基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法

摘要

基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法，涉及一种锂离子电池循环寿命预测方法，本发明在线测量待测锂电池的容量数据，保存数据并对所述数据进行预处理；基于EKF方法确定在线锂离子电池经验退化模型的参数；利用预处理后的数据采用融合自回归系数求取方法确定在线电池的AR模型；与待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试，对待预测的锂离子电池与待测锂离子电池同型号的电池的容量退化模型进行关联性分析，将每一个充放电循环的电池容量数据与待测锂离子电池的失效阈值比较获取RUL,完成锂离子电池循环寿命预测。本发明适用于电池寿命预测。

说明书

技术领域

本发明涉及一种锂离子电池循环寿命预测方法，具体涉及一种基于循环寿命阶段参数的ND-AR模型和EKF方法融合的锂离子电池循环寿命预测方法。 

背景技术

目前针对锂离子电池剩余寿命（Remaining Useful Life，RUL）预测的方法大致分为基于物理模型（Model-based Prognostics）和基于数据驱动（Data-Driven）方法，对于失效机理复杂、模型难以建立的电子待测锂电池，大部分研究集中于基于数据驱动的方法。数据驱动方法中包含一类基于统计滤波的统计数据驱动方法如粒子滤波（Particle Filter，PF），卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）和扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF），通过建立待测锂电池状态转移方程实现预测与更新，充分考虑待测锂电池内部状态转移特性，但是某一退化模型对不同类型电池及不同工作状态缺乏良好适应性；另一类是基于纯数据驱动的方法如自回归滑动平均（Autoregressive Moving average，ARMA）模型，着眼分析数据本身特征而未考虑数据所属于的待测锂电池的特性。目前，将统计滤波方法与纯数据驱动方法进行融合的混合预测框架不断被提出与改善，将二者的优点进行结合以弥补各自独立应用时出现的缺陷，但是目前的解决线性AR模型无法直接对随时间呈现非线性退化特征的电池剩余寿命预测的准确性差的问题。 

发明内容

本发明的目的是为了解决线性AR模型直接对随时间呈现非线性退化特征的电池剩余寿命预测的准确性差及基于模型方法对不同电池和不同工作条件适应能力差的问题，提出了基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法。 

本发明所述基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法，该方法的具体步骤为： 

步骤一：在线测量待测锂电池的容量数据，保存数据并对所述数据进行预处理； 

步骤二：基于EKF方法确定在线锂离子电池经验退化模型的参数； 

根据锂离子电池经验退化模型构成锂离子电池状态空间模型中的状态转移方程，利用预处理后的数据并根据EKF方法及基于预测概率的加权参数计算方法确定所述锂离子电 池的经验退化模型的参数； 

步骤三：利用预处理后的数据采用融合自回归系数求取方法确定在线电池的AR模型； 

步骤四：对n个与待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试，获取与待测电池同型号的电池的真实电池容量测试结果，判断在线条件测试的电池容量数据的个数是否占电池全寿命长度的x%，30≤x≤70，若是，对进行离线状态模拟在线条件测试的n个电池的前x%的容量数据进行AR模型建模，获取n个与待测锂离子电池同型号的电池的AR模型预测容量结果，并利用获取的AR模型预测容量结果与容量测试数据的后1-x%的真实容量数据，获取离线状态模拟在线条件测试电池容量退化非线性特征的非线性退化因子K_T真的实值取值序列K_T,real； 

步骤五、根据公式 

K_T=a·e^b·k+c·e^d·k   (1) 

$K_T=\frac{1}{1+a·(k+d)}---\left(2\right)$

确定非线性因子K_T，式中k是预测步长，a、b、c、d为非线性因子参数估计状态空间模型确定的参数； 

步骤六、基于EKF方法获取非线性退化因子K_T的参数,并建立待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试电池的ND-AR模型； 

其中ND-AR模型通过公式： 

获得；其中，均为p阶AR模型的自回归系数，x_t-1、x_t-2、...x_t-p为t-1、t-2...t-p时刻锂离子电池的容量，a_t为高斯白噪声服从均值为0，方差为W的高斯分布； 

步骤七：利用灰色关联分析方法对待预测的锂离子电池与n个与待测锂离子电池同型号的电池的容量退化模型进行关联性分析，得到与待预测电池容量序列变化趋势之间的关联度r_i，根据关联度r_i利用加权方法确定待预测电池的ND-AR模型中非线性退化因子的参数估计结果及待预测电池的ND-AR模型； 

步骤八、在待预测电池的ND-AR模型的输出结果中叠加观测噪声，获得待预测电池的容量观测值序列； 

步骤九：根据步骤二建立的锂离子电池状态空间模型对待测锂离子电池进行状态估计，利用步骤八确定的待预测电池的容量观测值序列进行待测锂离子电池的状态更新，所述锂离子电池状态空间模型获取每一个充放电循环的电池容量数据，并将获取的每一个充放电循环的电池容量数据与待测锂离子电池的失效阈值比较获取RUL,完成锂离子电池循环寿命预测。 

本发明所利用AR模型进行建模获取相应离线测试电池的AR模型预测容量，通过预测容量与离线测试电池真实容量比对获取AR模型预测容量退化特征与实际电池容量退化特征的比例误差，且利用EKF算法获取表达式中的具体参数，构建包含电池非线性退化特征信息的非线性退化因子K_T，完成基于真实退化信息的各自独立ND-AR模型构建，根据离线测试电池与在线电池的容量退化特征关联度分析获取在线电池的ND-AR模型近似估计结果，并在此基础上结合EKF算最终实现RUL在线预测，解决了线性AR模型直接对随时间呈现非线性退化特征的电池剩余寿命预测的准确性差以及基于模型方法对不同电池样本及不同工作条件适应性差的问题。 

附图说明

图1为基于步长k的形式1的改进混合预测框架NASA PCoE验证曲线示意图；图中曲线1为真实容量退化曲线，曲线2为.基于EKF方法和ND-AR模型融合型锂离子电池RUL预测算法下的容量预测结果，曲线3为真实寿命终止时刻，曲线4为预测寿命终止时刻，曲线5为失效阈值，6为预测起始点； 

图2为基于步长k的形式2的改进混合预测框架NASA PCoE验证曲线示意图；图中曲线a为真实容量退化曲线，曲线b为基于EKF方法和ND-AR模型融合型锂离子电池RUL预测算法下的容量预测结果，曲线c.真实寿命终止时刻，曲线d为预测寿命终止时刻曲线e为失效阈值，f为预测起始点。 

具体实施方式

具体实施方式一、本实施方式所述基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法，该方法的具体步骤为： 

步骤一、在线测量待测锂电池的容量数据，保存数据并对所述数据进行预处理； 

步骤二、基于EKF方法确定在线锂离子电池经验退化模型的参数； 

根据锂离子电池经验退化模型构成锂离子电池状态空间模型中的状态转移方程，利用预处理后的数据并根据EKF方法及基于预测概率的加权参数计算方法确定所述锂离子电池的经验退化模型的参数； 

步骤三、利用预处理后的数据采用融合自回归系数求取方法确定在线电池的AR模型； 

步骤四、对n个与待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试，获取与待测电池同型号的电池的真实电池容量测试结果，判断在线条件测试的电池容量数据的个数是否占电池全寿命长度的x%，30≤x≤70，若是，对进行离线状态模拟在线条件测试的n个电池的前x%的容量数据进行AR模型建模，获取n个与待测锂离子电池同型号的电池的AR模型预测容量结果，并利用获取的AR模型预测容量结果与容量测试数据的后1-x%的真实容量数据，获取离线状态模拟在线条件测试电池容量退化非线性特征的非线性退化因子K_T真的实值取值序列K_T,real； 

步骤五、根据公式 

K_T=a·e^b·k+c·e^d·k   (1) 

$K_T=\frac{1}{1+a·(k+d)}---\left(2\right)$

确定非线性因子K_T，式中k是预测步长，a、b、c、d为非线性因子参数估计状态空间模型确定的参数； 

步骤六、基于EKF方法获取非线性退化因子K_T的参数,并建立待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试电池的ND-AR模型； 

其中ND-AR模型通过公式： 

获得；其中，均为p阶AR模型的自回归系数，x_t-1、x_t-2、...x_t-p为t-1、t-2...t-p时刻锂离子电池的容量，a_t为高斯白噪声服从均值为0，方差为W的高斯分布； 

步骤七、利用灰色关联分析方法对待预测的锂离子电池与n个与待测锂离子电池同型号的电池的容量退化模型进行关联性分析，得到与待预测电池容量序列变化趋势之间的关联度r_i，根据关联度r_i利用加权方法确定待预测电池的ND-AR模型中非线性退化因子的参数估计结果及待预测电池的ND-AR模型； 

步骤八、在待预测电池的ND-AR模型的输出结果中叠加观测噪声，获得待预测电池的容量观测值序列； 

步骤九、根据步骤二建立的锂离子电池状态空间模型对待测锂离子电池进行状态估 计，利用步骤八确定的待预测电池的容量观测值序列进行待测锂离子电池的状态更新，所述锂离子电池状态空间模型获取每一个充放电循环的电池容量数据，并将获取的每一个充放电循环的电池容量数据与待测锂离子电池的失效阈值比较获取RUL,完成锂离子电池循环寿命预测。 

具体实施方式二、本实施方式是对具体实施方式一所述的基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法的进一步说明，步骤一所述的在线测量待测锂电池的容量数据，保存数据并对所述数据进行预处理的方法为对于所述数据中奇异的点进行剔除，对于幅度过大的容量再生现象进行趋势平滑。 

具体实施方式三、本实施方式是对具体实施方式一所述的基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法的进一步说明，步骤三所述的利用预处理后的数据采用融合自回归系数求取方法确定在线电池的AR模型的方法为： 

步骤21、利用预处理后的数据并根据AIC准则求取AR模型 

的模型阶次p； 

步骤22：利用预处理后的数据，分别根据Yule-Wallker方法和Burg方法求取所述AR模型的自回归系数，将求得的两个自回归系数采用动态线性融合的方法输出最终的自回归系数

步骤23、根据步骤E获得的模型阶次p和步骤F获得的最终的自回归系数 确定AR模型。 

具体实施方式四、本实施方式是对具体实施方式一所述的基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法的进一步说明，步骤二所述的基于EKF方法确定在线锂离子电池经验退化模型的参数的方法为： 

步骤31、根据锂离子电池经验退化模型建立所述退化模型参数估计时的状态空间模型： 

$\left(\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ C_{k+1}=a_k{C}_k+b_k{e}^{(-c_k)}+v_k& v_k~N(0,R)\end{array},---\left(5\right)\right)$

其中$\left(\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\end{array}\right)$为状态转移方程，$C_{k+1}=a_k{C}_k+b_k{e}^{(-c_k)}+v_k$ 为观测方程，a_k、b_k和c_k分别为所述经验退化模型中的库伦效率η_C，k、再生容量参数β_1,k和β_2,k的估计值； 

C_k为待测锂电池的容量退化过程中k时刻的放电容量，C_k+1为待测锂电池的容量退化过程中k+1时刻的放电容量，η_c，k为待测锂电池充放电过程中的库伦效率；为待测锂电池在静置休息时间段△t_k内再生的容量大小；w_a、w_b和w_c分别为参数a、b和c所包含的高斯白噪声，Q_a、Q_b和Q_c分别为w_a、w_b和w_c的方差，噪声w_a、w_b和w_c分别符合N(0,Q_a)、N(0,Q_b)和N(0,Q_c)的高斯分布；R为实数；v_k为待测锂电池的观测噪声，v_k服从均值为0，v_k的方差为R的高斯分布； 

步骤32、利用预处理后的数据，采用扩展卡尔曼滤波方法对所述退化模型的参数估计的状态空间模型进行线性化、状态估计以及状态更新，确定所述状态空间模型的当前k时刻的参数a_k、b_k和c_k； 

步骤33、根据所述状态空间模型的当前k时刻的参数a_k、b_k和c_k，求得当前k时刻条件下参数估计值即为参数真值的概率P，根据所述概率P进行加权平均，求得当前k时刻的a_s、b_s、c_s和d_s： 

$m\_s=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}m\left(k\right)·\frac{P\left(k\right)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}P\left(k\right)}$m=a,b,c或d               (6) 

其中，N即为参数估计序列的长度，P(k)为估计获取的参数即为真实参数的概率； 

其中，N为在线测量待测锂电池的容量数据的长度；m(k)为第k个放电循环所对应的参数a_k、b_k或c_k，P(k)为对第k个放电循环的参数a_k、b_k、c_k或d_k进行估计的结果为状态空间模型的当前k时刻的参数真实值的概率； 

步骤34、：将获得的a_s、b_s和c_s作为锂离子电池状态空间模型的参数； 

所述锂离子电池状态空间模型： 

$\left(\begin{array}{cc}{C}_{k+1}=a\_s·C_k+b\_s·e^{(-c\_s)}+w_k& w_k~N(0,Q)\\ y_k=C_k+v_k& v_k~N(0,R)\end{array}\right)---\left(7\right)$

其中，w_k为待测锂电池的过程噪声，服从均值为0，方差为Q的高斯分布，Q为有理数。 

具体实施方式五、本实施方式是对具体实施方式一所述的基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法，的进一步说明，步骤六所述的基于EKF方法获取非线性退化因子K_T的参数并建立离线测试电池的精确ND-AR模型的方法为： 

步骤61、对n个与待测锂离子电池同型号的电池进行离线状态模拟在线条件充放电测试获取真实的容量测试数据数据预处理，将预处理后的数据分为建模数据和非线性退化因子参数拟合数据C，利用AR模型与建模数据进行容量预测，获取容量预测序列A； 

步骤62、利用非线性退化因子参数拟合时使用的数据C计算非线性退化因子K_T的实际值K_T,real；K_T,real通过公式 

$K_{T,\mathrm{real}}=\frac{C}{A}---\left(8\right)$

计算获得； 

步骤63、利用EKF方法对K_T,real进行状态跟踪，获取每一个放电循环所对应的非线性退化因子K_T的具体参数当前k时刻的a_k、b_k、c_k、d_k，并基于预测概率计算非线性退化因子K_T的具体参数加权结果a_s、b_s、c_s和d_s； 

步骤64、将非线性退化因子K_T的具体参数加权结果a_s、b_s、c_s和d_s代入非 

线性因子K_T的公式，获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，将K_T带入公式 实现离线测试电池ND-AR模型建立。 

具体实施方式六、本实施方式是对具体实施方式一所述的基于循环寿命退化阶段参数的ND-AR模型和EKF方法的锂离子电池循环寿命预测方法的进一步说明，步骤七所述根据关联度r_i利用加权手段确定待预测电池的ND-AR模型中非线性退化因子的参数估计结果的方法为; 

步骤71:确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列; 

设参考数列为y＝{y(k)|k＝1，2，...,n}； 

比较数列为x_i＝{x_i(k)|k＝1，2，...，n}，i＝1，2，...，m; 

步骤72:利用公式 

${\zeta }_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---\left(9\right)$

获得y(k)与x_i(k)的关联系数；其中ρ为分辨系数，ρ∈（0,∞），ρ越小，分辨力越大； 

步骤73：利用公式 

$r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\xi }_i\left(k\right)(k=\mathrm{1,2},...,n)---\left(10\right)$

计算第i个离线测试电池样本x_i(k)与在线待预测电池样本y(k)的关联度 

步骤74、利用公式 

$m=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}\frac{r_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{r}_i}·m^i---\left(11\right)$

计算获得待预测电池ND-AR模型中非线性退化因子的参数估计结果；其中n为离线测试电池样本个数，r_i为第i个离线测试电池的和待带预测电池之间的关联度，mⁱ为第i个离线测试电池的ND-AR模型中非线性退化因子的参数。 

(1)ND-AR模型建模 

基本线性AR模型建模预测 

（a）离线电池测试平台对电池进行充放电实验，获取电池容量数据，将其中一部分作为容量数据F作为阶次判断的原始数据输入（具体比例要视待预测电池而定，如果待预测电池采集的数据大约占整体寿命的百分之x，那么对于离线测试获取的容量数据也取百分之x进行建模） 

（b）对F进行标准化处理： 

零均值化：求取训练建模数据F的均值Fmean，即可得到零均值化的序列f=F-Fmean； 

方差标准化：求取零均值化后的建模数据f的标准差σ_f，得到标准化数据Y=f/σ_f； 

（c）判断标准化后的建模数据是否适合建立AR模型，即对自相关系数和偏自相关系数截尾特性进行判断： 

0步自协方差：$R_0=\underset{i=1}{\overset{L1}{\Sigma }}\frac{Y^2\left(i\right)}{L1}---(2-7)$

$R\left(k\right)=\underset{i=k+1}{\overset{L1}{\Sigma }}\frac{Y\left(i\right)·Y(i-k)}{L1}(k=\mathrm{1,2},...,20)---(2-8)$

自相关系数：x＝R/R₀  (2-9) 

根据计算结果，绘制自相关系数曲线，判断截尾特性，若截尾则适合MA建模。 

偏相关系数：求解Yule-Wallker方程，根据求解结果绘制偏相关系数曲线，判断截尾特性，若截尾则适合AR建模。 

（d）AIC计算： 

通过自相关系数计算得到：S=[R₀,R(1),R(2),R(3)]        （2-10） 

计算Toeplitz矩阵：G=toeplitz(S)        （2-11） 

计算参数W=G^-1·[R(1),R(2),R(3),R(4)]^T      (2-12) 

模型残差方差计算：${\sigma }_p^2=\frac{1}{L1-p}\underset{t=p+1}{\overset{L1}{\Sigma }}{[Y\left(t\right)-\underset{i=1}{\overset{p}{\Sigma }}W\left(i\right)·Y(t-i)]}^2---(2-13)$

AIC计算如式（8）。 

$\mathrm{AIC}\left(p\right)=N\ln {\sigma }_p^2+2p---\left(14\right)$

（e）判断AIC最小值对应的模型阶次p，即为最优阶次。 

（f）对每个电池数据集各个建模数据样本分别进行AIC准则下的最佳模型阶次的求取，用于后续建模。 

（g）分别使用Burg法和Yule-Wallker（法，利用相同的历史建模数据计算模型自回归系数，得到独立的系数求取结果和

（h）设置初始融合系数P₁和P₂； 

(i)随着预测步长的增加，动态调整融合系数:P₁＝P₁-f(i)，P₂=P₂+f(i)，其中i为预测步长。需要指出的是，在实际预测过程中f(i)需要不断尝试调整，但是针对同一类电池，一且确定了f(i)的具体形式就不再改变。也就是说，针对一类电池特征，构造一种动态融合系数，在某种程度上，这种动态融合系数也代表了某一种电池的退化特征; 

（j）融合系数计算：将此系数作为最终用以容量长期退化趋势预测的AR模型的系数。 

（k）利用前面步骤建立获得的AR模型： 

这样就可以得到每一时刻的电池容量预测结果，也就获得了容量退化长期预测输出数据集{A} 

非线性退化因子参数的拟合 

（1）ND-AR模型如式（2-10）所示： 

其中K_T为包含电池退化特征信息的非线性退化因子，在前期工作中已对如式（2）的倒 数型因子进行了效果验证。与此同时，许多与容量退化特征相关的研究表明，锂离子电池容量随时间退化的特征可以用一种指数模型进行描述，因此考虑使用一种指数型因子来描述电池容量的非线性退化信息，故选择如式（1）形式的非线性退化因子，与式（2）所示因子同时进行对比实验，比较不同形式的因子对预测效果的影响，以寻求一种可以包含更多退化信息的非线性退化因子。 

K_T=a·e^b·k+c·e^d·k      (I) 

$K_T=\frac{1}{1+a·(k+b)}---\left(2\right)$

式中k代表的是预测步长，a、b、c、d代表待确定参数。如上两种形式，从不同的角度出发，（11）更多考虑系统本身容量退化特性，而（2）从数据特征角度出发，由于非线性退化因子的真实值K_T,real是一个在1附近微小变化的值，因此式（2）在1附近变化，并随着步长增加而呈现不同退化速率的因子形式在数据意义上是合理的。 

（2）提取预测起始点T之后的真实容量数据{C}，即提取真实容量退化特征信息。所谓预测起始点，就是在T之前的离线测试容量数据作为(1)中的步骤一的(a)步骤中的建模数据F，在T之后的数据是假设为未知并且在(1)中步骤一使用AR模型进行预测的数据，因此T就是预测开始的位置； 

（3）计算非线性退化因子K_T的真实值K_T,real如式（8）： 

$K_{T,\mathrm{real}}=\frac{C}{A}---\left(8\right)$

（4）基于EKF算法对K_T,real的未知参数进行状态跟踪，获取每一个放电循环所对应的因子K_T的具体参数，首先给出式（1）形式因子的参数估计方法： 

利用EKF算法对未知参数进行状态跟踪，首先要建立相应状态空间模型，寻求状态转移方程和观测方程，在本部分，将待确定参数作为系统状态向量，构造的状态空间模型如式（2-18）所示： 

$\left(\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ c_k=c_{k-1}+w_c& w_c~N(0,Q_c)\\ d_k=d_{k-1}+w_d& w_d~N(0,Q_d)\\ K_{T.k}=a_k·e^{b_k·k}+c_k·e^{d_k·k}& \end{array}\right)---(2-18)$

其中前4个方程为参数估计的状态转移方程，描述上一时刻和下一时刻之间状态关系，a、b、c和d是式（1）中的因子参数，构成系统状态向量[a;b;c;d]，w_a、w_b、w_c和w_d 为高斯白噪声，描述系统过程噪声，分别服从均值为0，方差为Q_a、Q_b、Q_c和Q_d的高斯分布。第5个方程为系统观测方程，将估计获得的参数带入此方程可以获取一个非线性退化因子的估计值，会在后面的状态更新过程中加以利用。 

对状态空间模型（14）进行线性化处理，由于状态转移方程是典型的线性方程，因此不需要进行线性化展开，只需要直接输入状态转移矩阵（2-19）即可： 

$F_k=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---(2-19)$

观测方程为指数形式K_T,k=f(a_k,b_k,c_k,d_k)，需要对其进行Taylor展开并利用其一阶部分进行非线性方程的线性化近似如式（2-20）至（2-23）： 

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial a_k}=e^{b_k·k}---(2-20)$

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial b_k}={a_k·k·e}^{b_k·k}---(2-21)$

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial c_k}=e^{d_k·k}---(2-22)$

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial d_k}={c_k·k·e}^{d_k·k}---(2-23)$

因此可以得到线性化后的观测矩阵H_k如式（2-24）所示。 

$H_k=[e^{b_k·k},a_k·k·e^{b_k·k},e^{d_k·k},c_k·k·e^{d_k·k}]---(2-24)$

此外，系统过程噪声及观测噪声均为线性叠加噪声，故有线性化过程噪声及观测噪声系数矩阵如式（2-25）、（2-26）所示。 

$W_k=\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_a}{\partial w_a}& \frac{\partial f_a}{\partial w_b}& \frac{\partial f_a}{\partial w_c}& \frac{\partial f_a}{\partial w_d}\\ \frac{\partial f_b}{\partial w_a}& \frac{\partial f_b}{\partial w_b}& \frac{\partial f_b}{\partial w_c}& \frac{\partial f_b}{\partial w_d}\\ \frac{\partial f_c}{\partial w_a}& \frac{\partial f_c}{\partial w_b}& \frac{\partial f_c}{\partial w_c}& \frac{\partial f_c}{\partial w_d}\\ \frac{\partial f_d}{\partial w_a}& \frac{\partial f_d}{\partial w_b}& \frac{\partial f_d}{\partial w_c}& \frac{\partial f_d}{\partial w_d}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)---(2-25)$

$V_k=\frac{\partial h}{\partial v}=1---(2-26)$

由于各噪声互相独立，则有系统过程噪声协方差矩阵Q如式（2-27）。 

$Q=\left(\begin{array}{cccc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}& Q_{a,c}& Q_{a,d}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}& Q_{b,c}& Q_{b,d}\\ Q_{c,a}& Q_{c,b}& Q_{c,c}& Q_{c,d}\\ Q_{d,a}& Q_{d,b}& Q_{d,c}& Q_{d,d}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{Q}_a& 0& 0& 0\\ 0& Q_b& 0& 0\\ 0& 0& Q_c& 0\\ 0& 0& 0& Q_d\end{array}\right)---(2-27)$

系统状态空间模型进行线性化处理后，就可以进行状态的估计及更新过程，即对每一时刻模型的参数进行估计与更新： 

参数估计：通过式（2-18）中前4个式子所示状态转移方程对模型参数进行估计： 

$[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+};c_{k-1}^{+};d_{k-1}^{+}]---(2-28)$

$P_k^{-}=F_k{P}_{k-1}^{+}{F}_k^T+{W_k{Q}_{k}W}_k^T---(2-29)$

式中和分别代表k时刻状态的估计值，和别代表k-1时刻状态更新值，为k时刻系统状态协方差矩阵的估计值，为k-1时刻系统状态协方差矩阵的更新值，F_k为系统状态转移矩阵如式（2-19），W_k为线性化系统过程噪声系数矩阵如式（2-25），Q_k为过程噪声方差如式（2-27）。 

参数更新：通过状态估计后，我们可以得到当前时刻参数的先验估计值，将先验估计值带入观测方程如式（18）中的第5个式子，便可以得到观测值的估计值。将观测值的估计值（估计的非线性退化因子结果如式（2-22））与观测值真值（真实非线性退化因子如式（2-17））进行比较得到测量余差，并通过相应的计算步骤得到对估计值进行校正的最优卡尔曼增益，来对状态估计值进行基于最小方差原则下的状态更新，得到最终的状态预测结果。具体更新步骤如下： 

因子估计值：$K_{T,k}^{~}=a_k^{-}·e^{b_k^{-}·k}+c_k^{-}·e^{d_k^{-}·k}---(2-30)$

测量余差协方差：$S_k=H_k{P}_k^{-}{H}_k^T+V_k{R}_k{V}_k^T---(2-31)$

卡尔曼增益：$K_k=P_{k|}^{-}{H}_k^T{S}_k^{-1}---(2-32)$

状态更新：$[a_k^{+};b_k^{+};c_k^{+};d_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-};c_k^{-};d_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---(2-33)$

$P_k^{+}=(I-K_k{H}_k)P_k^{-}---(2-34)$

以上各式中，是基于估计参数所计算得到的第k个周期的非线性退化因子估计结果，K_T,k是k个周期的真实非线性退化因子值K_T,real(k)，S_k是测量余差的协方差矩阵，是状态协方差矩阵的估计值，H_k为观测矩阵，V_k为观测噪声系数矩阵，R_k为观测噪声方差， K_k即为当前最优卡尔曼增益，a_k⁺、b_k⁺、c_k⁺和更新后的状态值，为更新后的协方差矩阵。 

通过上述流程得到每一个时刻的参数估计值。 

得到每一时刻的参数估计值后，需要通过这些估计值综合出一组统一的参数a_s、b_s、c_s和d_s，以明确非线性退化因子最终的表达式。通过多元高斯分布概率密度计算获得在当前观测值估计值及相应测量余差协方差S_k的条件下得到测量真值的概率P，即当前的参数估计值为参数真值的概率为P。基于此概率进行加权平均，P值越大，说明相应的参数预测结果更为接近真实的参数值，因此应具有更高的权重，即其可信度更高。模型参数的确定按照式（2-35）进行。 

$m\_s=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}m\left(k\right)·\frac{P\left(k\right)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}P\left(k\right)}$m=a,b,c或d   （2-35） 

其中，N即为参数估计序列的长度，P(k)为估计获取的参数即为真实参数的概率，m代表模型中的参数a、b、c或者d。 

（e）获得建模电池样本最终的参数之后，代入式（2-11）获取相应的非线性退化因子K_T的表达式，并将此因子代入式（2-10），完成该电池样本基于真实退化信息的ND-AR模型建模； 

（f）对不同离线测试电池个体，重复上述步骤，获得每个电池样本各自基于真实退化信息的ND-AR模型。 

上述步骤为针对式（2-11）形式的因子的详细建模过程，如果将因子替换成式（2）的形式，整体思路流程是完全一样的，需要做出改变的公式有： 

对应式（14）的位置，换为 

$\left(\begin{array}{cc}{a}_k=a_{k-1}+w_a& w_a~N(0,Q_a)\\ b_k=b_{k-1}+w_b& w_b~N(0,Q_b)\\ K_{T,k}=a_k·e^{b_k·k}+c_k·e^{d_k·k}& \end{array}\right)---(2-36)$

对应式（15）的位置，换为 

$F_k=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)---(2-37)$

式（2-20）～（2-23）的非线性模型线性化过程，替换为： 

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial a_k}=\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k·(k+b_k)]}^2}---(2-38)$

$\frac{\partial K_{T,k}}{\partial b_k}=\frac{-a_k}{{[1+a_k·(k+b_k)]}^2}---(2-39)$

对应式（24）位置，换为 

$H_k=[\frac{-(k+b_k)}{{[1+a_k·(k+b_k)]}^2};\frac{-a_k}{{[1+a_k·(k+b_k)]}^2}]---(2-40)$

对应式（25）位置，换为 

$W_k=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f_a}{\partial w_a}& \frac{\partial f_a}{\partial w_b}\\ \frac{\partial f_b}{\partial w_a}& \frac{\partial f_b}{\partial w_b}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)---(2-41)$

对应式（27）位置，换为 

$Q=\left(\begin{array}{cc}{Q}_{a,a}& Q_{a,b}\\ Q_{b,a}& Q_{b,b}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{Q}_a& 0\\ 0& Q_b\end{array}\right)---(2-42)$

对应式（28）位置，换为 

$[a_k^{-};b_k^{-}]=[a_{k-1}^{+};b_{k-1}^{+}]---(2-43)$

对应式（30）位置，换为 

$K_{T,k}^{~}=\frac{1}{1+a_k^{-}(k+b_k^{-})}---(2-44)$

对应式（33）位置，换为 

$[a_k^{+};b_k^{+}]=[a_k^{-};b_k^{-}]+K_k(K_{T,k}-K_{T,k}^{~})---(2-45)$

对应式（35）位置，换为 

$m\_s=\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}m\left(k\right)·\frac{P\left(k\right)}{\underset{k=1}{\overset{N}{\Sigma }}P\left(k\right)}$m=a或b   （2-46） 

未提及的公式保持不变，通过相同的流程获取式（2-12）形式下的因子具体表达形式。在具体的实验中，两个形式的因子是并列的，用于对比不同形式因子的效果。 

(2)ND-AR模型推广 

经过(1)中所叙述的基于预测步长k的ND-AR模型建模过程，可以获取基于真实退化信息的ND-AR模型。然而，在实际预测过程中，无法获取一个电池的真实容量退化特征信息，也就是说，我们无法基于真实退化信息建立待预测电池样本的精确ND-AR模型。因此，也就需要依托于其他电池样本离线的ND-AR模型建模结果来给出当前容量信息未 知并且需要对其性能进行预测的电池样本的ND-AR模型，即对ND-AR离线建模过程获取的模型进行应用推广。 

ND-AR模型中的非线性退化因子所包含的是电池不同时期的退化特征，也就是说，非线性退化因子的参数是与电池容量退化特征相关的。由此可以猜想，已知建模数据的退化趋势特征对于当前待预测电池的ND-AR模型参数获取具有重要作用。对于不同电池样本，如果前期建模数据的相似度越高，说明它们前期退化趋势越接近，进而可以知道它们后期的容量退化特征就越有可能相近。所以，ND-AR模型的推广过程考虑对建模数据退化特征进行分析，获取离线ND-AR建模电池样本与待预测电池样本的历史建模数据之间相似程度，并基于这个相似度估计当前在线待预测的电池样本的ND-AR模型参数。整个模型推广过程分为容量前期退化特征相似度分析、在线预测电池ND-AR模型参数加权估计、对AR模型预测结果的非线性修正三个部分，下面将对整个ND-AR模型推广进行详细介绍。 

(a)容量前期退化特征相似度分析： 

首先对离线基于真实退化信息进行ND-AR模型建模的电池样本和在线寿命待预测电池样本的容量退化趋势进行关联性分析。在实际工程应用中，灰色关联分析（Grey Correlation Analysis，GCA）方法以其使用的简便性以及分析结果的精确性得到了广泛的应用。因此，我们选用灰色关联分析的方法，得到离线建模容量序列与在线待预测容量序列的前期历史容量数据变化趋势之间的关联度r_i，关联度越大说明退化趋势越相近，非线性退化因子的参数越接近，因此参数对应加权权重越大。所以，在模型推广过程中使用基于关联度的加权方法来计算并获取待预测电池样本的非线性退化因子参数的估计值。 

灰色关联分析基本原理如下： 

确定分析数列 

确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称为比较数列。设参考数列（又可称为母序列）为Y={Y(k)|k=1,2,...,n}；比较数列（又称子序列）X_i={X_i(k)|k=1,2,...,n},i=1,2,...,m。在本算法的具体实现过程中，考虑到不同电池样本相同比例如50%的数据样本的数据个数有可能会不一致，同时观测数据往往包含噪声，因此，对数据样本进行多项式拟合，具体的拟合次数依照数据特征而定，并且从连续的拟合曲线中等间隔采集相同个数的数据点。经过这样的处理，获取参考数列Y为对在线待预测电池在线采集容量数据拟合并采样后的数据集，比较数列为离线测试电池样本（从中取与在线监测容量数据相同比例的数据，比如，此类电池的寿命大致为100个循环，在线采集50个数 据，大致估计为全寿命长度的50%，那么对每个离线测试电池的容量数据集进行前50%数据的提取）经相同处理后获取的数据集。 

计算关联系数 

X₀(k)与X_i(k)的关联系数为： 

${\zeta }_i\left(k\right)=\frac{\underset{i}{\min }\underset{k}{\min }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}{|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|+\rho \underset{i}{\max }\underset{k}{\max }|y\left(k\right)-x_i\left(k\right)|}---(2-43)$

式中y(k)为上述处理后的待预测电池样本数据，x_i(k)为上述处理后的第i个离线测试电池样本数据。ρ∈（0,∞），称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为（0,1），具体取值可视情况而定。当ρ≤0.5463时，分辨力最好，通常取ρ=0.5。 

计算关联度 

因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的结果不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，第i个离线测试电池样本x_i(k)与在线待预测电池样本y(k)的关联度r_i公式如下： 

$r_i=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{\Sigma }}{\xi }_i\left(k\right)(k=\mathrm{1,2},...,n)---(2-44)$

按照如上步骤即可获得离线ND-AR建模电池样本容量数据与在线待预测电池容量数据退化趋势间的关联度，用于后期非线性退化因子参数的估计。 

(b)在线预测电池ND-AR模型参数加权估计 

通过(1)过程，可以获得基于真实容量退化信息拟合得到的非线性退化因子参数，对于本文的研究，选用两个电池样本模拟离线建模电池样本，因此两组拟合参数分别记为m¹和m²，m代表了参数，对于式（2-11）的因子，m可以为a、b、c或者d，对于式（2-12）的因子，m可以为a或者b，1、2作为组别的区分而不是指数。通过(2)的(a)过程获得了两组离线建模电池与在线待预测电池容量退化趋势的关联度r₁和r₂，通过式（2-45）即可得到待预测电池ND-AR模型参数估计结果： 

$m=\frac{r_1}{r_1+r_2}{m}^1+\frac{r_2}{r_1+r_2}{m}^2---(2-45)$

(c)对AR模型预测结果的非线性修正 

计算获得参数估计结果后，直接利用AR模型对在线待预测电池的容量退化数据进行预测，预测完成后按式（10）进行容量预测结果的非线性校正，即ND-AR预测。 

通过上述ND-AR模型离线建模以及在线模型推广的算法过程即为锂离子电池容量长期退化趋势的改进预测过程。经过上述各个步骤即可获取带有电池在不同退化时期退化趋势变化特征的非线性AR模型，利用此模型可以对锂离子电池容量长期非线性退化趋势进行预测。 

NASA PCoE电池剩余寿命预测实验 

选取NASA PCoE公开电池数据集作为验证数据集，选取其中常温25摄氏度实验条件下常温退化的5、6、18号三个电池样本作为验证数据样本。NASA PCoE中心的5号和6号电池模拟离线建模样本，进行基于真实退化特征的ND-AR模型建模，将18号电池假定为需要进行在线性能分析的电池样本，验证模型推广手段的合理性。在这里，选取电池的中期位置为预测起始点位置，对前50%数据进行模型训练，对后50%数据进行预测分析。正如前面所介绍，两种形式的非线性退化因子都将被引入验证实验中，以分析不同形式的因子对算法性能的影响 

（1）式（1）非线性退化因子下的改进融合型RUL预测实验 

离线建模电池样本的非线性退化因子参数估计结果以及ND-AR模型推广所获得的最终用于实际预测分析的参数结果如表1所示。 

表1基于形式（1）的非线性退化因子参数拟合结果-NASA 

5号和6号电池的参数结果是由真实退化特征而来，而18号电池的参数结果是5号和6号电池各自ND-AR模型进行推广而来的。通过灰色关联分析方法计算得到5号电池与18号电池的历史容量数据退化趋势相似度为0.4742，6号电池与18号电池的历史容量数据退化趋势相似度为0.5884，通过加权得到如上表4-3所示18号电池非线性退化因子参数并将得到的非线性退化因子加入到预测中，得到改进融合型预测算法下的RUL预测结果如图1所示。 

（2）式（2）非线性退化因子下的改进融合型RUL预测实验 

离线建模电池样本的非线性退化因子参数估计结果以及ND-AR模型推广所获得的预测用非线性退化因子参数结果如表2所示。 

表2基于形式（2）的非线性退化因子参数拟合结果-NASA 

将得到的非线性退化因子加入到预测中，得到改进融合型预测算法下的RUL预测结果如图2所示。 

将预测结果的量化误差与基于EKF的锂离子电池RUL预测算法及中EKF与AR模型构成的融合型锂离子电池RUL预测算法所得到的RUL及电池容量预测误差量化结果进行比较，如表3所示。 

表3三种预测方法性能比较-NASA18号电池中期预测 

通过预测曲线可以直观看出，预测容量退化趋势与真实容量退化趋势较为接近，容量预测精度较高，同时，预测寿命终止时刻与真实寿命终止时刻非常接近，RUL预测结果精度较高。 

通过表3所示量化误差结果可以看出，两种形式的非线性退化因子的容量预测相对误差不超过7%，RUL预测相对误差不超过8.5%。这也就说明了，通过数据驱动方法的引入，使得算法整体对于不同电池样本的适应性有所提升，预测效果有所提升。同时，采用ND-AR模型给出容量长期退化预测输出并在此基础上给出RUL预测过程中的观测值序列，使得整体算法中包含了一定的不同时期退化特征变化信息，这也就使得通过前期数据训练获得的模型对于后期容量退化趋势有了更好的适应能力，也就是说，算法对于不同时期的退化特征也有了较好的适应能力。预测结果同时也表明了基于真实退化信息进行ND-AR建模以及基于历史容量数据退化趋势相关性的模型推广手段是合理的，通过这种模型推广方式，可以较为合理地估计出当前待预测电池样本后期可能出现的退化特征的变 化。通过两种形式非线性退化因子的预测效果比较可以发现，对于NASA PCoE中心的电池测试数据而言，式（2）所示的倒数型因子具有更好的RUL预测效果，而式（1）所示的指数型因子具有更好的容量预测效果，容量预测误差仅为倒数型因子的50%左右。 

同时，本算法与表中所示其他算法预测效果比较可以发现，基于ND-AR模型和EKF算法的融合型预测算法对于基于模型的EKF算法而言效果大有提升，而对于AR模型与EKF算法下的融合预测算法而言，指数型因子相应的改进融合预测算法对于容量的预测精度有所提升，相对容量预测误差减小2%。而倒数型因子相应的改进融合预测算法对于RUL的预测效果有所提升，误差同比下降50%。也就是说，两种不同形式的因子在不同的方面体现出了各自的优势，改进融合算法的预测效果有所提升。