中的最优权值，需要进行矩阵 求逆的操作，但是在分布式信号处理中，矩阵求逆是不容易实现的。因此可采 用另外一种不需要矩阵求逆的方法来获得最优权值向量，即auxiliary vector (AV)技术。传统的AV算法主要适用于天线阵列的空时滤波，可以直接运用到 DOA估计问题上来。

首先，不失一般性，假设v_r(θ)是归一化的，即此时，考虑任 意一个与v_r(θ)相互正交的固定辅助向量G(θ)

G(θ)^Hv_r(θ)＝0

G(θ)^HG(θ)＝1   (0.20)

基于AV技术的最优权值向量可以表示为

w_AV(θ)＝v_r(θ)-μ(θ)G(θ)    (0.21)

使得输出的波束合成权值向量w_AV(θ)最小的复标量μ(θ)的值为

$\mu \left(\theta \right)=\frac{{G\left(\theta \right)}^H{\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)}{G{\left(\theta \right)}^H\mathrm{RG}\left(\theta \right)}---\left(0.22\right)$

对于AV技术，G(θ)的选择原则为能够使得v_r(θ)处理数据Z和AV处理 数据G(θ)^HZ的互相关函数的幅度最大化。同时需要满足(0.20)的条件

$\left(\begin{array}{c}G\left(\theta \right)=\arg \underset{G\left(\theta \right)}{\max }\left|E\right\{v_r^H\left(\theta \right)Z{\left(G{\left(\theta \right)}^{H}Z\right)}^H\left\}\right|\\ =\arg \underset{G\left(\theta \right)}{\max }\left|v_r^H\left(\theta \right)\mathrm{RG}\left(\theta \right)\right|\end{array}\right)$

s.t.G(θ)^Hv_r(θ)＝0andG(θ)^HG(θ)＝1     (0.23)

对于该准则的物理直观的解释，可以说与v_r(θ)相互正交，使得最大的AVG(θ)可以提取出大部分波束合成输出的扰动成分，最优的AVG(θ)可以 根据下式获得

$G\left(\theta \right)=\frac{{\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)-\left(v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)\right)v_r\left(\theta \right)}{\left|\right|{\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)-\left(v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)\right)v_r\left(\theta \right)\left|\right|}---\left(0.24\right)$

单个的AVG(θ)通常表示一个自由度，如果需要提高分辨率，可以采用多个 auxiliary向量。假设有P个相互正交的AVG₁(θ),G₂(θ),...,G_P(θ)构成的集合，且 它们均与v_r(θ)相互正交，从而，整体的波束合成权值向量可以表示如下

$w_{\mathrm{AV}}^P\left(\theta \right)=v_r\left(\theta \right)-\underset{i=1}{\overset{P}{\Sigma }}{\mu }_i\left(\theta \right)G_i\left(\theta \right)---\left(0.25\right)$

其中

${\mu }_{p+1}\left(\theta \right)=\frac{G_{p+1}{\left(\theta \right)}^H{\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)}{G_{p+1}{\left(\theta \right)}^H{\mathrm{RG}}_{p+1}\left(\theta \right)}---\left(0.26\right)$

$G_{p+1}\left(\theta \right)=\frac{{\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)-\left(v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)\right)v_r\left(\theta \right)-\underset{j=1}{\overset{p}{\Sigma }}\left[G_j^H\left(\theta \right){\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)\right]G_i\left(\theta \right)}{\left|\right|{\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)-\left(v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)\right)v_r\left(\theta \right)-\underset{j=1}{\overset{p}{\Sigma }}\left[G_j^H\left(\theta \right){\mathrm{Rw}}_{\mathrm{AV}}^p\left(\theta \right)\right]G_i\left(\theta \right)\left|\right|}---\left(0.27\right)$

注意，为了简化起见，只关注公式(0.22)(0.24)单个AVG(θ)技术，但是可 以直接扩展到多个AVG(θ)技术。

分布式网络中基于gossip算法的单目标DOA估计方法:

假设只有一个目标，WSN的信号模型可以简化为

$Z={[z_1,...,{z_N}_r]}^T={\beta }_1{v}_r\left({\theta }_1\right)v^T\left({\theta }_1\right)X^T+E---\left(0.28\right)$

假设ε_i(i＝1,...,N_r)为零均值功率谱密度为的空间不相关与目标也不相 关的噪声。从而可以得到

$R_{\mathrm{EE}}=\mathrm{diag}\{{\sigma }_{{ϵ}_1}^2,...,{\sigma }_{{{ϵ}_N}_r}^2\}---\left(0.29\right)$

R＝R_SS+R_EE    (0.30)

其中R_SS＝β₁v_r(θ₁)v^T(θ₁)X^T(β₁v_r(θ₁)v^T(θ₁)X^T)^H，利用矩阵求逆原理，公式(0.18) 的最优解表示为

$w^{*}=\frac{R_{\mathrm{EE}}^{-1}{v}_r\left(\theta \right)}{v_r^H\left(\theta \right)R_{\mathrm{EE}}^{-1}{v}_r\left(\theta \right)}---\left(0.31\right)$

目标反射系数的估计值变为

$\hat{\beta }\left(\theta \right)=\frac{v_r^H\left(\theta \right)R_{\mathrm{EE}}^{-1}{\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)}{v_r^H\left(\theta \right)R_{\mathrm{EE}}^{-1}{v}_r\left(\theta \right)v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)}---\left(0.32\right)$

假设将角度空间以间隔Δθ均匀离散化θ_G＝[θ₁,...,θ_G]，意味着每个接收节点 在一次gossip算法开始之前需要计算G个角度估计。公式(0.32)的分子和分母 可以表示为

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right)R_{\mathrm{EE}}^{-1}{\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)\\ =\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{x}_m^{*}(l-1)\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{\left({\sigma }_{{ϵ}_1}^2\right)}^{-1}{z}_i(l-1)\\ =\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{\left({\sigma }_{{ϵ}_1}^2\right)}^{-1}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)\end{array}\right)---\left(0.33\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)=\left[v_r^H\left(\theta \right)R_{\mathrm{EE}}^{-1}{v}_r\left(\theta \right)\right]\left[v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)\right]\\ =\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{\left({\sigma }_{{ϵ}_1}^2\right)}^{-1}\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{x}_m^{*}(l-1)x_m(l-1)\\ =L\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{\left({\sigma }_{{ϵ}_i}^2\right)}^{-1}\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2\end{array}\right)---\left(0.34\right)$

目标反射系数的估计为

$\hat{\beta }\left(\theta \right)=\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)}{{\tilde{Y}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)}=\frac{\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{\left({\sigma }_{{ϵ}_i}^2\right)}^{-1}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)}{L\underset{i=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{\left({\sigma }_{{ϵ}_i}^2\right)}^{-1}\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2}---\left(0.35\right)$

假设WSN中每个接收节点i在每个给定的时隙内有两个初始值

${\tilde{X}}_i(\theta ,0)=e^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{\left({\sigma }_{{ϵ}_1}^2\right)}^{-1}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)---\left(0.36\right)$

${\tilde{Y}}_i(\theta ,0)=L{\left({\sigma }_{{ϵ}_i}^2\right)}^{-1}\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2---\left(0.37\right)$

假设每个接收节点已知所有发射节点的位置信息(m＝1,...,M_t)和发 射波形x_m。噪声方差可以估计出来。用N_r维向量表示为N_r节点的初始 值

$\tilde{X}(\theta ,0)={[{\tilde{X}}_1(\theta ,0),...,{\tilde{X}}_{N_r}(\theta ,0)]}^T---\left(0.38\right)$

类似的，所有的(i＝1,...,N_r)存放在一个N_r维向量中。可以轻 易得到${\tilde{X}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)=\frac{1}{N_r}{1}^T\tilde{X}(\theta ,0),{\tilde{Y}}_{\mathrm{noise}}\left(\theta \right)=\frac{1}{N_r}{1}^T\tilde{Y}(\theta ,0),$其中1表示全1向量。从而本 节算法的目的就是要寻找分布式系统中的平均的和值。假设第t次 迭代的分别表示为向量Gossip DOA估计方法在第t次迭代 的估计结果的一般表达式为

$\tilde{X}(\theta ,t)=U\left(t\right)\tilde{X}(\theta ,t-1)---\left(0.39\right)$

$\tilde{Y}(\theta ,t)=U\left(t\right)\tilde{Y}(\theta ,t-1)---\left(0.40\right)$

${\hat{\beta }}_i(\theta ,t)=\frac{{\tilde{X}}_i(\theta ,t)}{{\tilde{Y}}_i(\theta ,t)}---\left(0.41\right)$

表示的是第i个接收节点的估计输出θ_g(g＝1,...,G)。注意，每次迭 代，一对随机节点的G个格点信息相互交换。从而可以重新定义新的更新矩阵：

$U_{N_1,N_2}\left(t\right)=I_{N_1}-\frac{1}{2}(e_{N_{2}i}-e_{N_{2}j}){(e_{N_{2}i}-e_{N_{2}j})}^T---\left(0.42\right)$

其中是N₁维单位阵，是从第(iN₂-N₂+1)个到iN₂元素等于1其他元素 等于0的N₁维向量。Gossip DOA估计算法的表达式可以重新表示为

$\tilde{X}\left(t\right)=U_{N_{r}G,G}\left(t\right)\tilde{X}(t-1)---\left(0.43\right)$

$\tilde{Y}\left(t\right)=U_{N_{r}G,G}\left(t\right)\tilde{Y}(t-1)---\left(0.44\right)$

${\hat{\beta }}_i\left(t\right)=\frac{{\tilde{X}}_i\left(t\right)}{{\tilde{Y}}_i\left(t\right)}---\left(0.45\right).$

综上所述，可总结出分布式网络中基于gossip算法的单目标DOA估计方法 的基本技术思想如下：

各节点共同发射信号，同时，各节点接收信号，并根据接收到的信号构建 初始信号，所述初始信号表示为其中，i为节点的序号，θ为 角度；

将所有存放在N_r维向量中，据此构建第一信号数据向量，将所 有存放在N_r维向量中，据此构建第二信号数据向量，其中，i＝1,...,N_r， N_r为节点个数；

根据对第一信号数据向量进行迭代，每次迭代后，判断 所述第一信号数据向量是否与迭代前相等，如果相等，则记录并累加相应的相 等次数，否则将相应相等次数归零，当相等次数达到预设次数时，停止迭代并 存储此时的第一信号数据向量根据对第二信号数据向 量进行迭代，每次迭代后，判断所述第二信号数据向量是否与迭代前相等，如 果相等，则记录并累加相应相等次数，否则将相应相等次数归零，当相等次数 达到预设次数时，停止迭代并存储此时的第二信号数据向量其中，t为迭 代次数；

根据停止迭代后存储的第一信号数据向量及第二信号数据向量利用公式计算DOA估计值，其中，为DOA估计值。

其中，${\tilde{X}}_i(\theta ,0)=e^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{\left({\sigma }_{{ϵ}_1}^2\right)}^{-1}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1),$其中，λ表示发射信号的波长，表示信号从发射节 点经角度为θ的目标反射到达第i接受节点的近似距离，为所有发射节点的 位置信息，z_i(l-1)表示第i节点在第l-1采样点的接收信号，L表示采样点数目， x_m为发射波形。$U_{N_1,N_2}\left(t\right)=I_{N_1}-\frac{1}{2}(e_{N_{2}i}-e_{N_{2}j}){(e_{N_{2}i}-e_{N_{2}j})}^T,$其中，是N₁维单位阵，是从第(iN₂-N₂+1)个到iN₂元素等于1其他元素等于0的N₁维向量，N₁为N_rG，N₂为G。

分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计方法:

前面介绍的gossip估计方法可以认为是分布式时延和波束和的一个扩展， 只是用来接收空间信号。但是，最主要的缺点是公式(0.18)中利用R_EE代替R。 假设系统中有多个目标或者是波形的长度L不够长，其性能将严重退化。为了 解决这个问题，这里提出了一种利用AV技术的迭代的随机gossip算法 (IR-Gossip)(0.21)。

将公式(0.22)代入公式(0.21)，可以得到

$\left(\begin{array}{c}{w}_{\mathrm{AV}}\left(\theta \right)=v_r\left(\theta \right)-\frac{G{\left(\theta \right)}^H{\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)}{G{\left(\theta \right)}^H\mathrm{RG}\left(\theta \right)}G\left(\theta \right)\\ =\frac{G{\left(\theta \right)}^H\mathrm{RG}\left(\theta \right)v_r\left(\theta \right)-G{\left(\theta \right)}^H{\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)G\left(\theta \right)}{G{\left(\theta \right)}^H\mathrm{RG}\left(\theta \right)}\end{array}\right)---\left(0.46\right)$

假设${\gamma }_1\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right),{\gamma }_2\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RRv}}_r\left(\theta \right),{\gamma }_3\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RRRv}}_r\left(\theta \right),$则将 (0.24)代入(0.46)并作简化处理，得

$w_{\mathrm{AV}}\left(\theta \right)=\frac{({\gamma }_3\left(\theta \right)-{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right))v_r\left(\theta \right)-({\gamma }_1^2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right)){\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)}{{\gamma }_3\left(\theta \right)-2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^3\left(\theta \right)}---\left(0.47\right)$

则IR-Gossip算法目标反射系数的估计值为

${\hat{\beta }}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)}{{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)}---\left(0.48\right)$

其中

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.49\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.50\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-4{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.51\right)$

如果假设${\gamma }_4\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right),{\gamma }_5\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right),$γ₆(θ)＝v^T(θ)R_xv^*(θ)， (0.49)(0.50)(0.51)可以变化为:

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\gamma }_4\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.52\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\gamma }_5\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.53\right)$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-4{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]{\gamma }_6\left(\theta \right)\end{array}\right)---\left(0.54\right)$

由于

${\gamma }_1\left(\theta \right)v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{Rv}}_r\left(\theta \right)=\underset{i_1=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_1}(l-1)\underset{i_2=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_2}^r\left(\theta \right)}{z}_{i_2}^{*}(l-1)---\left(0.55\right)$

假设WSN中每个接收节点i对于一个给定的时间间隔内有初始值

${\tilde{X}}_{1i}(\theta ,0)=e^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}{z}_i^{*}(l-1)---\left(0.56\right)$

将所有的存在一个N_r维向量中且对于第t次迭代的 一般形式由下式给出

${\tilde{X}}_1(\theta ,t)=U\left(t\right){\tilde{X}}_1(\theta ,t-1)---\left(0.57\right)$

通过一定次数t₁的迭代，达到一个稳定状态此 时为下一次循环定义一个初始值

${\tilde{X}}_{1i}^{\prime }(\theta ,t_1)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_1\left(\theta \right)---\left(0.58\right)$

将所有的i＝1,...,N_r存在一个N_r维向量中，第t次迭代的一 般形式由下式给出

${\tilde{X}}_1^{\prime }(\theta ,t)=U\left(t\right){\tilde{X}}_1^{\prime }(\theta ,t-1),t\ge t_1---\left(0.59\right)$

通过一定次数t₂-t₁迭代，达到一个稳定的状态可以得到

${\gamma }_1\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_1^{\prime }\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_{1i}^{\prime }(\theta ,t_2)---\left(0.60\right)$

从式(0.55)到(0.60)可以看出，为了得到γ₁(θ)，gossip算法需要两个顺序 循环。第一个循环得到第二个循环得到因此，需要设定一个门 限C_T，确定每个节点当前的状态是否不再改变，即当计数 器变量C＞C_T，该节点将进入下一个循环。本发明中定义C_T＝ρN_r，

其中ρ是按照经验设定的。注意ρ较小时算法可以较快收敛，ρ较大时，提 出的IR-Gossip算法收敛较慢，但是一般都能达到稳定的状态。

类似地，由于

$\left(\begin{array}{c}{\gamma }_2\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RRv}}_r\left(\theta \right)\\ =\underset{i_1=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_1}(l_1-1)\underset{i_2=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{z}_{i_2}^{*}(l_1-1)\underset{l_2=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_2}(l_2-1)\underset{i_3=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_3}^r\left(\theta \right)}{z}_{i_3}^{*}\left(l-1\right)\end{array}\right)---\left(\text{0.61}\right)$

需要三个gossip循环才能得到γ₂(θ)。第一个循环得到第二个循 环，得到t₁的一个新的初始值

${\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,l)=N_r{z}_i^{*}(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1){\tilde{X}}_{1i}(\theta ,t_1)---\left(0.62\right)$

通过一些迭代次数t₂-t₁，节点获得稳定状态在第三个循环，可 以得到t₂的新的初始值，

${\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_2,l)---\left(0.63\right)$

通过一定迭代次数t₃-t₂，节点达到稳定状态得到

${\gamma }_2\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_3)---\left(0.64\right)$

由于

$\left(\begin{array}{c}{\gamma }_3\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RRRv}}_r\left(\theta \right)\\ =\underset{i_1=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_1}(l_1-1)\underset{i_2=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{z}_{i_2}^{*}(l_1-1)\underset{l_2=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_2}(l_2-1)\underset{i_3=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{z}_{i_3}^{*}(l_2-1)\underset{l_3=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_3}(l_3-1)\underset{i_4=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_4}^r\left(\theta \right)}{z}_{i_4}^{*}(l_3-1)\end{array}\right)---\left(0.65\right)$

为了获得γ₃(θ)需要四次gossip循环。第一个循环，得到第二个 循环得到第三个循环得到新的t₂的初始值

${\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,l)=N_r{z}_i^{*}(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,l_1)---\left(0.66\right)$

通过一定迭代次数t₃-t₂，节点达到稳定状态第四个循环，得到 新的t₃的初始值

${\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime \prime }(\theta ,t_3)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_3,l)---\left(0.67\right)$

通过一定迭代次数t₄-t₃，节点达到稳定状态可以得到

${\gamma }_3\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime \prime }(\theta ,t_4)---\left(0.68\right)$

由于

${\gamma }_4\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{ZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)=\underset{i_1=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)---(0.69)$

假设每个节点i在t₄时有初始值

${\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_4)=e^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)---\left(0.70\right)$

通过一些迭代t₅-t₄，节点达到一个稳定状态随后可以得到

${\gamma }_4\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_5)---\left(0.71\right)$

由于

$\left(\begin{array}{c}{\gamma }_5\left(\theta \right)=v_r^H\left(\theta \right){\mathrm{RZX}}^{*}{v}^{*}\left(\theta \right)\\ =\underset{i_1=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_1}(l_1-1)\underset{i_2=1}{\overset{N_r}{\Sigma }}{z}_{i_2(l_1-1)}\underset{l_2=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_{i_2}(l_2-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l_2-1)\end{array}\right)---\left(0.72\right)$

需要两个gossip顺序循环来得到γ₅(θ)。第一个循环，可以得到t₄的新的初 始值

${\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4,l)=z_i(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l_1-1)---\left(0.73\right)$

经过一定迭代次数t₅-t₄，节点达到一个稳定状态第二个循环可 以得到t₅的新的初始值

${\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_5)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_5,l)---\left(0.74\right)$

通过一定迭代次数t₆-t₅，接收节点达到稳定状态可以得到

${\gamma }_5\left(\theta \right)=N_r{\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_6)---\left(0.75\right)$

由于

${\gamma }_6\left(\theta \right)v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)=L\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2---\left(0.76\right)$

可以直接获得γ₆(θ)，不需要循环操作。

综上所述，可归纳总结出本发明提供的分布式网络中基于gossip算法的多 目标DOA估计方法的基本技术思想。如图1所示，该DOA估计方法包括如下步 骤：

步骤S1：在第φ迭代周期中，根据第φ迭代规则对所述第φ信号数据向量 进行gossip迭代，每次迭代后，判断所述第φ信号数据向量与迭代前是否相等， 如果是，则记录并累加相等次数，否则将相等次数归零；其中,φ的初始值为 1,所述第φ信号数据向量利用第φ迭代周期中各接收节点的初始值构建得到；

步骤S2：当所述相等次数达到预设次数，且φ的值未达到预设值时，完成 第φ迭代周期的迭代，并储存此时的第φ信号数据向量，并将第φ信号数据向 量中各接收节点的信号作为第φ+1迭代周期中各接收节点的初始值；

步骤S3：循环执行上述各步骤，每次循环时，φ的值比上一循环中φ的值 增加1，当φ的值达到预设值时，根据各迭代周期的迭代结果，利用DOA估计 值的计算公式计算DOA估计值；所述预设值为根据所述DOA估计值的计算公式 计算DOA估计值所需要的迭代周期数。

进一步地，所述预设值为6。

以下是对预设值为6时，上述基本技术思想的细节表达：

各接收节点接收初始信号z_i(l-1)，并根据构建第一迭 代周期中各节点的初始值其中，λ表示发射信号的波长，表示角 度为θ的目标与第i接收节点的近似距离z_i(l-1)表示第i节点在第l-1采样点的接 收信号，L表示采样点数目，[]^*表示共轭操作；

将第一迭代周期中各接收节点的初始值存储在N_rG维向量中， 形成第一信号数据向量；其中，N_r为接收节点个数，G为角度空间的离散化精 度；

根据第一迭代规则对第一信号数据向量进行迭代；其 中，表示gossip更新矩阵,表示N_rG的单位 矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一个G维 向量，t表示迭代次数；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；其中，和分别为第i个接收节 点在第t和第t-1次迭代得到的值，θ为目标的角度，C为计数器变量；

当相等次数C_T达到预设次数C_T时，储存当前每个接收节点的信号并将其作为第二迭代周期中各接收节点的初始值；其中：C_T＝ρN_r，ρ是预设的 常数；其中，t₁表示实现第一迭代周期信息共 享所耗费的迭代次数，N_r为接收节点个数，λ表示发射信号的波长，角度为θ的 目标与第i接收节点的近似距离，z_i(l-1)表示第i节点在采样点l-1的接收信号， L表示采样点数目；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

根据计算第二迭代周期中各接收节点的 新的初始值

利用第二迭代周期中各接收节点的新的初始值构成新的L维初始 向量：${\tilde{X}}_{2i}(\theta ,t_1)={[{\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,0),...,{\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,L-1)]}^T;$

将各接收节点的存储在N_rGL维向量中，形成第二信号数据向 量；

根据第二迭代规则对第二信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_{r}G(L+1),G(L+1)}\left(t\right)=I_{N_{r}G(L+1)}-\frac{1}{2}(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j}){(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j})}^T$表示gossip更 新矩阵,表示N_rG(L+1)的单位矩阵，e_G(L+1)i表示第iG(L+1)-G(L+1)-1个元素 至第iG(L+1)个元素为1而其他元素都为0的一个G(L+1)维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；其中，和分别为第i个接收节 点在第t和第t-1次迭代得到的值；

当相等次数C达到预设次数C_T时，根据计算γ₁(θ)， 并储存当前每个接收节点的输出并将其作为第三迭代周期中各接收 节点的初始值；其中：t₂为实现第二迭代周期信息共享所 耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

根据${\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_2,l)$得到

根据${\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,l)=N_r{z}_i^{*}(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_1,l_1)$得到第三迭代周期中各接收节点 的新的初始值

根据第三迭代周期中各接收节点的新的初始值构成新的L维初 始向量：${\tilde{X}}_{3i}(\theta ,t_2)={[{\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,0),...,{\tilde{X}}_{3i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2,L-1)]}^T;$

将各接收节点的存储在N_rGL维向量中，形成第三信号数据向 量；

根据第三迭代规则对第三信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_{r}G(L+1),G(L+1)}\left(t\right)=I_{N_{r}G(L+1)}-\frac{1}{2}(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j}){(e_{G(L+1)i}-e_{G(L+1)j})}^T$表示gossip更 新矩阵,表示N_rG(L+1)的单位矩阵，e_G(L+1)i表示第iG(L+1)-G(L+1)-1个元素 至第iG(L+1)个元素为1而其他元素都为0的一个G(L+1)维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当相等次数C达到预设次数C_T时，根据计算γ₂(θ)，并存储 当前每个接收节点的信号并将其作为第四迭代周期中各接收节点的 初始值；其中，${\tilde{X}}_{2i}^{\prime \prime }(\theta ,t_2)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{2i}^{\prime }(\theta ,t_2,l);$t₃为实现第三迭代周期信 息共享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

根据计算第四迭代周期中各接收节点 的新的初始值

将第四迭代周期中各接收节点的新的初始值存储在N_rG维向量 中，形成第四信号数据向量；

根据第四迭代规则对所述第四信号数据向量进行迭代； 其中，表示gossip更新矩阵，表示N_rG的 单位矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一 个G维向量，t表示迭代次数；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据得到γ₃(θ)，并存储当前每个接收节 点的γ₁(θ)，γ₂(θ)，γ₃(θ)，并将存储的当前每个接收节点的γ₁(θ)，γ₂(θ)，γ₃(θ)作 为第五迭代周期中各接收节点的初始值；其中：由 第二迭代周期结束时获得；由第三迭代周期结束时获得； 由第四迭代周期结束时获得，t₄为实现第四迭代周期信息共 享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

根据${\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_4)=e^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_{i_1}^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l-1)$计算

根据${\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4,l)=z_i(l-1)\underset{l_1=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l_1-1)\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_m^t\left(\theta \right)}{x}_m^{*}(l_1-1)$计算

根据计算γ₆(θ)；其中，L为采样点的个数，M_t为发射节点个数，x_m为第m发射节点的发射信号，R_x为发射信号的自相关矩阵， λ表示发射信号的波长，表示第m发射节点与角 度为θ的目标之间的近似距离，表示角度为θ的目标与第i接收节点的近似 距离，[]^*表示共轭操作，[]^T表示转置操作；

利用和γ₆(θ)，构成新的L维初始向量：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4)=[({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,0))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right),...,\\ {({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,L-1))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)]}^T\end{array}\right),$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime }(\theta ,t_4)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-{3\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{4i}(\theta ,t_4)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime }(\theta ,t_4,l)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-{3\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_4,l)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-{4\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]{\gamma }_6\left(\theta \right)\end{array}\right);$

将存储在N_rGL维向量中，形成第五信号数据向量；

根据第五迭代规则对所述第五信号数据向量进行迭 代；其中，$U_{N_r\mathrm{GL},\mathrm{GL}}\left(t\right)=I_{N_r\mathrm{GL}}-\frac{1}{2}(e_{\mathrm{GLi}}-e_{\mathrm{GLj}}){(e_{\mathrm{GLi}}-e_{\mathrm{GLj}})}^T$表示gossip更新矩阵,表 示N_rGL的单位矩阵，e_GLi表示第iGL-GL-1个元素至第iGL个元素为1而其他元 素都为0的一个GL维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据计算γ₄(θ)；并存储当前每个接收节 点的信号并将其作为第六迭代周期中各接收节点的初始值，t₅为实 现第五迭代周期信息共享所耗费的迭代次数；

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。该迭代周期结束时，每个节点产生一 个粗略的DOA估计值。

根据公式${\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_5)=N_r{e}^{-j\frac{2\pi }{\lambda }{\eta }_i^r\left(\theta \right)}\underset{l=1}{\overset{L}{\Sigma }}{z}_i(l-1){\tilde{X}}_{5i}(\theta ,t_5,l),$得到

根据构成新的L维向量： ${\tilde{X}}_{6i}(\theta ,t_5)=({\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime \prime }\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime \prime }(\theta ,t_5))/{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right),$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime \prime }\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\gamma }_4\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime \prime }(\theta ,t_5)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\tilde{X}}_{5i}^{\prime }(\theta ,t_5)\end{array}\right);$

将存储在N_rG维的向量中，形成第六信号数据向量；

根据第六迭代规则对所述第六信号数据向量进行迭代； 其中，表示gossip更新矩阵,表示N_rG的单 位矩阵，e_Gi表示第iG-G-1个元素至第iG个元素为1而其他元素都为0的一个G 维向量；

每次迭代后，判断是否如果是，则记录并累加相等次 数C，否则，将相等次数C归零；

当C＞C_T＝ρN_r时，根据得到γ₅(θ)；并计算DOA估计值；计 算公式为：${\hat{\beta }}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)}{{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)},$其中：

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+2{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-3{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)]{\gamma }_4\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}\left(\theta \right)=[{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)-3{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)-{\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2^3\left(\theta \right)-{\gamma }_1^5\left(\theta \right)]{\gamma }_5\left(\theta \right)\end{array}\right);$

$\left(\begin{array}{c}{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)=[{\gamma }_3^2\left(\theta \right)+4{\gamma }_1^2\left(\theta \right){\gamma }_2^2\left(\theta \right)-4{\gamma }_1\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right){\gamma }_3\left(\theta \right)\\ +2{\gamma }_3\left(\theta \right){\gamma }_1^3\left(\theta \right)-4{\gamma }_1^4\left(\theta \right){\gamma }_2\left(\theta \right)+{\gamma }_1^6\left(\theta \right)]{\gamma }_6\left(\theta \right)\end{array}\right);$

其中，${\gamma }_6\left(\theta \right)v^T\left(\theta \right)R_x{v}^{*}\left(\theta \right)=L\underset{m=1}{\overset{M_t}{\Sigma }}{\left|\right|x_m\left|\right|}^2;$

如果相等次数未达到预设的次数C_T，则记录当前迭代次数内的并进 入本次迭代周期内的下一次gossip循环。

这个循环的最开始，每个节点产生一个粗略的DOA估计，

${\hat{\beta }}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}^{\prime \prime }(\theta ,t)=\frac{{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}1}^{\prime \prime }\left(\theta \right)+{\tilde{X}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}2}^{\prime \prime }(\theta ,t)}{{\tilde{Y}}_{\mathrm{IR}-\mathrm{Gossip}}\left(\theta \right)},t>t_5$

该迭代周期结束后，每个节点根据公式(0.48)得到一个准确的DOA估计值。

IR-Gossip算法需要6个循环来实现分布式信号中的AV技术。图3是本发 明实施例提供的分布式无线传感器网络中基于gossip算法的DOA估计方法流程 中各步骤得到的值示意图。从第五个循环开始(t＞t₄)，IR-Gossip算法开始产 生有效的DOA估计值。

根据本发明所提供的分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计方法， 本发明还提供了一种分布式网络中基于gossip算法的多目标DOA估计系统。根 据图2所示，该系统包括循环迭代模块1及DOA估计值计算模块2。

其中，循环迭代模块1用于在第φ迭代周期中，根据第φ迭代规则对所述 第φ信号数据向量进行gossip迭代，每次迭代后，判断所述第φ信号数据向量 与迭代前是否相等，如果是，则记录并累加相等次数，否则将相等次数归零； 其中,φ的初始值为1,所述第φ信号数据向量利用第φ迭代周期中各接收节点 的初始值构建得到；当所述相等次数达到预设次数，且φ的值未达到预设值时， 完成第φ迭代周期的迭代，并储存此时的第φ信号数据向量，并将第φ信号数 据向量中各接收节点的信号作为第φ+1迭代周期中各接收节点的初始值；循环 执行上述各步骤，每次循环时，φ的值比上一循环中φ的值增加1。

DOA估计值计算模块2用于当φ的值达到预设值时，根据各迭代周期的迭 代结果，利用DOA估计值的计算公式计算DOA估计值；所述预设值为根据所述 DOA估计值的计算公式计算DOA估计值所需要的迭代周期数。

该系统的工作原理及工作过程可参照上述DOA估计方法，再次不再赘述。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发 明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明 的保护范围之内。