基于压缩感知的MIMO-OFDM系统信道估计方法

摘要

本发明提出一种基于压缩感知的MIMO-OFDM系统信道估计方法，主要适用于接收端配备二维天线阵列时的信道估计。本发明依次估计出空间信道每个路径的延时、入射角度和增益，能有效提高信道估计精度，具体流程为：1、利用最小二乘准则获得每个导频子载波上信道频域响应向量的初始估计值；2、利用信道频域响应向量在时延域的稀疏性，基于压缩感知理论估计信道每个路径的延时和每个路径的信道时域响应向量的估计值；3、利用信道时域响应向量在二维角度域的稀疏性，基于压缩感知理论估计信道每个路径的入射角；4、采用最小二乘准则估计信道每个路径的增益系数；5、获得所有子载波和天线上的信道频域响应的估计值。

说明书

技术领域

本发明涉及接收端配备二维天线阵列的MIMO-OFDM无线通信系统，特别涉及 基于压缩感知理论的MIMO-OFDM系统信道估计问题。

背景技术

多输入多输出(MIMO)技术在发射端和接收端配置多副天线，通过与复用技术 或分集技术等的结合，充分利用散射信道的多径特性，在空间传输多路独立、并行的 数据流，在不增加系统带宽的情况下，成倍地提高无线通信系统容量和链路可靠性， 提高了系统的传输速率。因此，MIMO技术受到广泛关注，被认为是现代无线通信的 一个重大突破和未来无线通信必然采用的关键技术之一。为了满足日益增长的用户数 据需求，天线配置数目不断增加，如大规模MIMO系统，而二维天线阵列将是该系 统天线配置的合理选择。

正交频分复用(OFDM)是一种正交多载波调制技术，具有高效的频谱利用率。 随着无线通信的发展，为了满足人们对高速率业务日益增长的需求，系统带宽不断增 加，信道的频率选择性愈发突出，传统的均衡技术不仅复杂度高，而且难以完全消除 多径衰落信道所引起的码间干扰。OFDM系统将宽带频率选择性衰落信道转换成一系 列窄带平坦衰落信道，有效的解决码间串扰的问题，在实现高速数据传输等方面具有 独特的优势。因此，基于MIMO和OFDM的系统构架应运而生。

压缩感知，又称压缩采样，是一个新的采样理论，通过开发信号的稀疏特性，在 远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性 重建算法完美的重建信号。由于在实际的散射环境中，对于宽带信号，无线信道往往 由几条主要的路径构成，因此可以将无线信道视为一个时延域稀疏信道，利用压缩感 知理论可以以较少的导频数目估计出信道响应。同时，由于用户到基站端天线阵列的 入射角度个数是有限的，所以开发信道在角度域的稀疏性，同样可以利用压缩感知理 论来获得信道的估计。

发明内容

技术问题：本发明提供一种有效地减少导频数目，具有更高估计分辨率的基于压 缩感知的MIMO-OFDM系统信道估计方法。

技术方案：本发明的基于压缩感知的MIMO-OFDM系统信道估计方法，包括以 下步骤：

a)利用最小二乘准则，获得每个导频子载波上信道频域响应向量的初始估计值；

b)利用所述步骤a)中得到的信道频域响应向量的初始估计值在时延域的稀疏性， 基于压缩感知理论估计信道每个路径的延时和每个路径的信道时域响应向量的估计 值；

c)利用所述步骤b)中估计的信道时域响应向量的估计值在二维角度域的稀疏性， 基于压缩感知理论估计信道每个路径的入射角，所述入射角包括垂直俯仰角和水平方 位角；

d)利用所述步骤a)中得到的信道频域响应向量的初始估计值、步骤b)中估计 出的每个路径的延时、步骤c)估计出的每个路径的入射角，采用最小二乘准则，估 计信道每个路径的增益系数；

e)将所述步骤b)中估计的每个路径的延时、步骤c)估计出的每个路径的入射 角和步骤d)中所估计的每个路径的增益系数，代入信道频域响应的多径信道模型， 获得所有子载波、所有天线上的信道频域响应的估计值。

本发明方法的优选方案中，步骤b)的具体流程为：

首先，将信道路径延时在0到最大路径延时之间均匀离散化，得到最小延时间隔 为Δτ和离散后的路径个数为N_τ，利用信道频域响应和信道时域响应的傅里叶变换关 系，将每个子载波上的信道频域响应向量表示为基向量与信道时域矩阵的乘积。

其次，将所有导频子载波上的信道频域响应向量的初始估计值按顺序排列成一个 矩阵，记为信道频域矩阵；将所有基向量按照相同的顺序排列成一个矩阵，记为投影 矩阵；从而将信道频域矩阵估计值表示为：

$\tilde{H}=\mathrm{\Xi A}+W---\left(12\right)$

其中，表示信道频域矩阵估计值，Ξ为投影矩阵，A为信道时域矩阵，W为 噪声矩阵；

最后，根据式(12)采用压缩感知理论求解信道时域矩阵，求解出的信道时域矩 阵共N_τ行，寻找其中的非零行向量，所述非零行向量的个数L即为估计出的信道路 径总数，第l个非零行向量即为第l个路径的信道时域响应向量的估计值，第l个路径 所对应的路径延时为(m-1)Δτ，其中，l为非零行向量的序号，m为第l个非零行 向量所在的信道时域矩阵行数m。

本发明方法的优选方案中，步骤c)的具体流程为：

首先，将垂直俯仰角均匀离散化，得到最小角度间隔为Δθ，离散后的角度个数 为N_θ；将水平方位角均匀离散化，得到最小角度间隔为Δφ，离散后的角度个数为 N_φ，利用信道时域响应和路径入射角之间的二维傅里叶变换关系，将每个路径的信 道时域响应向量估计值表示为：

${\hat{\alpha }}_l=P{\gamma }_l+w---\left(18\right)$

其中，为第l个路径的信道时域响应向量估计值，P为投影矩阵，γ_l为第l个 路径的路径复增益向量，w为噪声向量；

然后按照以下方法分别计算每个路径的入射角：对于第l个路径，利用式(18)， 采用压缩感知理论求解得到路径复增益向量的估计值，根据路径复增益向量中元素最 大值的位置，计算第l个路径的入射角，所述入射角包括垂直俯仰角和水平方位角。

本发明方法的上述优选方案中，步骤c)中，所述投影矩阵中每行元素排列方式 与路径复增益向量γ_l中元素排列方式相同，均为按照垂直俯仰角和水平方位角所对应 路径的克罗内克积的顺序排序得到；

计算第l个路径的入射角的方法为：根据路径复增益向量中元素最大值的位置s， 得到第l个路径的垂直俯仰角为水平方位角为其中， n_φ＝mod(s,N_φ)，n_θ＝(s-n_φ)/N_φ+1，mod(x,y)表示x对y求余。

本发明方法的另一种优选方案中，步骤c)中，所述投影矩阵中元素排列方式与 路径复增益向量γ_l中元素排列方式相同，均为按照水平方位角和垂直俯仰角所对应路 径的克罗内克积的顺序；

计算第l个路径的入射角的方法为：根据路径复增益向量中元素最大值的位置s， 得到第l个路径的垂直俯仰角为水平方位角为其中， n_θ＝mod(s,N_θ)，n_φ＝(s-n_θ)/N_θ+1。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有如下优点：

1、本发明所述的信道估计方法在最小二乘估计的基础上，进一步估计了表征信 道特性的参数(包括路径的延时、入射角和增益系数)，其信道估计结果相较于最小 二乘估计具有显著地提高。

2、传统的MIMO-OFDM系统信道估计方案，如最小二乘估计，在一个OFDM 符号内的导频数目必须不小于信道时域长度，从而保证导频在频域的分布间隔小于相 干频率间隔，否则会引起信道估计结果在时域的混叠。本发明利用了信道在时延域的 稀疏性，结合压缩感知的理论，导频数目可以小于信道时域长度，从而减小了导频开 销。

3、传统的基于子空间算法的入射角度估计方案，如MUSIC算法，需要大量的样 本估计协方差阵。当样本数目有限，或者样本具有相关性时，估计性能很差，且能分 辨的入射角的个数小于天线数目。本发明利用信道在二维角度域的稀疏性，结合压缩 感知的理论估计入射角，不仅可以有效地减少观测样本数目，而且不受样本相关性和 天线数目的影响，具有更加广阔的应用。

本发明采用基于压缩感知的方法来获得信道参数的估计，充分利用了信道在时延 域和二维角度域的稀疏性，估计结果较之于最小二乘估计具有显著的提高，同时减少 了导频开销，对于宽带及大规模MIMO系统具有广泛的应用前景。

附图说明

图1为接收端天线阵列配置示意图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明，下面结合实施例和说明书附图来对 本发明中的技术方案进行清楚、完整的描述说明，应理解这些实施例仅用于说明本发 明技术方案的具体实施方式，而不用于限制本发明的范围。在阅读了本发明之后，本 领域技术人员对本发明的各种等同形式的修改和替换均落于本申请权利要求所限定 的保护范围。

实施例1：

1、系统模型

本方案考虑MIMO-OFDM系统。图1为接收端天线配置示意图，不是一般性， 采用二维天线均匀面阵，其中水平方向有N_h根天线，垂直方向有N_v根天线，相邻天 线间距为d。时域多径信道响应矩阵为

$Q\left(\tau \right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}{\beta }_{l}a\left({\theta }_l\right)a^T\left({\phi }_l\right)\delta (\tau -{\tau }_l)---\left(1\right)$

其中，δ(τ)表示Kronecker脉冲函数，L为多径信道的径数，τ_l、β_l分别为第l 个路径的延时和增益系数。为用户到天线阵列的时域信道矩阵。假设 用户距离天线阵列足够远，即入射波为平面波，则第l径的垂直方向和水平方向导引 矢量分别为

$a\left({\theta }_l\right)={[1,e^{-j2\pi d\cos \left({\theta }_l\right)/\lambda },···,e^{-j2\pi (N_v-1)d\cos \left({\theta }_l\right)/\lambda }]}^T$

$a\left({\phi }_l\right)={[1,e^{-j2\pi d\sin \left({\theta }_l\right)\cos \left({\phi }_l\right)/\lambda },···,e^{-j2\pi (N_h-1)d\sin \left({\theta }_l\right)\cos \left({\phi }_l\right)/\lambda }]}^T$

其中，θ_l∈[0,π/2],φ_l∈[0,π]分别为第l径的垂直俯仰角角和水平方位角，λ为 入射波波长。利用傅里叶变换得到信道频域响应的多径信道模型为：

$\left(\begin{array}{c}{H}_k={\int }_{-\infty }^{+\infty }Q\left(\tau \right)e^{-j2\mathrm{\pi k}({\tau }_l/t_s)/N_c}\mathrm{d\tau }\\ =\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}{\beta }_{l}a\left({\theta }_l\right)a^T\left({\phi }_l\right)e^{-j2\mathrm{\pi k}({\tau }_l/t_s)/N_c}\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中，t_s为采样周期，N_c为OFDM符号子载波的个数，H_k为第k个子载波的 信道频域矩阵，其第v行、第h列的元素代表用户到垂直方向第v根天线、水平方向 第h根天线在第k个子载波上的信道频域响应，表示为

$H_{v,h,k}=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\Sigma }}{\alpha }_{v,h,l}{e}^{-j2\mathrm{\pi k}({\tau }_l/t_s)/N_c}---\left(3\right)$

其中，用户到垂直方向第v根天线、水平方向第h根天线在第l个路径的信道时 域响应为

${\alpha }_{v,h,l}={\beta }_l{e}^{-j2\pi (v-1)d\cos \left({\theta }_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (h-1)d\sin \left({\theta }_l\right)\cos \left({\phi }_l\right)/\lambda }---\left(4\right)$

假设用户个数为1且配备单天线，系统模型为

Y_k＝H_kX_k+Z_k   (5)

其中，X_k分别表示第k个子载波上的接收数据和发送数据，Z_k为 加性高斯白噪声矩阵。对式(5)等号左右矩阵向量化，得

y_k＝h_kX_k+z_k   (6)

其中，y_k＝vec(Y_k)，h_k＝vec(H_k)，z_k＝vec(Z_k)，vec(·)表示矩阵向量 化算子。

2、信道初始估计

假设用户发送导频符号为X_k，接收端接收导频数据为y_k，根据系统模型式(6)， 利用最小二乘准则，获得每个导频子载波上信道频域响应向量的初始估计值为

${\hat{h}}_k=y_k/X_k=h_k+z_k/X_k=h_k+w_k---\left(7\right)$

假设导频在频域均匀分布，其中导频间隔为k_p，导频个数为N_p，则导频集合为 {0,k_p,…，(N_p-1)k_p}。此信道估计方法简单，但精度有限。接下来，本方案将基于 该初始估计结果，依次估计出多径信道每条路径的延时、入射角和增益系数，从而获 得更加精确的信道估计结果。

3、延时估计

设信道路径最大延时为τ_max，由于每条信道路径延时均在0～τ_max之间随机分布， 可以将信道路径延时在0到τ_max之间均匀离散化，离散间隔为Δτ，离散后的路径个 数为其中，表示为对a向上取整的结果，则由式(3)可得信 道频域响应的表示为

$H_{v,h,k}=\underset{{\tau }_l\in \Gamma }{\Sigma }{\alpha }_{v,h,l}{e}^{-j2\mathrm{\pi k}({\tau }_l/t_s)/N_c}---\left(8\right)$

其中，延时集合Γ的选取为

Γ＝{0,Δτ,2Δτ,…,(N_τ-1)Δτ}   (9)

将第k个子载波上所有天线的信道频域响应集合在一起，记为信道频域响应向 量，表示为

h_k＝Au_k   (10)

其中第k个子载波的信道频域向量$h_k={[H_{\mathrm{1,1},k},H_{\mathrm{1,2},k},···,H_{\mathrm{2,1},k},···,H_{N_v,N_h,k}]}^T,$基向量${\mu }_k={[0,···,e^{-j2\mathrm{\pi k}((N_{\tau }-1)\mathrm{\Delta \tau }/t_s)/N_c}]}^T,$信道时域矩阵

$A=\left(\begin{array}{ccccc}{\alpha }_{\mathrm{1,1,1}}& & ···& & {\alpha }_{N_v,N_h,1}\\ {\alpha }_{\mathrm{1,1,2}}& & ···& & {\alpha }_{N_v,N_h,2}\\ ·& & & & ·\\ ·& & & & ·\\ ·& & & & ·\\ {\alpha }_{\mathrm{1,1},N_{\tau }}& & ···& & {\alpha }_{N_v,N_h,N_{\tau }}\end{array}\right)$

根据式(7)和式(10)，信道频域响应向量的初始估计值表示为

${\tilde{h}}_k={\mathrm{Au}}_k+w_k---\left(11\right)$

将所有导频子载波上的信道频域响应向量的初始估计值按顺序排列成信道频域 矩阵将所有基向量按照相同的顺序排列成投影矩阵Ξ，从而得到将信道频域矩阵 估计值表示为：

$\tilde{H}=\mathrm{\Xi A}+W---\left(12\right)$

其中，$\tilde{H}={[{\tilde{h}}_0^T,{\tilde{h}}_{k_p}^T,···,{\tilde{h}}_{(N_p-1)k_p}^T]}^T,\Xi ={[u_0^T,u_{k_p}^T,···,u_{(N_p-1)k_p}^T]}^T,$由于信道时域矩阵A多数元素为0，为一个稀疏矩 阵，因此式(12)为信道频域响应向量的初始估计值在时延域的稀疏表示，基于压缩感 知理论求解信道时域矩阵A为

$\hat{A}=\underset{A}{\min }\{\frac{1}{2}{\left|\right|\tilde{H}-\mathrm{\Xi A}\left|\right|}_2^2+\mu {\left|\right|A\left|\right|}_1\}---\left(13\right)$

其中，μ为正则化参数，该值的选取影响信号重建的精度，||·||₁、||·||₂分别表示 矩阵的1-范数和2-范数。在所求解出的信道时域矩阵中，若某一行不是零向量， 则存在相应的一条延时路径，如信道时域矩阵的第m行是第l个非零行向量，则第 l条路径的信道时域响应向量估计值为

${\hat{\alpha }}_l={[{\hat{\alpha }}_{\mathrm{1,1},m},···,{\hat{\alpha }}_{N_v,N_h,m}]}^T---\left(14\right)$

所对应的路径延时估计为假设信道时域矩阵中非零行向量共 个，则估计出的信道路径总数为估计出的相应延时集合为

$\hat{\Gamma }=\{{\hat{\tau }}_1,{\hat{\tau }}_2,···,{\hat{\tau }}_{\hat{L}}\}---\left(15\right)$

4、入射角估计

由于垂直俯仰角在0～0.5π之间随机分布，将垂直俯仰角均匀离散化，最小角度 间隔为Δθ，离散后的角度个数为其中，表示为对a向下取 整的结果；由于水平方位角在0～π之间随机分布，将水平方位角均匀离散化，最小 角度间隔为Δφ，离散后的角度个数为则由(4)可将信道时域响应表 示为

${\alpha }_{v,h,l}=\underset{{\theta }_q\in \Theta }{\Sigma }\underset{{\phi }_s\in \Phi }{\Sigma }{\gamma }_{\mathrm{lqs}}{e}^{-j2\pi (v-1)d\cos \left({\theta }_q\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (h-1)d\sin \left({\theta }_q\right)\cos \left({\phi }_s\right)/\lambda }---\left(16\right)$

其中，角度集合Θ,Φ的选取为

$\left(\begin{array}{c}\Theta =\{\mathrm{\Delta \theta },2\mathrm{\Delta \theta },···,N_{\theta }\mathrm{\Delta \theta }\}\\ \Phi =\{\mathrm{\Delta \phi },2\mathrm{\Delta \phi },···,N_{\phi }\mathrm{\Delta \phi }\}\end{array}\right)---\left(17\right)$

根据式(14)的估计结果和式(16)，所估计的第l条路径的信道时域响应向量估计值 表示为

${\hat{\alpha }}_l=P{\gamma }_l+w---\left(18\right)$

其中，路径复增益向量w为噪声向量，P为投影矩阵， 表示为

$P=\left(\begin{array}{ccc}{\psi }_{\mathrm{1,1,1,1}}& ···& {\psi }_{\mathrm{1,1},N_{\theta },N_{\phi }}\\ ·& & ·\\ ·& & ·\\ ·& & ·\\ {\psi }_{N_v,N_h,\mathrm{1,1}}& ···& {\psi }_{N_v,N_h,N_{\theta },N_{\phi }}\end{array}\right)---\left(19\right)$

其中，${\psi }_{i,j,q,s}=e^{-j2\pi (i-1)d\cos \left({\theta }_q\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (j-1)d\sin \left({\theta }_q\right)\cos \left({\phi }_s\right)/\lambda },$φ_s＝sΔφ，θ_q＝qΔθ。 由于路径复增益向量γ_l中只有一个元素不为0，为一个稀疏向量，因此式(18)为信道 时域响应向量的估计值在二维角度域的稀疏表示，基于压缩感知理论求解路径复增益 向量γ_l为

${\hat{\gamma }}_l=\underset{{\gamma }_l}{\min }\{\frac{1}{2}{\left|\right|{\hat{\alpha }}_l-{\mathrm{P\gamma }}_l\left|\right|}_2^2+\mu {\left|\right|{\gamma }_l\left|\right|}_1\}---\left(20\right)$

所估计出的路径复增益向量中元素最大值所处的位置反映了入射角度的大小。 根据向量γ_l中元素的排列方式，可以计算得到垂直俯仰角和水平方位角。若估计出的 路径复增益向量中元素最大值的位置为s，即则

(1)若路径复增益向量γ_l中元素的排列方式为垂直俯仰角和水平方位角所对应 路径的克罗内克积的顺序，即首先，对于每个垂直俯仰角，按水平方位角从小到大的 顺序排列路径复增益，得到一个长度为N_φ的向量；然后，按照垂直俯仰角从小到大 的顺序排列上述长度为N_φ的向量，得到一个长度为N_θN_φ的向量，表示为

则第l条路径所对应的垂直俯仰角和水平方位角的估计为

${\hat{\theta }}_l=n_{\theta }\mathrm{\Delta \theta },{\hat{\phi }}_l=n_{\phi }\mathrm{\Delta \phi }$

其中，n_φ＝mod(s,N_φ)，n_θ＝(s-n_φ)/N_φ+1，mod(x,y)表示x对y求余。

(2)若路径复增益向量γ_l中元素的排列方式为水平方位角和垂直俯仰角所对应 路径的克罗内克积的顺序，即首先，对于每个水平方位角，按垂直俯仰角从小到大的 顺序排列路径复增益，得到一个长度为N_θ的向量；然后，按照水平方位角从小到大 的顺序排列上述长度为N_θ的向量，得到一个长度为N_θN_φ的向量，表示为

则第l条路径所对应的垂直俯仰角和水平方位角的估计为

${\hat{\theta }}_l=n_{\theta }\mathrm{\Delta \theta },{\hat{\phi }}_l=n_{\phi }\mathrm{\Delta \phi }$

其中，n_θ＝mod(s,N_θ)，n_φ＝(s-n_θ)/N_θ+1。

依次估计出条路径的入射角度(垂直俯仰角和水平方位角)的集合为

$\left(\begin{array}{c}\hat{\Theta }=\{{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,···,{\hat{\theta }}_L\}\\ \hat{\Phi }=\{{\hat{\phi }}_1,{\hat{\phi }}_2,···,{\hat{\phi }}_L\}\end{array}\right)---\left(21\right)$

5、增益系数估计

根据信道频域响应的初始估计值、每个路径的延时的估计值、每个路径的入射角 的估计值，由式(3)和式(4)可得

${\tilde{H}}_{v,h,k}=\underset{l=0}{\overset{\hat{L}-1}{\Sigma }}{\beta }_l{e}^{-j2\pi (v-1)d\cos \left({\theta }_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (h-1)d\sin \left({\hat{\theta }}_l\right)\cos \left({\hat{\phi }}_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\mathrm{\pi k}({\hat{\tau }}_l/t_s)/N_c}+W_{v,h,k}---\left(22\right)$

其中，W_v,h,k分别为用户到水平方向第h根天线、垂直方向第v根天线在 第k个子载波上的信道频域响应的初始估计值和噪声，分别为所估计出的 第l个路径的延时、水平方位角和垂直俯仰角，β_l为第l个路径的增益系数。将所有 导频子载波上的信道频域响应的初始估计值排列成列向量，根据式(22)，得

$\tilde{H}=\mathrm{E\beta }+W---\left(23\right)$

其中，$\tilde{H}={[{\tilde{H}}_{\mathrm{1,1,1}},{\tilde{H}}_{\mathrm{2,1,1}},···,{\tilde{H}}_{N_v,\mathrm{1,1}},{\tilde{H}}_{\mathrm{1,2,1}},···,{\tilde{H}}_{H_v,N_h,1},{\tilde{H}}_{\mathrm{1,1},k_p},···,{\tilde{H}}_{N_v,N_h,(N_p-1)k_p}]}^T,$根据式(15)和式(21)所获得的路径延时和入射角，矩阵E构建如下

其中，${\hat{\psi }}_{i,j,l}=e^{-j2\pi (i-1)d\cos \left({\hat{\theta }}_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (j-1)d\sin \left({\hat{\theta }}_l\right)\cos \left({\hat{\phi }}_l\right)/\lambda }{\hat{\xi }}_{k,l}=e^{-j2\mathrm{\pi k}({\hat{\tau }}_l/t_s)/N_c}.$采用最 小二乘准则，得信道增益系数为

$\hat{\beta }={\left(E^{H}E\right)}^{-1}{E}^H\tilde{H}$

6、信道估计

根据所估计的路径延时、入射角及增益系数，代入信道频域响应的多径信道模型 (2)，获得所有子载波和天线上的信道频域响应的估计值为：

$\left(\begin{array}{c}{\hat{H}}_{v,h,k}=\underset{l=0}{\overset{\hat{L}-1}{\Sigma }}{\hat{\beta }}_l{e}^{-j2\pi (v-1)d\cos \left({\hat{\theta }}_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (h-1)d\sin \left({\hat{\theta }}_l\right)\cos \left({\hat{\phi }}_l\right)/\lambda }{e}^{-j2\mathrm{\pi k}({\hat{\tau }}_l/t_s)/N_c}\\ 1\le v\le H_v,1\le h\le N_h,0\le k\le N_c-1\end{array}\right)---\left(24\right)$

实施例2：

根据压缩感知理论，可以得到式(13)和式(20)，采用优化算法可以求解。本实施 例提供OMP算法求解式(13)和式(20)，具体为：

a.初始化残量$r_{v,h}^{\left(0\right)}={\tilde{H}}_{v,h}={[{\tilde{H}}_{v,h,0},{\tilde{H}}_{v,h,k_p},···,{\tilde{H}}_{v,h,(N_p-1)k_p}]}^T,$其中k_p为导频间 隔，N_p为导频个数，为用户到垂直方向第v根天线，水平方向第h根天线在第 k个子载波的信道频域响应的初始估计值。初始化延时索引集合迭代次数 t＝1。令Ψ⁽⁰⁾为空矩阵。假设多径数目L已知。

b.在第t次迭代中，通过求解下式，寻找第t个延时径的位置索引：

其中，是投影矩阵Ξ的第j列，投影矩阵Ξ表示为

$\Xi =\left(\begin{array}{cccc}{\xi }_{\mathrm{0,1}}& {\xi }_{\mathrm{0,2}}& ···& {\xi }_{0,N_{\tau }}\\ {\xi }_{k_p,1}& {\xi }_{k_p,2}& ···& {\xi }_{k_p,N_{\tau }}\\ ·& ·& & ·\\ ·& ·& & ·\\ ·& ·& & ·\\ {\xi }_{(N_p-1)k_p,1}& {\xi }_{(N_p-1)k_p,2}& ···& {\xi }_{(N_p-1)k_p,N_{\tau }}\end{array}\right)$

其中，${\xi }_{k,l}=e^{-j2\mathrm{\pi k}({\tau }_l/t_s)/N_c},{\tau }_l=(l-1)\mathrm{\Delta \tau },$t_s为采样间隔。

c.保存第t次迭代的估计结果：

d.求解已完成延时估计的路径的信道时域响应向量 ${\alpha }_{v,h}^{\left(t\right)}(1\le v\le N_v,1\le h\le N_h):$

${\hat{\alpha }}_{v,h}^{\left(t\right)}=\underset{{\alpha }_{v,h}}{\arg \min }{\left|\right|{\tilde{H}}_{v,h}-{\Psi }^{\left(t\right)}{\alpha }_{v,h}\left|\right|}_2$

e.更新残余量

${\stackrel{\widehat{~}}{H}}_{v,h}^{\left(t\right)}={\Psi }^{\left(t\right)}{\hat{\alpha }}_{v,h}^{\left(t\right)},r_{v,h}^{\left(t\right)}={\tilde{H}}_{v,h}-{\stackrel{\widehat{~}}{H}}_{v,h}^{\left(t\right)}$

f.令t＝t+1。若t≤L，返回步骤b进行下一次迭代；反之，则继续。

g.步骤b～步骤f共搜索出了L条路径，其中估计出的路径延时位置索引集合为 Λ^(L)。对于任意的l∈Λ^(L)，则存在一条路径，其延时为相应的路径 增益为用户到所有天线上的第l条路径的信道时域响应向量的估计值 为

延时估计集合排序为

$\hat{\Gamma }=\{{\hat{\tau }}_1,{\hat{\tau }}_2,···,{\hat{\tau }}_L\}$

h.对于所估计出的L条路径，依次搜索相应的入射角，其中，第l条路径的入射 角度索引值为

$s=\underset{j=1,···,N_{\theta }{N}_{\phi }}{\arg \max }|⟨{\hat{\alpha }}_l,p_j⟩|$

其中，p_j为投影矩阵P的第j列。投影矩阵P由下式给出

$P=\left(\begin{array}{ccc}{\psi }_{\mathrm{1,1,1,1}}& ···& {\psi }_{\mathrm{1,1},N_{\theta },N_{\phi }}\\ ·& & ·\\ ·& & ·\\ ·& & ·\\ {\psi }_{N_v,N_h,\mathrm{1,1}}& ···& {\psi }_{N_v,N_h,N_{\theta },N_{\phi }}\end{array}\right)$

其中，${\psi }_{i,j,q,s}=e^{-2\pi (i-1)d\cos \left({\theta }_q\right)/\lambda }{e}^{-j2\pi (j-1)d\sin \left({\theta }_q\right)\cos \left({\phi }_s\right)/\lambda },{\phi }_s=(s-1)/b,$θ_q＝(q-1)/c，d为均匀天线面阵的最小天线间距，λ为载波波长。根据投影矩阵P 中行向量元素的排序方式，可以求得相应的入射角，其中，投影矩阵P中每行元素排 列方式与前文的路径复增益向量γ_l中元素排列方式相同，因此

(1)若路径复增益向量γ_l中元素的排列方式为垂直俯仰角和水平方位角所对应 路径的克罗内克积的顺序，即首先，对于每个垂直俯仰角，按水平方位角从小到大的 顺序排列路径复增益，得到一个长度为N_φ的向量；然后，按照垂直俯仰角从小到大 的顺序排列上述长度为N_φ的向量，得到一个长度为N_θN_φ的向量，表示为

${\gamma }_l={[{\gamma }_{l11},{\gamma }_{l12},···,{\gamma }_{l1N_{\phi }},{\gamma }_{l21},{\gamma }_{l22},···{\gamma }_{l2N_{\phi }},···,{\gamma }_{l{N}_{\theta }1},···,{\gamma }_{l{N}_{\theta }{N}_{\phi }}]}^T$

则第l条路径所对应的垂直俯仰角和水平方位角的估计为

${\hat{\theta }}_l=n_{\theta }\mathrm{\Delta \theta },{\hat{\phi }}_l=n_{\phi }\mathrm{\Delta \phi }$

其中，n_φ＝mod(s,N_φ)，n_θ＝(s-n_φ)/N_φ+1，mod(x,y)表示x对y求余。

(2)若路径复增益向量γl中元素的排列方式为水平方位角和垂直俯仰角所对应 路径的克罗内克积的顺序，即首先，对于每个水平方位角，按垂直俯仰角从小到大的 顺序排列路径复增益，得到一个长度为N_θ的向量；然后，按照水平方位角从小到大 的顺序排列上述长度为N_θ的向量，得到一个长度为N_θN_φ的向量，表示为

${\gamma }_l={[{\gamma }_{l11},{\gamma }_{l12},···,{\gamma }_{l{N}_{\theta }1},{\gamma }_{l12},{\gamma }_{l22},···{\gamma }_{l{N}_{\theta }2},···,{\gamma }_{l1N_{\phi }},···,{\gamma }_{l{N}_{\theta }{N}_{\phi }}]}^T$

则第l条路径所对应的垂直俯仰角和水平方位角的估计为

${\hat{\theta }}_l=n_{\theta }\mathrm{\Delta \theta },{\hat{\phi }}_l=n_{\phi }\mathrm{\Delta \phi }$

其中，n_θ＝mod(s,N_θ)，n_φ＝(s-n_θ)/N_θ+1。

依次估计出L条路径的入射角度(垂直俯仰角和水平方位角)的集合为

$\left(\begin{array}{c}\hat{\Theta }=\{{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,···,{\hat{\theta }}_L\}\\ \hat{\Phi }=\{{\hat{\phi }}_1,{\hat{\phi }}_2,···,{\hat{\phi }}_L\}\end{array}\right).$