杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法

摘要

本发明属于雷达技术领域，涉及集中式MIMO(Multiple Input Multiple Output)雷达的发射波形设计，公开了一种杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法，能够提高杂波的抑制性能，可用于强杂波中的目标检测；其包括以下步骤：步骤1，建立MIMO雷达信号模型，获取杂波在空域上的强度以及在时间域上的主瓣响应先验知识；步骤2，基于杂波在空域上的强度先验知识，设计发射信号的自相关矩阵Rx；步骤3，联合优化主瓣合成信号（Mainlobe Synthesized Signal，MSS）和失配滤波器来抑制主瓣杂波信号；步骤4，在恒模条件约束下，设计发射波形矩阵。

说明书

技术领域

本发明属于雷达技术领域，涉及集中式MIMO(Multiple Input Multiple Output)雷达 的发射波形设计，特别涉及一种杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法， 能够提高杂波的抑制性能，可用于强杂波中的目标检测。

背景技术

在传统雷达中，发射波形通常是固定的。因此，接收到的信号是适应电磁环境的唯一 来源，这会限制系统在复杂的传播和干扰环境下的性能。然而基于先验知识的雷达发射波 形设计方法可以提高整个系统的灵活性，从而可以在复杂的传播和干扰环境下得到满意的 性能。在杂波区域中检测目标，杂波相对于系统热噪声占主要地位。在输出信号能量与杂 波能量比(Signal to Clutter Ratio，SCR)低的情况下，我们很难得到满意的检测性能， 特别是针对低速运动目标的检测。此时，增加发射信号的能量对提高检测性能是没有效果 的，唯一的方法就是设计发射的波形。

受通信领域中MIMO技术及综合脉冲孔径雷达SIAR的启发，2003年Rabideau和Parker 提出了MIMO雷达概念，见[Rabideau D.J.and Parker P..Ubiquitous MIMO Multifunction Digital Array Radar[C].Conference Record of the37th Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers,2003,vol.1,pp.1057-1064]。之后，这一概念 在雷达领域引起了人们的广泛关注。根据发射天线和接收天线的间距大小，可以将MIMO 雷达分为分布式MIMO雷达和集中式MIMO雷达两类。对于分布式MIMO雷达来说，由于各 个天线对目标有不同的观测视角以及目标回波的独立性，在统计意义下，这类MIMO雷达 可以克服目标的闪烁效应从而提高雷达对目标的探测性能。对于集中式MIMO雷达来说， 其特点是阵元间距较小，具有自由地设计每副天线波形的能力。与相控阵雷达相比，集 中式MIMO雷达的自由度提高了，从而集中式MIMO雷达呈现出更多的优越性，如参量分辨 力的提高、更自由的发射方向图设计能力等，见[Li J.and Stoica P..MIMO Radar With Colocated Antennas[J].IEEE Signal Processing Magazine,Sep.2007,vol.24,pp. 106-114]。因此，可以通过设计集中式MIMO雷达每个阵元的发射波形，从而提高它在目 标检测、跟踪与识别上的系统性能。

由于MIMO雷达可以通过各阵元发射不同的信号，从而获得某种实际需要的方向图， 为此根据实际需要设计发射波形成为必需。目前发射波形设计的主要方法有正交波形设 计、发射方向图的波形设计以及基于先验知识的波形设计。

正交波形设计是MIMO雷达波形设计的基础，它主要考虑波形的自相关和互相关性质。 然而，正交波形的发射方向图是各向同性的。与相控阵雷达相比，主瓣增益损失可能会降 低正交波形的MIMO雷达性能，这限制了正交波形的应用。

在给定期望的发射方向图下，Petre Stoica和Jian Li提出了在恒模约束下的波形 优化设计算法。具体设计方法是先设计发射信号的自相关矩阵R，再根据已设计的自相关 矩阵R合成发射波形矩阵X。对于自相关矩阵R的设计，Petre Stoica和Jian Li提出了 方向图匹配设计和最小化旁瓣设计，如[Stoica P.,Li J.,Xie Y..On probing signal design for MIMO radar[J].IEEE Trans.on Signal Processing.2007,vol.55(8). 4151-4161]文中所述对设计中所建立的凸规划模型可采用凸优化工具包cvx求解，cvx的 具体用法见[M.Grant and S.Boyd.CVX:Matlab software for disciplined convex programming.http://stanford.edu/～boyd/cvx,Dec.2008]。该设计方法是基于最小二 乘准则的，使由自相关矩阵R得到的方向图尽可能的逼近期望方向图。对于根据自相关矩 阵R合成发射波形矩阵X，Petre>

但是，这些算法适用于均匀杂波中。在实际中，环境杂波通常是异构的，这将会降低 已存在的发射方向图设计算法的性能。基于环境杂波的先验知识，Benjamin Friendlander提出了一种MIMO雷达的发射波形设计算法，其具体方法是基于已经得到的 杂波响应，通过最大化系统输出信号能量与杂波能量比SCR来获得用于目标检测的最优发 射波形，见[Benjamin.,Waveform Design for MIMO Radars.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic systems.2007,vol.43(3).1227-1238]。但是，该算法的代价函数非 常复杂并且没有考虑到发射波形的恒模约束条件。在恒模约束条件下，代价函数是一个 NP(Non-deterministic Polynomial)难问题，这将很难找到一个满意的解。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述基于杂波先验知识的波形设计方法的不足，提出了一种 杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法，能够提高杂波的抑制性能，可用 于强杂波中的目标检测，提高MIMO雷达在杂波区域中检测目标的性能。

为达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现。

1、一种杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法，其特征在于，包括以 下步骤：

步骤1，建立MIMO雷达信号模型，获取杂波在空域上的强度以及在时间域上的主瓣响 应；

步骤2，根据空域上杂波强度以及MIMO雷达信号模型，分别计算出目标回波能量P_t和 θ_k方向上杂波的回波能量P_ck，得到输出信号能量与杂波能量比SCR为其中， k=1,2,…,K，K表示杂波区域在空域上的等分个数；在自相关矩阵半正定以及发射天线 发射能量恒定条件约束下，通过最大化输出信号能量与杂波能量比SCR得到最优的发射信 号的自相关矩阵R_x；

步骤3，根据MIMO雷达的信号模型分别得到主瓣合成信号和主瓣杂波响应分别为 s_t=Xa_T(θ_t)和q_t=[q_t(1),q_t(2),…,q_t(N_c)]^T，其中θ_t表示目标所在的方位角，a_T(θ_t)表示θ_t方向 上的发射导向矢量，N_P表示信号码长，N表示阵元个数，C表示复数域；发 射信号波形矩阵X表示为x_m=[x_m(1),x_m(2),…,x_m(N_p)]^T，其中x_m(n)(m=1,…,N)表示第m个 阵元天线发射的恒模信号，$a_T\left({\theta }_t\right)={[1,e^{-j2\pi d\sin \left({\theta }_t\right)/\lambda },...,e^{-j2\pi (N-1)d\sin \left({\theta }_t\right)/\lambda }]}^T,$其中d表示阵元间 距，λ表示信号波长；利用联合优化主瓣合成信号和失配滤波器的设计得到最优的主瓣合 成信号s_t以及失配滤波器h；

步骤4，在恒模条件约束下，设计发射波形矩阵：对已得到的发射信号自相关矩阵R_x， 采用cyclic>CA；利用得到的主瓣合成信号s_t，最 终得到发射波形矩阵为：

X_opt=diag(e^jφ)X_CA

其中，φ=arg(s_t)-arg(X_CAa_T(θ_t))，arg(a)表示矢量a的相位角度。

上述技术方案的特点和改进在于：

（1）步骤2的子步骤为：

2.0）根据空域上杂波强度以及MIMO雷达信号模型，目标回波的能量表示为：

$\left(\begin{array}{c}{P}_t={\left|\right|y_t\left|\right|}_2^2={\left|\zeta \right|}^2{a}_T^H\left({\theta }_t\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)\\ ={\left|\zeta \right|}^2\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)\end{array}\right)---<1>$

其中R_x=X^HX表示发射信号的自相关矩阵，tr(·)表示计算矩阵迹 的运算，(·)^H表示矩阵的共轭转置运算，||·||₂表示Euclidean范数，ζ表示目标的复反射 系数；

方位角θ_k方向上的杂波回波能量可近似表示为：

$\left(\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{ck}}=\mathrm{tr}\left(y_{\mathrm{ck}}{y}_{\mathrm{ck}}^H\right)\\ ={\sigma }_k^2\left(w^H{a}_R\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right)R_x{a}_T\left({\theta }_k\right)a_R^H\left({\theta }_k\right)w\right)\\ ={\sigma }_k^2{\omega }_k^2\mathrm{tr}\left(R_x{a}_T\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right)\right)\\ =\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{ak}}\right)\end{array}\right)---<2>$

其中表示方位角θ_k方向上的杂波强度，w是一个N×1维向量，ω_k=w^Ha_R(θ_k)， $R_{\mathrm{ak}}={\left|{\omega }_k\right|}^2{\sigma }_k^2{a}_T\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right);$

发射信号的自相关矩阵R_x的设计如下：

2.1）写出目标函数：

输出信号能量与杂波能量比SCR如<3>式所示：

$\eta =\frac{P_t}{\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{ck}}}=\frac{{\left|\zeta \right|}^2\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{ak}}\right)}={\left|\zeta \right|}^2\frac{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)}---<3>$

其中$R_a=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{R}_{\mathrm{ak}}.$

2.2）最大化<3>式，建立如下凸规划数学模型：

$\underset{R_x}{\max }\frac{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)}$

s.t.R_x≥0>

R_x(i,i)=E,i=1,2,…,N

其中R_x≥0表示矩阵R_x为半正定矩阵，[M]_ij表示矩阵M的第(i,j)个元素，E表示每根 阵元天线的发射能量，N表示阵元个数；

将<4>式中的代价函数转化为最小化旁瓣杂波能量，数学模型等价于<5>式：

$\underset{R_x}{\min }\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)$

s.t.tr(R_xR_at)=N²E(1-β)>

R_x≥0

[R_x]_ii=Efori=1,2,…,N

其中β是用来控制主瓣增益损失的一个小的正数，N表示阵元个数；

2.3）通过凸优化工具包cvx可以求得<5>式中最优的发射信号的自相关矩阵R_x。

（2）步骤3的子步骤为：

3.0）首先，根据MIMO雷达信号模型，经过滤波器后输出的信号分量和杂波分量为<6> 式：

z_t=ζHXa_T(θ_t)

$z_c=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{Q}_k{\mathrm{HXa}}_T\left({\theta }_k\right)a_R^T\left({\theta }_k\right)w---<6>$

其中矩阵H是(N_p+N_h-1)×N_p维的矩阵，Q_k为(N_p+N_C+N_h-2)×(N_p+N_h-1)维矩阵，N_h表示失配滤波器 的长度，分别如下所示：

然后，根据<6>式中z_t的中心元素表示主瓣自相关函数，定义自相关主瓣增益损失 为：

$\mathrm{AMGL}=\frac{a_T^H\left({\theta }_t\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)}{{\left[H\right]}_{\frac{N_P+N_h}{2},:}{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)}---<9>$

其中[M]_i,:表示矩阵第i行所有元素；

自相关峰值旁瓣电平表示为：

$\mathrm{APSL}=\max \left\{{\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\right\},i=1,...,(N_p+N_h-1)i\ne \frac{N_P+N_h}{2}---<10>$

其中max{·}表示选取所有元素中最大值的运算；

杂波峰值电平表示为：

CPL=max{|z_c(i)|²},i=1,…,N_p+N_h+N_c-2>

得到主瓣合成信号波形和主瓣杂波响应分别为：

s_t=Xa_T(θ_t)>

q_t=[q_t(1),q_t(2),…,q_t(N_c)]^T>

得到主瓣杂波的回波表达式为：

c_t=q_t*s_t>

经接收失配滤波器h后，输出的主瓣杂波回波信号和目标回波信号分别为：

z_ct=h*q_t*s_t=q_t*h*s_t>

z_t=h*ζs_t>

分别写成矩阵形式，输出的主瓣杂波回波信号和目标回波信号可以重新写为：

z_ct=Q_tHs_t=Q_tS_th>

z_t=Hs_t=ζS_th>

其中矩阵S_t为(N_p+N_h-1)×N_h维矩阵，表示为：

3.1）在控制自相关主瓣增益损失情况下，最小化自相关旁瓣电平APSL和杂波峰值电平 CPL，得到数学模型为：

$\underset{s_t,h}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.|\frac{{s_t}^H{s}_t}{{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,:}h}\le 1+{\lambda }_1$

|z_ct(i)|²≤p₁，i＝1，2，…，N_C+N_P+N_h-2>

${\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\le p_2,i=1,...,(N_P+N_h-1)i\ne \frac{N_P+N_h}{2}$

$\left|s_t\left(i\right)\right|N=\sqrt{\frac{E(1-\beta )}{N_p}},i=\mathrm{1,2},...,N_P$

其中λ₁和λ₂都是小的正数，分别用来控制自相关主瓣增益损失以及目标函数中杂波峰 值电平和自相关旁瓣电平比例的正尺度因子，p₁表示自相关峰值旁瓣电平，p₂表示杂波 峰值电平。

不失一般性，将主瓣合成信号的能量归一为单位能量，数学模型重新写为：

$\underset{s_t,h}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.\left|{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,:}h\right|\ge \frac{1}{1+{\lambda }_1}$

|z_c(i)|²≤p₁,i=1,2,…,N_c+N_p+N_h-2>

${\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\le p_2,i=1,...,(N_p+N_h-1)i\ne \frac{N_p+N_h}{2}$

$\left|s_t\left(i\right)\right|=\sqrt{\frac{E}{N_p},}i=\mathrm{1,2},...,N_p$

3.2）对<21>式按如下步骤求解：

3.2a）按式<12>设置初始的主瓣合成信号矩阵s_t，按式<13>计算主瓣杂波响应向量q_t；

3.2b）令i=0，设置N_h×1维初始失配滤波器hi为

其中表示将s_t中对第n个元素取共轭。同时设置小的正数λ₁、λ₂和ξ，利用<8>式 计算矩阵Q_t；

3.2c）令i值增1，利用<7>式计算矩阵H，同时固定h_i-1，利用cvx优化工具包寻找 <22>式的最优解：

$\underset{s_t}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

s.t.max|Q_tHs_t|≤p₁>

max|Hs_t-d|≤p₂

||s_t||²≤1

其中表示期望的自相关函数。求解得到最优的主瓣合成信号为 $s_{\mathrm{ti}}=\sqrt{\frac{1}{N_p}\exp (j·\arg \left({\hat{s}}_t\right))},$其中arg(a)表示矢量a的相位角度；

3.2d）固定s_ti，通过<23>式优化接收滤波器h_i：

$\underset{h_i}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.\left|{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,..}{h}_{i-1}\right|\le {\lambda }_1---<23>$

max|Q_tS_th_i|≤p₁

max|S_th_i-d|≤p₂

其中矩阵S_t是步骤3.2c)中取得的s_ti通过<19>式计算得到的；

3.2e）重复步骤3.2c）和步骤3.2d），直到两次相邻两次循环得到的主瓣合成信号s_ti与满足终止条件||s_ti-s_t(i-1)≤ξ，停止并输出最优解s_t=s_ti，h=h_i；否则，转入步骤3.2c） 中继续循环。

（3）步骤4的子步骤为：

4.1）在恒模条件约束下，发射波形矩阵设计的数学模型写为：

s.t.Xa_T(θ_t)=s_t>

在每次发射过程中，如果给发射波形加任一相位，MIMO雷达的发射方向图将保持不变， 即：

$\left|a_T^H\left({\theta }_k\right){\tilde{x}}^H{\tilde{X}a}_T\left({\theta }_k\right)\right|=\left|a_T^H\left({\theta }_k\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_k\right)\right|\mathrm{fork}=1,...,K---<25>$

其中X表示改变相位后的波形矩阵，表示增加的相位向量， K表示将整个空域等分的个数，diag(·)表示对角矩阵；

4.2）利用这一性质，<24>式简化成在满足给定发射方向图条件下的发射波形矩阵设 计问题，等价的数学模型为：

利用CA算法求解<26>式,可以得到初始发射波形矩阵X_CA；

4.3）利用步骤3中得到的最优主瓣合成信号s_t，最终的发射波形矩阵通过改变初始 发射波形矩阵X_CA的相位得到，如<27>式所示：

X_opt=diag(e^jφ)X_CA>

其中φ=arg(s_t)-arg(X_CAa_T(θ_t))，arg(a)表示矢量a的相位角度。

本发明相对现有技术具有以下显著优点：（1）本发明中引入了分级的思想，它可以将 复杂的波形设计问题转化为一些简单的优化问题。在分级思想中，分别在空间域和时间域 上对发射方向图和发射波形进优化设计；实现了空域上的旁瓣杂波的抑制，时域的主瓣杂 波的抑制。（2）基于空间域上杂波强度的先验知识，本发明提出了基于发射方向图优化的 凸规划模型，它可以提高接收波束形成后在空间域上的输出信号能量与杂波能量比SCR， 用来抑制旁瓣杂波。（3）基于主瓣杂波响应的先验知识，本发明提出了联合优化主瓣合成 信号和失配滤波器的优化算法，用来抑制主瓣杂波。（4）给定最优的发射方向图和主瓣合 成信号条件下，本发明采用基于CA循环算法的发射波形矩阵设计算法，提高了雷达在杂 波中检测目标的性能。

附图说明

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步详细说明。

图1是本发明的分级波形设计方案的设计框图；

图2是本发明在均匀线性阵列条件下一种简化的收发共置的集中式MIMO雷达示意图 （图中d表示阵元间距，θ表示目标的方位角度）；

图3是本实验中的杂波信号响应图（图中横坐标和纵坐标分别表示方位角和时间延迟 序号，横坐标的单位为度）；

图4是本实验中杂波信号在空域上的强度分布图（图中横坐标和纵坐标分别表示方位 角和杂波的强度，单位分别为角以及分贝（dB））；

图5是本实验中位于0°目标方向上的主瓣杂波响应(其中横坐标和纵坐标分别表示时 间延迟序号以及幅度)；

图6是用本发明得到的波形1的发射方向图同波形2和波形3的发射方向图（图中横 纵坐标分别表示方位角和发射方向图，单位分别为角和分贝（dB））；

图7是用本发明得到波形1的主瓣合成信号相位图（图中横坐标和纵坐标分别表示时 间序号和相位，纵坐标的单位为弧度）；

图8是用本发明得到波形1的主瓣合成信号功率谱密度(PSD)（图中横坐标和纵坐标 分别表示频率序号和幅度）；

图9是用本发明得到波形1的主瓣合成信号经过失配滤波器后自相关图（图中横坐标 和纵坐标分别表示时间序号和自相关幅度，纵坐标单位为分贝（dB））；

图10是本发明中用于比较的波形2的主瓣合成信号经过失配滤波器后自相关图（图 中横坐标和纵坐标分别表示时间序号和自相关幅度，纵坐标单位为分贝（dB））；

图11是利用本发明得到的波形1的主瓣杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示 时间序号和幅度）；

图12是利用用于比较的波形2的主瓣杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示时 间序号和幅度）；

图13是利用用于比较的波形3的主瓣杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示时 间序号和幅度）；

图14是利用本发明得到的波形1的杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示时间 序号和幅度）；

图15是利用用于比较的波形2的杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示时间序 号和幅度）；

图16是利用用于比较的波形3的杂波输出图（图中横坐标和纵坐标分别表示时间序 号和幅度）；

图17是利用本发明得到的波形1与用于比较的波形2和波形3在不同主瓣增益损失 情况下对输出信号能量与杂波能量比的影响（图中横坐标和纵坐标分别表示主瓣增益损失 和提升大小，单位均为分贝（dB））。

具体实施方式

参照图1，说明本发明的杂波中检测目标用MIMO雷达发射波形的分级设计方法，其包 括以下步骤：

步骤1，建立MIMO雷达信号模型，获取杂波在空域上的强度以及在时间域上的主瓣响 应先验知识。

其中，MIMO雷达系统由N个间距为d的各向同性的发射和接收共置的均匀线阵组成。

其中，发射信号模型中，发射信号波形矩阵X表示为X=[x₁,x₂,…,x_N]， x_m=[x_m(1),x_m(2),…,x_m(N_p)]^T，x_m(n)(m=1,…,N)表示第m个阵元天线发射的恒模信号，N 表示阵元个数；远场方位向θ处的合成信号表示为s=Xax(θ)，其中 a_T(θ)=[1,e^{-j2πdsin(θ)/λ},…,e^{-j2π(N-1)dsin(θ)/λ}]^T，d表示阵元间距，λ表示信号波长。

其中，在回波信号模型中，将杂波所在的空域和时域分别用Δθ和T_s间隔大小进行离 散化，得到杂波响应矩阵为Q=[q₁,q₂,…,q_K]，其中q_k=[q_k(1),q_k(2),…,q_k(N_c)]^T表示在θ_k方向 上的杂波响应，q_k(n)表示θ_k方向上时间延迟为nT_s的路径反射系数，N_c表示杂波响应向 量的长度，k=1,2,…,K，K表示杂波区域在空域上的等分个数。

由杂波响应矩阵可以得到杂波的回波信号模型，目标回波信号和杂波回波信号在分别 经过波束形成器以及失配滤波器后得到最终输出信号模型。根据杂波响应矩阵利用统计学 方法得到空域上的杂波强度知识，利用目标的方位角信息可以得到杂波在时域上的主瓣响 应知识。

具体地，

1）建立MIMO雷达的信号模型，即MIMO雷达的发射信号和输出信号模型：

1.1a）发射信号模型分析：

如图2所示，MIMO雷达由N个间距为d的各向同性的发射和接收共置的均匀线阵组 成。x_m(t)表示第m个阵元发射的有限能量为E的基带波形，它的频谱范围为[-B/2,B/2]， 其中B表示基带波形的带宽。T_p和T_s分别表示脉冲的持续时间和采样周期，需要N_p=T_p/T_s个基带波形来完整表示发射波形。第m个阵元的发射波形矩阵为：

x_m=[x_m(1),x_m(2),…,x_m(N_p)]^T>

其中$x_m\left(n\right)\stackrel{\Delta }{=}{x}_m(t-{\mathrm{nT}}_s).$

用大小为Δθ的角度间隔将空域离散后，方位角θ_k上的远场合成信号可以写为：

s_k=Xa_T(θ_k)>

其中X=[x₁,x₂,…,x_N]表示N_p×N维离散的发射波形矩阵， $a_T\left({\theta }_k\right)={[1,e^{-j2\pi d\sin \left({\theta }_k\right)/\lambda },...,e^{-j2\pi (N-1)d\sin \left({\theta }_k\right)/\lambda }]}^T$表示θ_k方向上的发射导向矢量，d表示阵元间 距，λ表示信号波长，N表示发射阵元个数，符号(·)^T表示矩阵转置运算。

1.1b）接收回波信号模型分析：

将杂波所在的空域和时域分别用Δθ和T_s离散化，杂波响应矩阵可以表示为：

Q=[q₁,q₂,…,q_K]>

其中q_k=[q_k(1),q_k(2),…,q_k(N_c)]^T表示在θ_k方向上的杂波响应向量，q_k(n)表示θ_k方向上 时间延迟为nT_s的路径的反射系数，N_c表示杂波响应向量的长度，K表示杂波区域在空域 上的等分个数。

方位角θ_k方向上的杂波回波信号为：

c_k=q_k*s_k>

其中符号*表示卷积运算，s_k表示在θ_k方向上的合成信号。

<31>式写成矩阵形式，等价于<32>式：

c_k=S_kq_k>

其中S_k是一个(N_p+N_c-1)×N_c维矩阵，形式为：

N_c表示杂波响应向量的长度，N_P表示发射信号的码长。

在MIMO雷达中，设未知目标为点目标，方位角为θ_t，目标的回波信号为：

r_t=ζs_t>

其中ζ表示目标的复反射系数，s_t表示在θ_t方向上的合成信号。

MIMO雷达接收到的目标回波信号以及杂波回波信号分别为：

$V_t=\zeta s_t{a}_R^T\left({\theta }_t\right)---<34>$

$V_{\mathrm{ck}}=c_k{a}_R^T\left({\theta }_k\right)\mathrm{fork}=\mathrm{1,2},...,K$

其中a_R(θ)=[1,e^{-j2πdsin(θ)/λ},…,e^{-j2π(N-1)dsin(θ)/λ}]^T表示θ方向上的接收导向矢量，K表示将 杂波所在区域在空域上的等分个数。

在杂波区域中，杂波能量通常大于噪声能量，因此可以忽略系统的噪声。总的接收信 号矩阵可以近似表示为：

$V=V_t+\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{V}_{\mathrm{ck}}={\mathrm{\zeta s}}_t{a}_R^T\left({\theta }_t\right)+\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{c}_k{a}_R^T\left({\theta }_t\right)---<35>$

其中，V=[v₁,v₂,…,v_N]表示(N_p+N_c-1)×N维接收回波信号矩阵，v_m是第m个阵元接 收到的(N_p+N_c-1)×1维回波信号矩阵。

1.1c）输出信号模型分析：

接收回波信号经过接收波束形成向量w后，最终得到的输出信号为：

$y=\mathrm{Vw}={\mathrm{\zeta s}}_t{a}_R^T\left({\theta }_t\right)w+\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{c}_k{a}_R^T\left({\theta }_k\right)w---<36>$

其中w是一个N×1维向量，为了发射方向图设计的方便，用w=μa_R(θ_t)代替w，其中 是归一化因子，||·||₂表示Euclidean范数，输出信号中的信号分量y_t和杂波分 量y_c可以分别写为：

y_t=ζXa_T(θ_t)

$y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{y}_{\mathrm{ck}}---<37>$

其中$y_{\mathrm{ck}}=(q_k*s_k)a_R^T\left({\theta }_k\right)w.$

选择失配滤波器h作为接收滤波器，经过滤波器后输出的信号分量zt以及杂波分量zc 可以分别表示为：

z_t=h*(ζXa_T(θ_t))

$z_c=h*\left(\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}(q_k*s_k)a_R^T\left({\theta }_k\right)w\right)---\left(38\right)$

其中h是一个N_h×1维的向量，N_h表示失配滤波器的长度。

为了数学推导的方便，经过滤波器后输出的信号分量和杂波分量重新写为<39>式：

z_t=ζHXa_T(θ_t)

$z_c=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{Q}_k{\mathrm{HXa}}_T\left({\theta }_k\right)a_R^T\left({\theta }_k\right)w---<39>$

其中矩阵H是(N_p+N_h-1)×N_p维的矩阵，Q_k为(N_p+N_C+N_h-2)×(N_p+N_h-1)维矩阵，N_h表示失配滤波器 的长度，分别如下所示：

2)获取杂波的先验知识

在空域上，各个方向上的杂波包括一组不同时延的杂波路径。从统计意义上说，一个 方向上的杂波反射特性可以近似认为是零均值的复高斯分布。从而，角度θ_k上的杂波反射 特性的方差可以近似地认为是空域上的杂波强度，例如：

${\sigma }_k^2=\frac{1}{N_c}\underset{i=1}{\overset{N_c}{\Sigma }}{\left|q_k(\tau +(i-1)\mathrm{\Delta \tau })\right|}^2\mathrm{fork}=\mathrm{1,2},...,K---<42>$

其中τ表示初始时刻，Δτ表示时延采样的间隔，K表示将杂波所在空域等分的个数。

假设目标的方位角为θ_t，根据<30>式可以得到主瓣杂波响应为：

q_t=[q_t(1),q_t(2),…,q_t(N_c)]^T>

其中N_c表示杂波响应向量的长度。

步骤2，基于杂波在空域上的强度先验知识，设计发射信号的自相关矩阵R_x。根据空 域上杂波强度先验知识以及MIMO雷达信号模型，分别计算出目标回波能量P_t和θ_k方向上 杂波的回波能量P_ck，得到输出信号能量与杂波能量比SCR为其中，k=1,2,…,K， K表示杂波区域在空域上的等分个数。在自相关矩阵半正定以及发射天线发射能量恒定条 件约束下，通过最大化输出信号能量与杂波能量比SCR得到最优的发射信号的自相关矩阵 R_x。

具体地，根据步骤1中经过波束形成后得到的输出信号模型，目标回波的能量可以表 示为：

$\left(\begin{array}{c}{P}_t={\left|\right|y_t\left|\right|}_2^2={\left|\zeta \right|}^2{a}_T^H\left({\theta }_t\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)\\ ={\left|\zeta \right|}^2\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)\end{array}\right)---<44>$

其中R_x=X^HX表示发射信号的自相关矩阵，tr(·)表示计算矩阵迹 的运算，(·)^H表示矩阵的共轭转置运算，||·||₂表示Euclidean范数。

已知杂波在空间上强度的先验知识条件下，方位角θk方向上的杂波回波能量可近似表 示为：

$\left(\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{ck}}=\mathrm{tr}\left(y_{\mathrm{ck}}{y}_{\mathrm{ck}}^H\right)\\ ={\sigma }_k^2\left(w^H{a}_R\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right)R_x{a}_T\left({\theta }_k\right)a_R^H\left({\theta }_k\right)w\right)\\ ={\sigma }_k^2{\omega }_k^2\mathrm{tr}\left(R_x{a}_T\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right)\right)\\ =\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{ak}}\right)\end{array}\right)---<45>$

其中ω_k=w^Ha_R(θ_k)，$R_{\mathrm{ak}}={\left|{\omega }_k\right|}^2{\sigma }_k^2{a}_T\left({\theta }_k\right)a_T^H\left({\theta }_k\right).$

根据以上分析，已知杂波在空间上强度的先验条件下，发射信号的自相关矩阵R_x的 设计可按如下步骤进行：

2.1）写出目标函数：

输出信号能量与杂波能量比SCR如<46>式所示：

$\eta =\frac{P_t}{\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{P}_{\mathrm{ck}}}=\frac{{\left|\zeta \right|}^2\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{ak}}\right)}={\left|\zeta \right|}^2\frac{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)}---<46>$

其中$R_a=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{R}_{\mathrm{ak}}.$

2.2）不失一般性，去掉式<46>中的常数ζ不会影响最终的优化结果。最大化<46>式， 建立如下凸规划数学模型：

$\underset{R_x}{\max }\frac{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_{\mathrm{at}}\right)}{\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)}$

s.t.R_x≥0>

R_x(i,i)=E,i=1,2,…,N

其中R_x≥0表示矩阵R_x为半正定矩阵，[M]_ij表示矩阵M的第(i,j)个元素，E表示每根 阵元天线的发射能量（即每个阵元发射的有限能量）。

实际上，最小化旁瓣杂波能量可以通过优化发射方向图来实现，但会带来一定的主瓣 增益的损失，因此<47>式中的代价函数可以转化为最小化旁瓣杂波能量，数学模型等价于 <48>式：

$\underset{R_x}{\min }\mathrm{tr}\left(R_x{R}_a\right)$

s.t.tr(R_xR_at)＝N²E(1-β)>

R_x≥0

[R_x]_ii=Efori=1,2,…,N

其中β是用来控制主瓣增益损失的一个小的正数，N表示阵元个数。

2.3）通过凸优化工具包cvx可以求得<48>式中最优的发射信号的自相关矩阵R_x。

步骤3，联合优化主瓣合成信号（Mainlobe Synthesized Signal，MSS）和失配滤波 器来抑制主瓣杂波信号。根据MIMO雷达的信号模型分别得到主瓣合成信号和主瓣杂波响 应分别为s_t=Xa_T(θ_t)和q_t=[q_t(1),q_t(2),…,q_t(N_c)]^T，其中θ_t表示目标所在的方位角，a_T(θ_t)表 示θ_t方向上的发射导向矢量，N_P表示信号码长，N表示阵元个数，C表示复 数域；发射信号波形矩阵X表示为x_m=[x_m(1),x_m(2),…,x_m(N_p)]^T，其中x_m(n)(m=1,…,N)表 示第m个阵元天线发射的恒模信号，$a_T\left({\theta }_t\right)={[1,e^{-j2\pi d\sin \left({\theta }_t\right)/\lambda },...,e^{-j2\pi (N-1)d\sin \left({\theta }_t\right)/\lambda }]}^T,$其中d表 示阵元间距，λ表示信号波长；利用联合优化主瓣合成信号和失配滤波器的设计得到最优 的主瓣合成信号s_t以及失配滤波器h。

具体地，根据<39>式中z_t的中心元素表示主瓣自相关函数，定义自相关主瓣增益损失 （Auto-correlation>

$\mathrm{AMGL}=\frac{a_T^H\left({\theta }_t\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)}{{\left[H\right]}_{\frac{N_P+N_h}{2},:}{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_t\right)}---<49>$

其中[M]_i,:表示矩阵第i行所有元素。

自相关峰值旁瓣电平(Auto-correlation Peak Sidelobe Level,APSL)可以表示为：

$\mathrm{APSL}=\max \left\{{\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\right\},i=1,...,(N_p+N_h-1)i\ne \frac{N_P+N_h}{2}---<50>$

其中max{·}表示选取所有元素中最大值的运算。

杂波峰值电平（Clutter Peak Level，CPL）可以表示为：

CPL=max{|z_c(i)|²},i=1,…,N_p+N_h+N_c-2>

根据步骤1中的信号模型可以得到主瓣合成信号波形和主瓣杂波响应分别为：

s_t=Xa_T(θ_t)>

q_t=[q_t(1),q_t(2),…,q_t(N_c)]^T>

得到主瓣杂波的回波表达式为：

c_t=q_t*s_t>

经接收失配滤波器h后，输出的主瓣杂波回波信号和目标回波信号分别为：

z_ct=h*q_t*s_t=q_t*h*s_t>

z_t=h*ζs_t>

分别写成矩阵形式，输出的主瓣杂波回波信号和目标回波信号可以重新写为：

z_ct=Q_tHs_t=Q_tS_th>

z_t=Hs_t=ζS_th>

其中矩阵S_t为(N_p+N_h-1)×N_h维矩阵，表示为：

根据以上知识，联合优化主瓣合成信号MSS和失配滤波器来抑制主瓣杂波步骤为：

3.1）在控制自相关主瓣增益损失情况下，最小化自相关旁瓣电平APSL和杂波峰值电平 CPL，得到数学模型为：

$\underset{s_t,h}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.|\frac{{s_t}^H{s}_t}{{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,:}h}\le 1+{\lambda }_1$

|z_ct(i)|²≤p₁,i=1,2,…,N_C+N_P+N_h-2>

${\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\le p_2,i=1,...,(N_p+N_h-1)i\ne \frac{N_p+N_h}{2}$

$\left|s_t\left(i\right)\right|=\sqrt{\frac{E}{N_p},}i=\mathrm{1,2},...,N_P$

其中λ₁和λ₂都是小的正数，分别用来控制自相关主瓣增益损失以及目标函数中杂波峰 值电平和自相关旁瓣电平比例的正尺度因子，p1表示自相关峰值旁瓣电平，p2表示杂波 峰值电平。

不失一般性，将主瓣合成信号的能量归一为单位能量，数学模型重新写为：

$\underset{s_t,h}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.\left|{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,:}h\right|\ge \frac{1}{1+{\lambda }_1}$

|z_c(i)|²≤p₁,i=1,2,…,N_c+N_p+N_h-2>

${\left|z_t\left(i\right)\right|}^2\le p_2,i=1,...,(N_p+N_h-1)i\ne \frac{N_p+N_h}{2}$

$\left|s_t\left(i\right)\right|=\sqrt{\frac{E}{N_p}},i=\mathrm{1,2},...,N_p$

3.2）对<61>式按如下步骤求解：

3.2a）按式<52>设置初始的主瓣合成信号矩阵st，按式<53>计算主瓣杂波响应向量q_t；

3.2b）令i=0，设置N_h×1维初始失配滤波器hi为

其中表示将s_t中对第n个元素取共轭。同时设置小的正数λ₁、λ₂和ξ，利用<41> 式计算矩阵Q_t；

3.2c）令i值增1，利用<40>式计算矩阵H，同时固定h_i-1，利用cvx优化工具包寻找 <62>式的最优解

$\underset{s_t}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

s.t.max|Q_tHs_t|≤p₁>

max|Hs_t-d|≤p₂

||s_t||²≤1

其中表示期望的自相关函数。求解得到最优的主瓣合成信号为 其中arg(a)表示矢量a的相位角度（弧度）。

3.2d）固定s_ti，通过<63>式优化接收滤波器h_i：

$\underset{h_i}{\min }{p}_1+{\lambda }_2{p}_2$

$s.t.\left|{\left[S_t\right]}_{(N_P+N_h)/2,..}{h}_{i-1}\right|\le {\lambda }_1---<63>$

max|Q_tS_th_i|≤p₁

max|S_th_i-d|≤p₂

其中矩阵S_t是步骤3.2c)中取得的s_ti通过<59>式计算得到的。

3.2e）重复步骤3.2c）和步骤3.2d），直到两次相邻两次循环得到的主瓣合成信号s_ti与s_t(i-1)满足终止条件||s_ti-s_t(i-1)||≤ξ，停止并输出最优解s_t=s_ti，h=h_i；否则，转入步骤3.2c） 中继续循环。

步骤4，在恒模条件约束下，设计发射波形矩阵。对已得到的发射信号自相关矩阵R_x， 采用cyclic>CA；利用得到的主瓣合成信号s_t，最 终得到发射波形矩阵为：

X_opt=diag(e^jφ)X_CA

其中，φ=arg(s_t)-arg(X_CAa_T(θ_t))，arg(a)表示矢量a的相位角度（弧度）。

具体地，在恒模条件约束下，发射波形矩阵设计的数学模型写为：

s.t.Xa_T(θ_t)=s_t>

在每次发射过程中，如果给发射波形加任一相位，MIMO雷达的发射方向图将保持不变， 即：

$\left|a_T^H\left({\theta }_k\right){\tilde{x}}^H{\tilde{X}a}_T\left({\theta }_k\right)\right|=\left|a_T^H\left({\theta }_k\right)X^H{\mathrm{Xa}}_T\left({\theta }_k\right)\right|\mathrm{fork}=1,...,K---<65>$

其中X表示改变相位后的波形矩阵，表示增加的相位向量， K表示将整个空域等分的个数，diag(·)表示对角矩阵。

利用这一性质，<64>式可以简化成在满足给定发射方向图条件下的发射波形矩阵设计 问题，等价的数学模型为：

利用CA算法求解<66>式,可以得到初始发射波形矩阵XCA。

利用步骤3中得到的最优主瓣合成信号s_t，最终的发射波形矩阵可以通过改变初始发 射波形矩阵X_CA的相位得到，如<67>式所示：

X_opt=diag(e^jφ)X_CA>

其中φ=arg(s_t)-arg(X_CAa_T(θ_t))，arg(a)表示矢量a的相位角度（弧度）。

本发明的效果通过以下仿真对比试验进一步说明：

（1）实验场景：考虑收发共置的集中式MIMO雷达，其阵元数为16，阵元间距为半波 长，发射波形的中心频率、带宽、脉冲持续时间分别为10GHz、4MHz和16μs。发射波形的 采样频率为f_s=4MHz，采样周期为T_s=0.25μs，码长为64，目标所在的方位角为0°。杂波 存在的空间范围为[-60°,60°]，且主要分布在两个方向上，并用7°角度对杂波空域进行离散 采样，杂波响应向量长度为128。

（2）仿真内容：

本实验中的杂波信号响应如图3所示。通过<15>式计算空域上不同延迟路径的杂波反 射系数的方差，得到杂波信号在空域上的强度分布如图4所示，0°目标方向上的主瓣杂波 响应如图5所示。

实验中比较了以下三种不同波形对杂波的抑制性能：

波形1：利用本发明得到的在空间域和时间域上分别进行优化的发射波形矩阵 (β=0.5dB,λ₁=0.03)；

波形2：利用CA算法从<39>式得到的发射波形矩阵(β=0.5dB)；

波形3：未优化发射方向图的线性调频波形。

三种波形得到的发射方向图如图6所示，分别为通过本发明得到的波形1的发射方向 图（最优方向图）、通过CA方法得到的波形2的发射方向图（CA方向图）和传统线性调 频波形3的发射方向图（未优化的方向图）。

经过联合优化主瓣合成信号和失配滤波器后，波形1的主瓣合成信号的相位和功率谱 密度分别如图7和图8所示。经过失配滤波器滤波后，波形1的主瓣合成信号的自相关图 如图9所示，波形2的主瓣合成信号的自相关图如图10所示。

分别仿真了波形1、波形2和波形3的主瓣输出杂波，结果分别如图11-13所示。分 别仿真了波形1、波形2和波形3的输出杂波，结果分别如图14-16所示。分别仿真了波 形1与用于比较的波形2和波形3在不同主瓣增益损失情况下对输出信号能量与杂波能量 比SCR的影响，仿真结果如图17所示。

（3）仿真结果分析：

图6中圆圈加横线表示本发明得到的波形1的发射方向图，星号加横线表示利用CA 算法得到波形2的发射方向图，虚线表示传统发射波形3的方向图。图17中圆圈加横线 表示波形1与波形2相比，主瓣增益损失对输出信号能量与杂波能量比SCR的影响，星号 加横线表示波形1与波形3相比，主瓣增益损失对输出信号能量与杂波能量比SCR的影响。

从图6中可以看出，本发明得到的发射方向图在杂波区域非常低，可以看成是在空域 上的杂波白化，从而有效地抑制杂波。这是由于本发明在联合优化主瓣合成信号和接收滤 波器的设计中，考虑了降低自相关峰值旁瓣电平和杂波峰值电平。

从图9-12中可以看出，杂波峰值电平的降低是以提高自相关旁瓣电平为代价的。

从图11-16中可以看出，最终输出的主瓣杂波强于旁瓣杂波。定义输出的主瓣杂波峰 值与信号之比（peak clutter to signal ratio,PCSR)为输出主瓣杂波的峰值能量与输 出目标信号能量的比值，通过计算得到波形1的PCSR比波形2和波形3的PCSR低了 15.11dB和16.57dB，并且波形1的输出杂波峰值功率与输出目标信号功率的比值比波形2 和波形3的输出杂波峰值功率与输出目标信号功率的比值要低11.24dB和12.84dB。通过 计算输出信号能量与杂波能量比SCR，得到波形1的输出SCR比波形2和波形3的SCR分 别高4.49dB和7.25dB。

从图17中可以看出，输出信号能量与杂波能量比SCR的变化并不是随着主瓣增益损 失的增加而增加的，从实验中得到一个合适的主瓣增益损失系数应选择在[0.2dB,0.5dB]之 间。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和 范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内， 则本发明也意图包含这些改动和变型在内。