一种索网反射面天线形面精度与张力状态的同时设计方法

摘要

本发明涉及一种索网反射面天线形面精度与张力状态的同时设计方法，其特征是：至少包括如下步骤：1）首先确定一个最初的平衡参考构型，即为k=0时的构型，对应的索网节点位置记为X(0)，索段的放样长度记为2）确定第k次迭代时索网需要产生的节点位移3）在第k次平衡状态的基础上，确定第k次迭代时索段张力关于索长的敏度矩阵节点位置关于索长的敏度矩阵4）采用优化模型来求解第k次的索长修正量；5）第k次迭代后的索段放样长度修正为6）重复该过程，直到满足给定的收敛条件。本发明的方法可以在保证天线形面精度的情况下，使得索网的张力状态均匀。

说明书

技术领域

本发明涉及一种索网反射面天线结构，特别是一种索网反射面天 线形面精度与张力状态的同时设计方法。

背景技术

天线结构广泛应用于通信、导航、定位、雷达、射电天文等国防 和国民经济的诸多领域。为探测微弱信号或增大发射功率，不仅要求 天线的口径很大，而且要求反射面的精度很高。通常天线的口径需要 达到十几米，甚至更大。而为获得所需的电性能，往往要求天线的反 射面精度达到其工作波长的1/50，这一要求非常苛刻。例如，工作 频率为3GHz（S波段）的天线，衡量天线反射面精度的均方根误差通 常应小于2mm。

索网反射面天线是大口径天线发展的主要趋势之一，也是星载大 型可展开天线的一种重要形式，具有结构简单、重量轻、易于实现大 口径、收拢体积小等优点。然而，索网反射面天线的设计是非常困难 的。首先，由于索网反射面的表面由索网的三角形小平面拼接而成， 存在原理误差。这就要求网面节点的形面精度要更高，一般要低于期 望均方根误差的2/3。其次，由于索网是柔性结构，所有索段必须处 于张紧状态且索网的张力状态要尽可能均匀，这样才能获得更好的力 学性能。

由于索网结构的力学模型复杂，建模误差大且索网位移与张力状 态之间的耦合性强。因此，既要达到很高的形面精度，又要同时实现 均匀的张力状态是索网反射面天线设计中的关键问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种索网反射面天线形面精度与张力状态 的同时设计方法，以便在保证天线形面精度的情况下，使得索网的张 力状态均匀。

本发明的目的是这样实现的，一种索网反射面天线形面精度与张 力状态的同时设计方法，其特征是：至少包括如下步骤：

1）首先确定一个最初的平衡参考构型，即为k＝0时的构型，对 应的索网节点位置记为X⁽⁰⁾，索段的放样长度记为

2）确定第k次迭代时索网需要产生的节点位移

3）在第k次平衡状态的基础上，确定第k次迭代时索段张力关于 索长的敏度矩阵节点位置关于索长的敏度矩阵

4）采用如下的优化模型来求解第k次的索长修正量

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{find}& \Delta L_0^{\left(k\right)}={[\Delta L_{01},\Delta L_{02},...]}^{\text{T}}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}\min & f={(T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}-{\bar{T}}^{\left(k\right)})}^T(T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}-{\bar{T}}^{\left(k\right)})\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& X^{\left(k\right)}+\frac{\partial X}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}=U_s^{\left(k\right)}\end{array}\right)$

$T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}\ge \gamma$

其中，为第k的索长修正量，T^(k)为索网中 各索段的张力组成的向量，T^(k)为索段张力的期望值，X^(k)为网面节 点的位置向量，γ为允许的最小索段张力；

5）第k次迭代后的索段放样长度修正为

$L_0^{(k+1)}=L_0^{\left(k\right)}+\Delta L_0^{\left(k\right)};$

6）重复该过程，直到满足给定的收敛条件。

所述的步骤1)中最初平衡参考构型的确定包括：

a）纯索网结构的初步设计；

b）天线结构最初平衡参考构型的确定。

所述的a）纯索网结构的初步设计包括：

对纯索网结构，设索段总数为n，自由节点总数为m，初步设计 时使索网节点均位于其标称位置上，则网面节点的平衡方程为

AT＝0      （1）

其中，T为各索段张力组成的n×1向量，矩阵A∈R^3m×n为索网的平 衡矩阵；每个索网节点q和索段j对应矩阵A中的一个3×1分块A_qj； 当索段j与节点q相连时，A_qj为从该节点出发，沿索段j方向的单位 列向量；当索段j不与节点q相连时，A_qj为3×1零向量。

对于索网反射面，式（1）是欠定，存在多组张力模态，这样就可 以确定出一组满足给定设计要求且张力状态最均匀的初始张力；所用 方法如下：

由矩阵论可知，满足式（1）的张力T可以表示为

T＝null(A)×α      （2）

式中null(A)为矩阵A的零空间，α为相应的系数向量；可使用如 下优化模型来确定一尽量均匀的索网张力状态：

find  α＝[α₁,α₂,...]^T

$\left(\begin{array}{cc}\min & f={(T-\bar{T})}^T(T-\bar{T})\end{array}\right)---\left(3\right)$

s.t.  T≥γ

式中，为由索段张力均值构成的向量， 且同一组的索段具有相同的均值，以此来实现张力均匀；γ为允许的 张力下限。

当在给定位置上平衡的索段张力确定后，便可得到对应的索段放 样长度，对应第j根索段，对应的放样长度为

$L_{0j}=\frac{L_j}{1+{ϵ}_j}---\left(4\right)$

其中，L_j为索段张拉变形后的长度，ε_j＝T_j/(EA)_j为索段的应变， 其中T_j为索段张力，(EA)_j为索段的轴向拉伸刚度。

所述的b）天线结构最初平衡参考构型的确定包括：

利用步骤a）中确定的索段张力作为初始张力来求解天线整体结 构的平衡状态，该状态即为天线的最初平衡参考构型。

所述的步骤3）确定第k次迭代时索段张力关于索长的敏度矩阵 节点位置关于索长的敏度矩阵和的过程是：

基于非线性有限元采用差分法来求解敏度信息，从给定的平衡状 态进行分析，设此时节点i(i＝1,2,...,m)的位置为x_0i，索段 j(j＝1,2,...,n)的张力为T_0j；每次单独给第j根索段施加一个索长增 量ΔL_0j，进行静力学分析得到新的平衡状态下节点的当前位置x_j和索 段张力T_j；这样便可由差分法得到敏度矩阵和的第j列，即 有

${\left[\frac{\partial X}{\partial L_0}\right]}_{\mathrm{ij}}=\frac{x_j-x_{0i}}{\Delta L_{0j}},{\left[\frac{\partial T}{\partial L_0}\right]}_{\mathrm{ij}}=\frac{T_j-T_{0i}}{\Delta L_{0j}},(i=\mathrm{1,2},...,m)---\left(6\right)$

依次取j＝1,2,...,n，可得到完整的敏度矩阵。

所述的步骤2）确定第k次迭代时索网需要产生的节点位移的 步骤包括：

1）在设计要求的理想抛物面的顶点处建立直角坐标系Oxyz，z 轴沿抛物面焦轴方向，则对应的抛物面方程可表示为：

x²+y²＝4fz      （7）

为保证良好的张力状态，将理想抛物面方程修正为：

x²+y²＝4f(z+h)      （8）

其中，h为抛物面顶点沿z轴的偏移量；

2）为确定每个节点的调整量，对于索网上的第i（i＝1，2，…， c，其中c为有形状要求的节点数目）个节点A，设其在当前位置的 坐标为[x,y,z]^T，由点A沿可调整索方向向修正后的抛物面作交线， 交于点C。

将点A处沿可调整索方向的单位向量记为：

p＝[p_x p_y p_z]^T      (9)

令AC=d，当节点A位于修正抛物面上方时为正，位于下方时 为负，这样点C的坐标可以表示为

$\left(\begin{array}{c}{x}_0=x+p_{x}d\\ y_0=y+p_{y}d\\ z_0=z+p_{z}d\end{array}\right)---\left(10\right)$

由于点C位于修正抛物面上，故其坐标满足抛物面方程式（8）， 即有

(x+p_xd)²+(y+p_yd)²＝4f(z+p_zd+h)      （11）

因为h和d均为小量，对式（11）展开并忽略二阶小量，得

x²+2xp_xd+y²+2yp_yd＝4fz+4fp_zd+4fh      （12）

于是可得

$d=-\frac{x^2+y^2-4\mathrm{fz}}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}+\frac{4f}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}h---\left(13\right)$

这样，点A相对于修正抛物面的偏差及其方向可用向量的形式表 示为：

d＝p·d      （14）

可以看出，节点的偏差仅与调整前的节点坐标和修正抛物面的修正量 h有关；

3）设位于反射面上的节点数目为c，设计时要求这些节点均位 于修正抛物面上，记

${\Delta }_c={[d_1^T,d_2^T,...,d_c^T]}^T---\left(15\right)$

式中d_i为第i个节点的位置偏差向量。此时对应的均方根误差为：

${\delta }_c=\sqrt{{\Delta }_c^T{\Delta }_c/c}---\left(16\right)$

天线设计时的一个主要目标就是要使上述的均方根误差最小，这 可以通过使其平方最小而得到，即使下式取最小值

${\delta }_c^2=\frac{1}{c}{\Delta }_c^T{\Delta }_c=\frac{1}{c}\underset{i=1}{\overset{c}{\Sigma }}{d}_i^T{d}_i---\left(17\right)$

由于式（17）中含有变量h，故其取最小值的条件是

$\frac{\partial {\delta }_c^2}{\partial h}=0---\left(18\right)$

由此便可得到此时的抛物面修理量h和对应的节点位移Δ_c的具体值；

4）根据敏度矩阵的定义，网面节点的位移与索长调整量之间的关 系为

$\mathrm{\Delta X}=\frac{\partial X}{\partial L_0}\Delta L_0---\left(19\right)$

这样，当通过改变调整索长度对网面节点的位置进行调整时，可实现 的节点位移是R^3c中的一个子空间，可以表示为

$\Gamma =\mathrm{span}\left(\frac{\partial X}{\partial L_0}\right)=\{{\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n|{\alpha }_i\in R\}---\left(20\right)$

式中v_i为敏度矩阵的第i列，α_i为相应的系数；

而迭代时需要节点产生的位移必须位于该子空间中，为此将位移 Δ_c向该子空间中进行投影，有

$U_s=\frac{\partial X}{\partial L_0}{\left(\frac{\partial X^T}{\partial L_0}\frac{\partial X}{\partial L_0}\right)}^{-1}\frac{\partial X^T}{\partial L_0}{\Delta }_c---\left(21\right)$

位移U_s便是进行调整时需要产生的节点位移。

本发明的优点如下：

1）所提的索网反射面天线形面精度与张力状态的同时设计方法 中，将天线的形面精度作为等式约束，索段张力不松弛作为不等式约 束，而将张力均匀性作为目标函数，这样既能够满足天线设计时的硬 性要求，又能对设计效果进行优化。

2）在确定每步迭代中索网需要产生的节点位移时引入了修正抛 物面，可在不影响形面精度的前提下，有效保证索段张力不松弛和张 力状态的均匀性。

3）在确定每步迭代中索网需要产生的节点位移时将节点位移向 敏度矩阵子空间进行投影，这样得到的节点位移可有效保证迭代过程 的收敛性。

4）优化模型中引入了敏度矩阵，可显著提高天线索网反射面设 计时的计算效率。

附图说明

图1是纯索网结构示意图；

图2是节点到修正抛物面的位移说明图；

图3是本发明实施例索网抛物面天线的有限元模型图；

图4是本发明实施例天线中的纯索网部分；

图5是反射面形面精度的迭代过程；

图6是各部分网面的最大最小张力比的迭代过程。

具体实施方式

下面结合实施例附图对本发明作进一步说明：

一种索网反射面天线形面精度与张力状态的同时设计方法，至少 包括如下步骤：

1）反射面形面精度与张力状态的迭代设计是在前一次的平衡参 考构型的基础是进行的。因此，需要首先确定一个最初的平衡参考构 型，即为k＝0时的构型，对应的索网节点位置记为X⁽⁰⁾，索段的放样 长度记为

2）确定第k次迭代时索网需要产生的节点位移

3）在第k次平衡状态的基础上，确定第k次迭代时索段张力关 于索长的敏度矩阵节点位置关于索长的敏度矩阵

4）采用如下的优化模型来求解第k次的索长修正量

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{find}& \Delta L_0^{\left(k\right)}={[\Delta L_{01},\Delta L_{02},...]}^{\text{T}}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}\min & f={(T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}-{\bar{T}}^{\left(k\right)})}^T(T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}-{\bar{T}}^{\left(k\right)})\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& X^{\left(k\right)}+\frac{\partial X}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}=U_s^{\left(k\right)}\end{array}\right)$

$T^{\left(k\right)}+\frac{\partial T}{\partial L_0}\Delta L_0^{\left(k\right)}\ge \gamma$

其中，为第k的索长修正量，T^(k)为索网中 各索段的张力组成的向量，为索段张力的期望值，X^(k)为网面节 点的位置向量，γ为允许的最小索段张力；

5）第k次迭代后的索段放样长度修正为

$L_0^{(k+1)}=L_0^{\left(k\right)}+\Delta L_0^{\left(k\right)};$

6）重复该过程，直到满足给定的收敛条件。

该方法包括如下几个关键步骤：

所述的步骤1)中最初平衡参考构型的确定包括：

a）纯索网结构的初步设计和b）天线结构最初平衡参考构型的 确定。

a）纯索网结构的初步设计

对于如图1所示的纯索网结构，设索段总数为n，自由节点数为m。 初步设计时使索网节点均位于其标称位置上，则网面节点的平衡方程 为

AT＝0      （1）

其中，T为各索段张力组成的n×1向量，矩阵A∈R^3m×n为索网的 平衡矩阵；每个索网节点q和索段j对应矩阵A中的一个3×1分块A_qj； 当索段j与节点q相连时，A_qj为从该节点出发，沿索段j方向的单位 列向量；当索段j不与节点q相连时，A_qj为3×1零向量。

对于索网反射面，式（1）是欠定，存在多组张力模态，这样就可 以确定出一组满足给定设计要求且张力状态最均匀的初始张力；所用 方法如下：

由矩阵论可知，满足式（1）的张力T可以表示为

T＝null(A)×α      （2）

式中null(A)为矩阵A的零空间，α为相应的系数向量；可使用如 下优化模型来确定一尽量均匀的索网张力状态：

find  α＝[α₁,α₂,...]^T

$\left(\begin{array}{cc}\min & f={(T-\bar{T})}^T(T-\bar{T})\end{array}\right)---\left(3\right)$

s.t.  T≥γ

式中，为由索段张力均值构成的向量， 且同一组的索段具有相同的均值，以此来实现张力均匀；γ为允许的 张力下限。

当在给定位置上平衡的索段张力确定后，便可得到对应的索段放 样长度，对应第j根索段，对应的放样长度为

$L_{0j}=\frac{L_j}{1+{ϵ}_j}---\left(4\right)$

其中，L_j为索段张拉变形后的长度，ε_j＝T_j/(EA)_j为索段的应变， 其中T_j为索段张力，(EA)_j为索段的轴向拉伸刚度。

b）天线结构最初平衡参考构型的确定包括：

索网反射面天线结构由纯索网及其支撑桁架两部分构成，建模时 应该做为一个整体来分析。

利用步骤a）中确定的索段张力作为初始张力来求解天线整体结 构的最初平衡参考构型。

由于步骤a）中没有考虑支撑桁架的变形，进行整体分析时索网 形状会偏离其理想位置，索网张力的均匀性也会变差。但由于桁架的 变形很小，可以保证求解后的参考构型中，索网形状与其理想位置的 偏差很小，且张力状态也相对较为均匀。这是后面进行反射面形面精 度与张力状态迭代修正的基础。

所述的步骤3）确定第k次迭代时索段张力关于索长的敏度矩阵 节点位置关于索长的敏度矩阵和由定义可知：

这里采用差分法求解敏度矩阵，给定一个小的索长增量，考察节 点位置和张力的变化情况；考虑到桁架变形后索段张力有变小甚至松 弛的倾向，采用后向差分法，即所给的索长增量ΔL_0i＜0；这样即使在 初始状态索网出现部分松弛，采用后向差分也能够保证迭代后不出现 松弛现象，而前向差分则无此优点。

采用非线性有限元法来求解敏度信息，从给定的平衡状态进行分 析，设此时节点i（i=1，2，…，m）的位置为x_0i，段索j（j=1，2，…， n）的张力为T_0j。每次单独给第j根索段施加一个索长增量ΔL_0j，进 行静力学分析得到平衡状态下节点的当前位置x_j和索段张力T_j。这样 便可由差分法得到敏度矩阵和的第j列，即有

${\left[\frac{\partial X}{\partial L_0}\right]}_{\mathrm{ij}}=\frac{x_j-x_{0i}}{\Delta L_{0j}},{\left[\frac{\partial T}{\partial L_0}\right]}_{\mathrm{ij}}=\frac{T_j-T_{0i}}{\Delta L_{0j}},(i=\mathrm{1,2},...,m)---\left(6\right)$

依次取j=1，2，3，...，n，可得到完整的敏度矩阵。

此处采用ANSYS软件进行非线性有限元分析，通常，对于有m 根索段的索网结构，需要进行m次非线性有限元分析，非常耗费时 间。为此，提出采用如下方式实现多次静力学求解：

i）将模型存储为".DB"模型文件，每次分析使用“resume”命令恢 复模型，节省了重新建模的时间。

ii）求差分需多次求解，提出利用ANSYS的存储参数、恢复参 数技术进行求解，使得一次调用ANSYS就可以将需要的结果全部求 解。关键步骤为

所述的步骤2）确定第k次迭代时索网需要产生的节点位移的 确定包括：

i）在设计要求的理想抛物面的顶点处建立直角坐标系Oxyz，z 轴沿抛物面焦轴方向，则对应的抛物面方程可表示为

x²+y²＝4fz      （7）

为控制索网的张力状态并使得调整量较小，考虑到抛物面焦点的 偏差可在馈源安装时进行补偿，将理想抛物面方程修正为

x²+y²＝4f(z+h)      （8）

其中，h为抛物面顶点沿z轴的偏移量，该值不同时网面节点的 调整量也不相同。由于馈源位置可以改变，故可将h做为变量，应当 选择合适的h值使得调整后网面形状位于指定的抛物面上，同时索网 的张力状态也比较均匀。

ii）为确定每个节点的调整量，对于索网上的第i（i＝1，2，…， c，其中c为有形状要求的节点数目）个节点A，设其在当前位置的 坐标为[x,y,z]^T，由点A沿可调整索方向向修正后的抛物面作交线， 交于点C，如图2所示。一般来说，改变可调整索的长度时，该索对 应的网面节点主要产生沿索长方向的位移，而垂直于索长方向的位移 可忽略不计。

将点A处沿可调整索方向的单位向量记为

p＝[p_x p_y p_z]^T      （9）

令AC=d，当节点A位于修正抛物面上方时为正，位于下方时 为负。这样点C的坐标可以表示为

$\left(\begin{array}{c}{x}_0=x+p_{x}d\\ y_0=y+p_{y}d\\ z_0=z+p_{z}d\end{array}\right)---\left(10\right)$

由于点C位于修正抛物面上，故其坐标满足抛物面方程式（8）， 即有

(x+p_xd)²+(y+p_yd)²＝4f(z+p_zd+h)      （11）

因为h和d均为小量，对式（11）展开并忽略二阶小量，得

x²+2xp_xd+y²+2yp_yd＝4fz+4fp_zd+4fh      （12）

于是可得

$d=-\frac{x^2+y^2-4\mathrm{fz}}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}+\frac{4f}{2x{p}_x+2y{p}_y-4f{p}_z}h---\left(13\right)$

这样，点A相对于修正抛物面的偏差及其方向可用向量的形式表 示为

d＝p·d      （14）

可以看出，节点的偏差仅与调整前的节点坐标和修正抛物面的修正量 h有关。

iii）设位于反射面上的节点数目为c，设计时要求这些节点均位于 修正抛物面上，记

${\Delta }_c={[d_1^T,d_2^T,...,d_c^T]}^T---\left(15\right)$

式中d_i为第i个节点的位置偏差向量。此时对应的均方根误差为

${\delta }_c=\sqrt{{\Delta }_c^T{\Delta }_c/c}---\left(16\right)$

形面精度调整的目标就是使得上述均方根误差最小。这可以通过 使其平方最小而得到，即使下式取最小值

${\delta }_c^2=\frac{1}{c}{\Delta }_c^T{\Delta }_c=\frac{1}{c}\underset{i=1}{\overset{c}{\Sigma }}{d}_i^T{d}_i---\left(17\right)$

由于式（17）中含有变量h，故其取最小值的条件是

$\frac{\partial {\delta }_c^2}{\partial h}=0---\left(18\right)$

由此便可得到此时的抛物面修理量h和对应的节点位移Δ_c的具体值。

iv）根据敏度矩阵的定义，网面节点的位移与索长调整量之间的 关系为

$\mathrm{\Delta X}=\frac{\partial X}{\partial L_0}\Delta L_0---\left(19\right)$

这样，当通过改变调整索长度对网面节点的位置进行调整时，可实现 的节点位移是R^3c中的一个子空间，可以表示为

$\Gamma =\mathrm{span}\left(\frac{\partial X}{\partial L_0}\right)=\{{\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_1{v}_1+...+{\alpha }_n{v}_n|{\alpha }_i\in R\}---\left(20\right)$

式中v_i为敏度矩阵的第i列，α_i为相应的系数；

而迭代时需要节点产生的位移必须位于该子空间中，为此将位移 Δ_c向该子空间中进行投影，有

$U_s=\frac{\partial X}{\partial L_0}{\left(\frac{\partial X^T}{\partial L_0}\frac{\partial X}{\partial L_0}\right)}^{-1}\frac{\partial X^T}{\partial L_0}{\Delta }_c---\left(21\right)$

位移U_s便是进行调整时需要产生的节点位移。

仿真实例

以AstroMesh索网反射面天线为例，天线的参数为：口径10m， 上网面焦距6m，偏置距离6m，下网面焦距40m，天线高度1.2m， 主索分段数为10，上下网面索单元总数均为288，竖向牵引索总数为 85。索的横截面为圆形，直径为1.4mm，桁架横截面为空心圆管，内 径14mm，外径15.2mm。图3为该索网反射面天线的有限元模型， 图4为其中的纯索网部分，各部分的材料参数见表1。

表1天线结构各部分的材料参数

采用本发明所述方法进行形面精度与张力状态的同时设计时，形 面精度的迭代过程如图5所示，对应的上网面、下网面和竖向牵引索 的最大最小张力比的迭代过程如图6所示。可以看出优化前形面误差 较大，其均方根误差为5.22mm，优化后则降低到0.07mm。优化前索 网上网面有松弛索，且张力的均匀性较差，优化后无松弛索，且均匀 性变好，特别是上网面的最大最小张力比达到了2.3，这一结果非常 理想。这说明此方法可以同时提高形面精度和索网张力的均匀性。

表2列出了优化前、后形面误差、结构应力，索网张力、最大变 形及固有频率的变化情况。结构应力均在许用范围内，固有频率略有 提高，经过观察发现，前五阶振型均为整体振动。

表2优化前后结构的主要指标对比