基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度方法

摘要

本发明公开了一种基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度方法，包括以下步骤：1)获得电力系统中每台发电机组的相关数据；2)建立电力系统环境经济调度问题的数学优化模型；3)基于多目标库恩塔克最优条件，采用多目标λ迭代法求解不考虑输电线路损耗的EED问题，得到帕雷托最优解；4)将每一个帕雷托最优解作为初始解，采用牛顿法求解考虑输电线路损耗的EED问题，得到最优解集；5)采用多目标决策方法在最优解集中确定最终解；6)将最终解作为指令通过自动发电控制装置发送给相关发电厂或机组，通过自动控制调节装置实现对机组发电功率的控制。本发明方法计算量小，计算时间短，收敛精度高，极大地提高了电力系统发电的经济性和效率。

说明书

技术领域

本发明涉及一种电力系统调度方法，尤其是一种基于混合多目标λ迭代法和牛顿 法的电力系统调度方法，属于电力系统的运行、分析和调度领域。

背景技术

经济调度是电力系统的一个重要的基本问题^[1][2][3]，随着近年来环境污染成为一个 全球性问题，作为污染物排放主要来源的电力企业被要求降低污染物排放。以中国为 例，全国SO2和NOx的总排放中，火电机组分别占了42.5％和38.0％。为降低排放， 一种方式是安装脱硫和脱氮装置，另一种方式则是在发电优化调度中选择排放较小的 方案。为此传统的经济调度变成了一个多目标优化问题，即本发明中的环境经济调度 问题[4]，该问题要求同时降低发电成本和污染物排放值。

为了求解该问题，学者们采用了加权法^[5][6][7][8]，加权法的优势在于其方法简单， 但是其权值的设置却并不容易，需要根据经验进行设置，且对于不同问题需设置不同 的权值，即使同一个问题但参数(如系统负荷)不同也需设置不同的权值。此项不足 降低了其在解决实际问题中的实用性。另一种解决该问题的方法是多目标进化算法 ^{[4][9][10][11][12][13][14][15][16][17]}。多目标进化算法的优势在于其可用于求解各种非凸的不连续 的不可导的复杂优化问题，但是这些算法在缺乏问题具体信息的情况下对解空间进行 随机搜索其效率低，计算量大。随着所述问题机组数量增加，其解空间愈加复杂，这 些算法耗费的计算量急剧增加且求解精度不能得到保证。多目标进化算法对于约束条 件的处理大多采用罚函数法，罚函数值对于不同系统不尽相同，需要根据经验进行调 整设置，降低了其在解决实际问题中的实用性。

上述提到的参考文献如下：

[1]Q.H.Wu，and Y.J.Cao.Dispatching.Encyclopedia of Electrical and Electronics  Engineering，John Wiley&Sons Inc.，edited by John G.Webster，1999.

[2]Q.H.Wu，and J.T.Ma.Power system optimal reactive power dispatch using  evolutionary programming[J].IEEE Transactions on Power Systems，1995，10(3)： 1243-1249.

[3]侯云鹤，熊信艮，吴耀武，等.基于广义蚁群算法的电力系统经济负荷分配[J].中 国电机工程学报，2003，23(3)：59-64.

[4]C.X.Guo，J.P.Zhan，and Q.H.Wu.Dynamic economic emission dispatch based on  group search optimizer with multiple producers[J].Electric Power Systems Research，2012， 86：8-16.

[5]A.K.Basu，A.Bhattacharya，S.Chowdhury，and S.P.Chowdhury.Planned  Scheduling for Economic Power Sharing in a CHP-Based Micro-Grid[J].IEEE Transactions  on Power Systems，2012，27(1)：30-38.

[6]L.Bayon，J.Grau，M.Ruiz，and P.Suarez.The exact solution of the  environmental／economic dispatch problem[J].IEEE Transactions on Power Systems，2012， 27(2)：723-731.

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[8]C.Palanichamy and N.S.Babu.Analytical solution for combined economic and  emissions dispatch[J].Electric Power Systems Research，2008，78(7)：1129-1137.

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[10]L.H.Wu，Y.N.Wang，X.F.Yuan，and S.W.Zhou.Environmental／economic  power dispatch problem using multi-objective differential evolution algorithm[J].Electric  Power Systems Research，2010，80(9)：1171-1181.

[11]Q.H.Wu，Z.Lu，M.S.Li，and T.Y.Ji.Optimal placement of facts devices by a  group search optimizer with multiple producer.in Evolutionary Computation.CEC2008. IEEE Congress on，Jun.2008，pp.1033-1039..

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[13]X.Xia and A.M.Elaiw.Optimal dynamic economic dispatch of generation：A  review[J].Electric Power Systems Research，2010，80(8)：975-986.

[14]M.Basu.Dynamic economic emission dispatch using nondominted sorting  genetic algprthim-II[J].Electric Power Energy System，2008，30(2)：140-149.

[15]L.H.Wu，Y.N.Wang，X.F.Yuan，and S.W.Zhou.Environmental／economic  power dispatch problem using multi-objective differential evolution algorithm[J].Electric  Power Systems Research，2010，80(9)：1171-1181.

[16]J.-B.Park，Y.-W.Jeong，J.-R.Shin，and K.Lee.An improved particle swarm  optimization for nonconvex economic dispatch problems[J].IEEE Transactions on Power  Systems，2010，25(1)：156-166.

[17]L.Wang and C.Singh.Balancing risk and cost in fuzzy economic dispatch  including wind power penetration based on particle swarm optimization[J].Electric Power  Systems Research，2008，78(8)：1361-1368.

发明内容

本发明的目的是为了解决上述现有技术需要设置不同目标函数之间的加权值，约 束条件对应的罚函数值对于不同系统不尽相同，需要根据经验进行调整设置，而且求 解精度不能得到保证，所耗费计算时间也较长的缺陷，提供一种适合求解大规模电力 系统问题，可以提高经济效率的基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度方 法。

本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：

基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度方法，其特征在于包括以下步 骤：

1)获得具有多台发电机组的电力系统中每台机组的出力上限与下限数据、出力- 燃料费用函数的系数数据、出力-排放函数的系数数据、输电线路损耗的B系数数据和 系统总负荷数据；

2)根据步骤1)所获得的数据，建立电力系统环境经济调度问题的数学优化模型；

3)根据步骤2)所建立的模型，基于多目标库恩塔克最优条件，采用多目标λ迭 代法(MλI)求解不考虑输电线路损耗的电力系统环境经济调度问题，得到一组帕雷托 最优解；

4)将步骤3)得到的每一个帕雷托最优解作为初始解，采用牛顿法求解考虑输电 线路损耗的电力系统环境经济调度问题，得到最优解集；

5)采用多目标决策方法在步骤4)得到的最优解集中确定最终解；

6)将步骤5)确定的最终解作为指令通过自动发电控制装置发送给相关发电厂或 机组，通过发电厂或机组的自动控制调节装置，实现对机组发电功率的控制。

具体的，步骤1)所述电力系统中机组数量为n_g台，则步骤2)所述电力系统环境 经济调度问题的数学优化模型的建立过程，具体如下：

2.1)机组i的出力-燃料费用函数如下式所示：

$f_{\mathrm{fuel}}\left(x_i\right)=a_i+b_i{x}_i+c_i{x}_i^2---\left(1\right)$

其中，1≤i≤n_g，f_fuel(x_i)为机组i的出力-燃料费用函数，x_i为机组的有功出力，a_i、 b_i和c_i为机组i的出力-燃料费用系数；

2.2)机组i的出力-排放函数如下式所示：

$f_{\mathrm{emi}}\left(x_i\right)={\alpha }_i+{\beta }_i{x}_i+{\gamma }_i{x}_i^2+{\in }_i{e}^{{\xi }_i{x}_i}---\left(2\right)$

其中，f_emi(x_i)为机组i的出力-排放函数，α_i、β_i、γ_i、∈_i和ξ_i为机组i的出力-排 放函数系数；

2.3)机组i的出力上限与下限约束如下式所示：

$x_i^{\min }\le x_i\le x_i^{\max }---\left(3\right)$

其中，和分别为机组i的出力上限与下限；

2.4)考虑输电线路损耗的负荷平衡约束如下式所示：

$\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{x}_i-x_D-x_L=0---\left(4\right)$

其中，x_D为系统总负荷，x_L为输电线路损耗，x_L采用如下式所示的B系数法计 算：

$x_L=\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{x}_i{B}_{\mathrm{ij}}{x}_j+\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{B}_{i0}{x}_i+B_{00}---\left(5\right)$

其中，B_ij、B_i0和B₀₀为输电线路损耗的B系数；

2.5)考虑输电线路损耗的电力系统环境经济调度问题的数学优化模型如下：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{Minimize}:f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\\ f_2\left(x\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{f}_{\mathrm{fuel}}\left(x_i\right)\\ \underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{f}_{\mathrm{emi}}\left(x_i\right)\end{array}\right)\\ s.t.\left(3\right)\left(4\right)\left(5\right)\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，f_fuel(x_i)和f_emi(x_i)分别由式(1)和式(2)表示。

具体的，步骤3)所述采用多目标λ迭代法求解不考虑输电线路损耗的电力系统环 境经济调度问题，得到帕雷托最优解，具体如下：

3.1)给定固定出力机组的一个出力值；

3.2)对于一个很大的λ值，求得每台机组对应的有功出力，计算发电负荷不平衡 量；

3.3)对于一个很小的λ值，求得每台机组对应的有功出力，计算发电负荷不平衡 量；

3.4)若步骤3.2)和步骤3.3)计算的发电负荷不平衡量同号，则不存在潜在帕雷 托最优解，返回步骤3.1)；若步骤3.2)和步骤3.3)计算的发电负荷不平衡量不同号， 则采用二分法修改λ值，直至找到一个λ值，其对应的每台机组有功出力满足负荷平 衡，保存该λ值和每台机组的有功出力，各机组的有功出力即为帕雷托最优解。

具体的，所述发电负荷不平衡量为各机组总发电功率与系统总负荷之间的差值。

具体的，所述每台机组对应的有功出力使每两台机组之间满足等差比微增率法则。

具体的，步骤5)所述多目标决策方法采用逼近于理想值的排序方法，具体如下：

5.1)首先，计算标幺化的加权决策矩阵v_ij：

$v_{\mathrm{ij}}={\omega }_i(f_i^{+}-f_{\mathrm{ij}})/(f_i^{+}-f_i^{-}),i=\mathrm{1,2,3},···,N_{\mathrm{obj}},j=\mathrm{1,2,3},···,J$

其中，$f_i^{-}=\underset{j}{\min }{f}_{\mathrm{ij}},f_i^{+}=\underset{j}{\max }{f}_{\mathrm{ij}},{\omega }_i=\frac{1}{N_{\mathrm{obj}}}\underset{j=i}{\overset{N_{\mathrm{obj}}}{\Sigma }}\frac{1}{j},i=\mathrm{1,2,3},···,N_{\mathrm{obj}},$f_ij为最优解集中 的第j个解的第i个目标函数值，N_obj为多目标优化中目标的个数，J为最优解集中解 的个数；

5.2)分别计算最理想点A⁺和最不理想点A^-：

$A^{-}=\{v_1^{-},v_2^{-},···,v_N^{-}\}$

$A^{-}=\{v_1^{-},v_2^{-},···,v_N^{-}\}$

其中，$v_i^{+}=\underset{j}{\max }{v}_{\mathrm{ij}},v_i^{-}=\underset{j}{\min }{v}_{\mathrm{ij}};$

5.3)分别计算每一个最优解到最理想点的距离D⁺和到最不理想点的距离D^-：

$D_j^{+}=\sqrt{{\Sigma }_{i=1}^N{(v_{\mathrm{ij}}-v_i^{+})}^2}$

$D_j^{-}=\sqrt{{\Sigma }_{i=1}^N{(v_{\mathrm{ij}}-v_i^{-})}^2}$

其中，j=1，2，3，…J；

5.4)计算每个最优解的距离比R_j：

$R_j=D_j^{-}/(D_j^{-}+D_j^{+})$

其中，j=1，2，3，…J；

5.5)将R_j最大的最优解选择为最终的机组检修及出力方案。

本发明相对于现有技术具有如下的有益效果：

1、本发明方法根据多目标库恩塔克条件，求得的解是全局最优解而非近似最优解； 其计算量与机组数量成线性关系，适合求解大规模电力系统问题。

2、本发明方法在适用于大量机组的大规模电力系统问题中，计算量小，计算时间 短，收敛精度高，在含有大量机组的大规模电力系统中其在精度和计算量方面的优势 明显，能极大地提高电力系统发电的经济性和效率。

附图说明

图1为本发明方法的电力系统调度方法流程示意图。

图2为本发明方法与MOPSO算法在6机组EED问题上得到的帕雷托前沿曲线图。

图3为本发明方法与MOPSO算法在14机组EED问题上得到的帕雷托前沿曲线 图。

图4为本发明方法与MOPSO算法在140机组EED问题上得到的帕雷托前沿曲线 图。

具体实施方式

实施例1：

如图1所示，本实施例的基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度方法 包括以下步骤：

1)获得具有n_g台发电机组的电力系统中每台机组的出力上限与下限数据和 出力-燃料费用函数的系数数据a_i，b_i，c_i、出力-排放函数的系数数据 α_i，β_i，γ_i，∈_i，ξ_i、输电线路损耗的B系数数据B_ij，B_i0，B₀₀和系统总负荷数据x_D；

2)根据步骤1)所获得的数据，建立电力系统环境经济调度问题的数学优化模型 即EED模型(以下表述将环境经济调度问题和环境经济调度模型分别写作EED问题 和EED模型)，具体如下：

2.1)机组i的出力-燃料费用函数如下式的二次多项式所示：

$f_{\mathrm{fuel}}\left(x_i\right)=a_i+b_i{x}_i+c_i{x}_i^2---\left(1\right)$

其中，1≤i≤n_g，f_fuel(x_i)为机组i的出力-燃料费用函数，x_i为机组的有功出力，a_i、 b_i和c_i为机组i的出力-燃料费用系数；

2.2)机组i的出力-排放函数如下式的二次多项式与指数幂之和所示：

$f_{\mathrm{emi}}\left(x_i\right){=\alpha }_i+{\beta }_i{x}_i+{\gamma }_i{x}_i^2+{\in }_i{e}^{{\xi }_i{x}_i}---\left(2\right)$

其中，f_emi(x_i)为机组i的出力-排放函数，α_i、β_i、γ_i、∈_i和ξ_i为机组i的出力-排 放函数系数；

2.3)机组i的出力上限与下限约束如下式所示：

$x_i^{\min }\le x_i\le x_i^{\max }---\left(3\right)$

其中，和分别为机组i的出力上限与下限；

2.4)考虑输电线路损耗的负荷平衡约束如下式所示：

$\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{x}_i-x_D-x_L=0---\left(4\right)$

其中，x_D为系统总负荷，x_L为输电线路损耗，x_L采用如下式所示的B系数法计 算：

$x_L=\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}\underset{j=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{x}_i{B}_{\mathrm{ij}}{x}_j+\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{B}_{i0}{x}_i+B_{00}---\left(5\right)$

其中，B_ij、B_i0和B₀₀为输电线路损耗的B系数；

2.5)考虑输电线路损耗的EED模型如下：

$\left(\begin{array}{c}\mathrm{Minimize}:f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1\left(x\right)\\ f_2\left(x\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{f}_{\mathrm{fuel}}\left(x_i\right)\\ \underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{f}_{\mathrm{emi}}\left(x_i\right)\end{array}\right)\\ s.t.\left(3\right)\left(4\right)\left(5\right)\end{array}\right)---\left(6\right)$

其中，f_fuel（x_i)和f_emi（x_i)分别由式(1)和式(2)表示；

3)根据步骤2)所建立的EED模型，基于多目标库恩塔克最优条件，采用多目标 λ迭代法(MλI)求解不考虑输电线路损耗的EED问题，得到帕雷托最优解，具体如 下：

3.1)给定固定出力机组的一个出力值；

3.2)对于一个很大的λ值(设该值为-0.00001)，求得每台机组对应的有功出力， 计算发电负荷不平衡量；

3.3)对于一个很小的λ值(设该值为-6000)，求得每台机组对应的有功出力，计 算发电负荷不平衡量；

3.4)若步骤3.2)和步骤3.3)计算的发电负荷不平衡量同号，则不存在潜在帕雷 托最优解，返回步骤3.1)；若步骤3.2)和步骤3.3)计算的发电负荷不平衡量不同号， 则采用二分法修改λ值，直至找到一个λ值，其对应的每台机组有功出力满足负荷平 衡，保存该λ值和每台机组的有功出力，各机组的有功出力即为帕雷托最优解。

对于一个含有等式和不等式约束的多目标优化模型可表示为式(7)：

Minimize：f(x)

s.t.g(x)≤0                    (7)

h(x)＝0

若为式(7)的一个帕雷托最优解，则存在一组(λ，u，v)满足式(8)：

$\left(\begin{array}{c}▿f\left(\bar{x}\right)\lambda +▿g\left(\bar{x}\right)u+▿h\left(\bar{x}\right)v=0\\ \left[u\right]g\left(\bar{x}\right)=0\\ \lambda \ge 0,\lambda \ne 0,u\ge 0\end{array}\right)---\left(8\right)$

其中若，则u_i＝0，其中集合而λ≥0，λ≠0表示λ里面每个 元素大于等于0，但不能每个元素同时等于0；

EED模型对应的f，g和h可以表示成式(9)：

$f_1\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}(a_i+b_i{x}_i+c_i{x}_i^2)$

$f_2\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}({\alpha }_i+{\beta }_i{x}_i+{\gamma }_i{x}_i^2+{\in }_i{e}^{{\xi }_i{x}_i})$

$g_i\left(x\right)={-x}_i+x_i^{\min }\le 0,i\in I_0---\left(9\right)$

$g_{(i+n_g)}\left(x\right)=x_i-x_i^{\max }\le 0,i\in I_0$

$h\left(x\right)=\underset{i=1}{\overset{n_g}{\Sigma }}{x}_i-x_D-x_L=0$

其中，I₀＝{1，2，…，n_g}；

根据多目标库恩塔克条件，若是一个帕雷托最优解，则：

$\left(\begin{array}{c}▿f\left(\bar{x}\right)\lambda +▿g\left(\bar{x}\right)u+▿h\left(\bar{x}\right)v=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_1}+\underset{i=1}{\overset{{2n}_g}{\Sigma }}{u}_i\frac{\partial g_i}{\partial x_i}+v\frac{\partial h}{\partial x_1}\\ {\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_2}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+\underset{i=1}{\overset{{2n}_g}{\Sigma }}{u}_i\frac{\partial g_i}{\partial x_2}+v\frac{\partial h}{\partial x_2}\\ .\\ .\\ .\\ {\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_{n_g}}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_{n_g}}+\underset{i=1}{\overset{{2n}_g}{\Sigma }}{u}_i\frac{\partial g_i}{\partial x_{n_g}}+v\frac{\partial h}{\partial x_{n_g}}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_1}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_1}+u_1\frac{\partial g_1}{\partial x_1}+u_{(1+n_g)}\frac{\partial g_{(1+n_g)}}{\partial x_1}+v\frac{\partial h}{\partial x_1}\\ {\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_2}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_2}+u_2\frac{\partial g_2}{\partial x_2}+u_{(2+n_g)}\frac{\partial g_{(2+n_g)}}{\partial x_2}+v\frac{\partial h}{\partial x_2}\\ .\\ .\\ .\\ {\lambda }_1\frac{\partial f_1}{\partial x_{n_g}}+{\lambda }_2\frac{\partial f_2}{\partial x_{n_g}}+u_{n_g}\frac{\partial g_{n_g}}{\partial x_{n_g}}+u_{\left({2n}_g\right)}\frac{\partial g_{\left(2n_g\right)}}{\partial x_{n_g}}+v\frac{\partial h}{\partial x_{n_g}}\end{array}\right)=0\end{array}\right)---\left(10\right)$

其中，λ≥0，λ≠0，u≥0；

式(10)可分成式(11)～(13)三种情况进行讨论：

若λ₁＝0且λ₂＞0，则：

$\frac{{\partial f}_2}{\partial x_1}=\frac{{\partial f}_2}{\partial x_i}+\frac{B_1{u}_1-B_2{u}_i}{{\lambda }_2}=-\frac{v}{{\lambda }_2}---\left(11\right)$

若λ₂＝0且λ₁＞0，则：

$\frac{{\partial f}_1}{\partial x_1}=\frac{{\partial f}_1}{\partial x_i}+\frac{B_1{u}_1-B_2{u}_i}{{\lambda }_1}=-\frac{v}{{\lambda }_1}---\left(12\right)$

若λ₂＝0且λ₁＞0，则：

$\left(\begin{array}{c}\frac{\frac{{\partial f}_1}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_i}}{\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{\partial x_i}}=\frac{B_1{u}_1-B_2{u}_i}{{\lambda }_1(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{\partial x_i})}-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1},\forall i\notin I_1\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_1}=\frac{\partial f_1}{\partial x_i}+\frac{B_1{u}_1-B_2{u}_i}{{\lambda }_1},\forall i\in I_1\end{array}\right)---\left(13\right)$

其中，$I_1=\{i:\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{\partial x_i}=0,i\ne 1\};$

根据x₁和x_i是否位于其出力上限与下限边界，式(11)～(13)可分为4种情况：

a、若$x_i\ne x_i^{\min }$且$x_i\ne x_i^{\max },$$\forall i\in I_0,$则B₁＝0，B₂＝0；

b、若($x_1\ne x_1^{\min }$目$x_1\ne x_1^{\max }$)且($x_i=x_i^{\min }$或$x_i=x_i^{\max },i\ne 1$)，则B₁＝0，B₂＝1；

c、若$x_1=x_1^{\min }$且$x_i=x_i^{\min },$则B₁＝1，B₂＝1；

d、若$x_1=x_1^{\min }$且$x_i\ne x_i^{\min },$则B₁＝1，B₂＝0；

式(10)即式(11)～(13)的求解可分成两步：

在第一步中求解式(11)和(12)：

式(11)的求解：可以简单地采用λ迭代法，给定一个初始λ值并确 定满足式(11)的每台机组的出力。若则增加λ₀的值，若则减少λ₀的值，直至式(11)和同时得到满足，此时求得的解为使目标 函数f₂(x)最小化的解，根据式(11)和的单调递增特性，若对于一个给定的λ₀，有 ${\lambda }_0<\frac{\partial f_2}{\partial x_i^{\min }},$则令$x_i=x_i^{\min },$若对于一个给定的λ₀，有${\lambda }_0>\frac{\partial f_2}{\partial x_i^{\max }},$则令$x_i=x_i^{\max }.$

式(12)的求解：可以简单地采用λ迭代法，给定一个初始λ值并确 定满足式(12)的每台机组的出力。若则增加λ₀的值，若则减少λ₀的值，直至式(12)和同时得到满足，此时求得的解为使目标 函数f₁(x)最小化的解，根据式(12)和的单调递增特性，若对于一个给定的λ₀，有 ${\lambda }_0<\frac{\partial f_1}{\partial x_i^{\min }},$则令$x_i=x_i^{\min },$若对于一个给定的λ₀，有${\lambda }_0>\frac{\partial f_1}{\partial x_i^{\max }},$则令$x_i=x_i^{\max }.$

在第二步中求解式(13)：求解不考虑输电线路损耗的EED问题的程序伪码如下 表1和表2所示(表1中λ_l设为-0.00001，λ_s设为-6000)，表2为表1中的一个子程序 伪码表。

表1多目标λ迭代法程序伪码表

表2根据λ得到机组出力程序伪码表

表2中有两点需进行说明：一是如何判断和是否满足式(13)，先判断以上述b类为例进行说明，即B₁＝0，B₂＝1，若且则式(13) 中第二行满足；若$(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{{\partial x}_i^{\min }}<0),$且$(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_i})/(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{\partial x_i})<\lambda ,$则式(13)中的 第一行满足；若$(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{{\partial x}_i^{\min }}<0),$且$(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_i})/(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_2}{\partial x_i})>\lambda ,$则式(13)中的第 一行满足；同理，可以类似地判断是否满足式(13)。

二是如何通过式(13)来确定x_i的值。通常有两种方法，一种是直接求解；另一 种是通过查表得到，对于一个固定的x₁值，将每一个x_i对应的的 值预先存于一张表中，在MλI的求解过程中，直接查表得到x_i值。由于查表法简单快 速，在本实施例的计算过程中采用查表法。

4)在步骤(3)中，由于输电线路损耗未被考虑，所以在本步骤中将步骤3)得到 的每一个帕雷托最优解作为初始解，采用牛顿法求解考虑输电线路损耗的EED问题， 得到最优解集，具体如下：

采用泰勒展开，可将式(8)表示为式(14)：

$\left(\begin{array}{c}▿f\left(\bar{x}\right)\lambda +{▿}^{2}f\left(\bar{x}\right)\mathrm{\lambda \Delta x}+▿f\left(\bar{x}\right)\mathrm{\Delta \lambda }\\ +▿g\left(\bar{x}\right)u+{▿}^{2}g\left(\bar{x}\right)\mathrm{\mu \Delta x}+▿g\left(\bar{x}\right)\mathrm{\Delta \mu }\\ +▿h\left(\bar{x}\right)v+{▿}^{2}h\left(\bar{x}\right)\mathrm{v\Delta x}+▿h\left(\bar{x}\right)\mathrm{\Delta v}=0\\ -\left[\mu \right]g\left(\bar{x}\right)-\left[\mu \right]▿g{\left(\bar{x}\right)}^T\mathrm{\Delta x}-\left[g\left(\bar{x}\right)\right]\mathrm{\Delta \mu }=0\\ h\left(\bar{x}\right)+▿h{\left(\bar{x}\right)}^T\mathrm{\Delta x}=0\end{array}\right)---\left(14\right)$

式(14)可写成式(15)的紧凑形式：

A×Δy＝b           (15)

其中

Δy＝[Δx Δλ Δμ Δv]^T          (16)

$A=\left(\begin{array}{cccc}M& ▿f\left(\bar{x}\right)& ▿g\left(\bar{x}\right)& ▿h\left(\bar{x}\right)\\ -\left[\mu \right]▿g{\left(\bar{x}\right)}^T& 0& -\left[g\left(\bar{x}\right)\right]& 0\\ ▿h{\left(\bar{x}\right)}^T& 0& 0& 0\end{array}\right)---\left(17\right)$

$b=\left(\begin{array}{c}-r_{\mathrm{dual}}\\ -r_{\mathrm{cent}}\\ -h\left(\bar{x}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-▿f\left(\bar{x}\right)\lambda -▿g\left(\bar{x}\right)u-▿h\left(\bar{x}\right)v\\ \left[\mu \right]g\left(\bar{x}\right)\\ -h\left(\bar{x}\right)\end{array}\right)---\left(18\right)$

在式(17)中：

$M={▿}^{2}f\left(\bar{x}\right)\lambda +{▿}^{2}g\left(\bar{x}\right)\mu +{▿}^{2}h\left(\bar{x}\right)v---\left(19\right)$

采用牛顿法求解考虑输电线路损耗的EED问题的程序伪码列于下表3中。

表3采用牛顿法求解EED问题的程序伪码表

5)采用多目标决策方法在步骤4)得到的最优解集中确定最终解；所述多目标决 策采用逼近于理想值的排序方法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal  Solution，TOPSIS)。TOPSIS包括以下步骤：

5.1)首先，计算标幺化的加权决策矩阵v_ij：

$v_{\mathrm{ij}}={\omega }_i(f_i^{+}-f_{\mathrm{ij}})/(f_i^{+}-f_i^{-}),i=\mathrm{1,2,3},...,N_{\mathrm{obj}},j=\mathrm{1,2,3},...,J---\left(20\right)$

其中，$f_i^{-}=\underset{j}{\min }{f}_{\mathrm{ij}},f_i^{+}=\underset{j}{\max }{f}_{\mathrm{ij}},{\omega }_i=\frac{1}{N_{\mathrm{obj}}}\underset{j=i}{\overset{N_{\mathrm{obj}}}{\Sigma }}\frac{1}{j},i=\mathrm{1,2,3},...,N_{\mathrm{obj}},$f_ij为最优解集中 的第j个解的第i个目标函数值，N_obj为多目标优化中目标的个数，J为最优解集中解 的个数；

5.2)分别计算最理想点A⁺和最不理想点A^-：

$A^{-}=\{v_1^{-},v_2^{-},...,v_N^{-}\}$

$A^{-}=\{v_1^{-},v_2^{-},...,v_N^{-}\}$

其中，$v_i^{+}=\underset{j}{\max }{v}_{\mathrm{ij}},v_i^{-}=\underset{j}{\min }{v}_{\mathrm{ij}};$

5.3)分别计算每一个最优解到最理想点的距离D⁺和到最不理想点的距离D^-：

$D_j^{+}=\sqrt{{\Sigma }_{i=1}^N{(v_{\mathrm{ij}}-v_i^{+})}^2}$

$D_j^{-}=\sqrt{{\Sigma }_{i=1}^N{(v_{\mathrm{ij}}-v_i^{-})}^2}$

其中，j＝1，2，3，…J；

5.4)计算每个最优解的距离比R_j：

$R_j=D_j^{-}/(D_j^{-}+D_j^{+})$

其中，j＝1，2，3，…J；

5.5)将R_j最大的最优解选择为最终的机组检修及出力方案；

6)将步骤5)确定的最终解作为指令通过自动发电控制装置发送给相关发电厂或 机组，通过发电厂或机组的自动控制调节装置，实现对机组发电功率的控制。

实施例2：

为验证本发明上述实施例1的基于混合多目标λ迭代法和牛顿法的电力系统调度 方法的有效性，本实施例分别以一个6机组，一个14机组和一个140机组的系统为例， 所述三个系统的数据可分别从上述背景技术中的文献[15]和[16]中获得，其中6机组系 统的总负荷为283.4MW，14机组系统的总负荷为950MW，140机组的总负荷为 49342MW。

为了进行比较，同时采用MOPSO算法求解所述EED问题。MOPSO中种群个数 和最大迭代次数设置如表4所示。用MOPSO求解所述EED问题时，采用罚函数法以 处理约束条件，即将式(4)所示的等式约束的不平衡量的绝对值乘以罚系数加到对应 的目标函数中，所采用的罚系数也列于下表4中。

系统 种群个数 最大迭代次数 f₁对应的罚系数 f₂对应的罚系数 6机组 50 100 5000 3 14机组 400 400 2000 4 140机组 800 600 20000 40

表4MOPSO算法在3个系统中的参数和罚系数设置值

图2表示了本发明实施例1的方法求解所述6机组得到的解，同时也表示了采用 MOPSO算法求解所述问题得到的结果，图3表示了本发明实施例1的方法求解所述 14机组系统得到的解，同时也表示了采用MOPSO算法求解所述问题得到的结果。

可以看到，与采用MOPSO算法得到的结果，采用扩展λ迭代求解方法能够得到 同时具有更小发电费用值和更小输电线路损耗值的解，表明了收敛精度高。

为了验证本发明实施例1的方法在求解大规模电力系统中有效性，还用于求解一 个含有140机组的电力系统中的EED问题，同时也列出了采用MOPSO算法求解所述 问题得到的结果，如图4所示。

本发明实施例1的方法在一台处理器为Core^TMi7-2600CPU3.40GHz的个人 计算机上实现，其求解6机组系统、14机组系统以及140机组系统的结果，得到的Δ 指标和所花费的时间列于下表5中，同时在表5中列出CλIN和MOPSO求解得到的Δ 指标和所花费的时间(注：在求解6机组和14机组系统时考虑了输电线路损耗，但在 求解140机组系统时由于缺乏数据并未考虑输电线路损耗，表5、图2、图3、图4中 MλI和CλIN的区别：MλI表示的是多目标λ迭代法，即仅含步骤3而未含步骤4；CλIN 表示的是混合多目标λ迭代法和牛顿法，即同时包含了步骤3和步骤4)。

综上所述，本发明提供了一种简单高效的电力系统多目标调度方法，其计算量小， 计算时间短，收敛精度高，在含有大量机组的大规模电力系统中其在精度和计算量方 面的优势明显，极大地提高了电力系统发电的经济性和效率。

表5三种不同方法在3个系统中求解EED问题得到的结果的Δ指标和所花费的时间

以上所述，仅为本发明专利优选的实施例，但本发明专利的保护范围并不局限于 此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明专利所公开的范围内，根据本发明专利 的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都属于本发明专利的保护范围。