一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法

摘要

本发明公开了一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法，包括：1）基于模态坐标评价向量按照参与变形程度对备选模态进行排序，根据模态删除前后变形向量线性相关性得到能够描述天线结构变形的最小完备模态集；2）采用有效独立法进行传感器布置，删除对目标模态的独立性贡献最小的自由度，直到剩余自由度数目与传感器数目相同；3）根据小变形情况下天线结构位移与应变之间为线性关系，利用数值仿真或实测数据计算映射矩阵；4）根据应变和位移之间的对应关系，利用布置在指定位置传感器测量出天线结构应变后通过映射矩阵得到天线结构的位移。本发明的方法可以使用应变传感器间接地测量出天线的变形，且计算量小，求解速度快、实时性高。

说明书

技术领域

本发明涉及天线结构领域，具体是一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方 法。

背景技术

面天线广泛应用于现代卫星通讯系统、空间科学等领域中。反射面精度是衡量天线性能 的重要指标之一，而且随着天线口径的增大，工作频率的提高，对反射面精度要求也越来越 高。然而，天线工作过程中要受到各种载荷的作用，除自身重力外，天线还会受到温度载荷、 风荷、冰雪载荷等作用，这些都会引起反射面的变形。这种变形将直接影响到天线电气工作 性能，严重的还会使得天线失去作用。因此，需要对天线的变形情况进行测量，为进行反射 面的形面调整和变形补偿提供依据。

天线制造完成后需要首先测量反射面精度，一般用经纬仪或微波全息摄影技术。通 常使用经纬仪进行初装后的面板调整，使用微波全息摄影用于反射面精确测量与调整。 常用的测量方法有经纬仪测量法、照相摄影法、微波全息法和激光测距法等，但这些方 法要么操作复杂，耗时长，要么精度不够、更不能满足实时测量的需求。

考虑到结构变形与其应变之间的关系，可以通过测量结构应变的方法来间接地测量结构 的变形。应变传感器应用范围广，结构轻小，对天线影响小，对复杂环境的适应性强。但大 中型桁架天线一般是由数量庞大的构件组成的，出于经济上和实际结构限制方面的原因，不 可能在每个构件上都布置传感器。要布置尽量少的传感器而测量足够多的动态参数，就必须 对传感器进行优化布置。

对于简单结构，有经验的工程试验人员可以较容易地确定传感器的位置，而对于复杂结 构，传感器的数目和位置的选择就相当困难。因此需要寻找一种方法，能指导传感器数目与 位置的确定，并能判断所选择的传感器数目与位置是否恰当。

发明内容

本发明给出了一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法，该方法可解决数目 一定时的传感器布置问题，并通过算例来说明这种方法的可行性。

该方法是通过以下方案来实现的。

一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法，该方法包括下述步骤：

1）确定包含各工况下天线结构变形的最小完备模态集

基于模态坐标评价向量按照参与变形程度对备选模态进行排序，根据模态删除前后变形 向量的线性相关性来得到可描述各工况下天线结构变形的最小完备模态集；

2）确定观测最小完备模态集时应变传感器的布置位置

采用有效独立法进行传感器布置，删除对目标模态的独立性贡献最小的自由度，直到剩 余自由度数目与传感器数目相同；

3）确定从应变到位移的映射矩阵

根据小变形情况下天线结构的位移与应变之间为线性关系，利用数值仿真或实测数据计 算出映射矩阵；

4）利用应变测量值观测天线结构的变形

根据应变和位移之间的对应关系，利用布置在指定位置的传感器测量出天线结构的应变 后通过映射矩阵得到天线结构的位移。

进一步地，所述步骤1）中，基于模态坐标评价向量按照参与变形程度对备选模态进行 排序，根据模态删除前后变形向量的线性相关性来得到能够描述各工况下天线结构变形的最 小完备模态集，通过下述方法来实现：

1a）设天线结构需要在M个载荷工况下工作，第j（j=1,2,...,M）个工况下天线结构对 应的变形位移为U_j；

1b）确定包含天线结构所有工况变形的备选模态集，将其前N阶模态作为备选模态集， 其中N应不小于应变传感器的数目；利用所选的N阶模态向量构造出天线结构的模态矩阵

其中，为天线结构的第i阶模态向量；

1c）对于第j个变形工况，设天线结构对应的模态坐标为

q_j=[q_1j,q_2j,...,q_Nj]^T      （2）

其中，q_ij为第j个变形工况下的第i阶模态对应的模态坐标；为使模态坐标q_ij描述结构 变形时的误差最小，模态坐标应使得如下的误差函数最小化

e_j=(U_j-Φq_j)^T(U_j-Φq_j)      （3） 这样可得第j个变形工况下的模态坐标为

q_j=(Φ^TΦ)^-1Φ^TU_j      （4）

1d）得到模态坐标后，构造如下的模态坐标矩阵

对模态坐标矩阵Q每一行的各个元素求平方和，构成模态坐标评价向量

$\lambda =\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\lambda }_M\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，评价向量中各元素的大小代表了相应模态参与天线结构 变形程度的大小；

将式（1）中天线结构的各阶模态向量按照λ值由大到小的顺序进行排列，得到新的 模态矩阵

其各列对应的模态阶数依次为c₁,c₂,…,c_N；

1e）根据排序后的模态向量，按如下流程确定备选模态集中的可去除模态集：

ⅰ）为确定最后一个模态是否能够去除，令b=N，将可去除模态集记为C，且C为空集；

ⅱ）令k=c_b，比较删除第k阶模态后变形向量的线性相关性：

当去除第k阶模态后，第j（j=1,2,...,M）个工况的变形向量用模态坐标表示为

$U_j^{*}={\Phi }^{*}{q}_j^{*}---\left(8\right)$

其中Φ^*为式（1）中的模态矩阵删除了第k列及集合C中的各列，为式（2） 中的模态坐标删除了第k个及集合C中的各列元素；而去除第k阶模态前的变形向量 表示为

$U_j^0=\Phi q_j---\left(9\right)$

通过比较删除前后变形向量的线性相关性作为模态删除或保留的依据；引入如下 的线性相关系数：

$\gamma =\frac{1}{M}\underset{j=1}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{{\left(U_j^{*}{U}_j^0\right)}^2}{\left(U_j^{{*}^T}{U}_j^0\right)\left(U_j^{{*}^T}{U}_j^0\right)}---\left(10\right)$

ⅲ）设定γ^*表示允许的最小线性相关系数，取γ^*≈0.8～1.0；若γ≥γ^*，则第k阶模态可 以去除，将k加入到可去除模态集C中，否则保留第k阶模态；若γ<γ^*，转步骤v）；

ⅳ）若b>1，令b=b-1，转步骤ii）；

ⅴ）得到可去除模态集C；

1f）删除集合C中的模态后剩下的便是能够描述天线结构在各工况下变形的最小完备模 态集。

进一步地，所述步骤2）中，采用有效独立法进行传感器布置，删除对目标模态的独立 性贡献最小的自由度，直到剩余自由度数目与传感器数目相同，通过下述方式来实现：

2a）设定天线结构的自由度数目为n，描述其变形的最小完备模态集中的模态数目为K， 由模态叠加原理，天线结构的位移U_s则表示为：

其中，为第i阶最小模态集中保留的模态向量，q_i为第i阶模态坐标， 为由最小完备模态集构成的模态矩阵，q=[q₁,q₂,…,q_K]^T；

考虑到测量噪声，将式（11）改写为：

U_s=Φq+ω      （12）

其中ω是方差为σ²的Gaussian白噪声；

2b）设模态坐标的真实值为q，它和模态坐标的估计值之间偏差表示为：

$\omega =\Phi (\hat{q}-q)---\left(13\right)$

其协方差矩阵为

$D=E\left\{\Phi (q-\hat{q})\right[(q-\hat{q}){]}^T\}=Q^{-1}---\left(14\right)$

且

$Q=\frac{1}{{\sigma }^2}{\Phi }^T\Phi =\frac{1}{{\sigma }^2}A---\left(15\right)$

式中Q为Fisher信息矩阵，矩阵A取得最大值时Q也取得最大值，故用A来反映Q；

2c）解矩阵A的特征方程

(A-λ₀I)η=0      （16）

其中，λ₀和η为矩阵A的特征值和特征向量，I为相应的单位阵；

由特征值和特征向量的性质得：

η^TAη=λ₀，η^Tη=I      （17）

故有

$A^{-1}=\eta {\lambda }_0^{-1}{\eta }^T=0---\left(18\right)$

上式两端分别左乘Φ，右乘Φ^T，并令其等于E，得

$E=\mathrm{\Phi \eta }{\lambda }_0^{-1}{\eta }^T{\Phi }^T=\Phi A^{-1}{\Phi }^T=\Phi [{\Phi }^T\Phi {]}^{-1}{\Phi }^T---\left(19\right)$

可知E是幂等矩阵；

2d）如果矩阵E的对角线元素等于或接近于0，则说明该自由度对于矩阵A线性相关性 几乎没有贡献，删除这个自由度上的传感器；如果矩阵E的对角线元素等于或接近于1，则 表明该自由度为关键自由度，不能排除；通过对E排序，依次删除对矩阵贡献最小的自由度， 直到剩余自由度数目与给定的传感器数目相同；这样剩余的自由度位置便是各应变传感器的 布置位置。

进一步地，所述步骤3）中，根据小变形情况下天线结构的位移与应变之间为线性关系， 可利用数值仿真或实测数据计算出映射矩阵，通过下述方法实现：

3a）小变形情况下天线结构的位移与应变之间是线性关系，存在矩阵B可将应变映射成 位移，其关系式为：

U=B×E      （20）

其中，U∈R^n×1为天线结构的位移向量，n为天线结构的自由度数目，E∈R^S×1为天线结构 的应变向量，S为应变传感器的数目；

3b）从式（20）可知矩阵B为n×S矩阵，而对于一组给定载荷下的应变与位移关系， 得到n个方程；由此，求解B必须加载不同的测试载荷，上式变形为：

U_n×M=B×E_S×M      （21） 其中M为载荷工况数；

用矩阵的伪逆来解上式中的B，得到的解具有最小平方误差。

进一步地，所述步骤4）中，根据应变和位移之间的对应关系，利用布置在指定位置的 传感器测量出天线结构的应变后通过映射矩阵B，将测量到的应变值E代入式（20）便可得 到天线结构的变形位移U。

本发明与现有技术相比，具有以下优点：

1）所提的一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法中，采用应变传感器而非位移 传感器来测量天线结构的变形。应变传感器结构轻小、价格低廉，克服了位移传感器结构 复杂、体积和重量大且价格昂贵的缺点；

2）由于位移传感器体积和重量大，直接安装到天线结构上会影响结构本身的力学特性，如固 有频率、自重变形等，而应变传感器结构轻小，不会影响天线结构本身的力学特性，并且 可在天线结构上大量布置从而准确得到天线结构的整体变形；

3）所提的一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法中，首先将结构变形用最小完 备模态集来表示，再针对该模态集来确定应变传感器的布置，这样可大幅减少天线结构变 形时的自由度，从而大幅减少确定传感器位置时的计算量；

4）所提的一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法中，由于从应变到位移是线性 关系，因此求解速度快、实时性高。

附图说明

图1为本发明方法的总体流程框图。

图2为应变传感器位置确定流程图。

图3为8m天线应变传感器的位置布置图。

图4为8m天线应变传感器位置布置的正视图。

图5为实际与预测的节点位移比较。

图6为7.3m天线的应变传感器布置图。

图7为7.3m天线的实际与预测位移比较。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

如图1所示，本发明提出的一种基于应变传感器的天线结构变形的间接测量方法，包 括如下步骤：

1）确定包含各工况下天线结构变形的最小完备模态集

由于天线结构所受的载荷工况数目是有限的，这样变形信息可以集中在少数几阶模态上。 模态坐标的相对大小反映了各阶模态对结构变形的贡献，因此可以在一定精度下确定出能够 描述天线结构变形的最小模态集，具体步骤如下：

1a）假设天线结构需要在M个载荷工况下工作，第j（j=1,2,...,M）个工况下天线结构 对应的变形位移为U_j；

1b）确定包含天线结构所有工况变形的备选模态集，也可简单地将其前N阶模态作为备 选模态集，其中N应不小于应变传感器的数目。利用所选的N阶模态向量构造出天线结构的 模态矩阵

其中，为天线结构的第i阶模态向量；

1c）对于第j个变形工况，设天线结构对应的模态坐标为

q_j=[q_1j,q_2j,…,q_Nj]^T      （2）

其中，q_ij为第j个变形工况下的第i阶模态对应的模态坐标。为使模态坐标q_ij描述结构变形 时的误差最小，模态坐标应使得如下的误差函数最小化

e_j=(U_j-Φq_j)^T(U_j-Φq_j)      （3）

由此可得第j个变形工况下的模态坐标

q_j=(Φ^TΦ)^-1Φ^TU_j      （4）

1d）得到模态坐标后，构造如下的模态坐标矩阵

对模态坐标矩阵Q每一行的各个元素求平方和，构成模态坐标评价向量

$\lambda =\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ·\\ ·\\ ·\\ {\lambda }_M\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，评价向量中各元素的大小代表了相应模态参与天线结构 变形程度的大小。

将式（1）中天线结构的各阶模态向量按照λ值由大到小的顺序进行排列，得到新的模态 矩阵

其各列对应的模态阶数依次为c₁,c₂,…,c_N；

1e）根据排序后的模态向量，按如下流程确定备选模态集中的可去除模态集：

i)为确定最后一个模态是否能够去除，令b=N，将可去除模态集记为C，且C为空 集；

ii)令k=c_b，比较删除第k阶模态后变形的线性相关性：

当去除第k阶模态后，第j（j=1,2,…,M）个工况的变形向量用模态坐标表示为

$U_j^{*}={\Phi }^{*}{q}_j^{*}---\left(8\right)$

其中Φ^*为式（1）中的模态矩阵删除了第k列及集合C中的各列，为式（2） 中的模态坐标删除了第k个及集合C中的各列元素。而去除第k阶模态前的变形向量 表示为

$U_j^0={\mathrm{\Phi q}}_j---\left(9\right)$

通过比较删除前后变形向量的线性相关性作为模态删除或保留的依据；引入如下 的线性相关系数：

$\gamma =\frac{1}{M}\underset{j=1}{\overset{M}{\Sigma }}\frac{{\left(U_j^{*}{U}_j^0\right)}^2}{\left(U_j^{{*}^T}{U}_j^0\right)\left(U_j^{{*}^T}{U}_j^0\right)}---\left(10\right)$

iii)设定γ^*表示允许的最小线性相关系数，取γ^*≈0.8～1.0；若γ≥γ^*，则第k阶模态 可以去除，将k加入到可去除模态集C中，否则保留第k阶模态；若γ<γ^*，转 步骤v）；

iv)若b>1，令b=b-1，转步骤ii）；

v)得到可去除的模态集C；

1f）删除集合C中的模态后剩下的便是能够描述天线结构在各工况下变形的最小完备模 态集。

2）确定观测最小完备模态集时应变传感器的布置位置

采用有效独立法进行传感器布置，其基本思想就是从所有可能的测量点出发，通过删除 对目标模态的独立性贡献最小的自由度，直到剩余自由度与传感器数目相同，其具体步骤如 下：

2a）假设天线结构的自由度数目为n，描述其变形的最小完备模态集中的模态数目为K。 由模态叠加原理，天线结构的位移U_s可表示为：

其中，为第i阶最小模态集中保留的模态向量，q_i为第i阶模态坐标， 为由最小完备模态集构成的模态矩阵，q=[q₁,q₂,…,q_K]^T；

考虑到测量噪声，则式（11）改写为：

U_s=Φq+ω      （12） 其中ω是方差为σ²的Gaussian白噪声；

2b）设模态坐标的真实值为q，那么它和模态坐标的估计值之间一定存在偏差，假设这 一过程是一个无偏有效估计，则其偏差可表示为：

$\omega =\Phi (\hat{q}-q)---\left(13\right)$

协方差矩阵为

$D=E\left\{\Phi (q-\hat{q})\right[(q-\hat{q}){]}^T\}=Q^{-1}---\left(14\right)$

且

$Q=\frac{1}{{\sigma }^2}{\Phi }^T\Phi =\frac{1}{{\sigma }^2}A---\left(15\right)$

式中Q为Fisher信息矩阵。矩阵A取得最大值时Q也取得最大值，故可用A来反映Q； 2c）解矩阵A的特征方程为

(A-λ₀I)η=0      （16）

其中λ₀和η为矩阵A的特征值和特征向量，I为相应的单位阵；

由特征值和特征向量的性质得：

η^TAη=λ₀，η^Tη=I      （17）

故有

$A^{-1}=\eta {\lambda }_0^{-1}{\eta }^T=0---\left(18\right)$

上式两端分别左乘Φ，右乘Φ^T，并令其等于E，得

$E=\mathrm{\Phi \eta }{\lambda }_0^{-1}{\eta }^T{\Phi }^T=\Phi A^{-1}{\Phi }^T=\Phi [{\Phi }^T\Phi {]}^{-1}{\Phi }^T---\left(19\right)$

可知E是幂等矩阵。

2d）幂等矩阵E的秩与它的迹相等，主对角线上第i个元素表示的是第i个自由度对于矩 阵Φ秩的贡献，即各个自由度对矩阵A的贡献。因此，矩阵E代表候选应变传感器位置对模 态矩阵线性无关性的贡献。如果矩阵E的对角线元素等于或接近于0，则说明该自由度对于 矩阵A线性相关性几乎没有贡献，删除这个自由度上的传感器；如果矩阵E的对角线元素等 于或接近于1，则表明该自由度为关键自由度，不能排除。通过对E排序，依次删除对矩阵 贡献最小的自由度，直到剩余自由度数目与给定的传感器数目相同，其流程如图2所示。这 样剩余的自由度位置便是各应变传感器的布置位置。

3）确定从应变到位移的映射矩阵

根据小变形情况下天线结构的位移与应变之间为线性关系，可利用数值仿真或实测数据 计算出映射矩阵，其具体步骤如下：

3a）由于应变和位移之间存在对应关系，因此可以通过测量结构的应变来确定结构的位 移。在小变形情况下，存在矩阵B可将应变映射成位移，其关系式为：

U=B_×E      （20）

其中，U∈R^n×1为天线结构的位移向量，n为天线结构的自由度数目，E∈R^S×1为天线结构 的应变向量，S为应变传感器的数目；

3b）变形测量方案就是先通过模拟或实测到的结构位移U和应变E，通过一定的算法得 到映射矩阵B，从而建立起从应变到位移的映射关系。这样，位移的测量就变为间接地测量 应变。

从式（20）可知矩阵B为n×K矩阵，而对于一组给定载荷下的应变与位移关系，可以 得到n个方程。因此，为了求解B必须加载不同的测试载荷，上式变形为：

U_n×M=B×E_S×M      （21）

其中M为载荷工况数；

用矩阵的伪逆来解上式中的B，它能够保证得到的解具有最小平方误差。

4）利用应变测量值观测天线结构的变形

得到矩阵B后，在实际应用中只需将测量到的应变值E代入式（20）便可得到天线结构 的变形位移U。

下面通过数值算例对本发明做进一步说明：

1、8m天线背架算例

8m圆抛物面天线模型共有96个连接点，336个构件，如图3和4所示。对环形支撑结 构的最低端施加完全位移约束，进行模态分析，提取结构的前50阶模态。

所需要测量的结构变形是在重力载荷和风载的共同作用下产生的，只考虑稳态风作用， 等效的节点风载为104N，天线可在不同的方位和俯仰角下工作，与不同的工况相对应。

应用前面所述的模态选择法，取线性相关系数γ=0.998，相关性大于此值的冗余模态将被 舍去。计算得到的目标模态数目为6，分别是第1、3、5、9、15和24阶模态，这样可认为 这6阶模态就能够反映所有的变形信息。

在选定包含信息量最大的6阶模态后，接下来确定传感器的位置，使其能够完全测量出 这6阶模态变形。设应变传感器数目为25个，有效布置这25个传感器的位置，即可最大限 度地获得所有节点的位移大小。

采用有效独立法，用选出的6阶模态信息计算相应的Fisher信息矩阵。依次删除对信息 矩阵贡献最小的自由度，得到所需布置的25个传感器的位置，如图3和4所示，图中的圆点 代表传感器的位置，其中正方形块、正六边形块和圆形块分别表示该传感器安装在x、y和z 方向。

选出传感器布置的位置后，利用矩阵映射法式（20）来测量结构上所有节点的位移。为 得到映射矩阵B，首先在结构上加载不同的载荷工况，得到能计算出映射矩阵B的结构位移 矩阵U_t和应变矩阵E_t。这里模拟8级风的不同载荷工况，此时的节点风载为130.8N。设载荷 系数C_x和C_y从0以0.5等差递增到1，分别有3个C_x和C_y，共有9种组合。根据每种组合 的C_x和C_y计算出对应的节点风载得到9种载荷工况。将这些工况分别加载到结构上并做静 力分析，提取出所有节点的位移和布置点的应变，即可得出多种载荷下所有节点的位移矩阵 U_t和布置点应变矩阵E_t。根据式（21），通过伪逆法计算出映射矩阵B，从而建立从布置点应 变量到所有节点位移的映射关系。

为验证所建映射关系的正确性，首先通过ANSYS软件分析了一种载荷工况，对应的天 线方位角为54°，俯仰角15°，计算出该载荷工况下的节点位移矩阵U和布置点的应变矩 阵E，把应变矩阵E代入关系式（20）中，得出预测的节点变形U_c，对比U和U_c即可验证 所建映射关系的正确性，绘制出U_c和U与节点的关系如图5所示。

由图5可以看出，预测得到的节点位移和ANSYS分析得出的位移相差不大，相对误差

为10.23%，这个相对误差值较小，由此证明所建映射关系的正确性，从而也间接地说明传感 器布置方法的可行性和模态数目优化方法的有效性。

2、7.3m天线算例

某7.3m天线结构的完整有限元模型如图6所示，对天线最低端的30个节点施加完全约 束，并对模型进行模态分析，提取了前50阶模态。

根据风压计算公式可知，20m/s风速时对应的反射面风载荷为F=10.5KN，认为风荷均匀 分布在反射面节点上，对应的节点力为5.49N。

同8m天线背架模型一样，先进行模态集的选择，取λ=0.992，得到的模态集包括第1、2、 3、4、6、11和23阶模态。

假设共有120个应变传感器，针对筛选出的7阶模态采用有效独立法得到的传感器布置 位置如图6所示。图中的圆点代表传感器的位置，其中正方形块、正六边形块和圆形块分别 表示该传感器安装在x、y和z方向。

同样，分成9个加载工况，分别计算结构的位移矩阵U_t和布置点应变矩阵E_t。根据式（21） 通过伪逆法计算可得映射矩阵B。

下面验证得到的映射关系的正确性，取前面的一种工况进行分析，此时风压系数分别为 C_x=0.26，C_y=0.73，风载值f=5.49N，加载到结构上进行静力分析，计算结构所有节点的位移 矩阵U和布置点处的应变矩阵E。把应变矩阵E代入映射关系式（20），可得所有节点的位 移矩阵U_c，对比U_c与ANSYS分析得到的位移U，如图7所示。

由图7可看出，该方法计算得到的位移U_c和ANSYS分析得到的节点位移存在一定的差 异，由式（22）其相对误差值为23.93%，但考虑到所用传感器数目较少，该精度已经足够高 了，使用更多的传感器可以获得更好的结果。