带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法及其控制方法

摘要

本发明是一种带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法及其控制方法。包括有如下步骤：1）建立系统动力学物理模型；2）对系统进行变形描述；3）建立有利于系统分析的双坐标系；4）受力分析；5）建立系统的动力学方程；6）选取边界约束条件；7）确定控制目标。本发明带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法，在梁末端无状态反馈检测情况下，能够使作快速、频繁点到点运动的柔性梁系统的末端质量体，在目标点处快速定位，为后续控制器的实现提供依据。本发明带末端质量体的柔性梁系统动力学控制方法方便实用。

说明书

技术领域

本发明涉及柔性梁系统动力学建模与控制方法领域，特别涉及 一类带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法及其控制方法。属于 带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法及其控制方法的创新技 术。

背景技术

在机器人、高速进给机构和高速封装设备等工程技术领域中，针 对这类柔性系统动力学的控制，人们往往关心运动机构末端的精确定 位问题，而机构末端却难以安装检测装置以获得其响应。因此，我们 可以提炼出这样一类物理模型：带末端质量体的柔性梁系统，在末端 质量无状态反馈下，作快速、频繁点到点的运动，且要求末端质量在 目标点处高精度定位。这种物理模型的特点：刚性材料的梁单元在一 定高加速度、高速度驱动下，产生弹性变形，导致其末端质量体振动 不稳，影响定位精度，但变形还不至于产生动力刚化。这类模型在许 多领域中有着强烈的工程应用背景，因此建立无状态反馈下带末端质 量的柔性梁系统的动力模型及控制方法的设计是极其重要的，可为梁 末端定位控制及控制器的实现提供可靠依据。

目前，对带末端质量的柔性梁系统的建模方法主要基于两类基本 方法：矢量力学法和分析力学法。应用成熟的是Lagrange方程法、 Newton-Euler方法和Kane方法。通常的建模思路是以整个系统为研 究对象，求出相关运动学量，然后再代入合适的动力学方程，如 Lagrange方程、Jourdain变分原理、Hamilton变分原理、Kane方程等， 再经过一系列非常繁琐复杂的数学推导后获得系统的动力学方程，推 导过程冗长、建模效率不高，不利于动力学的分析以及后续控制算法 的实现，且大部分在建模时考虑许多假设以及近似处理（如有限元法、 假设模态法、奇异摄动法），得到的模型有很大区别不同，和实际系 统的误差大小也不同。从梁末端质量体的定位控制方法的角度上，目 前大部分的研究都是采用经典的梁模型，然后将现有的高级控制算法 （如最优控制、自适应算法、智能控制、变结构控制和预测控制）应 用于模型的仿真研究，且算法中一般都会要求末端质量状态反馈控 制，这与实际物理模型不符，难以满足控制的实时性要求，不易控制 器的具体实现。因此，还是应该从系统实际受力情况出发，采用牛顿 力学法，找到柔性梁末端质量与驱动之间的完整受力关系，明确物理 意义，才能有利于控制器的实现，从而实现这类柔性梁系统从建模到 末端质量体定位控制的整体方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种带末端质量体的柔性梁系统动力学 建模方法。在梁末端无状态反馈检测情况下，采用该模型与控制方法 能够使作快速、频繁点到点运动的柔性梁系统的末端质量体，在目标 点处快速定位，为后续控制器的实现提供依据。

本发明另一目的是提供一种方便实用的带末端质量体的柔性梁 系统动力学控制方法。

本发明的技术方案是：本发明带末端质量体的柔性梁系统动力学 建模方法，包括有如下步骤：

1）建立系统动力学物理模型；

2）对系统进行变形描述；

3）建立有利于系统分析的双坐标系；

4）受力分析；

5）建立系统的动力学方程；

6）选取边界约束条件；

7）确定控制目标。

上述步骤1）建立系统动力学物理模型的具体方法是：弹簧钢材 料的柔性梁，一端固定在滑块上，一端带质量块，滑块沿水平面左右 运动，梁及末端质量体与水平面无接触摩擦，当滑块沿水平方向作高 速点到点的运动时，梁及末端质量体也随之沿水平方向运动，并相对 于滑块产生小范围的位移。

上述步骤2）对系统进行变形描述的具体方法是：在考虑符合系 统运动特点的假设以及近似处理下，采用集中质量法对高速下系统的 变形进行描述。

上述步骤3）建立有利于系统分析的双坐标系的具体方法是：将 柔性梁系统的运动分解为滑块的刚体运动和梁及末端质量体的弹性 变形运动两部分，采用双坐标系来描述两种运动，即刚体运动在惯性 坐标系中表述，而弹性变形运动则在随动坐标系下表述。

上述步骤4）受力分析的具体方法是：以梁末端质量体为研究对 象，采用牛顿力学法，分析高速运动下梁变形对末端质量体受力情况 的影响。

上述步骤5）建立系统的动力学方程的具体方法是：根据受力分 析，采用牛顿第二定律，以末端质量体的绝对位移为输出，以滑块的 位移为输入，建立末端质量体的动力学方程。

上述步骤6）选取边界约束条件的具体方法是：当滑块快速运动 至目标点处停止时，选取能表征梁末端质量体能准确停在平衡点处的 物理量作为边界约束条件，来描述约束的运动限定作用和约束的力学 特性。

上述步骤7）确定控制目标的具体方法是：根据边界约束条件， 确定系统可以量化的控制目标。

本发明带末端质量体的柔性梁系统的动力学控制方法，根据控制 目标，采用逆控制算法推导出基于开环时间序列的控制输入u(t)，使 系统在这样的u(t)控制输入下能在无状态反馈下，满足控制目标。

本发明与现有技术相比，本发明具有如下显著效果：

1）本发明采用结构力学法，从一类高速度/高加速度的柔性运动 机构末端定位控制工程中，提炼出一类带末端质量体的柔性梁系统的 物理模型，梁末端质量体在无状态反馈检测情况下能快速定位。运用 力学分析法对该梁模型进行动力学分析，建立了反应梁末端质量与梁 驱动之间的完整受力关系的动力学方程，再根据系统实际运动特点， 选取了方程中能表征梁末端质量体准确定位的物理量，作为边界约束 条件，然后根据边界约束条件确定了系统可量化的控制目标，最后设 计了一种无状态检测装置的开环时间序列控制输入u(t)来满足控制目 标。

2）一般对带末端质量体的柔性梁系统的研究主要包括：动力学 建模理论以及末端定位控制策略两个方面。没有文献将该系统从动力 学建模、分析，到梁末端定位控制整个流程完成，要么是采用经典的 欧拉-伯努力梁模型、瑞利梁模型或Timoshenko梁模型，进行繁琐 复杂的动力学方程的推导，所得系统动力学方程不能完全反应系统完 整的受力情况；要么是将现有的高级控制算法应用到经典的动力学方 程进行仿真研究，这样的反馈控制与实际系统物理模型不符，不能满 足控制的实时性要求，以及控制器的实现。而本发明是对从动力学建 模到梁末端质量体的定位控制两方面的内容都进行了整体、系统的推 导和研究，为控制器的实现提供可靠的依据。

本发明是一种方便实用的带末端质量体的柔性梁系统动力学建 模方法及其控制方法。

附图说明

图1为本发明带末端质量体柔性梁系统物理模型；

图2本发明双坐标系下柔性梁及末端质量简化模型。

具体实施方式

实施例：

通过下面实施例对本发明作进一步详细阐述。

本发明带末端质量体的柔性梁系统动力学建模方法，包括有如下 步骤：

1）建立系统动力学物理模型；

2）对系统进行变形描述；

3）建立有利于系统分析的双坐标系；

4）受力分析；

5）建立系统的动力学方程；

6）选取边界约束条件；

7）确定控制目标。

（1）系统的变形描述

如图1所示的带末端质量体的刚体-柔性梁平动系统。滑块O可沿 平面左右运动，梁及末端质量体固定在滑块上，梁及末端质量体与水 平面无接触摩擦。当滑块沿水平方向作高速点到点的运动时，梁及末 端质量体也随之沿水平方向运动，并相对于滑块产生小范围的位移。

系统作如下假设：（1）刚性梁变形前垂直于水平线，变形后仍为 直线，且长度不变；（2）除末端外梁上各点应力不计；（3）末端质量 体的运动轨迹与水平线平行；（4）每个点动周期前后，滑块O停止 在水平线上；（5）变形为小量。

（2）建立双坐标系

将柔性梁的运动分解为刚体运动和弹性变形运动两部分，其刚体 运动在惯性坐标系中表述，而弹性变形运动则必须通过引入一随动坐 标系才能有效地进行表述。为了研究本文算例的方便，将使用平动柔 性梁及末端质量体简化模型，建立如图2所示的坐标体系。

其中o₀x₀y₀为惯性坐标系，oxy为随体坐标系（以滑块与梁的连 接点O为原点，滑块运动轨迹为x轴，系统静止时梁所在位置为y轴）， 假设随体坐标系oxy的原点O在惯性坐标系o₀x₀y₀中的坐标为 (x₀,y₀)，则柔性梁的弹性变形及末端质量体的位移可在随体坐标系 oxy中描述。

梁及末端质量体的参数如下：L：梁原长；E：梁材料杨氏模量； I_Z：梁截面惯性矩；θ：小范围运动角位移；m：末端质量体的质量。

（3）系统动力学方程的建立

根据牛顿力学分析，末端质量体在运动过程中受到水平方向上的 惯性力F_O和梁在水平方向上的拉力F_x，如图2所示。取水平向右为正 方向。在坐标系oxy中，根据牛顿第二定律，可得末端质量体的动力 学方程：

F_x-F_O=ma_WO   （1）

其中，a_WO为质量体在oxy坐标系中水平方向上的加速度。

梁对末端质量在水平方向的拉力F_x，即为梁的弯曲应力，根据梁 的扰度公式可知：

$F_x=-\frac{3E{I}_Z}{L^3}{x}_{\mathrm{WO}}---\left(2\right)$

其中，x_WO为末端质量体在oxy坐标系中水平方向上的位移。

末端质量体受到水平方向上的惯性力F_O可表示为：

F_O=ma_OG   （3）

其中，a_OG为末端质量体在o₀x₀y₀坐标系中水平方向上的加速度。

令：

$k=\frac{3E{I}_Z}{L^3},\frac{k}{m}={\delta }^2---\left(4\right)$

将式（2）至式（4）代入到式（1）中，可得末端质量体的动力 学方程为：

${\stackrel{··}{x}}_{\mathrm{WO}}+{\delta }^2{x}_{\mathrm{WO}}=-a_{\mathrm{OG}}---\left(5\right)$

式（5）根据伽利略坐标变换，可得：

${\stackrel{··}{x}}_{\mathrm{WG}}+{\delta }^2{x}_{\mathrm{WG}}={\delta }^2{x}_{\mathrm{OG}}---\left(6\right)$

其中，x_OG和x_WG分别为梁根部O点和末端质量体在o₀x₀y₀坐标系 中水平方向上的位移。

根据式（5），令：x₁=x_WO，u=a_OG，建立梁末端质量体 运动的状态方程如下（以下称为子系统I）：

$\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bu}---\left(7\right)$

其中，x=x(t)=[x₁(t) x₂(t)]^T，$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{\delta }^2& 0\end{array}\right),$$B=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right)$

由于梁根部O点，是连接驱动器和负载的关键点，为后续分析和 控制设计方便，我们作如下变换：令：z₁=x_OG，建立O点运 动的状态方程（以下称为子系统II）：

$\stackrel{·}{z}=\tilde{A}z+\tilde{B}u---\left(8\right)$

其中，z=z(t)=[z₁(t) z₂(t)]^T，$\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$\tilde{B}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

因此，整个带末端质量体的柔性梁系统的运动方程，可分解成两 个子系统：表示梁末端质量体运动的子系统I，以及表示O点运动的 子系统II。

对于我们关注的梁末端质量体运动子系统I，根据能控性判据可 知其是能控的，进一步解得子系统I的特征值为λ=±δi，即为一对纯 虚根，说明子系统I为临界稳定系统，这意味着其状态轨线在控制 u=0时是振荡的，这种情况在实际工程中是经常遇到的，在工程中 一般视为不稳定系统，需要进行控制。

（4）边界约束条件的选取

梁末端质量体在目标点处能准确停在平衡点处的物理表述为：质 量体能在任意时间内相对地面保持静止。这个描述包含三个意义：① 静止；②任意时间内保持；③相对地面。静止，即：“速度”=0； 任意时间内保持，也就是不随时间变化，因此，①和②可表示为“对 时间的导数为0”，即：“加速度”=0。因此，根据“速度”=0和“相 对地面”得出：v_WG=0；根据“加速度”=0和“相对地面”得出：a_WG=0。 从而，可得到能描述梁末端质量体停止在平衡点处的物理量需满足：

v_WG=0   （7）

a_WG=0   （8）

其中，v_WG为末端质量体在o₀x₀y₀坐标系中水平方向上的速度； a_WG为末端质量体在o₀x₀y₀坐标系中水平方向上的加速度。

由于梁末端质量体无信息反馈，可控只有是梁根部O点，即滑块。 因此，为后续控制算法的设计，需找到末端质量体停止在平衡点的约 束条件是与根部O点相关的物理量。

由于质量体与梁相连，质量体停止时梁也必然停止，则梁对末端 质量体的水平拉力F_x=0，那么再根据式（2）、式（5）、式（7）和（8） 可得梁末端质量体在目标点处能准确停在平衡点处的边界条件为：

x_WO=0

v_WO=0   （9）

v_OG=0

其中，v_WO为末端质量体在oxy坐标系中水平方向上的速度；v_OG为 梁根部O点在o₀x₀y₀坐标系中水平方向上的速度。

（5）控制目标的确定

基于控制的设计，我们必须明确系统可以量化的控制目标。根据 子系统I和子系统II的状态方程（7）和（8），边界约束条件（9）可 写为：

x₁(t₀)=0

x₂(t₀)=0   （10）

z₂(t₀)=0

其中，t₀为质量体到达平衡点的时间，即从运动起始点到目标点 的时间。

此外，从系统实际运动过程来看，当梁从一点运动到另一点，其 位移必然为某一定量值，即z₁(t₀)有界。

为设计合适的控制，使系统达到边界约束条件（10）,可以根据 线性控制理论中的状态反馈控制设计方法为子系统I设计渐近稳定控 制器，使这意味着具有振荡特征 的子系统I能够渐近定位在相平面的原点(0 0)^T。从控制实现的角度 看，状态反馈控制器需要配置状态检测装置（传感器或者观测器等） 以获得状态信息,可是，这种要求不符合本发明中模型的物理结构， 即梁末端质量体无状态检测反馈。因此,针对这种情况，需要考虑系 统I的无状态检测装置的开环时间序列控制设计。

因此，系统的控制目标可表述为：

设计开环时间序列控制u=u(t),使系统I与II同时满足以下目 标：

(ii)z₁(t)有界，

（6）基于时间序列的逆控制算法的研究

对u(t)进行周期拖延，周期为T。根据傅里叶级数可知：周期为T 的函数u(t)在[-T/2,T/2]上满足Dirichlet条件（即函数在[-T/2,T/2]上 满足：①连续或者只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点） 那么在[-T/2,T/2]上就可以展开成傅里叶级数，其三角函数形式为：

$u\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}(a_n\cos \mathrm{n\omega t}+b_n\sin \mathrm{n\omega t}),$$(t\in C,C=\{t|u\left(t\right)=\frac{1}{2}[u\left(t^{-}\right)+u\left(t^{+}\right)]\})---\left(11\right)$

其中，

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}u\left(t\right)\mathrm{dt}$

$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}u\left(t\right)\cos \left(\mathrm{n\omega t}\right)\mathrm{dt},(n=\mathrm{0,1,2,3}.....)$

$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}u\left(t\right)\sin \left(\mathrm{n\omega t}\right)\mathrm{dt},(n=\mathrm{0,1,2,3}.....)$

式（11）可写成：

其中：$A_n=\sqrt{a_n+b_n},$

其中称为直流分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相 角而频率成整数倍关系的一些正弦量。项称为一次谐波 或基波，A₁,分别为其振幅和初相角；称为n次谐 波，A_n，分别为n次谐波的振幅和相角。

由于系统是在水平面上作点到点的运动，在每一个点动周期结束 时系统速度必须为0，即：

${\int }_{-T/2}^{T/2}u\left(t\right)\mathrm{dt}=0---\left(13\right)$

因此，$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}u\left(t\right)\mathrm{dt}=0,$代入到式（11），有：

$u\left(t\right)=\underset{n=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}[a_n\cos \left(\mathrm{n\omega t}\right)+b_n\sin \left(\mathrm{n\omega t}\right)],(t\in C)---\left(14\right)$

即，作点到点运动的带末端质量体的柔性梁系统，能是系统在目 标点处定位的控制输入u(t)的数学表达可用式（14）来表示。

定理1：当控制输入函数u(t)为非偶函数时，其基波分量满足条 件：且N₂不为N₁的整数倍时，则系统在时刻满足控制目标。

证明：将式（14）代入到式子系统I和子系统II的状态方程（7） 和（8）中，可得：

$x_1\left(t\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\frac{a_n}{{\delta }^2-n^2{\omega }^2}(\cos \mathrm{n\omega t}-\cos \mathrm{\delta t})+\frac{\mathrm{n\omega }{b}_n}{{\delta }^2-n^2{\omega }^2}(\frac{1}{n^2{\omega }^2}\sin \mathrm{n\omega t}-\frac{1}{\delta }\sin \mathrm{\delta t})]---\left(15\right)$

$x_2\left(t\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\frac{a_n}{\mathrm{n\omega }}\sin \mathrm{n\omega t}-\frac{{\delta }^2{a}_n}{{\delta }^2-n^2{\omega }^2}(\frac{1}{\mathrm{n\omega }}\sin \mathrm{n\omega t}-\frac{1}{\delta }\sin \mathrm{\delta t})+\frac{\mathrm{n\omega }{b}_n}{{\delta }^2-n^2{\omega }^2}(\cos \mathrm{n\omega t}-\cos \mathrm{\delta t})]---\left(16\right)$

$z_2\left(t\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\frac{a_n}{\mathrm{n\omega }}\sin \mathrm{n\omega t}+\frac{b_n}{\mathrm{n\omega }}(1-\frac{1}{n^2{\omega }^2}\cos \mathrm{n\omega t})]---\left(17\right)$

$z_1\left(t\right)=\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[\frac{a_n}{n^2{\omega }^2}(1-\cos \mathrm{n\omega t})+\frac{b_n}{n^2{\omega }^2}(\mathrm{n\omega t}-\sin \mathrm{n\omega t})]---\left(18\right)$

将定理1中：$\frac{\omega }{\delta }=\frac{N_1}{N_2},$N₂不为N₁的整数倍，$t_0=\frac{N_1·2\pi }{\omega }=\frac{N_2·2\pi }{\delta }$代入到式（15）至式（18）可得：

x₁(t₀)=0

x₂(t₀)=0

z₂(t₀)=0   （19）

$z_1\left(t_0\right)=\frac{2\pi N_1}{{\omega }^2}\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}\frac{b_n}{n}$

根据式（19）可知，系统满足控制目标。