基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法

摘要

本发明公开了一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法。本发明通过在斐索涉仪装置中，先后在干涉腔中插入两块不同厚度的平行平板，来引入物点和像点的轴向位移，实现透镜焦距的测量。首先将玻璃平板放置在猫眼位置，当测试光路中不放置平行平板时，通过移相干涉测量得到测试波前数据W1和参考波前数据W0之差W1-W0。分别将两个不同厚度的平行平板置在测试光路中，通过移相干涉测量得出两个不同的波差W2-W0和波面W3-W0。采用波前差分算法通过计算求得波差W2-W1、波差W3-W1和高斯成像公式，推导出透镜焦距的计算公式。本发明采用非接触式的测量方法避免了对透镜表面的损坏，同时该发明适用于正负透镜焦距的测量。

说明书

技术领域

本发明属于光学测量技术领域，特别是一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法。

背景技术

焦距是表征光学系统的一个非常重要的参数,透镜焦距测量最简单最直接的方法就是用平行光照射被测透镜,然后测量从被测透镜到焦点的距离得到透镜的焦距；但是焦点的位置与照射的平行光的准直性直接相关,而且焦点的位置很难精确的确定,特别是当透镜的焦距很长的时候。

传统的焦距测量方法有放大倍率法、精密测角法、频谱分析法及泰伯-莫尔法等。其中放大倍率法和精密测角法在测量长焦透镜时,要求平行光管透镜焦距是被测透镜焦距的3-5倍以上,一般长焦透镜焦距都大于1m,即平行光管需要设计在3-5m以上,且受光具座长度限制,操作不方便,比较适合测量短焦透镜焦距；频谱分析法测试精度较高,但是需要昂贵的输入设备和频谱面的输出测量设备,普通实验条件下无法进行测量,且比较适合测量中短距离焦距。泰伯-莫尔法利用泰伯“自成像”和莫尔条纹图的放大特性进行长焦测量,但是精度较低，使用该方法的精度在2％-4％之间,不能满足焦距精度要求高的系统。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法，在保证测量精度的基础上，对透镜的焦距实现了非接触式的测量，同时还可以实现正负透镜焦距的测量。

实现本发明目的的技术方案为：一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置包括斐索干涉仪、测试透镜、平行平板、玻璃平板；其中，测试透镜、平行平板、玻璃平板沿光路方向顺次排列，构成测试透镜焦距的干涉光路。

所述的基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置，所述的平行平板是标准nBK7玻璃平行平板。

基于斐索干涉仪所述的透镜焦距测量装置的测量方法，透镜焦距测量检测方法步骤为：

1)分别测得第一平行平板和第二平行平板的厚度，根据已知的平行平板的折射率，确定测试光经过第一平行平板所引入的像点的轴向位移Δl′₁为：

$>\Delta l_1^{\prime }=2(1-\frac{1}{n})h_1$>

确定测试光经过第二平行平板所引入的像点的轴向平移Δl'₂为：

$>\Delta l_2^{\prime }=2(1-\frac{1}{n})h_2$>

式中，n为平行平板的折射率，h₁为第一平行平板的厚度，h₂为第二平行平板的厚度；

2)测试光路中不引入平行平板，将玻璃平板调整至猫眼位置，利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，可以得到未引入平行平板时的测试波前W₁与参考波前W₀的波差W₁-W₀；

3)测试光路中引入第一平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第一平行平板的位置，使得干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第一平行平板时的测试波前W₂与参考波前W₀的波差W₂-W₀；基于波前差分算法，可计算求得由于引入第一平行平板所引起的波前差分ΔW₁＝W₂-W₁，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₁的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_2·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_1·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_1·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_1·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_1·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，a₀为常数项系数，a₃为离焦项系数，a₈初级球差项系数，a₁₅为二阶球差项系数，a₂₄为三阶球差项系数，Δl₁为第一平行平板所引入的物点的轴向位移，NA为数值孔径。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第一平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₁为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_1=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

4)测试光路中引入第二平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第二平行平板的位置，使干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第二平行平板的测试波前W₃与参考波前W₀的波差W₃-W₀；基于波前差分算法，可计算求得由于引入第二平行平板所引起的波前差分ΔW₂＝W₃-W₁，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₂的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_2·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_2·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_2·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_2·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_2·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，Δl₂为第二平行平板所引入的物点的轴向位移。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第二平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₂为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_2=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

5)当在测试光路中引入第一平行平板时，第一平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₁，第一平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl′₁，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_1^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_1}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

式中，l为未引入平行平板时的物距，l'为未引入平行平板时的像距，f'为测试透镜的焦距。

在测试光路中引入第二平行平板时，第二平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₂，第二平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl'₂，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_2^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_2}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

由此可得测试透镜的焦距f'为：

$>f^{\prime }=\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta {l_2}^{\prime }+\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}-\frac{1}{\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2+\Delta l_1·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}$>

本发明与现有技术相比，其显著优点在于：本发明提出了一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法，采用非接触式测量的方式在保证测量精度的条件下，避免了对测试透镜表面的损伤。同时，基于波前差分方法和高斯成像公式，可以实现正负透镜焦距的高精度的测量。

附图说明

图1是基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置图。

图2是在斐索干涉仪测试光路中插入平行平板所引入的光束物点和像点的轴向偏移示意图。

图3是波前差分算法的几何分析示意图。

图4是基于斐索干涉仪的透镜焦距测量步骤示意图。

图5是本发明实施例中测量初始焦距为536.3mm正透镜时先后引入两平行平板的波面差分数据图；图5(a)是未引入平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图5(b)是引入第一平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图5(c)是引入第二平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图5(d)是由于引入第一平行平板所引起的波前差分图，图5(e)是由于引入第二平行平板所引起的波前差分图。

图6是本发明实施例中测量初始焦距为377.9mm正透镜时先后引入两平行平板的波面差分数据图；图6(a)是未引入平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图6(b)是引入第一平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图6(c)是引入第二平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图6(d)是由于引入第一平行平板所引起的波前差分图，图6(e)是由于引入第二平行平板所引起的波前差分图。

图7是本发明实施例中测量初始焦距为-254.6mm负透镜时先后引入两平行平板的波面差分数据图；图7(a)是未引入平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图7(b)是引入第一平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图7(c)是引入第二平行平板时，测试波前和参考波前的波前差分图，图7(d)是由于引入第一平行平板所引起的波前差分图，图7(e)是由于引入第二平行平板所引起的波前差分图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

如图1所示，基于斐索干涉仪(ZYGO GPI-XP)的透镜焦距测量装置包括斐索干涉仪1、测试透镜2、平行平板3、玻璃平板4；其中，斐索干涉仪1包括偏振稳频氦氖激光器1-1、显微物镜1-2、空间滤波器1-3、分束器1-4、准直镜1-5、参考镜1-6、成像透镜组1-7、CCD探测器1-8；其中，参考镜1-6为斐索干涉仪1配套的参考镜，固定在斐索干涉仪的固定卡槽上；其中，测试透镜2、平行平板3、玻璃平板4沿斐索干涉仪的光路方向顺次排列，构成测试透镜焦距的干涉光路；所有光学元件相对于基底同轴等高，即相对于光学平台或仪器底座同轴等高；偏振稳频氦氖激光器1-1发出的光束，经显微物镜1-2会聚在空间滤波器1-3上，再经空间滤波器1-3进行空间滤波，经分束器1-4后透过的光束，经过准直镜1-5准直之后，经参考镜1-6反射的光作为参考光波，透射过参考镜1-6的光，经过测试透镜2，透过平行平板3，最后由玻璃平板4反射回来，作为测试光波，两束光波在分束器1-4会和，二者经过成像透镜组1-7后可在CCD探测器1-8上得到干涉条纹，用CCD探测器1-8实时采集对应的干涉图。

基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置，所述的平行平板3是标准nBK7玻璃平行平板。

基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置的测量方法，透镜焦距测量检测步骤为：

1)分别测得第一平行平板3和第二平行平板3的厚度，根据已知的平行平板3的折射率，确定测试光经过第一平行平板所引入的像点的轴向位移Δl₁'为：

$>\Delta l_1^{\prime }=2(1-\frac{1}{n})h_1$>

确定测试光经过第二平行平板所引入的像点的轴向平移Δl'₂为：

$>\Delta l_2^{\prime }=2(1-\frac{1}{n})h_2$>

式中，n为平行平板的折射率，h₁为第一平行平板的厚度，h₂为第二平行平板的厚度；

2)测试光路中不引入平行平板，将玻璃平板4调整至猫眼位置，利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，可以得到未引入平行平板时的测试波前W₁与参考波前W₀的波差W₁-W₀；

3)测试光路中引入第一平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第一平行平板的位置，使得干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第一平行平板时的测试波前W₂与参考波前W₀的波差W₂-W₀；基于波前差分算法，可计算求得由于引入第一平行平板所引起的波前差分ΔW₁＝W₂-W₁，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₁的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_1·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_1·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_1·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_1·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_1·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，a₀为常数项系数，a₃为离焦项系数，a₈初级球差项系数，a₁₅为二阶球差项系数，a₂₄为三阶球差项系数，Δl₁为第一平行平板所引入的物点的轴向位移，NA为数值孔径。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第一平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₁为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_1=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

4)测试光路中引入第二平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第二平行平板的位置，使干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第二平行平板的测试波前W₃与参考波前W₀的波差W₃-W₀；基于波前差分算法，可计算求得由于引入第二平行平板所引起的波前差分ΔW₂＝W₃-W₁，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₂的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_2·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_2·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_2·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_2·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_2·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，Δl₂为第二平行平板所引入的物点的轴向位移。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第二平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₂为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_2=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

5)当在测试光路中引入第一平行平板时，第一平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₁，第一平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl′₁，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_1^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_1}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

式中，l为未引入平行平板时的物距，l'为未引入平行平板时的像距，f'为测试透镜的焦距。

在测试光路中引入第二平行平板时，第二平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₂，第二平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl'₂，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_2^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_2}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

由此可得测试透镜2的焦距f'为：

$>f^{\prime }=\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta {l_2}^{\prime }+\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}-\frac{1}{\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2+\Delta l_1·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}$>

基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置的测量方法，在本装置中，通过先后在干涉腔中插入两块不同厚度的平行平板，来引入物点和像点的轴向位移，实现透镜焦距的测量。

通过一种基于斐索干涉仪的透镜焦距测量装置及方法，采用非接触式测量的方式在保证测量精度的条件下，避免了对测试透镜表面的损伤。同时，基于波前差分方法和高斯成像公式，可以实现正负透镜焦距的高精度的测量。

实施例

实施例中利用本发明的方法对两个正透镜的焦距和一个负透镜的焦距依次进行检测，这三个透镜焦距的初始值为f＝536.3mm，377.9mm，-254.6mm。偏振稳频氦氖激光器1-1工作波长λ＝632.8nm，光束经显微物镜1-2会聚，会聚焦点投射到空间滤波器1-3上，再经过准直物镜1-5准直后，得到一束平行光进入到干涉光路中。

利用该斐索干涉仪对两个正透镜和一个负透镜的焦距检测方法的步骤如图4所示，其具体检测步骤为：

1)利用分辨率为0.1μm的白光干涉仪(Wyko NT9100)对两个平行平板的厚度分别进行测量，其中这两个平行平板材料是nBk7玻璃，632.8nm的波长下的折射率为1.5039。第一平行平板的厚度为h₁＝1.0012mm、第二平行平板的厚度为h₂＝2.0005mm。确定测试光经过第一平行平板所引入的像点的轴向位移Δl′₁、测试光经过第二平行平板所引入的像点的轴向位移Δl'₂，如图2所示。

2)测试光路中不引入平行平板，将玻璃平板调整至猫眼位置，利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，可以得到未引入平行平板时的测试波前W₁与参考波前W₀的波差W₁-W₀，如图5(a)、图6(a)、图7(a)所示；

3)测试光路中引入第一平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第一平行平板的位置，使得干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第一平行平板时的测试波前W₂与参考波前W₀的波差W₂-W₀，如图5(b)、图6(b)、图7(b)所示；基于波前差分算法，如图3所示，可计算求得由于引入第一平行平板所引起的波前差分ΔW₁＝W₂-W₁，如图5(d)、图6(d)、图7(d)所示，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₁的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_1·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_1·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_1·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_1·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_1·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，a₀为常数项系数，a₃为离焦项系数，a₈初级球差项系数，a₁₅为二阶球差项系数，a₂₄为三阶球差项系数，Δl₁为第一平行平板所引入的物点的轴向位移，NA为数值孔径。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第一平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₁为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_1=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

4)测试光路中引入第二平行平板，保持玻璃平板位置不动，调节第二平行平板的位置，使干涉条纹同心圆环中心与CCD探测器的中心重合；利用多步移相算法对所得到的干涉条纹图进行数据处理，得到引入第二平行平板的测试波前W₃与参考波前W₀的波差W₃-W₀，如图5(c)、图6(c)、图7(c)所示，；基于波前差分算法，如图3所示，可计算求得由于引入第二平行平板所引起的波前差分ΔW₂＝W₃-W₁，如图5(e)、图6(e)、图7(e)所示，并用Zernike多项式进行波面拟合，可以得到ΔW₂的各项Zernike多项式系数：

$>a_0=\Delta l_2·(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)$>

$>a_3=\Delta l_2·(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)$>

$>a_8=\Delta l_2·(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)$>

$>a_{15}=\Delta l_2·(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)$>

$>a_{24}=\Delta l_2·\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)$>

其中，Δl₂为第二平行平板所引入的物点的轴向位移。

由此，可以求得数值孔径NA为：

$>\mathrm{NA}=\sqrt{\frac{28a_{24}}{5a_{15}-35a_{24}}}$>

第二平行平板所引入的物点的轴向位移Δl₂为：

$>\left(\begin{array}{c}\Delta l_2=\frac{1}{5}[\frac{1}{a_0}(-2+\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{24}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{1}{128}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_3}(\frac{1}{4}N{A}^2+\frac{1}{16}N{A}^4+\frac{9}{320}N{A}^6+\frac{1}{64}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_8}(\frac{1}{48}N{A}^4+\frac{1}{64}N{A}^6+\frac{5}{448}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{15}}(\frac{1}{320}N{A}^6+\frac{1}{256}N{A}^8)\\ +\frac{1}{a_{24}}\left(\frac{1}{1792}N{A}^8\right)]\end{array}\right)$>

5)当在测试光路中引入第一平行平板时，第一平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₁，第一平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl′₁，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_1^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_1}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

式中，l为未引入平行平板时的物距，l'为未引入平行平板时的像距，f'为测试透镜的焦距。

在测试光路中引入第二平行平板时，第二平行平板所引入的物点的轴向位移为Δl₂，第二平行平板所引入的像点的轴向位移为Δl'₂，则根据高斯成像公式可得，

$>\frac{1}{l^{\prime }-\Delta l_2^{\prime }}-\frac{1}{l-\Delta l_2}=\frac{1}{f^{\prime }}$>

由此可得测试透镜的焦距f'为：

$>f^{\prime }=\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta {l_2}^{\prime }+\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}-\frac{1}{\frac{\Delta l_1·\Delta {l_2}^{\prime }-\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2}{\sqrt{\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }·(\Delta l_1-\Delta l_2)·(\Delta {l_1}^{\prime }-\Delta {l_2}^{\prime })}}-\Delta l_1·\Delta {l_1}^{\prime }·\Delta l_2+\Delta l_1·\Delta l_2·\Delta {l_2}^{\prime }}$>

两个正透镜和一个负透镜的焦距测量结果如下表所示：

所测得的第一个正透镜的焦距为535.4398mm、测量精度为0.16％；第二个正透镜的焦距为378.3892mm、测量精度为0.13％；第三个负透镜的焦距为-254.1916mm、测量精度为0.16％。