一种悬臂梁运行模态分析实验方法及装置

摘要

一种悬臂梁运行模态分析实验方法，包括以下步骤：1)选择悬臂梁的端点作为激励点，利用钢锤在选取的激励点对悬臂梁实施脉冲激励；2)采集参考点和响应点在脉冲激励后产生的响应信号；3)对采集信号进行带通滤波；4)求取参考点与响应点之间的互功率谱函数，并构建互功率谱函数不同采样时刻数据构成的矩阵方程；5)利用矩阵方程求解系数矩阵，得到系统极点；6)识别模态振型及模态参与因子矩阵；7)进行模态置信判据矩阵值计算，当模态置信判据值在预设合理区间以内，获得悬臂梁的模态参数。以及提供一种悬臂梁运行模态分析实验装置。本发明能够实现快速计算、精确度高、具有较好的误差控制、能够减少试验强度和时间，大幅提高试验效率。

说明书

技术领域

本发明涉及运行模态分析技术领域，尤其是一种运行模态分析实 验方法及装置。

背景技术

在工程测试技术、机械振动学等课程的教学过程中，加入一些模 态分析实验，可以激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性和主 动性，培养学生的创新能力，大幅度提高教学效果。通过实验可以使 学生获得丰富的感性认识，加深学生对模态参数概念及其求解方法的 理解，降低自学过程中学生遇到问题的难度。

模态测试常常用于实际工作条件下的模态模型的提取、状态监控 和分析、非线性系统研究、故障分析和验证有限元模型的正确性。现 有实验模态分析系统一般由三部分组成：1.激振系统：使得系统振动。 2.测量系统：用传感器测量实验对象的各主要部位上的位移、速度或 加速度振动信号。3.分析系统：将采集到的激励信号和响应信号经过 数模转换记录到计算机中，用软件系统识别振动系统的模态参数。实 验的基本步骤如下：1)确定实验模型，将实验结构支撑起来；2)模 态实验一般用激振锤锤击法利用激励实验结构，记录激励信号及各测 点的响应信号；3)对记录数据进行数字处理，求出各测点的传递函数， 并组成传递函数矩阵；4)利用模态分析软件进行参数识别；5)进行 动画显示。

从结构在役状态的振动响应信号中提取模态参数的运行模态分析 方法，识别的结构动态特性比试验模态分析更接近实际运行条件下结 构的真实动力学行为，成为近年来模态分析领域发展活跃一个研究方 向。为了提高学生的学习效果，进行运行模态分析实验教学十分必要， 但是，目前并无该类实验装置，因此针对教学需求的运行模态分析实 验方法及装置亟待研究。

发明内容

为了提高学生学习模态分析技术时的学习效果，本发明提供一种 能够实现快速计算、精确度高、具有较好的误差控制、能够减少试验 强度和时间的基于脉冲激励的运行模态分析实验方法及装置。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种悬臂梁运行模态分析实验方法及装置，包括以下步骤：

1)选择悬臂梁的端点作为激励点，利用钢锤对梁实施脉冲激励； 选取距离激励点较近且响应信号幅值较大的响应点作为参考点； 在所述参考点及反映悬臂梁振型的各几何模型节点布置响应测点；

2)采集所述参考点和响应点在脉冲激励后产生的响应信号；

3)对采集信号进行带通滤波，其通频带为感兴趣的结构模态频率 范围，对所有响应通道加汉宁窗；

4)求取参考点与响应点之间的互功率谱函数，并构建互功率谱函 数不同采样时刻数据构成的矩阵方程；

5)利用所述矩阵方程求解系数矩阵，得到系统极点；

6)识别模态振型及模态参与因子矩阵；

7)进行模态置信判据矩阵值计算，如果模态置信判据值不佳，则 选取不同采样时刻值，返回到步骤4)重新构建矩阵方程组，直至模 态置信判据值在预设合理区间以内，获得结构模态参数。

进一步，所述方法还包括以下步骤：8)模态动画绘制：得出各点 每个方向的模态振型矢量，与测点布置几何模型对应，就得到描述各 测点x、y、z方向上的相对振幅的模态振型动画。

所述步骤4)中，按照式(1)计算结构响应点j和参考点i之间 的互相关函数：

$R_{\mathrm{ij}}\left(\tau \right)={\int }_o^T{x}_i\left(t\right)x_j(t+\tau )\mathrm{d\tau }---\left(1\right)$

式中，R_ij(τ)为响应点j和参考点i之间的互相关函数，T为测试 时间，x_i(t)为参考点的加速度响应信号，x_j(t)为响应点的加速度响应 信号，τ为时间间隔；

对结构响应点j和参考点i之间的互相关函数R_ij(τ)按照时间间隔Δt 采样，并将其表示为复模态形式

$R_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)=\underset{r=1}{\overset{N}{\Sigma }}{C}_{\mathrm{rij}}{e}^{{\lambda }_r\mathrm{k\Delta t}}---\left(2\right)$

式中C_rij为与第r阶模态相关的常系数；N为待识别模态阶数；Δt为采 样时间间隔；λ_r为系统极点；

将系统极点λ_r表达为式中ξ_r为第r 阶模态阻尼比；ω_r为第r阶模态无阻尼固有频率

将R_ij(kΔt)作周期延拓，并进行离散傅里叶变换，得到响应点j和 参考点i之间单边互功率谱密度函数：

$S_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)=\frac{1}{N}{\Sigma }_{k=1}^{2N}{\Sigma }_{r=1}^N{R}_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)e^{(-\mathrm{j\pi kr}/N)}---\left(4\right)$

取在不同采样起始时刻的值建立互功率谱函数矩阵方程：

式中a₀，a₁，…a_2N为系数；S_ij(t₀)，S_ij(t₁)…S_ij(t_4N)为响应点j 和参考点i之间互功率谱函数在t₀，t₁,…t_4N时刻的取值，利用该方程 组的协方差矩阵构成压缩方程，得到该超定方程的最小二乘解，得到 系数a₀，a₁，…a_2N的取值。

再进一步，所述步骤5)中，令构造下列方程：

${\Sigma }_{k=1}^{2N}{a}_k{S}_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)={\Sigma }_{k=1}^{2N}\left(a_k{\Sigma }_{r=1}^N{C}_{\mathrm{rij}}{V}_r^k\right)={\Sigma }_{r=1}^N\left(C_{\mathrm{rij}}{\Sigma }_{k=1}^{2N}{a}_k{V}_r^k\right)=0---\left(7\right)$

式中a_k为系数，上式左边由2N项相加而成，因此方程组特征解 的个数至少应等于2N，因此k＝0,1,2…2N，上式如果成立，则系数 a₀,a₁,…a_2N满足下列有理分式正交多项式即Poroney多项式方程，且 该多项式以为特征解，取a2N＝1，得到：

$a_0+a_1{V}_r^1+...+a_{2N-1}{V}_r^{2N-1}+V_r^{2N}=0---\left(8\right)$

将估计出的系数矩阵a₀，a₁，…a_2N代入式(8)，求得系统的极点。

所述步骤6)中，将互功率谱函数矩阵表示为系统各阶模态振型 和模态参与因子矩阵的部分分式之和，得到

$\left[S_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)\right]=\underset{r=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\left(V_r\right)e^{{\lambda }_r\mathrm{k\Delta t}}\left(L_r\right)+\left(V_r^{*}\right)e^{{\lambda }_r^{*}\mathrm{k\Delta t}}\left(L_r^{*}\right)]---\left(9\right)$

式中，V_r为模态振型矩阵，L_r为模态参与因子矩阵，表示在系统响应 中各阶模态的贡献量，为模态振型矩阵的复共轭矩阵，为模态参 预因子矩阵的复共轭矩阵，为系统极点的共轭复数；

将识别的系统极点代入式(9)，求得由各阶模态振型矢量Ψ_r构成的 模态振型矩阵V_r及其模态参与因子矩阵L_r，获得系统模态参数的全局 估计。

所述步骤7)中，模态置信判据矩阵值为：

${\mathrm{MAC}}_{\mathrm{rs}}=\frac{{\left|{{\Psi }_r}^{*T}{\Psi }_s\right|}^2}{\left({{\Psi }_r}^{*T}{\Psi }_r\right)\left({{\Psi }_s}^{*T}{\Psi }_s\right)}---\left(10\right)$

其中，Ψ_r为第r阶模态振型矢量；Ψ_s为第s阶模态振型矢量；Ψ_r^*T为第 r阶模态振型矢量的共轭转置；Ψ_s^*T为第s阶模态振型矢量的共轭转置。

一种悬臂梁运行模态分析实验装置，包括固定支架、钢锤、加速 度传感器、悬臂梁、同轴电缆、数据采集前端和运行模态分析中心， 悬臂梁固定安装在固定支架上，钢锤对悬臂梁实施脉冲激励，所述加 速度传感器测试各测点的振动加速度-时间数据，各加速度传感器通过 同轴电缆分别与数据采集前端电连接，数据采集前端与运行模态分析 中心电连接，加速度传感器采集到脉冲激励下的响应信号后，将其传 入数据采集前端，再传到运行模态分析中心，所采集的振动响应信号 数据通过数据采集前端导入运行模态分析中心的运行模态分析软件模 块进行分析处理，所述运行模态分析软件模块中，求取测点与响应点 间的互谱函数，构建矩阵方程，由最小二乘误差稳态图识别模态参数。

本发明的有益效果主要表现在：1、能够实现快速计算、精确度高、 具有较好的误差控制、能够减少试验强度和时间，大幅提高试验效率； 2、突破了已有实验模态分析技术要求外加激励响应输入和对激励输入 各种强制假设的缺陷，可实现方便快速地对悬臂梁结构进行动态特性 分析；3、不需要测量外部激励，只测量响应数据，减少了设备需求， 试验成本可以大大降低，为运行模态分析实验技术增添了一种新方法。

附图说明

图1为本发明悬臂梁运行模态分析实验方法的流程示意图。

图2为运行模态分析实验装置组成示意图。

图3为悬臂梁结构测点布置示意图。

图4为参考点的时域响应波形图。

图5为测点的时域响应波形图。

图6为参考点与测点间的互功率谱函数图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图6，一种悬臂梁运行模态分析实验方法，该方法包括 以下步骤：

1)选择悬臂梁的端点作为激励点，利用钢锤对梁实施脉冲激励； 选取距离激励点较近且响应信号幅值较大的响应点作为参考点； 在所述参考点及反映梁振型的各几何模型节点布置响应测点；

2)采集所述参考点和响应点在脉冲激励后产生的响应信号；

3)对采集信号进行带通滤波，其通频带为感兴趣的结构模态频率 范围，对所有响应通道加汉宁窗；

4)求取参考点与响应点之间的互功率谱函数，并构建互功率谱函 数不同采样时刻数据构成的矩阵方程；

5)利用所述矩阵方程求解系数矩阵，得到系统极点；

6)识别模态振型及模态参与因子矩阵；

7)进行模态置信判据矩阵值计算，如果模态置信判据值不佳，则 选取不同采样时刻值，返回到步骤4)重新构建矩阵方程组，直至模 态置信判据值在预设合理区间以内，获得结构模态参数。

进一步，所述方法还包括以下步骤：8)模态动画绘制：得出各点 每个方向的模态振型矢量，与测点布置几何模型对应，就得到描述各 测点x、y、z方向上的相对振幅的模态振型动画。

参见图2，一种悬臂梁运行模态分析实验装置，包括固定支架1、 钢锤3、加速度传感器4、悬臂梁5、同轴电缆7、数采前端8和运行 模态分析中心9(可以采用笔记本电脑)。悬臂梁5固定安装在固定支 架1上，钢锤3对悬臂梁实施脉冲激励，所述加速度传感器4测试各 测点的振动加速度-时间数据，各加速度传感器4通过同轴电缆7分别 与数据采集前端8电连接，数据采集前端8与运行模态分析中心9电 连接。加速度传感器4采集到脉冲激励下的响应信号后，将其传入数 据采集前端8，再传到运行模态分析中心9，所采集的振动响应信号数 据通过数据采集前端导入运行模态分析中心的运行模态分析软件模块 进行分析处理，识别模态参数。具体操作步骤如下：

1)选择激励点

为了识别悬臂梁的模态参数，应尽可能输入一个宽频随机激励信 号。脉冲激励的自功率谱与白噪声信号相近，即其谱密度在较低频率 段接近于平直，是较理想的激励信号。因此利用钢锤3对梁施加脉冲 激励，以激发各阶模态。

在本发明所述的技术方案中，“脉冲激励”是指在悬臂梁上选取激 励点，使用钢锤3激励结构，提高采集信号的信噪比。参见图3，在 悬臂梁上等间距布置9个测点。选择悬臂梁的端点1号点为激励点。

2)选择参考点和响应点，测取结构振动响应

在本实施例中，在待测悬臂梁上选取1号点作为参考点，其余8 个测点作为响应点，同时在参考点和响应点上分别固定加速度传感器 4。通过加速度传感器4采集脉冲激励下参考点及响应点的振动加速度。 参考点的信号时域波形参见图4，3号测点的时域波形参见图5。

3)求取互相关函数，并将其表示为复模态形式

互相关函数表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意 两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度。按照式(1)计 算结构响应点j和参考点i之间的互相关函数

$R_{\mathrm{ij}}\left(\tau \right)={\int }_o^T{x}_i\left(t\right)x_j(t+\tau )\mathrm{d\tau }---\left(1\right)$

式中，R_ij(τ)为响应点j和参考点i之间的互相关函数，T为测试 时间，x_i(t)为参考点的加速度响应信号，x_j(t)为响应点的加速度响应 信号，τ为时间间隔。

4)求取响应信号互功率谱函数，构建由不同采样时刻的互功率谱 函数值构成的矩阵方程。

将R_ij(kΔt)作周期延拓，并进行离散傅里叶变换(DFT)，得到响应 点j和参考点i之间单边互功率谱密度函数：

$S_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)=\frac{1}{N}{\Sigma }_{k=1}^{2N}{\Sigma }_{r=1}^N{R}_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)e^{(-\mathrm{j\pi kr}/N)}---\left(4\right)$

3号测点与参考点之间的互功率谱函数参见图6。取在不 同采样起始时刻的值建立互功率谱函数矩阵方程：

式中a₀，a₁，…a_2N为系数；S_ij(t₀)，S_ij(t₁)…S_ij(t_4N)为响应点j 和参考点i之间互功率谱函数在t₀，t₁,…t_4N时刻的取值。利用该方程 组的协方差矩阵构成压缩方程，得到该超定方程的最小二乘解，得到 系数a₀，a₁，…a_2N的取值。

5)识别系统极点

为识别系统极点，令构造下列方程：

${\Sigma }_{k=1}^{2N}{a}_k{S}_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)={\Sigma }_{k=1}^{2N}\left(a_k{\Sigma }_{r=1}^N{C}_{\mathrm{rij}}{V}_r^k\right)={\Sigma }_{r=1}^N\left(C_{\mathrm{rij}}{\Sigma }_{k=1}^{2N}{a}_k{V}_r^k\right)=0---\left(7\right)$

式中a_k为系数，上式左边由2N项相加而成，因此方程组特征解 的个数至少应等于2N，因此k＝0,1,2…2N。上式如果成立，则系数 a₀,a₁,…a_2N满足下列有理分式正交多项式即Poroney多项式方程，且 该多项式以为特征解。取a_2N＝1，得到：

$a_0+a_1{V}_r^1+...+a_{2N-1}{V}_r^{2N-1}+V_r^{2N}=0---\left(8\right)$

将估计出的系数矩阵a₀，a₁，…a_2N代入式(8)，求得系统的极点。

6)识别模态振型及模态参与因子矩阵

将互功率谱函数矩阵表示为系统各阶模态振型和模态参与因子矩阵的 部分分式之和，得到

$\left[S_{\mathrm{ij}}^{+}\left(\mathrm{k\Delta t}\right)\right]=\underset{r=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\left(V_r\right)e^{{\lambda }_r\mathrm{k\Delta t}}\left(L_r\right)+\left(V_r^{*}\right)e^{{\lambda }_r^{*}\mathrm{k\Delta t}}\left(L_r^{*}\right)]---\left(9\right)$

式中，V_r为模态振型矩阵，L_r为模态参与因子矩阵，表示在系统响应 中各阶模态的贡献量，为模态振型矩阵的复共轭矩阵，为模态参 预因子矩阵的复共轭矩阵，为系统极点的共轭复数；

将识别的系统极点代入式(9)，求得由各阶模态振型矢量Ψ_r构成的 模态振型矩阵V_r及其模态参与因子矩阵L_r，获得系统模态参数的全局 估计。

在本实施例中，采用最小二乘复频域法(LSFD方法)考察不同计算 阶次下各阶模态对应的固有频率、阻尼比及模态振型的计算误差，得 到最小二乘误差稳态图，选取在所有计算阶次上标注“S”点最多的N 列所对应的频率为系统模态频率，并由此计算出阻尼比及模态振型。

7)模态验证和分析：主要完成运行模态分析结果的正确性检验。 利用模态置信判据判断模态估计的准确性。其 中Ψ_r为第r阶模态振型矢量；Ψ_s为第s阶模态振型矢量；Ψ_r^*T为第r阶 模态振型矢量的共轭转置；Ψ_s^*T为第s阶模态振型矢量的共轭转置。通 过模态置信判据MAC矩阵可判断模态参数拾取结果的正确性，从而 判断模态估计的准确性。如果两模态振型之间存在线性关系，其MAC 值接近于1，如果它们是彼此无关的，则MAC值接近于零。经过模 态置信判据矩阵判断识别结果的正确性，如果各阶模态间的MAC值均 小于0.3，则识别的各阶模态为真实模态，识别结果准确，结束整个运 算过程。如果存在某两阶模态间的MAC值大于0.3，从步骤(4)开始， 选择不同采样时刻数据重新计算直至符合要求为止。这样确定了各阶 模态参数值，基于脉冲激励的运行模态分析核心计算过程结束。

8)模态动画绘制：得出各点每个方向的模态振型矢量，与测点布 置几何模型对应，就得到描述各测点x、y、z方向上的相对振幅的模 态振型动画，从而完成整个运行模态分析全过程。

所述步骤2)中参考点和响应点的振动加速度由加速度传感器4 测量，由数据采集前端8完成振动加速度的记录。

所述步骤7)中，利用模态置信判据进行识别结果的正确性检验。

上所述仅是本发明的较佳实施方式，故凡依本发明专利申请范围 所述的构造、特征及原理所做的等效变化或修饰，均包括于本发明专 利申请范围内。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不局 限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保 护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离 本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发 明的保护范围。