基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法

摘要

本发明涉及基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法，属于电力系统稳定分析技术领域，该方法包括：根据传统的传递函数表达式及参数计算公式得到传统发电广域阻尼控制方法的控制参数；根据得到的传统发电广域阻尼控制方法的控制参数计算发电机广域阻尼自适应控制方法的控制参数初始值，以得到的伪梯度向量初始值为初始点，利用被控系统实测的输入输出数据在线更新伪梯度向量的估计值；根据在线更新的伪梯度向量的估计值计算发电机广域阻尼自适应控制信号；重复计算直至达到所需计算的发电机广域阻尼控制信号的最大时刻。该方法能够保证发电机广域阻尼控制在系统多种运行状态下的控制效果。

说明书

技术领域

本发明属于电力系统稳定分析技术领域，特别涉及基于无模型自适应控制算法的广域 阻尼控制方法。

背景技术

随着电力系统的快速发展以及区域电网间的不断互联，区域电网间的区间低频振荡问 题日益突出。传统抑制区间低频振荡的方法是在电力系统发电机励磁侧施加电力系统稳定 控制（Power Stability Stabilizer，PSS）。然而，由于PSS所采用的本地反馈信号对区 间振荡模式的可观性不足，PSS对区间低频振荡的抑制效果有限。

广域测量技术的成熟，能够实现对全网广域信号的实时采集，广域信号对区间低频振 荡模式的可观性明显优于本地信号，因此对于抑制区间低频振荡具有极大的潜力。这种利 用广域测量系统测得的广域信号作为PSS反馈信号，抑制区间低频振荡的技术，称为发电 机广域阻尼控制。传统的发电广域阻尼控制方法通常是在电力系统基础运行方式下，生成 随机小幅扰动信号，采集广域阻尼控制的反馈信号；利用随机小幅扰动信号和发电机广域 阻尼控制的反馈信号和扰动信号通过预报误差方法对电力系统离线辨识获得线性模型；利 用线性模型获得的留数的表达式得到在电力系统基础运行方式下的移相角度和增益；利用 移相角度和增益计算出传统发电机广域阻尼控制参数；利用所述控制参数对电力系统的发 电机的区间低频振荡进行控制。

在实际运行中，电力系统的运行方式和结构呈现出时变的特点，传统的发电机广域阻 尼控制由于其参数固定而无法保证其在电力系统的多种运行方式下都能取得较好的控制 效果。目前为解决发电机广域阻尼控制的自适应问题，通常通过对电力系统在线辨识获得 线性模型完成发电机广域阻尼控制。然而，电力系统本身是一个高阶复杂的非线性系统， 而且在发生大的扰动或故障时，电力系统呈现出强非线性，在线辨识得到的电力系统的线 性模型与实际电力系统偏差很大，基于在线辨识得到的电力系统的线性模型的控制方法往 往不能保证其控制效果。

无模型自适应控制算法在20世纪90年代首次被提出，该算法适用于非线性系统，仅 利用系统的输入输出数据即可实现对控制参数的自适应调整，避免了对被控系统建模的过 程，为实现发电机广域阻尼自适应控制方法提供了新的解决思路。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处,提出一种基于无模型自适应控制算法的 发电机广域阻尼控制方法，该方法能够适应电力系统的非线性特性，利用系统的输入输出 数据实现对控制参数的自适应调整，避免了对被控系统建模的过程，能够保证发电机广域 阻尼控制在系统多种运行状态下的控制效果。

本发明提出的基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法，其特征在于， 该方法包括：

1)根据传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式及参数计算公式得到传统发 电广域阻尼控制方法的控制参数；

2)定义被控电力系统的动态线性表达式、控制准则函数表达式和伪梯度向量估计准则 函数表达式；

3）然后根据传统发电机广域阻尼控制方法得到的控制参数计算发电机广域阻尼自适 应控制方法的控制参数初始值，包括伪梯度向量的初始值惩罚因子γ;

4）以步骤3）中得到伪梯度向量初始值为初始点，利用被控系统实测的输入输出 数据在线更新伪梯度向量的估计值

5）最后根据在线更新的伪梯度向量的估计值计算发电机广域阻尼自适应控制信号；

6）将步骤5）中的发电机广域阻尼自适应控制信号作用于被控电力系统的发电机励磁 端，k增加1，重复步骤4）～6）直至达到所需计算的发电机广域阻尼控制信号的最大时刻。

本发明的特点及有益效果：本发明的特点在于，所述方法考虑了电力系统的非线性特 点，能够有效避免对被控电力系统的建模，利用电力系统实测的输入输出数据实现了对发 电机广域阻尼控制参数的自适应调整。本发明所提出的广域阻尼自适应方法，能够使得电 力系统在运行方式和结构发生变化的情况下，仍然能够有效的抑制区间低频振荡，提高电 力系统的稳定性。

附图说明

图1为本发明的基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法实现流程框 图；

图2为本发明的实施例中四机两区被控电力系统示意图；

图3为本实施例的方法与传统方法控制效果比较图。

具体实施方式

本发明提出的基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法，结合附图及实 施例详细说明如下：

本发明方法采用无模型自适应控制算法实现了发电机广域阻尼控制的自适应调整，使 被控电力系统在多种运行方式下阻尼比均能满足要求。

本发明的基于无模型自适应控制算法的发电机广域阻尼控制方法，其特征在于，该方 法包括：

1)根据传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式及参数计算公式得到传统发 电广域阻尼控制方法的控制参数；

2)定义被控电力系统的动态线性表达式、控制准则函数表达式和伪梯度向量估计准则 函数表达式；

3）然后根据传统发电机广域阻尼控制方法得到的控制参数计算发电机广域阻尼自适 应控制方法的控制参数初始值，包括伪梯度向量的初始值惩罚因子γ；

4）进一步以步骤3）中得到伪梯度向量初始值为初始点，利用被控系统实测的输 入输出数据在线更新伪梯度向量的估计值

5）最后根据在线更新的伪梯度向量的估计值计算发电机广域阻尼自适应控制信号；

6）将步骤5）中的发电机广域阻尼自适应控制信号作用于被控电力系统的发电机励磁 端，k增加1，重复步骤4）～6）直至达到所需计算的发电机广域阻尼控制信号的最大时刻。

本发明方法的具体实现流程如图1所示，具体包括以下步骤：

步骤1）根据传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式及参数计算公式得到传 统发电广域阻尼控制方法的控制参数；具体实现方式为：

传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式如式（1）所示：

$K_C\left(s\right)=K_c·{\left(\frac{1+T_{1}s}{1+T_{2}s}\right)}^2---\left(1\right)$

其中T₁为移相环节的超前时间常数，T₂为移相环节的滞后时间常数，K_c为发电机广域 阻尼控制的增益；

参数计算公式如式（2）所示：

其中∠K(jω_d)为传统发电机广域阻尼控制方法得到的控制移相角度，|K_C(jω_d)|为传统发电 机广域阻尼控制方法得到的控制增益，ω_n为区间低频振荡模式的无阻尼自然振荡频率（已 知量）。

步骤2）定义被控电力系统的动态线性表达式、控制准则函数表达式和伪梯度向量估 计准则函数表达式；具体实现方式为：

所述动态线性表达式如式（3）所示：

y(k+1)＝y(k)+φ^T(k)ψ(k)   （3）

其中φ(k)＝[φ₁(k)Lφ_Lu(k)φ_Lu+1(k)Lφ_Lu+Ly(k)]^T为系统的伪梯度向量， ψ(k)＝[Δu(k)LΔu(k-L_u+1)Δy(k)LΔy(k-L_y+1)]^T，u(k)为需要计算的发电机广域阻尼控制信 号，y(k)为区间频差信号，L_u和L_y为电力系统的动态线性表达式的伪阶数，k为控制信号 作用的时刻，k=1,2LT_total1，T_total1是需要计算的广域阻尼控制信号的最大时刻（已知量）；

所述控制准则函数表达式如式（4）所示：

$J_C\left(u\left(k\right)\right)={|y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}^T\left(k\right)\psi \left(k\right)|}^2+\gamma {|u\left(k\right)-u(k-1)|}^2---\left(4\right)$

其中y^*(k+1)为k+1时刻区间频差信号的期望值，γ为u(k)变化量的惩罚因子，其中为伪梯度向量在k时刻的估计值；

所述伪梯度向量估计准则函数表达式如式（5）所示：

$J\left(\hat{\theta }\left(k\right)\right)={|y\left(k\right)-y(k-1)-{\hat{\phi }}^T\left(k\right)\psi \left(k\right)|}^2+{\Lambda }_{\mu }{|\hat{\phi }\left(k\right)-\hat{\phi }(k-1)|}^2---\left(5\right)$

其中Λ_μ为变化量的对角权重矩阵。

步骤3）然后根据传统发电机广域阻尼控制方法得到的控制参数计算发电机广域阻尼 自适应控制方法的控制参数初始值，包括伪梯度向量的初始值惩罚因子γ；具体实 现方式为：

取伪阶数L_u＝3和L_y＝3,通过极小化控制准则函数得到发电机广域阻尼自适应控制方 法的控制律表达式为：

$u\left(k\right)=u(k-1)+\frac{{\rho }_k{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)}{\gamma +{\left|{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)\right|}^2}[y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-1)---\left(6\right)$

$-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-2)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-1)-{\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-2)]$

其中ρ_k为步长序列；

为使区间低频振荡尽快平息，将k+1时刻区间频差信号的期望值y^*(k+1)取为0；

令所述控制律的离散传递函数表达式为：

$K_M\left(z\right)=\frac{{\theta }_e\left(k\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(k\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right))z-{\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)}---\left(7\right)$

$=\frac{{\theta }_e\left(k\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\}}{(z-1)[z^2+({\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)z+{\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)]}$

离散传递函数K_M(z)由三个零点和三个极点组成，其中一个极点为1；

（为使在k=1时刻采用发电机广域阻尼自适应控制方法的控制参数与采用传统广域阻 尼控制方法的控制参数得到的控制效果相同，）将k=1时刻K_M(z)的零极点取值与K_C(s)的 零极点相同；其中k=1时刻K_M(z)的一个零点配置在极点1附近，另外两个零点和两个极 点分别与K_C(s)的零点和极点相同；

假设x₀₁，x₀₂，x₀₃为表达式$[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)=0$的三个 根；x₀₁为在极点1附近的零点，（为减小零点x₀₁和极点1对振荡模式的动态性能影响，） 取该零点到原点的距离为区间低频振荡模式对应的特征根到虚轴距离的1/5，即 其中T_s为采样周期，ξ₀为区间低频振荡模式的阻尼比。x₀₂＝x₀₃与K_C(s)中的 零点相同，即$x_{02}=x_{03}=e^{-\frac{1}{T_1}{T}_s};$

令z＝1，得到$(1-x_{01}){(1-x_{02})}^2=\frac{1}{1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)};$

（由于x₀₁，x₀₂和x₀₃已知，）根据上述等式得到计算的表达式如式（8）所示：

${\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)=\frac{1}{(1-x_{01}){(1-x_{02})}^2}-1---\left(8\right)$

（由于x₀₁逼近1，故(1-x₀₁)取值很小，对应的取值很大，）则K_M(z)化简为：

$K_M\left(z\right)=\frac{{\theta }_e\left(1\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(1\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right))z-{\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)}$

$\approx \frac{{\theta }_e\left(1\right)\{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(1\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right))z-{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)}---\left(9\right)$

$=\frac{{\theta }_e\left(1\right)[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)z^2+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)z+{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}{[z^2+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)z+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}$

根据根与系数的关系式得到如下关系式：

$-\frac{{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)}{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)}=2x_{02}---\left(10\right)$

$\frac{{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)}{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)}={\left(x_{02}\right)}^2---\left(11\right)$

由式（10）、（11）得到计算的表达式如式（12）、（13）所示：

${\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)=-2x_{02}·{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)---\left(12\right)$

${\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)={\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)·{\left(x_{02}\right)}^2---\left(13\right)$

假设极点x_p2、x_p3为的两个根，取x_p2、x_p3与K_C(s)中的极 点相同，即$x_{p2}=x_{p3}=e^{-\frac{1}{T_2}{T}_s};$

根据根与系数的关系式得到如下关系式：

$-\frac{{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)}{2}=x_{p2}---\left(14\right)$

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)={\left(x_{p2}\right)}^2---\left(15\right)$

由式（14）、（15）得到计算的表达式如式（16）、（17）所示：

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)=-2x_{p2}---\left(16\right)$

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)={\left(x_{p2}\right)}^2---\left(17\right)$

令$\left|K_C\left(s\right)\right|{|}_{s=j{\omega }_d}=\left|K_M\left(z\right)\right|{|}_{z=e^{j{\omega }_d{T}_s}},$得到如下等式：

$K_c=\frac{{\theta }_e\left(1\right)[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right){\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}{[1+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}---\left(18\right)$

式（18）中和均已知，得到θ_e(1)的计算表达 式如式（19）所示：

${\theta }_e\left(1\right)=\frac{K_c·[1+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}{[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}---\left(19\right)$

根据式（19）得到的θ_e(1)的取值得到和的取值；

由于其中ρ_k和γ按照经验值选取，ρ_k通常在0.5～1之间取值，γ为 一个大于1的值，根据θ_e(1)的表达式算出的取值。

步骤4）进一步以步骤3）中得到伪梯度向量初始值为初始点，利用被控系统实测 的输入输出数据在线更新伪梯度向量的估计值具体实现方式为：

通过极小化伪梯度向量估计准则函数得到，伪梯度向量φ(k)在k时刻的在线更新计算 表达式：

$\hat{\phi }\left(k\right)=\hat{\phi }(k-1)+$

$[\psi (k-1){\psi }^T(k-1)+\left(\begin{array}{ccccc}{\mu }_1& & & & \\ & O& & & \\ & & {\mu }_{L_u}& & \\ & & & O& \\ & & & & {\mu }_{L_u+L_y}\end{array}\right){]}^{-1}·\psi (k-1)[\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\psi }^T(k-1)\hat{\phi }(k-1)]---\left(20\right)$

其中Λ_μ为对角权重矩阵，${\Lambda }_{\mu }=\left(\begin{array}{ccccc}{\mu }_1& & & & \\ & O& & & \\ & & {\mu }_{L_u}& & \\ & & & O& \\ & & & & {\mu }_{L_u+L_y}\end{array}\right),$用于限制中每个伪梯度向 量元素的变化；

Λ_μ根据经验值选取。

步骤5）最后根据在线更新的伪梯度向量的估计值计算发电机广域阻尼自适应控制信 号；具体实现方式为：

根据步骤4）中k时刻在线更新的伪梯度向量估计值利用发电机广域阻尼自适应 控制方法的控制律计算k时刻发电机广域阻尼自适应控制方法的控制信号：

$u\left(k\right)=u(k-1)+\frac{{\rho }_k{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)}{\gamma +{\left|{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)\right|}^2}[y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-1)---\left(21\right)$

$-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-2)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-1)-{\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-2)]$

步骤6）将步骤5）中的发电机广域阻尼自适应控制信号作用于被控电力系统的发电机 励磁端，k增加1，重复步骤4）～6）直至达到所需计算的发电机广域阻尼控制信号的最大 时刻。

实施例：四机两区系统

以四机两区系统为例来说明上述发电机广域阻尼自适应控制方法的有效性，该系统结 构如图3所示。

该系统中有区域1和区域2两个区域组成，每个区域有两台发电机，两个区域通过区 间联络线3、4相连，区间输送功率为413MW；系统中四台发电机完全相同，额定容量为 900MW，额定电压为20kV。在发电机4的励磁端施加发电机广域自适应阻尼控制，发电 机广域阻尼控制的广域反馈信号为区域2和区域1的母线频差信号。

本实施例对上述四机两区系统的发电机广域阻尼自适应控制方法，包括以下步骤：

步骤1）根据传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式及参数计算公式得到传 统发电广域阻尼控制方法的控制参数；具体实现方式为：

传统发电机广域阻尼控制方法的传递函数表达式如式（1）所示：

$K_C\left(s\right)=K_c·{\left(\frac{1+T_{1}s}{1+T_{2}s}\right)}^2---\left(1\right)$

其中T₁为移相环节的超前时间常数，T₂为移相环节的滞后时间常数，K_c为发电机广域 阻尼控制的增益；

参数计算公式如式（2）所示：

其中∠K(jω_d)为25°，|K_C(jω_d)|为0.1，ω_d为3.672rad/s；

根据式（2）计算得到：

θ_max＝25°/2＝12.5°；

$T_2=\frac{1}{{\omega }_n\sqrt{\alpha }}=\frac{1}{3.672\times \sqrt{1.55}}=0.22;$

T₁＝αT₁＝0.34；

$K_c=\frac{0.1}{\left|\right|{\left(\frac{0.34s+1}{0.22s+1}\right)}^2|{|}_{|s=j3.67}}=0.064;$

步骤2）定义被控电力系统的动态线性表达式、控制准则函数表达式和伪梯度向量估 计准则函数表达式；具体实现方式为：

所述动态线性表达式如式（3）所示：

y(k+1)＝y(k)+φ^T(k)ψ(k)   （3）

其中φ(k)＝[φ₁(k)Lφ_Lu(k)φ_Lu+1(k)Lφ_Lu+Ly(k)]^T为系统的伪梯度向量， ψ(k)＝[Δu(k)LΔu(k-L_u+1)Δy(k)LΔy(k-L_y+1)]^T，u(k)为需要计算的发电机广域阻尼控制信 号，y(k)为区间频差信号，L_u和L_y为电力系统的动态线性表达式的伪阶数，k为控制信号 作用的时刻，k＝1,2LT_total1，T_total1是需要计算的广域阻尼控制信号的最大时刻，T_total1=1000；

所述控制准则函数表达式如式（4）所示：

$J_C\left(u\left(k\right)\right)={|y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}^T\left(k\right)\psi \left(k\right)|}^2+\gamma {|u\left(k\right)-u(k-1)|}^2---\left(4\right)$

其中y^*(k+1)为k+1时刻区间频差信号的期望值，γ为u(k)变化量的惩罚因子，为 伪梯度向量在k时刻的估计值；

所述伪梯度向量估计准则函数表达式如式（5）所示：

$J\left(\hat{\theta }\left(k\right)\right)={|y\left(k\right)-y(k-1)-{\hat{\phi }}^T\left(k\right)\psi \left(k\right)|}^2+{\Lambda }_{\mu }{\left|\hat{\phi }\left(k\right)-\hat{\phi }(k-1)\right|}^2---\left(5\right)$

其中Λ_μ为变化量的对角权重矩阵；

步骤3）然后根据传统发电机广域阻尼控制方法得到的控制参数计算发电机广域阻尼 自适应控制方法的控制参数初始值，包括伪梯度向量的初始值惩罚因子γ；具体实 现方式为：

取伪阶数L_u＝3和L_y＝3,通过极小化控制准则函数得到发电机广域阻尼自适应控制方 法的控制律表达式为：

$u\left(k\right)=u(k-1)+\frac{{\rho }_k{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)}{\gamma +{\left|{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)\right|}^2}[y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-1)---\left(6\right)$

$-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-2)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-1)-{\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-2)]$

其中ρ_k为步长序列；

为使区间低频振荡尽快平息，将k+1时刻区间频差信号的期望值y^*(k+1)取为0；

令所述控制律的离散传递函数表达式为:

$K_M\left(z\right)=\frac{{\theta }_e\left(k\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(k\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right))z-{\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)}---\left(7\right)$

$=\frac{{\theta }_e\left(k\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\}}{(z-1)[z^2+({\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)z+{\theta }_e\left(k\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)]}$

离散传递函数K_M(z)由三个零点和三个极点组成，其中一个极点为1；

（为使在k=1时刻采用发电机广域阻尼自适应控制方法的控制参数与采用传统广域阻 尼控制方法的控制参数得到的控制效果相同，）将k=1时刻K_M(z)的零极点取值与K_C(s)的 零极点相同；其中k=1时刻K_M(z)的一个零点配置在极点1附近，另外两个零点和两个极 点分别与K_C(s)的零点和极点相同；

假设x₀₁，x₀₂，x₀₃为表达式$[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)=0$的三个 根；x₀₁为在极点1附近的零点，（为减小零点x₀₁和极点1对振荡模式的动态性能影响，） 取该零点到原点的距离为区间低频振荡模式对应的特征根到虚轴距离的1/5，即 其中T_s=0.1s，ξ₀=7.576%，ω_d=3.662。x₀₂＝x₀₃与K_C(s)中的零点相同， 即$x_{02}=x_{03}=e^{-\frac{1}{T_1}{T}_s}=e^{-\frac{1}{0.34}\times 0.1}=0.7452;$

令z＝1，得到$\frac{1}{1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)}=(1-x_{01}){(1-x_{02})}^2=(1-0.9945){(1-0.7452)}^2;$

根据上述等式得到计算的表达式如式（8）所示：

${\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)=\frac{1}{(1-x_{01}){(1-x_{02})}^2}-1=2800---\left(8\right)$

由于K_M(z)化简为：

$K_M\left(z\right)=\frac{{\theta }_e\left(1\right)\left\{\right[1+{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(1\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right))z-{\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)}$

$\approx \frac{{\theta }_e\left(1\right)\{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)z^3+[{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)]z^2+[{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)]z-{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)\}}{z^3+({\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)-1)z^2+{\theta }_e\left(1\right)({\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right))z-{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)}---\left(9\right)$

$=\frac{{\theta }_e\left(1\right)[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)z^2+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)z+{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}{[z^2+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)z+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}$

根据根与系数的关系式得到如下关系式：

$-\frac{{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)}{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)}=2\times e^{-\frac{1}{0.34}\times 0.1}---\left(10\right)$

$\frac{{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)}{{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)}={\left(x_{02}\right)}^2=e^{-\frac{1}{0.34}\times 0.1\times 2}=0.555---\left(11\right)$

由式（10）、（11）得到计算的表达式如式（12）、（13）所示：

${\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)=-2x_{02}·{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)=-4173---\left(12\right)$

${\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)={\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)·{\left(x_{02}\right)}^2=1555---\left(13\right)$

假设极点x_p2、x_p3为的两个根，取x_p2、x_p3与K_C(s)中的极 点相同，即$x_{p2}=x_{p3}=e^{-\frac{1}{T_2}{T}_s}=e^{-\frac{1}{0.22}\times 0.1}=0.635;$

根据根与系数的关系式得到如下关系式：

$-\frac{{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)}{2}=x_{p2}---\left(14\right)$

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)={\left(x_{p2}\right)}^2---\left(15\right)$

由式（14）、（15）得到计算的表达式如式（16）、（17）所示：

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)=-2x_{p2}=2\times e^{-\frac{1}{0.22}\times 0.1}=-1.27---\left(16\right)$

${\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)={\left(x_{p2}\right)}^2=e^{-\frac{1}{0.22}\times 0.2}=0.4029---\left(17\right)$

令$\left|K_C\left(s\right)\right|{|}_{s=j{\omega }_d}=\left|K_M\left(z\right)\right|{|}_{z=e^{j{\omega }_d{T}_s},}$得到如下等式：

$\frac{{\theta }_e\left(1\right)[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}{[1+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}=K_c=0.064---\left(18\right)$

式（18）中和均已知，得到θ_e(1)的计算表达 式如式（19）所示：

${\theta }_e\left(1\right)=\frac{K_c·[1+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u2}\left(1\right)+{\theta }_e\left(1\right){\hat{\phi }}_{u3}\left(1\right)]}{[{\hat{\phi }}_{y1}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y2}\left(1\right)+{\hat{\phi }}_{y3}\left(1\right)]}=4.6955\times {10}^{-5}---\left(19\right)$

根据式（19）得到的θ_e(1)的取值计算出

由于按经验值选取ρ_k＝0.7，γ＝10⁶，则根据θ_e(1)的表达式算出φ_u1(k)＝67.3；

步骤4）进一步以步骤3）中得到伪梯度向量初始值为初始点，利用被控系统实测 的输入输出数据在线更新伪梯度向量的估计值具体实现方式为：

通过极小化伪梯度向量估计准则函数得到，伪梯度向量φ(k)在k时刻的在线更新计算 表达式：

$\hat{\phi }\left(k\right)=\hat{\phi }(k-1)+$

$[\psi (k-1){\psi }^T(k-1)+\left(\begin{array}{ccccc}{\mu }_1& & & & \\ & O& & & \\ & & {\mu }_{L_{\mu }}& & \\ & & & O& \\ & & & & {\mu }_{L_u+L_y}\end{array}\right){]}^{-1}·\psi (k-1)[\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\psi }^T(k-1)\hat{\phi }(k-1)]---\left(20\right)$

其中Λ_μ为对角权重矩阵，按经验值取为${\Lambda }_{\mu }=\left(\begin{array}{cccccc}100& & & & & \\ & 1& & & & \\ & & 1& & & \\ & & & 10& & \\ & & & & 10& \\ & & & & & 10\end{array}\right),$用于限制中每 个伪梯度向量元素的变化；

步骤5）最后根据在线更新的伪梯度向量的估计值计算发电机广域阻尼自适应控制信 号；具体实现方式为：

根据步骤4）中k时刻在线更新的伪梯度向量估计值利用发电机广域阻尼自适应 控制方法的控制律计算k时刻发电机广域阻尼自适应控制方法的控制信号：

$u\left(k\right)=u(k-1)+\frac{{\rho }_k{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)}{\gamma +{\left|{\hat{\phi }}_{u1}\left(k\right)\right|}^2}[y^{*}(k+1)-y\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y1}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}\left(k\right)-{\hat{\phi }}_{y2}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-1)---\left(21\right)$

$-{\hat{\phi }}_{y3}\left(k\right)\mathrm{\Delta y}(k-2)-{\hat{\phi }}_{u2}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-1)-{\hat{\phi }}_{u3}\left(k\right)\mathrm{\Delta u}(k-2)]$

步骤6）将步骤5）中的发电机广域阻尼自适应控制信号作用于被控电力系统的发电 机励磁端，k增加1，重复步骤4）～6）直至达到所需计算的发电机广域阻尼控制信号的最 大时刻。

在该四机两区系统中的如下故障下检验上述发电机广域阻尼控制的自适应效果：联络 线3中点在1s时发生三相0.1秒瞬时短路故障，30s时线路发生断线故障，采用传统发电 机广域阻尼控制方法和本发明提出的发电机广域阻尼自适应控制方法的控制效果比较如 图3所示。

从图3中的仿真结果可以看出，三相瞬时短路故障下，由于系统结构不变，两种控制 方法的控制效果效果基本一致，当系统在30s发生断线故障后，系统结构发生变化，本发 明所提出的发电机广域阻尼自适应控制能够进行在线自适应调整，控制效果优于传统发电 机广域阻尼控制。