运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀矢光顺方法

摘要

本发明运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀矢光顺方法属于复杂曲面五轴数控机床精密高效加工领域，特别涉及复杂曲面五轴数控加工过程中基于机床运动学约束的刀轴矢量光顺方法。运动学约束的刀矢光顺方法在确定加工轨迹曲线上刀轴矢量光顺调整区间、根据走刀步长确定离散点的基础上，建立机床旋转进给轴转角优化数学模型，对离散点对应的机床旋转进给轴转角进行优化，确定相应的刀轴矢量坐标计算方法；然后，计算离散点对应的曲面法矢相对刀轴矢量的旋转角度；最后，对获得的离散加工轨迹法矢转角进行拟合，获得光顺的刀轴矢量函数，保证机床旋转轴运动平滑。本发明实现五轴数控机床旋转轴的运动平滑，应用范围广，有效提高复杂曲面加工质量。

说明书

技术领域

本发明属于复杂曲面五轴数控机床精密高效加工领域，特别涉及复杂曲面五轴数控加工过程中基于机床运动学约束的刀轴矢量光顺方法。 

背景技术

复杂曲面零件五轴数控加工技术一直是工业生产领域研究的热点与难点。与三轴数控机床相比，五轴数控机床增加了两个旋转轴，刀具相对工件实现三维空间内运动，通过调整刀轴矢量方向实现刀具与被加工曲面具有良好的切触状态，保证零件加工质量，提高刀具可达性，有效避免刀具和工件之间的干涉。复杂曲面零件五轴数控加工中，刀轴矢量方向目前根据复杂曲面局部几何信息确定。随着零件曲面面形愈发复杂，基于复杂曲面局部几何信息的刀轴矢量规划存在较大的刀轴矢量变化，同时机床动态特性在可达空间中存在较强的非线性和各向异性，由此导致加工过程中五轴机床旋转轴的速度、加速度变化大，从而引起机床振动，甚至超出机床旋转进给轴的运动极限，直接影响复杂曲面加工质量和效率，极大的限制了机床性能的发挥。上述现象成为影响复杂曲面加工的重要因素之一。复杂曲面五轴数控加工中，刀轴矢量规划不仅要满足刀具和被加工曲面之间具有良好的切触状态，同时要满足机床运动学特性，基于运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量规划方法对于提高曲面加工质量、发挥机床性能具有重要意义。 

文献“基于临界约束的四轴数控加工刀轴优化方法”，王晶等，机械工程学报，2012，48(17)，114-120，在文献中通过计算无干涉的刀轴可行域，以切削行内所有切触点的刀轴可行域为基础，建立了无干涉且相邻刀轴变化最小的刀轴矢量优化模型，实现刀轴矢量的光顺控制，改善了机床运动的连续性，但 四轴数控机床的分析方法不完全适用于五轴数控机床。文献“复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量优化方法研究”，周波等，机械工程学报，2013，49(7)，184-192，在文献中通过在非干涉域内插入限定的加工点位，在干涉域内采用改进的C-Space方法生成光顺刀轴矢量；该方法可高效处理全局与局部干涉，但未考虑加工中机床旋转轴的运动学特性，规划出的刀轴矢量能否满足机床运动学特性有待商榷。 

发明内容

本发明要解决的技术难题是针对现有的技术缺陷，基于复杂曲面局部几何信息的刀轴矢量规划难以同时满足机床运动学特性、影响曲面加工质量的问题，结合微分几何学、机床运动学、数学优化方法，发明了基于运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量光顺方法，有效降低复杂曲面加工过程中旋转进给轴的最大速度和加速度，实现了五轴数控机床加工中的旋转轴运动平滑。 

本发明的技术方案是：首先，确定加工轨迹曲线上刀轴矢量的光顺调整区间，根据走刀步长选择离散点；其次，优化离散点对应的机床旋转进给轴转角，计算相应的刀轴矢量坐标；然后，计算离散点对应的曲面法矢相对刀轴矢量的旋转角度；最后，对获得的离散加工轨迹法矢转角进行拟合，计算光顺的刀轴矢量函数，保证机床旋转轴运动平滑。整体流程图参见附图1，具体步骤如下： 

1)确定刀轴矢量的光顺调整区间。 

运动学约束下复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量光顺的目的是平滑加工过程中机床旋转轴的运动，保证复杂曲面加工过程中的平稳性，以最大限度的发挥机床性能。根据加工过程中机床旋转进给轴运动学特性确定刀轴矢量光顺调整区间。 

①机床旋转进给轴速度和加速度的计算。 

待加工曲面的参数方程为S＝S(u,v)，u和v分别为曲面双向参数，由u＝u(ξ)、v＝v(ξ)确定曲面上的一条曲线r(ξ)＝r(u(ξ),u(ξ))，即刀具轨迹曲线，ξ为刀具轨迹曲线参数。复杂曲面五轴数控加工中旋转进给轴角速度ω及角加速度a为： 

$\left(\begin{array}{c}\omega =\stackrel{·}{\theta }=\frac{\mathrm{d\theta }}{\mathrm{dt}}={\theta }_{\xi }\stackrel{·}{\xi }\\ a=\stackrel{··}{\theta }=\frac{d^2\theta }{{\mathrm{dt}}^2}={\theta }_{\mathrm{\xi \xi }}{\stackrel{··}{\xi }}^2+{\theta }_{\xi }\stackrel{··}{\xi }\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中，θ_ξ和θ_ξξ分别为五轴数控机床旋转轴转角变量θ对加工轨迹曲线参数ξ的一阶、二阶导数，和分别为加工轨迹曲线参数ξ对加工时间t的一阶、二阶导数。 

②刀轴矢量光顺调整区间的确定。 

依据式(1)的计算结果，以降低旋转进给轴的最大ω和a为目的，选定刀轴矢量的光顺调整区间为[ξ_ini,ξ_end]，ξ_ini和ξ_end为刀具加工轨迹曲线r(ξ)的参数ξ值。在区间[ξ_ini,ξ_end]上根据走刀步长取n个点，得到参数ξ的离散点序列S_ξ为： 

S_ξ＝{ξ₁，…，ξ_n}'其中ξ₁＝ξ_ini，ξ_n＝ξ_end     (2) 

2)优化机床旋转进给轴的转角，计算相应的刀轴矢量坐标。 

对于连续的机床旋转进给轴转角变量，复杂曲面加工中速度ω和加速度a表示为转角变量θ关于加工时间t的一阶和二阶导数。对于离散的转角变量θ，首先以速度平滑为目的建立优化目标函数优化旋转轴转角，然后借助刀轴矢量的调整将离散转角变量转换为连续转角变量，由此平滑旋转轴的速度，并兼顾平滑旋转轴的加速度。 

①优化机床旋转进给轴的转角。 

复杂曲面五轴数控加工中刀轴相对于工件的摆动由机床两个旋转轴的转角 决定，刀轴矢量与机床旋转轴转角存在一定的映射关系。刀轴矢量用V＝(i,j,k)表示，i,j,k为单位长度刀轴在局部坐标系内三个坐标轴的投影坐标，局部坐标系原点为刀心点，坐标轴方向与工件坐标系三坐标轴平行。本发明以AC双转台型五轴数控机床为例，A、C旋转进给轴在机床坐标系的转角θ_A、θ_C为： 

$\left(\begin{array}{c}{\theta }_A=\arctan 2(\sqrt{i^2+j^2},k)\\ {\theta }_C=\arctan 2(i,j)\end{array}\right)---\left(3\right)$

式中，arctan2(x,y)为求x/y的四象限反正切值，即满足-π＜arctan2(x,y)≤π。 

初始刀轴矢量中，式(2)中的离散参数点对应的机床A、C旋转进给轴转角序列S_A，S_C记为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_A=\{{\theta }_{A_1},···,{\theta }_{A_n}\}\\ S_C=\{{\theta }_{C_1},···,{\theta }_{C_n}\}\end{array}\right)---\left(4\right)$

对应的加工时间序列S_t记为： 

S_t＝{t₁，…，t_n}＝{t(ξ₁)，…，t(ξ_n)}       (5) 

建立机床旋转进给轴转角优化数学模型： 

$F\left(\theta \right)=\left(\begin{array}{c}\min \Sigma {(\frac{{\theta }_{i+1}-{\theta }_i}{t_{i+1}-t_i}-\frac{{\theta }_i-{\theta }_{i-1}}{t_i-t_{i-1}})}^2,i=2,···,n-1\\ \min \Sigma \frac{{\theta }_{i+1}-{\theta }_i}{t_{i+1}-t_i},i=1,···,n-1\end{array}\right)---\left(6\right)$

$\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\theta }_i\in [{\theta }_{i_{\mathrm{ini}}},{\theta }_{i_{\mathrm{end}}}]\end{array}\right)$

其中，为刀轴矢量无干涉区间在机床旋转进给轴转角范围中的映射区间。 

刀轴矢量调整中，光顺调整区间两端点的刀轴矢量固定，根据式(3)，得 ${\theta }_{A_1}={\theta }_A\left({\xi }_1\right),{\theta }_{A_n}={\theta }_A\left({\xi }_n\right),{\theta }_{C_1}={\theta }_C\left({\xi }_1\right),{\theta }_{C_n}={\theta }_{C_n}={\theta }_C\left({\xi }_n\right).$

给定复杂曲面加工进给速度为V_prog，设t_x,t_y,t_z为曲线r(ξ)上一点的单位切向矢量Tr的三个分量，t为加工时间，由微分学知识，有： 

$\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{prog}}·t_x=\frac{\mathrm{dx}(u\left(\xi \right),v\left(\xi \right))}{\mathrm{dt}}\\ V_{\mathrm{prog}}·t_y=\frac{\mathrm{dy}(u\left(\xi \right),v\left(\xi \right))}{\mathrm{dt}}\\ V_{\mathrm{prog}}·t_z=\frac{\mathrm{dx}(u\left(\xi \right),v\left(\xi \right))}{\mathrm{dt}}\end{array}\right)---\left(7\right)$

由此计算得到式(5)中的离散时间点S_t。 

综上，由式(2)-(6)，可求得优化后的旋转进给轴转角序列为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{A_{\mathrm{opt}}}=\{{\theta }_{A_{\mathrm{opt}1}},···,{\theta }_{A_{\mathrm{optn}}}\}\\ S_{C_{\mathrm{opt}}}=\{{\theta }_{C_{\mathrm{opt}1}},···,{\theta }_{C_{\mathrm{optn}}}\}\end{array}\right)---\left(8\right)$

②计算旋转进给轴转角相应的刀轴矢量坐标。 

由式(3)和(8)，且i²+j²+k²＝1，计算得到优化后的机床旋转进给轴转角对应的刀轴矢量序列为： 

$S_{V_{\mathrm{opt}}}=\{V_{\mathrm{opt}1},···,V_{\mathrm{optn}}\}---\left(9\right)$

3)计算曲面法矢的旋转角度。 

刀具加工轨迹曲线r(ξ)上参数ξ对应点处单位法矢量表示为N_r，单位切矢量表示为T_r，N_r和T_r的叉乘向量表示为K_r。刀轴矢量V＝(i,j,k)可用将向量N_r先绕T_r旋转一个角度再绕K_r旋转一个角度β(β∈[-π,π])得到的新矢量表示，在α、β值域内可确定V在三维空间中的任意位置。由微分几何学知识，有： 

$\left(\begin{array}{c}{N}_r=\frac{S_u(u,v)\times S_v(u,v)}{|S_u(u,v)\times S_v(u,v)|}=(n_x,n_y,n_z)\\ T_r=\frac{r^{\prime }\left(\xi \right)}{\left|r^{\prime }\left(\xi \right)\right|}=(t_x,t_y,t_z)\\ K_r=N_r\times T_r=(k_x,k_y,k_z)\end{array}\right)---\left(10\right)$

M_t和M_k分别为N_r绕矢量T_r和矢量K_r的旋转矩阵，有： 

M_t＝p₁+cos(α)·(I-p₁)+sin(α)·p₂   (11) 

M_k＝q₁+cos(β)·(I-q₁)+sin(β)·q₂   (12) 

其中$p_1=\left(\begin{array}{ccc}{t}_x{t}_x& t_x{t}_y& t_x{t}_z\\ t_y{t}_x& t_y{t}_y& t_y{t}_z\\ t_z{t}_x& t_z{t}_y& t_z{t}_z\end{array}\right),p_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -t_z& t_y\\ t_z& 0& {-t}_x\\ -t_y& t_x& 0\end{array}\right),q_1=\left(\begin{array}{ccc}{k}_x{k}_x& k_x{k}_y& k_x{k}_z\\ k_y{k}_x& k_y{k}_y& k_y{k}_z\\ k_z{k}_x& k_z{k}_y& k_z{k}_z\end{array}\right),$$q_2=\left(\begin{array}{ccc}0& -k_z& k_y\\ k_z& 0& {-k}_x\\ {-k}_y& k_x& 0\end{array}\right).$

由计算几何学知识及式(10)-(12)，三维空间中任意方向的刀轴矢量为： 

$V=N_r·M_t^T·M_k^T---\left(13\right)$

改变α和β角的值，即可调整刀轴在曲线参数ξ处的方向。 

由式(2)和(10)，可得到离散点序列S_ξ对应的单位法矢量序列单位切向量序列及和的叉乘向量序列为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{N_r}=\{N_{r1},···,N_{\mathrm{rn}}\}\\ S_{T_r}=\{T_{r1},···,T_{\mathrm{rn}}\}\\ S_{K_r}=\{K_{r1},···,K_{\mathrm{rn}\}}\end{array}\right)---\left(14\right)$

由式(9)，优化后的机床旋转进给轴转角对应的无干涉刀轴矢量序列 已知，利用几何学知识计算从到的旋转角度序列S_α 和S_β： 

①以T_r、K_r和N_r为坐标轴建立局部坐标系，参见附图2，刀矢V的顶点到向量K_r所在直线的距离d_line、到向量T_r、K_r所在平面的距离d_plane为： 

$\left(\begin{array}{c}{d}_{\mathrm{line}}=\frac{|\overrightarrow{K_{r}V}\times K_r|}{\left|K_r\right|}\\ d_{\mathrm{plane}}=\frac{|N_r·V|}{{|N}_r|}\end{array}\right)---\left(15\right)$

刀矢V与向量K_r的夹角α_base、与K_r、N_r所在平面的夹角β_base为： 

$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{\mathrm{base}}=\arcsin \left(d_{\mathrm{line}}\right)\\ {\beta }_{\mathrm{base}}=\arccos \left(\frac{d_{\mathrm{plane}}}{d_{\mathrm{line}}}\right)\end{array}\right)---\left(16\right)$

②式(11)-(13)中向量绕轴旋转角α、β的正负遵循右手定则，其值域分别为在局部坐标系中，以T_r、K_r、N_r表示空间直角坐标系的x、y、z向，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示坐标系的八个象限，则： 

α角为： 

$\alpha =\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_{\mathrm{base}}-\frac{\pi }{2}& V\in I,\mathrm{II},V,\mathrm{VI}\\ \frac{\pi }{2}-{\alpha }_{\mathrm{base}}& V\in \mathrm{III},\mathrm{IV},\mathrm{VII},\mathrm{VIII}\end{array}\right)---\left(17\right)$

β角为： 

$\beta =\left(\begin{array}{cc}{\beta }_{\mathrm{base}}& V\in I,\mathrm{IV}\\ {-\beta }_{\mathrm{base}}& V\in \mathrm{II},\mathrm{III}\\ \pi -{\beta }_{\mathrm{base}}& V\in V,\mathrm{VIII}\\ {\beta }_{\mathrm{base}}-\pi & V\in \mathrm{VI},\mathrm{VII}\end{array}\right)---\left(18\right)$

③由式(9)，(14)-(18)可求S_α、S_β为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{\alpha }=\{{\alpha }_1,···,{\alpha }_n\}\\ S_{\beta }=\{{\beta }_1,···,{\beta }_n\}\end{array}\right)---\left(19\right)$

4）拟合刀具加工轨迹离散点法矢转角，计算光顺后的刀轴矢量函数。 

以加工轨迹曲线r(ξ)的参数ξ为自变量，以α、β角为因变量，将式(19)中的值分别拟合成多项式函数，得到α(ξ)、β(ξ)为： 

$\left(\begin{array}{c}\alpha \left(\xi \right)={p1}_1{\xi }^n+{p1}_2{\xi }^{n-1}+···{p1}_n\xi +{p1}_{n+1}\\ \beta \left(\xi \right)={p2}_1{\xi }^n+{p2}_2{\xi }^{n-1}+···{p2}_n\xi +{p2}_{n+1}\end{array}\right)---\left(20\right)$

式中，p1₁,…,p1_n、p2₁,…,p2_n是两个多项式函数的系数。将式(20)拟合得到的α(ξ)，β(ξ)函数代入式(13)，得到光顺的刀轴矢量函数V_opt为： 

$\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{opt}}=N_r·M_{\mathrm{optt}}^T·M_{\mathrm{optk}}^T\\ =N_r·[p_1+\cos \left(\alpha \left(\xi \right)\right)·(I-p_1)+\sin \left(\alpha \left(\xi \right)\right)·p_2]·\\ [q_1+\cos \left(\beta \left(\xi \right)\right)·(I-q_1)+\sin \left(\beta \left(\xi \right)\right)·q_2]\end{array}\right)---\left(21\right)$

由式(10)-(12)，N_r及p₁、p₂、q₁、q₂等是加工轨迹曲线r(ξ)参数ξ的函数，由式(20)，α(ξ)、β(ξ)是ξ的多项式函数，I为单位矩阵，所以由式(21)得到的V_opt是参数ξ的函数。最终实现了运动学约束的复杂曲面五轴数控加工刀轴矢量的光顺。 

本发明的有益效果是(1)建立了复杂曲面五轴数控加工中基于机床运动学约束的刀轴矢量光顺方法，解决已有方法难以保证机床旋转进给轴运动平滑的问题；(2)有利于发挥五轴数控机床性能，提高复杂曲面加工质量和效率；(3)兼顾了对刀轴矢量干涉的处理，更具全面性；(4)通用性强，可以推广到任意类型结构的复杂曲面五轴数控加工中。本发明应用于复杂曲面的五轴数控机床精密高效加工中，在对机床旋转进给轴运动学参数计算的基础上，采用数学优化方法，兼顾刀轴矢量几何干涉避免，通过光顺刀轴矢量实现平滑加工过程中旋转 进给轴速度和加速度的目的，对于提高曲面的加工质量和效率、充分发挥五轴数控机床曲面加工性能具有重要意义。 

附图说明

图1—刀轴矢量运动学光顺方法整体流程图 

图2—刀轴矢量在局部坐标系下的方向示意图；V-刀轴矢量，d_line-刀矢V的顶点到向量K_r所在直线的距离，d_plane-刀矢V的顶点到向量T_r、K_r所在平面的距离，α_base-刀矢V与向量K_r的夹角，β_base-刀矢V与K_r、N_r所在平面的夹角 

图3—双曲抛物面加工旋转进给轴角速度计算结果；ω_A-A轴角速度，ω_C-C轴角速度 

图4—双曲抛物面加工旋转进给轴角加速度计算结果；a_A-A轴角加速度，a_C-C轴角加速度 

图5—光顺前后的刀轴矢量对比图；S(u,v)-双曲抛物面参数方程，r(ξ)-加工轨迹曲线 

图6—图5的俯视图 

图7—刀轴矢量光顺后旋转进给轴角速度计算结果；ω_A-A轴角速度，ω_C-C轴角速度 

图8—刀轴矢量光顺后旋转进给轴角加速度计算结果；a_A-A轴角加速度，a_C-C轴角加速度 

具体实施方式

结合附图和技术方案详细说明本发明的具体实施方式。 

针对基于复杂曲面局部几何信息的刀轴矢量规划难以同时满足机床运动学特性、影响曲面加工质量的问题，本发明利用微分几何学中曲面/曲线建模方法及其参数计算方法、机床运动学中坐标系传递模式及坐标转换计算方法，根据 机床旋转轴运动学特性，确定加工轨迹曲线上刀轴矢量光顺调整区间、根据走刀步长确定离散点的基础上，结合优化建模方法，建立机床旋转进给轴转角优化数学模型，对离散点对应的机床旋转轴转角进行优化求解，并获得相应的刀轴矢量坐标，通过计算曲面法矢相对刀轴矢量的旋转角度以及拟合离散加工轨迹法矢转角，最终得到光顺的刀轴矢量函数。光顺后的刀轴矢量使得机床旋转轴平滑运动，保证复杂曲面加工过程的平稳性，提高加工质量。 

采用AC双转台型五轴数控机床，以双曲抛物面为例，详细说明本发明的具体实施过程，借助matlab软件进行计算。 

双曲抛物面参数方程为$S(u,v)=\{u,v,-\frac{u^2}{100}+\frac{v^2}{100}\},u\in [-\mathrm{50,50}],v\in [-\mathrm{50,50}],$通过u＝ξ,v＝-15确定曲面上的一条加工轨迹曲线为， 

$r\left(\xi \right)=\{\xi ,-15,-\frac{{\xi }^2}{100}+\frac{9}{4}\},\xi \in [-\mathrm{50,50}]$

初始刀轴矢量方向与待加工曲面加工点处法线方向一致，即α＝0、β＝0，五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度计算结果参见附图3和附图4。 

1)确定刀轴矢量的光顺调整区间。 

根据式(1)，确定刀轴光顺调整区间为ξ∈[-50,50]，在区间上选取的离散参数点序列为： 

$S_{\xi }=\left(\begin{array}{c}-50.0000,-42.9224,-34.8169,-25.2479,-13.6433,-0.0000,\\ \mathrm{13.6433,25.2479,34.8169,42.9224,50.0000}\end{array}\right)---\left(22\right)$

2)优化机床旋转进给轴转角，计算相应的刀轴矢量坐标。 

由式(22)结果，根据式(6)-(8)可以得到离散参数点相应的、优化后的机床旋转进给轴转角序列为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{A_{\mathrm{opt}}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0.8069,0.8069,0}.\mathrm{8069,0.8069,0.8069,0.8069},\\ 0.8069,\mathrm{0.8069,0.8069,0.8069,0.8069}\end{array}\right)\\ S_{C_{\mathrm{opt}}}=\left(\begin{array}{c}-1.2793,-1.0235,-0.7676,-0.5117,-\mathrm{0.2559,0},\\ 0.255\mathrm{9,0.5117,0.7676,1.0235,1.2793}\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(23\right)$

由式(23)的结果，根据式(3)、(8)、(9)和式i²+j²+k²＝1，可以得到优化后的机床旋转进给轴转角序列相应的刀轴矢量坐标为： 

$S_{V_{\mathrm{opt}}}=\left(\begin{array}{c}(-\mathrm{0.6917,0.2075,0.6917}),(-\mathrm{0.6167,0.3758,0.6917}),\\ (-\mathrm{0.5017,0.5197,0.6717}),(-\mathrm{0.3536,0.6297,0.6917}),\\ (-\mathrm{0.1828,0.6987,0.6917}),\left(\mathrm{0,0.7222,0.6917}\right),\\ \left(\mathrm{0.1828,0.6987,0.6917}\right),\left(\mathrm{0.3536,0.6297,0.6917}\right),\\ \left(\mathrm{0.5015,0.5197,0.6917}\right),\left(\mathrm{0.6167,0.3758,0.6917}\right),\\ (\mathrm{0.6917,0.2075},0.6917)\end{array}\right)---\left(24\right)$

3)计算曲面法矢的旋转角度。 

由式(22)的结果，根据式(10)、本发明选择的双曲抛物面方程S(u,v)及加工轨迹曲线方程r(ξ)，可以计算得到： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{N_r}\left(\begin{array}{c}(-\mathrm{0.6917,0.2075,0.6917}),(-\mathrm{0.6351,0.2220,0.7398}),\\ (-\mathrm{0.5549,0.2391,0.7968}),(-\mathrm{0.4354,0.2587,0.8623}),\\ (-\mathrm{0.2529,0.2780,0.9267}),\left(\mathrm{0.4354,0.2587,0.8623}\right),\\ \left(\mathrm{0.2529,0.2780,0.9267}\right),\left(\mathrm{0.4354,0.2587,0.8623}\right),\\ \left(\mathrm{0.5549,0.2391,0.796}8\right),\left(\mathrm{0.6351,0.2220,0.7398}\right),\\ \left(\mathrm{0.6917,0.2}\mathrm{075,0.6917}\right)\end{array}\right)\\ S_{T_r}\left(\begin{array}{c}\left(\mathrm{0.7071,0,0.7071}\right),\left(\mathrm{0.7588,0,0.6514}\right),\left(\mathrm{0.8206,0,0.5714}\right),\\ \left(\mathrm{0.8926,0,0.4508}\right),\left(0.96\mathrm{47,0,0.2632}\right),\left(\mathrm{1.0000,0,0}\right),\\ (\mathrm{0.9647,0},-0.2632),(\mathrm{0.8926,0},-0.4508),(\mathrm{0.8206,0},-0.5714),\\ (\mathrm{0.7588,0},-0.6514),(\mathrm{0.7071,0},-0.7071)\end{array}\right)\\ S_{K_r}=\left(\begin{array}{c}(\mathrm{0.1467,0}.9782,-0.1467),(\mathrm{0.1446,0.9751},-0.1684),\\ (\mathrm{0.1366,0.9710},-0.1962),(\mathrm{0.1166,0.9660},-0.2309),\\ (\mathrm{0.0732,0.9606},-0.2682),(\mathrm{0,0.9578},-0.2873),\\ (-\mathrm{0.0732,0.9606},-0.2682),(-\mathrm{0.1166,0.9660},-0.2309),\\ (-\mathrm{0.1366,0.9710},-0.1962),(-\mathrm{0.1446,0.9751},-0.1684),\\ (-\mathrm{1.1467,0.9782},-0.1467)\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(25\right)$

由式(24)和(25)结果，根据式(15)-(19)，得到从到的旋转角度序列S_α和S_β为： 

$\left(\begin{array}{c}{S}_{\alpha }=\left(\begin{array}{c}0,-0.1615,-0.3051,-0.4195,-0.4918,-0.5155,\\ -0.4918,-0.4195,-0.3051,-\mathrm{0.1615,0}\end{array}\right)\\ S_{\beta }=\left(\begin{array}{c}0,-0.0176,-0.0171,-\mathrm{0.0043,0.0065,0},\\ -\mathrm{0.0065,0.0043,0.0171,0.0176,0}\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(26\right)$

4)拟合刀具加工轨迹离散点法矢转角，计算光顺后的刀轴矢量函数。 

由式(26)的结果，多项式函数的阶数n取为2，由式(20)，可以得到法矢绕两个旋转轴的转角函数为： 

$\left(\begin{array}{c}\alpha \left(\xi \right)=0.0002\times {\xi }^2-0.5401\\ \beta \left(\xi \right)=0.2143\times \xi \end{array}\right)---\left(27\right)$

将式(27)，由本发明选择的双曲抛物面方程S(u,v)、加工轨迹曲线方程r(ξ)及公式(10)-(12)计算得到的N_r及p₁、p₂、q₁、q₂等代入式(21)，即可得到满足机床旋转运动轴运动学特性的光顺后刀轴矢量函数V_opt。光顺前后刀轴矢量的对比参见附图5和附图6，对刀轴矢量光顺后，五轴数控机床旋转进给轴角速度、角加速度结果参见附图7和附图8，结果表明机床旋转进给轴运动变得平滑，使得机床加工过程中运行更加平稳，可采用更大的进给速度进行加工，提高复杂曲面加工质量及效率。 

本发明针对复杂曲面五轴数控加工中，基于复杂曲面局部几何信息的刀轴矢量规划难以同时满足机床运动学特性、影响曲面加工质量的问题，建立了运动学约束下的刀轴矢量优化模型，提出了相应的刀轴矢量光顺方法，能够有效平滑复杂曲面五轴数控加工中机床旋转进给轴的运动变化，有利于提高复杂曲面加工质量、更好地发挥机床性能。