一种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法

摘要

一种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法，属于机械设计与制造领域，步骤如下：1、将克林跟贝尔格锥齿轮系统简化处理成为齿轮副的扭转振动系统模型；2、在齿轮副的扭转振动系统模型中引入时变啮合刚度，建立克林跟贝尔格锥齿轮动力学方程；3、根据克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度原理，建立克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式；4、根据克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式求得其时变啮合刚度值，与基于传统方法建立的克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值进行理论仿真分析和比较。本方法为得到该种齿轮时变啮合刚度值，为克林根贝尔格锥齿轮传动的减振、降噪、平稳传动动力学研究打下基础。

说明书

技术领域

本发明属于机械设计与制造领域，涉及到一种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法，本方法更加精确的给出克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值。 

背景技术

克林根贝尔格锥齿轮具有重合度高、传动平稳、承载能力高等优点。广泛应用于各种机械设备中，如汽车、工程机械、旋翼推进的直升机、机床等。克林根贝尔格锥齿轮的制造精度、质量直接影响这些设备的效率、噪声、运动精度和寿命，因此克林根贝尔格锥齿轮一直受到各国有关专家学者的广泛关注和研究，成为齿轮生产中的关键技术和制高点。为了保证齿轮在传动过程中平稳可靠，减小振动和噪声，必须对齿轮传动系统进行动力学分析。有效的建立齿轮啮合刚度模型是动力学分析的基础。啮合刚度模型是否合理，直接影响了动力学分析的精确度。 

国内外许多学者对齿轮误差以及动力学特性进行了较广泛而深入的研究，但多数都是利用有限元方法计算并获得了齿轮时变啮合刚度，他们采用的方法是把刚度简化处理成多阶谐波叠加的形式，这种形式只是保证了刚度的变化频率，但得到的时变啮合刚度与时变啮合刚度的实际特性相差很远。该种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法不仅可以简洁的得出齿轮时变啮合刚度值，而且更贴近于时变啮合刚度的实际特性。该方法对齿轮传动的减振、降噪、平稳传动等方面的动力学研究提供了理论依据。 

发明内容

本发明的目的是提供一种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法，针对航空航天机械传动中用的克林跟贝尔格锥齿轮，提出采用多项式的形式对克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度进行计算。并在不同的阻尼、载荷、转速工况下，将多项式函数展开的刚度值和多阶谐波叠加形式的刚度值进行分析对比，得到本方计算方法的时变啮合刚度能更贴近于时变啮合刚度的实际特性。 

本发明是采用以下技术手段实现的： 

一种确定克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度的方法，其包括如下步骤： 

S1、将克林跟贝尔格锥齿轮系统简化处理成为齿轮副的扭转振动系统模型； 

S2、在齿轮副的扭转振动系统模型中引入时变啮合刚度，建立克林跟贝尔格锥齿轮动力学方程。动力学方程如下： 

$I_p{\stackrel{··}{\theta }}_p+{\lambda }_{p}c(\stackrel{·}{\delta }-\stackrel{·}{e})+{\lambda }_{p}k(\delta -e)=T_p$

$I_g{\stackrel{··}{\theta }}_g-{\lambda }_{g}c(\stackrel{·}{\delta }-\stackrel{·}{e})-{\lambda }_{g}k(\delta -e)=-T_g$

式中：I_i(i=p,g)为主、被动齿轮的转动惯量；λ_i(i=p,g)为主、被动齿轮的齿轮方向旋转半径；θ_i(i=p,g)为主、被动齿轮的角位移；T_i(i=p,g)为主、被动齿轮上的扭矩；e为静态误差，c为啮合阻尼，k为啮合刚度。 

动态传递误差δ定义为δ=λ_pθ_p-λ_gθ_g带入2中动力学方程，并化简得： 

$m_e\stackrel{··}{p}+c_m\stackrel{·}{p}+k_{m}p=m_e(\frac{{\lambda }_p{T}_p}{I_p}+\frac{{\lambda }_g{T}_g}{I_g}-\stackrel{··}{e})$

引入新变量p=δ-e,T_p=T_g=T，λ_p=λ_g=λ代入上面的平衡方程中得： 

$m_e\stackrel{··}{p}+c_m\stackrel{·}{p}+k_{m}p=m_e(\frac{\mathrm{\lambda T}}{I_p}+\frac{\mathrm{\lambda T}}{I_g}-\stackrel{··}{e})$

其中：（ξ为阻尼系数），f′_zzc为齿轮等级精度影响齿轮副齿频周期误差的公差值。p为接触点沿齿面法向位移。 

S3、建立克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式。 

根据等高齿锥齿轮啮合刚度的变化规律，齿轮啮合刚度的大小与啮合区域的形状及其位置有直接的关系。一对轮齿接触时，在啮合力的作用下，沿齿面法向的弹性位移p越大，啮合面积也就越大。因此，弹性位移p的值一定程度上对齿轮综合啮合刚度起决定作用。基于以上分析，假设啮合刚度k'_m关于沿齿面法向位移p的函数关系具有多项式的形式： 

$k_m^{\prime }=\underset{i=0}{\overset{n}{\Sigma }}{K}_i^{\prime }{p}^i$

其中，k'_i为刚度影响系数，i=1,2,3,...,n。 

S4、根据克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式求得其时变啮合刚度值，与基于传统方法建立的克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值进行理论仿真分析和比较。 

本发明的特点在于基于多项式理论，提出了一种确定齿轮时变啮合刚度的方法，通过此方法可以准确地得到克林根贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值，使其更贴近于时变啮合刚度的实际特性。发明内容包括四部分。在第一部分中，将克林跟贝尔格锥齿轮系统简化处理成为齿轮副的扭转振动系统模型；在第二部分中，在齿轮副的扭转振动系统模型中引入时变啮合刚度，建立克林跟贝尔格锥齿轮动力学方程，并将方程化简；在第三部分中，根据克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度原理，建立克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式；在第四部分中，根据克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式求得其时变啮合刚度值，与基于传统方法建立的克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值进行理论仿真分析和比较。 

通过下面的描述并结合附图说明，本发明会更加清晰，附图说明用于解释本 发明方法及实施例。 

附图说明

图1实际齿面上接触区域； 

图2两个自由度的等高齿锥齿轮模型； 

图3大小齿轮坐标系； 

图4不同转速、负载扭矩下最大振动位移百分比×100%(i=2或3)； 

图5在n=500r/min、T=2200Nm下不同阻尼耗散因子系数下趋于稳定时间； 

图6在n=500r/min、T=2200Nm下不同阻尼耗散因子系数下稳定时间差值百分比×100%(i=2或3)； 

图7为本发明的步骤流程图。 

具体实施方式

本发明的具体实施步骤如下： 

第一步：将克林跟贝尔格锥齿轮系统简化处理成为齿轮副的扭转振动系统模型； 

本实施例以航空用某摆线锥齿轮副为研究对象，其具体参数见表1。克林跟贝尔格锥齿轮副动力学模型如图2所示。在该模型中，假设两齿轮的支撑刚度较大，且不考虑传动轴、支承轴承和箱体等的弹性变形对摆线锥齿轮系统的影响，最终将摆线锥齿轮系统简化处理成为齿轮副的扭转振动系统模型。 

表1摆线锥齿轮系统参数 

第二步：在齿轮副的扭转振动系统模型中引入时变啮合刚度，建立克林跟贝尔格锥齿轮动力学方程。 

图2为克林跟贝尔格锥齿轮扭转振动模型，双自由度动态模型（主动轮p，从动轮g）转动方程如下： 

$I_p{\stackrel{··}{\theta }}_p+{\lambda }_{p}c(\stackrel{·}{\delta }-\stackrel{·}{e})+{\lambda }_{p}k(\delta -e)=T_p$

$I_g{\stackrel{··}{\theta }}_g-{\lambda }_{g}c(\stackrel{·}{\delta }-\stackrel{·}{e})-{\lambda }_{g}k(\delta -e)=-T_g$

式中：e为静态误差，c为啮合阻尼，k为啮合刚度，λ_i为啮合点半径，I_i为齿轮的转动惯量，θ_i为齿轮转动角度，T_i为齿轮的转动力矩。参数如图2所示。动态传递误差定义为并带入上式中： 

δ=λ_pθ_p-λ_gθ_g

$m_e\stackrel{··}{p}+c_m\stackrel{·}{p}+k_{m}p=m_e(\frac{{\lambda }_p{T}_p}{I_p}+\frac{{\lambda }_g{T}_g}{I_g}-\stackrel{··}{e})$

式中：p=δ-e,f_z′_zc为齿轮等级精度影响齿轮副齿频周期误差的公差值。为了简化计算，令T_p=T_g=T，λ_p=λ_g=λ上述方程简化为： 

$m_e\stackrel{··}{p}+c_m\stackrel{·}{p}+k_{m}p=m_e(\frac{\mathrm{\lambda T}}{I_p}+\frac{\mathrm{\lambda T}}{I_g}-\stackrel{··}{e})$

其中：$m_e=\frac{I_p{I}_g}{I_p{\lambda }^2+I_g{\lambda }^2},$$c_m=\xi \sqrt{{\mathrm{km}}_e}$（ξ为阻尼系数）。 

第三步：建立克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式； 

在某一啮合点处，已知啮合点的法向位移p，根据齿轮的几何形状和该点的几何位置可以确定椭圆的具体尺寸。轮齿啮合刚度随着接触区域的变化而变化，接触区域越大，两个齿面啮合在一起的部分越多，越难以再继续产生变形，即刚度值越大。当齿轮传递的载荷F较小时，接触点在齿面法向方向上产生很小的位移Δp，此时接触椭圆区域也很小，此时啮合刚度k较小；当传递的载荷很大时，形成的接触椭圆区域变大了，啮合刚度k也随之变大。综上分析，可以认为刚度k值由椭圆接触区域的大小和形状决定，而椭圆接触区域又由接触点沿齿面法向的位移p决定。于是，假设单齿啮合刚度k是关于接触点沿齿面法向位移p的函数。 

根据等高齿锥齿轮啮合刚度的变化规律，齿轮啮合刚度的大小与啮合区域的形状及其位置有直接的关系。在任一时刻，啮合区域中心点的位置和啮合面积的大小直接决定了啮合刚度。一对轮齿接触时，在啮合力的作用下，沿齿面法向的弹性位移p越大，啮合面积也就越大。因此，弹性位移p的值一定程度上对齿轮综合啮合刚度起决定作用。基于上文分析，假设啮合刚度k'_m关于沿齿面法向位 移p的函数关系具有多项式的形式 

$k_m^{\prime }=\underset{i=0}{\overset{n}{\Sigma }}{K}_i^{\prime }{p}^i$

其中，k'_i为刚度影响系数，i=1,2,3,...,n。 

第四步：根据克林跟贝尔格锥齿轮多项式函数展开的时变啮合刚度方程式求得其时变啮合刚度值，与基于传统方法建立的克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值并进行理论仿真分析和比较； 

4.1平均啮合刚度值根据机械振动手册中查得： 

k₁=9.12×10⁸

4.2利用传统方法计算克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值，典型的刚度模型建立为： 

$k_m=k_0+\underset{j=0}{\overset{n}{\Sigma }}{k}_{\mathrm{aj}}\cos (\mathrm{jwt}+{\phi }_{\mathrm{kj}})$

在求解时由于计算量的限制，往往只取第一阶简谐波，建立起来的阻尼c_m和静态传递误差e的模型具有类似的形式为： 

k₂=9.12×10⁸×[1+0.2cos(ωt+φ)] 

式中齿轮的啮合频率ω=nπz/30,k₀=1,k_aj=0.2,k₀=9.12×10⁸。 

4.3利用多项式函数展开方法计算克林跟贝尔格锥齿轮时变啮合刚度值； 

由方程： 

$k_m^{\prime }=\underset{i=0}{\overset{n}{\Sigma }}{K}_i^{\prime }{p}^i={K^{\prime }}_0+{K^{\prime }}_{1}p+{K^{\prime }}_2{p}^2+...+{K^{\prime }}_n{p}^n$

中只有前几项系数K'₀,K'₁,K'₂起较大作用，因此计算分析时只研究前几项即可。取K'₀=9.12×10⁸，得时变啮合刚度值为： 

k₃=9.12×10⁸×(Ap²+Bp) 

式中A与B为多项式的系数，其数值为 

$A=\left(\begin{array}{cc}-0.0030309\times k& 500<T\le 900\\ 0.0003982\times k& 900<T\le 1300\\ 0.0009921\times k& 1300<T\le 1700\\ 0.0011592\times k& 1700<T\le 2100\\ 0.0011371\times k& 2100<T\le 2500\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cc}0.1305731\times k& 500<T\le 900\\ 0.0548538\times k& 900<T\le 1300\\ 0.0226190\times k& 1300<T\le 1700\\ 0.0025346\times k& 1700<T\le 2100\\ -0.0096407\times k& 2100<T\le 2500\end{array}\right)$

A与B的数值是根据机械振动手册中，齿轮传动中齿轮副的平均啮合刚度k_m与重合度ε=1.6，轴向重合度ε₁=0.6的函数关系图查得的。 

4.4K₁,K₂,K₃的时域响应趋于稳定时间比较 

由于转速和负载扭矩的大小对齿轮振动趋于稳定时所用的时间影响不大，为了便于分析比较所以取转速n=500r/min、负载扭矩T=2200Nm，比较k₃和k₂在不同阻尼耗散因子系数下，齿轮振动趋于稳定的时间。表2给出了三种刚度模型在不同阻尼系数下，振动趋于平衡的时间以及趋于平衡时间差值的百分比，图7直观给出三个刚度模型振动平衡时间，并且可以看出k₃的平衡时间更贴近于k₁，振动趋于平衡的时间差值百分比可以直观地看出刚度模型k₃的振动趋于平衡的时间差值百分比要比刚度模型k₂要小，尤其是在小阻尼情况下这种情况更加明显。 

表2在n=500r/min、T=2200Nm下不同阻尼耗散因子系数下趋于稳定时间的比较 

由于克林根贝尔格锥齿轮具有重合度高，且重合度大多不是整数，给建立该种齿轮时变啮合刚度计算模型带来一定的难度。且啮合过程中同时参与啮合的齿对数随时间成周期性变化，因而轮齿的啮合综合刚度是随时间周期变化的。这同样给建立该种齿轮时变啮合刚度计算模型带来一定的难度。而本发明方法能够较为准确的建立该种齿轮时变啮合刚度计算模型，并且使得在小阻尼、重载工况下这种多项式形式的时变啮合刚度模型能更贴近于时变啮合刚度的实际特性。该模型为以后对齿轮传动的减振、降噪、平稳传动等方面的动力学研究打下基础。 

通过以上实例分析总结出：本发明方法能够运用于克林根贝尔格锥齿轮的时变啮合刚度的计算，并能快速准确地得出时变啮合刚度值。本发明方法不仅为克林根贝尔格锥齿轮传动的减振、降噪、平稳传动等方面的动力学研究打下基础，且为齿轮的时变啮合刚度计算提供了有效借鉴。