基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像加密方法

摘要

基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像加密方法，包括纯相位提取，相位调制，分数傅里叶变换步骤。本发明将基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称加密方法应用于双图像加密，加密过程与解密过程不同，且加密密钥不同于解密密钥，解决了传统对称加密算法易于攻击、加密密钥与解密密钥相同的缺点；通过攻击测试，证明本发明不仅对于暴力攻击的抵抗力强、而且对于噪声与其他的特定攻击的抵抗力也很强。同时，本发明的密钥空间大，解决了传统加密算法密钥空间不足的问题。本发明解密过程可通过光学方法实现，系统简单，操作方便。

说明书

技术领域

本发明属于虚拟光学信息加密方法技术领域，涉及一种基于分 数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像加密方法。

背景技术

随着互联网的迅速普及，图像作为当代社会非常有效率的信息 携带者已经被广泛的用于各种各样的领域，图像加密问题成为信息 安全领域中一个重要的领域。自Refregier和Javidi提出经典的基于 双随机相位加密(DRPE)技术以来，在过去十几年间，许多基于傅 里叶变换域、分数傅里叶变换域、菲涅尔域、GT域的加密及认证系 统已经被纷纷提出。而且Alfalou和Brosseau指出：这些技术同时可 以用作压缩操作。虽然大多数已经发布的基于DRPE的光学加密系 统对于信号处理拥有优秀的对于平行的、多维的处理能力。但是我 们应该指出，所有这些策略都属于对称密码系统的范畴，加密密钥 同时用作解密密钥。一些研究调查表明：这些策略由于它们数学及 光学转换上固有的线性属性，很容易受到攻击。为抵抗这些攻击， Qin和Peng提出一种基于相位截断傅里叶变换(PTFT)的非对称密 码系统，这种策略的加密密钥不同于解密密钥，通过使用非线性的 相位截断操作来避免密码系统的线性属性。

最近，自从司徒国海和赵道木提出多图像加密技术，基于多路 技术的多图像加密技术在信息安全领域得到越来越多的关注。 Alfalou和Mansour提出两个安全层的加密方案，第一层用相位恢复 过程来复用和同时加密目标图像，第二层用到双随机相位系统来加 密图像。在之后的工作里，Alfalou等人利用离散余弦变换同时进行 压缩与加密多幅图像的工作。王小刚和赵道木提出基于叠加原理和 全息图的全相位图像加密方案，该方案将实值的原始图像加密成纯 相位函数(POF)。邓晓鹏和赵道木提出使用傅里叶域相位恢复过 程和相位调制的多图像加密方法，该方法完全避免串扰噪声的影响。 Hwang Hone-Ene等人提出在菲涅尔域基于改进的Gerchberg–Saxton 算法(MGSA)的彩色图像加密方案，显著地降低串扰噪声对图像 信息的干扰。

双图像加密作为多图像加密的一个特例，在光学加密系统中也 吸引了很大的关注。李慧娟和王玉荣提出基于迭代Gyrator变换的双 图像加密，用不同组Gyrator变换角度同时将两幅原始加密成一幅密 文图像。李慧娟等人做的工作是，将两幅图像分别加密到一个复函 数的实部与虚部。王小刚和赵道木提出基于相位恢复算法与PTFT 的将两幅欲加密的图像加密进一幅明面上的图像，在该方法中加密 密钥不同于解密密钥。然而，王小刚和赵道木设计一种特殊的攻击， 这种攻击使用两步迭代振幅恢复法。在这种攻击之下，当加密密钥 作为公钥时，加密信息会被显露出来。随后，王小刚和赵道木提出 另一种对这种攻击有很强抵抗性的一种双图像加密技术。之后，李 慧娟和王玉荣提出基于离散分数随机变换和混沌映射的双图像加密 技术，该技术可以提高在加密、存储、转换时的效率。肖迪等人提 出基于离散Chirikov标准映射的双图像光学加密，该方法中，两幅 原始图像分别作为复函数的振幅和相位，使用Chirikov标准映射置 乱该复函数后，在基于混沌的离散分数随机变换和二维混沌随机掩 码的作用下得到最终密文。上述算法虽然在一定程度上简化了加密 过程，但依然存在安全性低、密钥空间小、收敛速度慢等问题。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于分数傅里叶域相位恢复过程的非 对称双图像加密方法，解决现有技术存在的安全性低、易受到攻击 的问题。

本发明所采用的技术方案是，基于分数傅里叶域相位恢复过程 的非对称双图像加密方法，包括纯相位提取，相位调制，分数傅里 叶变换步骤。具体包括如下步骤：

第一步，纯相位提取：有两幅原始灰度图像，使用分数傅里叶 域相位恢复过程提取第i(i＝1,2)幅灰度图像f_i(i＝1,2)的纯相位函数 exp(jξ_i,1)(i＝1,2)；在使用分数傅里叶域相位恢复过程提取原始灰度图 像f_i(i＝1,2)的纯相位函数过程中，伴随产生相位模板函数φ_i,1,φ_i,2,ξ_i,2(i＝1,2)；

第二步，相位调制：在临时图像生成模块中，一个复矩阵H_i(i＝1,2)通过振幅图像g与相应的两个相位函数ξ_i,1，ξ_i,2产生

H_i＝F^β2{F^β1[gexp(jξ_i,1)]exp(jξ_i,2)}            (1)

进行相位调制，两个H_i通过卷积运算被组合进一个矩阵H

H＝H₁*H₂                  (2) 式(1)、(2)中j为虚部符号，exp{·}为指数运算，g为相位图像， F^α表示分数傅里叶变换，ξ_i,1、ξ_i,2是相位函数，H为调制结果，* 表示卷积运算；

第三步，分数傅里叶变换：对第二步得到的调制结果H实施α₃阶 分数傅里叶变换得到计算矩阵的振幅即为密文C_final，解密 密钥φ_i,d也被同时生成：

${\phi }_{i,d}=\arg \left[\exp \left(j\arg \right\{F^{{\alpha }_3}\left(H_i\right)\left\}\right)\frac{\left|F^{{\alpha }_3}{H}_i\right|}{\left|H\right|}\right]---\left(3\right)$

其中，|H|表示组合矩阵的振幅，j为虚部符号，exp{·}为指数运算， arg{·}表示矩阵的相位。

分数傅里叶域相位恢复过程使用三个相位模版函数， φ_i,1,φ_i,2,ξ_i,1,(i＝1,2)即为该过程的三个相位模版函数；

上述加密方法的解密过程具体为，将最终密文C_final和乘上相位 函数exp(jφ_i,d)生成复矩阵对实施-(α₂+α₃)阶逆分数傅里叶变 换得到调制后的结果H_i，由H_i和相位矩阵exp(jφ_i,2)相乘得到h_i，对h_i实施-α₁阶逆分数傅里叶变换得到然后提取的振幅作为解密图 像f_i，即：

f_i＝|F^-α1{F^-(α2+α3)[C_finalexp(jφ_i,d)]}expj(φ_i,2)|      (4)

上述解密方法所用的解密装置包括两个空间光调制器和两个透 镜，两个空间光调制器和两个透镜间隔排列；两个空间光调制器为 空间光调制器PM1和空间光调制器PM2，两个透镜为透镜L1和透 镜L2；透镜L1设置在空间光调制器PM1和空间光调制器PM2之 间，透镜L2设置在空间光调制器PM2于解密图像之间，空间光调 制器PM1和空间光调制器PM2与电子控制器连接，电子控制器通 过计算机与解密图像连接。

将空间光调制器PM1和空间光调制器PM2分别设置为exp(jφ_i,d) 和exp(jφ_i,2)，解密过程以密文图像C_final作为入射光输入，使用空间光 调制器PM1调制密文图像C_final，调制的图像透过透镜L1实现 -(α₂+α₃)阶分数傅里叶变换；使用空间光调制器PM2调制-(α₂+α₃) 阶分数傅里叶变换的结果，调制后的图像透过透镜L2实现-α₁阶分 数傅里叶变换，即可获得原始的明文图像f_i。

上述解密方法也可以使用光电混合装置来实现，光电混合装置 包括两个掩膜和两个透镜，两个掩膜和两个透镜间隔排列；两个掩 膜为掩膜exp(jφ_i,d)和掩膜exp(jφ_i,2)，两个透镜为透镜L1和透镜L2； 透镜L1设置在掩膜exp(jφ_i,d)和掩膜exp(jφ_i,2)之间，透镜L2设置在掩 膜掩膜exp(jφ_i,2)与解密图像之间，掩膜exp(jφ_i,d)和掩膜exp(jφ_i,2)与电 子控制器连接，电子控制器通过计算机与CCD图像传感器连接，由 CCD上可以获取解密图像。

本发明具有如下有益效果：

1、本发明的加密过程与解密过程不同，加密密钥不同于解密密 钥，避免了非对称加密算法加密密钥与解密密钥相同、易受攻击的 缺点，提高了安全性。

2、通过攻击测试，证明本发明不仅对于暴力攻击的抵抗力强， 而且对于噪声与其他的特定攻击的抵抗力也很强。非法用户无法通 过攻击图像获取任何有价值的信息。

3、本发明加密方法解决了现有加密系统密钥空间小的问题，提 高了密钥空间。通过统计分析，对于密钥φ_i,d，密钥空间约为 S₁≈116^256×256；φ_i,2的密钥空间约为S₁≈6^256×256。由于加密系统的密钥空 间为S₁×S₂，因此，本发明具有足以对抗暴力攻击的足够大的密钥空 间。

4、本发明加密方法同时提高了收敛速度。现有的单通道加密方 法的收敛次数为400次左右，而本发明加密方法的收敛次数大约为 40次，收敛速度有明显提高。

5、本发明解密过程可通过光学方法实现，系统简单，操作方便。

附图说明

图1是本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像 加密方法原理图。

图2是本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像 加密方法加密过程图。

图3是本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像 加密方法解密过程图。

图4是本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像 解密方法装置结构示意图。

图5是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的原始图像“Zelda”。

图6是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的原始图像“Peppers”。

图7是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像加密方法加密后得到的密文图像。

图8是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像“Zelda”的解密密钥φ_i,2。

图9是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像“Zelda”的解密密钥φ_i,d。

图10是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像”Peppers”的解密密钥φ_i,2。

图11是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像”Peppers”的解密密钥φ_i,d。

图12是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像“Zelda”的解密图像。

图13是采用本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双 图像解密方法进行加密的图像“Peppers”的解密图像。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像加密方法，包 括纯相位提取、相位调制、分数傅里叶变换；具体步骤如下：

第一步，纯相位提取：有两幅原始灰度图像，使用分数傅里叶 域相位恢复过程提取第i(i＝1,2)幅灰度图像f_i(i＝1,2)的纯相位函数 ξ_i,1(i＝1,2)；在使用分数傅里叶域相位恢复过程提取原始灰度图像 f_i(i＝1,2)的纯相位函数过程中，伴随产生相位模板函数φ_i,1,φ_i,2,ξ_i,2(i＝1,2)；

第二步，相位调制：在临时图像生成模块中，一个复矩阵H_i(i＝1,2)通过振幅图像g与相应的两个相位函数ξ_i,1，ξ_i,2产生

H_i＝F^β2{F^β1[gexp(jξ_i,1)]exp(jξ_i,2)}        (1)

进行相位调制，两个H_i通过卷积运算被组合进一个矩阵H

H＝H₁*H₂                      (2)

式(1)、(2)中j为虚部符号，exp{·}为指数运算，g为相位图像， F^α表示分数傅里叶变换，ξ_i,1、ξ_i,2是相位函数，H为调制结果，* 表示卷积运算；

第三步，分数傅里叶变换：对第二步得到的调制结果H实施α₃阶 分数傅里叶变换得到计算矩阵的振幅|即为密文C_final，解密 密钥φ_i,d也被同时生成：

${\phi }_{i,d}=\arg \left[\exp \left(j\arg \right\{F^{{\alpha }_3}\left(H_i\right)\left\}\right)\frac{\left|F^{{\alpha }_3}{H}_i\right|}{\left|H\right|}\right]---\left(3\right)$

其中，|H|表示组合矩阵的振幅，j为虚部符号，exp{·}为指数运算， arg{·}表示矩阵的相位。

分数傅里叶域相位恢复过程使用三个相位模版函数， φ_i,1,φ_i,2,ξ_i,1,(i＝1,2)即为该过程的三个相位模版函数。

上述加密方法的解密过程具体为，将最终密文C_final和乘上相位 函数exp(jφ_i,d)生成复矩阵对实施-(α₂+α₃)阶逆分数傅里叶变 换得到调制后的结果H_i，由H_i和相位矩阵exp(jφ_i,2)相乘得到h_i，对h_i实施-α₁阶逆分数傅里叶变换得到然后提取的振幅作为解密图 像f_i，即：

f_i＝|F^-α1{F^-(α2+α3)[C_finalexp(jφ_i,d)]}expj(φ_i,2)|        (4)

本发明加密方法的工作原理是：首先，使用基于分数傅里叶域 相位恢复过程的非对称双图像加密方法提取两幅原始灰度图像中每 幅图像的纯相位函数。然后，利用卷积运算将两幅图像整合到一幅 图像中。最后，对调制得到的结果实施一次α₃阶分数傅里叶变换， 提取变换后结果的振幅得到最终密文。同时，在加密过程中解密密 钥也一并产生。

本发明加密方法原理参见图1，(x_i,y_i)与(x_o,y_o)分别表示输入及 输出坐标。并且变换核心如下：

K(x_i,y_i；x_o,y_o)＝A_φexp{iπ[(x_i²+y_i²+x_o²+y_o²)cotφ_α-2(x_ix_o+y_iy_o)cscφ_α]}

                                         (5)

$A_{\phi }=\frac{\exp [-\mathrm{i\pi sgn}\left(\sin {\phi }_{\alpha }\right)/2+i{\phi }_{\alpha }]}{\left|\sin {\phi }_{\alpha }\right|}---\left(6\right)$

φ_α＝απ/2                (7)

本发明加密过程参见图2，首先，提取两幅原始灰度图像每幅 图像的纯相位函数。具体过程：使用分数傅里叶域相位恢复过程提 取第i幅灰度图像f_i的纯相位函数ξ_i,1，φ_i,1,φ_i,2,ξ_i,2为提取第i幅原始灰 度图像的纯相位函数过程中伴随产生的相位模板函数，其中i＝1,2。 α₁,α₂,α₃,β₁,β₂为迭代相位恢复过程的分数指数。其次，对得到的两个 H_i(i＝1,2)，利用卷积运算计算H。接着，将有关分数指数α₁,α₂,α₃,β₁,β₂设定好。对第二步得到的结果H实施α₃阶分数傅里叶变换得到计算矩阵的振幅即为密文C_final，解密密钥φ_i,d根据公式也被同时生 成。

解密是加密的逆过程。本发明的解密过程参见图3，具体为，将 最终密文C_final和乘上相位函数exp(jφ_i,d)生成复矩阵对实施 -(α₂+α₃)阶逆分数傅里叶变换得到调制后的结果H_i，由H_i和相位矩 阵exp(jφ_i,2)相乘得到h_i，对h_i实施-α₁阶逆分数傅里叶变换得到然后提取的振幅作为解密图像f_i，

f_i＝|F^-α1{F^-(α2+α3)[C_finalexp(jφ_i,d)]}expj(φ_i,2)|       (4)

图4为本发明基于分数傅里叶域相位恢复过程的非对称双图像 解密方法所用装置的结构示意图。该装置类似于DRPE的4f成像系 统，包括两个空间光调制器和两个透镜，两个空间光调制器和两个 透镜间隔排列。本发明实施例中，两个空间光调制器为空间光调制 器PM1和空间光调制器PM2，两个透镜为透镜L1和透镜L2。透镜 L1设置在空间光调制器PM1和空间光调制器PM2之间，透镜L2 设置在空间光调制器PM2于解密图像之间，PM1和PM2与电子控 制器连接，电子控制器通过计算机与图像传感器CCD连接。将PM1 与PM2分别设置为exp(jφ_i,d)和exp(jφ_i,2)，解密过程以密文图像C_final作 为入射光输入，使用空间光调制器PM1调制密文图像C_final，调制的 图像透过透镜L1实现-(α₂+α₃)阶分数傅里叶变换；使用空间光调制 器PM2调制-(α₂+α₃)阶分数傅里叶变换的结果，调制后的图像透过 透镜L2实现-α₁阶分数傅里叶变换，即可在CCD上获得解密出的明 文图像f_i。

上述加密方法也可以用光电混合装置来实现，类似于DRPE的 4f成像系统，在加密过程中，只是将PM1与PM2替换成相位掩膜 exp(jφ_i,d)和exp(jφ_i,2)。

在本发明中，用关联系数(CC)或均方差(MSE)作为相位恢 复过程迭代结束标准，当CC大于提前预设的一个接近1的值或均 方差MSE值小于提前预设的一个接近0的值，则迭代终止，CC及 MSE的计算公式如下：

$\mathrm{CC}=\frac{E\left\{\right[g-E\left(g\right)\left]\right[g^k-E\left(g^k\right)\left]\right\}}{\sqrt{E\left\{{[g-E\left(g\right)]}^2\right\}}\sqrt{E\left\{{[g^k-E\left(g^k\right)]}^2\right\}}}---\left(8\right)$

$\mathrm{MSE}=\frac{\underset{0}{\overset{M-1}{\Sigma }}\underset{0}{\overset{N-1}{\Sigma }}{[g-g^k]}^2}{M\times N}---\left(9\right)$

其中，g为明文图像，g^k为迭代得到的近似明文图像，M,N分 别为明文图像的宽度和高度，E[·]是期望值计算符号。假设最后迭代 次数为K，则最佳的相位函数为：

φ₁＝φ₁^K,φ₂＝φ₂^K,ξ₁＝ξ₁^K-¹,ξ₂＝ξ₂^K       (10)

图5、图6中的“Zelda”和”Peppers”的原始图像加密后得到 的密文图像如图7所示，密文图像呈现固定的白噪声分布，而且仅 含有强度信息，图像无法为非法用户提供任何有价值的信息。可见， 本发明加密方法的加密度很高。

图像”Zelda”的解密密钥φ_i,2参见图8，可以看出，解密密钥类 似于白噪声分布。

图像”Zelda”的解密密钥φ_i,d参见图9，可以看出，解密密钥类 似于白噪声分布。

图像”Peppers”的解密密钥φ_i,2参见图10，可以看出，解密密钥 类似于白噪声分布。

图像”Peppers”的解密密钥φ_i,d参见图11，可以看出，解密密钥 类似于白噪声分布。

解密出的图像“Zelda”参见图12，比较图5中原图”Zelda” 与解密出的”Zelda”图像，可以看出解密图像与原图像几乎没有误 差。

解密出的图像“Peppers”参见图13，比较图6中原图”Peppers” 与解密出的”Peppers”图像，可以看出解密图像与原图像几乎没有 误差。

本发明加密方法解决了现有加密系统密钥空间小的问题，提高 了密钥空间。通过统计，对于密钥φ_i,d，密钥空间约为S₁≈116^256×256；φ_i,2的密钥空间约为S₁≈6^256×256。由于加密系统的密钥空间为S₁×S₂，因此， 本发明具有足以对抗暴力攻击的足够大的密钥空间。

本发明加密密钥不同于解密密钥，避免了非对称加密算法加密 密钥与解密密钥相同、易受攻击的缺点，提高了安全性。

通过攻击测试，证明本发明不仅对于暴力攻击的抵抗力强，而 且对于噪声与其他的特定攻击的抵抗力也很强。非法用户无法通过 攻击图像获取任何有价值的信息。

本发明解密过程可通过光学方法实现，系统简单，操作方便。