总α计数快速测量空气中

摘要

一种总α计数快速测量空气中

说明书

技术领域

本发明涉及一种核辐射探测技术，特别是一种利用总α计数快速测量 空气中²²²Rn、²²⁰Rn子体浓度的方法。

背景技术

近年来，随着人们对²²²Rn、²²⁰Rn及其子体研究的深入，发现在有的环境 中²²⁰Rn及其子体所致剂量不可忽略且其对²²²Rn及其子体测量造成干扰。 由于²²²Rn、²²⁰Rn的衰变子体的辐射剂量远远高于氡本身，加之²²⁰Rn及其子 体的平衡关系随时间、地点是变化的，仅仅根据²²²Rn、²²⁰Rn水平的测量 结果来估算²²²Rn、²²⁰Rn及其子体所产生的剂量是不够的。为了更加准确 地评价²²²Rn、²²⁰Rn的危害，有必要对环境空气中222Rn、²²⁰Rn子体的水平 进行同时测量。以往同时测量²²²Rn、²²⁰Rn子体水平的方法主要有三段法 和五段法，此类测量方法属于总α方法，要么测量时间较长，要么测 量误差较大。近年来α能谱法区分能量的优点在²²²Rn和²²⁰Rn子体水平测 量中得到了运用，实现了空气中²²²Rn和²²⁰Rn子体水平快速、可靠测量。 但是能谱仪价格昂贵，且多道能谱仪的道漂是不可避免的。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术的上述不足而提供一种根据²²²Rn、²²⁰Rn子 体放射性衰变特性，对采样后²²²Rn、²²⁰Rn子体样品 的放射性衰变产生的高能α粒子总计数随时间变化的规律进行测量， 应用两种不同的测量方法得到²²²Rn、²²⁰Rn子体浓度。

本发明的技术方案是：一种利用α粒子总计数测量空气中²²²Rn、²²⁰Rn子 体的方法，最简便且实用有效的空气中氡子体采样和测量过程，是采 用空气采样泵将空气中氡子体采集到滤膜上，然后测量滤膜上的α衰 变总计数，从而计算得到氡子体空气浓度。

在²²²Rn子体衰变链中，有剂量学意义的是RaA(²¹⁸Po)、RaB(²¹⁴Pb)、RaC(²¹⁴Bi)，由于RaC’(²¹⁴Po)的半衰期很短，只有164μs，因此将RaC’的放 射性归结为RaC的放射性；在²²⁰Rn子体衰变链中，有剂量学意义的是Th B(²¹²Pb)、ThC(²¹²Bi)，将ThC’(²¹²Po)、ThC’’(²⁰⁸Tl)的放射性归结为Th C(²¹²Bi)的放射性。

本测量方法基于以下条件：

1) 采样过程中²²²Rn、²²⁰Rn子体浓度和空气采样泵采样流率恒定不变；

2) 滤膜的过滤效率和自吸收因子均为恒定常数，且不依气溶胶粒径 改变，在使用微孔滤膜时，没有自吸收；

3) 探测器的探测效率为恒定常数，且不依α粒子能量改变，依赖于 滤膜具有较小的自吸收和滤膜到探测器距离较小。

在²²²Rn、²²⁰Rn子体采样过程中，滤膜上的氡子体数量随着采样而不断增 长，其数量还会由于从母体核素衰变而增加和自身衰变而减少，用下 述微分方程组表述：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaA}}/{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaB}}/{\lambda }_{\mathrm{RaB}}+N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaC}}/{\lambda }_{\mathrm{RaC}}+N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThB}}/{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThC}}/{\lambda }_{\mathrm{ThC}}+N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中G为过滤效率，Q为采样流率，C_RaA、C_RaB C_RaC、C_ThB、C_ThC分别为RaA、R aB、RaC、ThB、ThC活度浓度，λ、λ_RaB λ_RaC、λ_ThB、λ_ThC分别为RaA、 RaB、RaC、ThB、ThC的半衰期，N_RaA、N_RaB N_RaC、N_ThB、N_ThC分别为采样过程 中滤膜上积累的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的原子数。

对式（1）求解能得到：采样时间T₁结束时滤膜上积累的RaA、RaB、R aC、ThB、ThC的原子数与空气中RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度浓度的 关系。

采样结束后，取下滤膜送入α计数测量仪进行测量，该时间间隔为T₂，滤膜上的²²²Rn、²²⁰Rn子体以采样结束时刻的数量为初始值开始衰变， 同时子体核素还由于母体核素的衰变而增加，用下述微分方程组表述 ：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

对式（2）求解得到采样结束后经过T₂时间衰变，滤膜上的RaA、RaB、 RaC、ThB、ThC的原子数与采样结束时刻的RaA、RaB、RaC、 ThB、ThC的原子数的关系。

利用α计数测量仪开始对滤膜测量瞬间，滤膜上的RaA、RaB、RaC、T hB、ThC的原子数分别为N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、N_ThC1，根据式（1）、（2）倒 推得到空气中的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度浓度。

采样后，将滤膜送入α计数测量仪，开始测量总α计数。²²²Rn子体的α 衰变包括：RaA(²¹⁸Po)6.0MeV、RaC`(<sup>214</sup>Po)7.69MeV；<sup>220</sup>Rn子体的α衰变包 括：ThC (<sup>212</sup>Bi) 6.05MeV、ThC`(²¹²Po) 8.78MeV。

α计数测量仪开始测量后，滤膜上的²²²Rn、²²⁰Rn子体仍然按式（2）衰变 ，对式（2）求解，解得测量过程中滤膜上任意时刻的RaA、RaB、RaC 、ThB、ThC的原子数为：

$N_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)=N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(3\right)$

$N_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}---\left(4\right)$

$\left(\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)=\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\end{array}\right)---\left(5\right)$

$N_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)=N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(6\right)$

$N_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}---\left(7\right)$

将式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）转换为活度形式：

$A_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaA}}{N}_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(8\right)$

$A_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaB}}[\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{ThA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}]---\left(9\right)$

$\left(\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaC}}\{\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}\left]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\right\}\end{array}\right)---\left(10\right)$

$A_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThB}}{N}_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(11\right)$

$A_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThC}}[\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}]---\left(12\right)$

滤膜上的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的活度分别为A_RaA、A_RaB A_RaC、A_ThB、A _ThC。

根据²²²Rn、²²⁰Rn放射性衰变规律知道，滤膜上任意时刻的总的α衰变活 度A_α(t)为：

A_α(t)=A_RaA(t)+A_RaC(t)+A_ThC(t)+A₀              （13）

式中A₀为α计数测量仪的本底计数率。

α计数测量仪测量周期有两种，分为短时间间隔测量周期和长时间间 隔测量周期：

一、以短时间间隔t为测量周期，时间t为1-10分钟，周期数量大于或 等于6个。

其计算方法有两种：

A、根据第i个测量周期的总α计数n(i)，求得第i个测量周期的单位时 间的平均计数，由于测量周期较短，这些平均计数与A_α(t)在该测量周 期中点的值近似相等，有：

$n\left(i\right)/t={\mathrm{EA}}_{\alpha }(\mathrm{it}-\frac{1}{2}t)---\left(14\right)$

E为α计数测量仪对α粒子的探测效率。

利用式（14）对n(i)/t的数据进行非线性拟合，能得到N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、 N_ThB1、N_ThC1、A₀的值；然后根据式（1）、（2）倒推得到空气中RaA、RaB 、RaC、ThB、ThC活度浓度。

B、求A_α(t)在第i个测量周期的积分：

$A_{\alpha }\left(i\right)={\int }_{(i-1)t}^{\mathrm{it}}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(15\right)$

应用最小二乘法求解²²²Rn,²²⁰Rn子体浓度，引入残差R：

$R=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{(n\left(i\right)-{\mathrm{EA}}_{\alpha }\left(i\right))}^2---\left(16\right)$

式中w_i是i计数段的权重因子，权重因子的引入是考虑每个计数段的计 数统计误差不同对拟合结果的误差影响。

根据最小二乘法原理，使得残差R取最小值，能得到N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、 N_ThC1、A₀的值，然后根据式（1）、（2）倒推得到空气RaA、RaB、RaC、 ThB、ThC活度浓度。

二、以长的时间间隔t₁，t₂，t₃，t₄，t₅，t₆为测量周期，时间t₁， t₂，t₃，t₄，t₅，t₆分别为10-120分钟，测量周期为6个。

其计算方法为： 

6个测量周期的计数分别为n(1)，n(2)，n(3)，n(4)，n(5)，n(6)。

$n\left(1\right)=E{\int }_0^{t_1}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(17\right)$

$n\left(2\right)=E{\int }_{t_1}^{t_1+t_2}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(18\right)$

$n\left(3\right)=E{\int }_{t_1+t_2}^{t_1+t_2+t_3}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(19\right)$

$n\left(4\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3}^{t_1+t_2+t_3+t_4}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(20\right)$

$n\left(5\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3+t_4}^{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(21\right)$

$n\left(6\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}^{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(22\right)$

将n(1)，n(2)，n(3)，n(4)，n(5)，n(6)值带入式（17）、（18）、 （19）、（20）、（21）、（22），解得N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、N_ThC1、A₀的 值的值，然后根据式（1）、（2）倒推得到空气中RaA、RaB、RaC、T hB、ThC活度浓度。

本方法采用的²²²Rn、²²⁰Rn子体采集系统由带有滤膜的采样头、采样杆、 流量计、连接管和空气采样泵组成，采样头和采样杆连接，采样杆和 流量计连接，流量计通过连接管和空气采样泵连接。

本发明与现有技术相比具有如下特点：

不用先测量本底计数率，从而减少了测量时间，提高了测量精度，减 少了测量成本。

以下结合附图和具体实施方式对本发明的详细结构作进一步描述。

附图说明

附图为²²²Rn、²²⁰Rn子体采集系统示意图。

具体实施方式

实施例一、一种利用α粒子总计数测量空气中²²²Rn、²²⁰Rn子体的方法， 本实施例采用的²²²Rn、²²⁰Rn子体采集系统由带有滤膜6的采样头1、采样 杆2、流量计3、连接管4和空气采样泵5组成，采样头1和采样杆2连接 ，采样杆2和流量计3连接，流量计3通过连接管4和空气采样泵5连接。

通过空气采样泵5将空气中氡子体采集到滤膜6上，然后测量滤膜6上的 α衰变总计数，从而计算得到氡子体空气浓度。

本测量方法基于以下条件：

1) 采样过程中²²²Rn、²²⁰Rn子体浓度和空气采样泵5采样流率恒定不变；

2) 滤膜6的过滤效率和自吸收因子均为恒定常数，且不依气溶胶粒径 改变，在使用微孔滤膜时，没有自吸收；

3) 探测器的探测效率为恒定常数，且不依α粒子能量改变，依赖于 滤膜6具有较小的自吸收和滤膜6到探测器距离较小。

在²²²Rn、²²⁰Rn子体采样过程中，滤膜6上的氡子体数量随着采样而不断增 长，其数量还会由于从母体核素衰变而增加和自身衰变而减少，用下 述微分方程组表述：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaA}}/{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaB}}/{\lambda }_{\mathrm{RaB}}+N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaC}}/{\lambda }_{\mathrm{RaC}}+N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThB}}/{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThC}}/{\lambda }_{\mathrm{ThC}}+N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中G为过滤效率，Q为采样流率，C_RaA、C_RaB C_RaC、C、C_ThC分别为RaA、Ra B、RaC、ThB、ThC活度浓度，λ_RaA、λ_RaB λ_RaC、λ_ThB、λ_ThC分别为RaA、 RaB、RaC、ThB、ThC的半衰期，N_RaA、N_RaB N_RaC、N_ThB、N_ThC分别为采样过程 中滤膜6上积累的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的原子数。

对式（1）求解能得到：采样时间T₁结束时滤膜6上积累的RaA、RaB、 RaC、ThB、ThC的原子数与空气中RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度浓度 的关系。

采样结束后，取下滤膜6送入α计数测量仪进行测量，该时间间隔为T ₂，滤膜6上的²²²Rn、²²⁰Rn子体以采样结束时刻的数量为初始值开始衰变 ，同时子体核素还由于母体核素的衰变而增加，用下述微分方程组表 述：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

对式（2）求解得到采样结束后经过T₂时间衰变，滤膜6上的RaA、RaB 、RaC、ThB、ThC的原子数与采样结束时刻的RaA、RaB、 RaC、ThB、ThC的原子数的关系。

利用α计数测量仪开始对滤膜6测量瞬间，滤膜6上的RaA、RaB、RaC、 ThB、ThC的原子数分别为N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、N_ThC1，根据式（1）、（2） 倒推得到空气中的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度浓度。

采样后，将滤膜6送入α计数测量仪，开始测量总α计数。²²²Rn子体的 α衰变包括：RaA(²¹⁸Po)6.0MeV、RaC`(<sup>214</sup>Po)7.69MeV；<sup>220</sup>Rn子体的α衰变 包括：ThC (<sup>212</sup>Bi) 6.05MeV、ThC`(²¹²Po) 8.78MeV。

α计数测量仪开始测量后，滤膜6上的²²²Rn、²²⁰Rn子体仍然按式（2）衰 变，对式（2）求解，解得测量过程中滤膜6上任意时刻的RaA、RaB、 RaC、ThB、ThC的原子数为：

$N_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)=N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(3\right)$

$N_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}---\left(4\right)$

$\left(\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)=\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\end{array}\right)---\left(5\right)$

$N_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)=N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(6\right)$

$N_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}---\left(7\right)$

将式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）转换为活度形式：

$A_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaA}}{N}_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(8\right)$

$A_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaB}}[\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{ThA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}]---\left(9\right)$

$\left(\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaC}}\{\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}\left]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\right\}\end{array}\right)---\left(10\right)$

$A_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThB}}{N}_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(11\right)$

$A_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThC}}[\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}]---\left(12\right)$

滤膜6上的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的活度分别为A_RaA、A_RaB A_RaC、A_ThB、 A_ThC。

根据²²²Rn、²²⁰Rn放射性衰变规律知道，滤膜6上任意时刻的总的α衰变活 度A_α(t)为：

A_α(t)=A_RaA(t)+A_RaC(t)+A_ThC(t)+A₀              （13）

式中A₀为α计数测量仪的本底计数率。

以短时间间隔t为测量周期，时间t为1-10分钟，周期数量大于或等于 6个。

其计算方法有两种：

A、根据第i个测量周期的总α计数n(i)，求得第i个测量周期的 单位时间的平均计数，由于测量周期较短，这些平均计数与A_α(t)在该 测量周期中点的值近似相等，有：

$n\left(i\right)/t={\mathrm{EA}}_{\alpha }(\mathrm{it}-\frac{1}{2}t)---\left(14\right)$

E为α计数测量仪对α粒子的探测效率。

利用式（14）对n(i)/t的数据进行非线性拟合，能得到N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、 N_ThB1、N_ThC1、A₀的值；然后根据式（1）、（2）倒推得到空气中RaA、RaB 、RaC、ThB、ThC活度浓度。

B、求A_α(t)在第i个测量周期的积分：

$A_{\alpha }\left(i\right)={\int }_{(i-1)t}^{\mathrm{it}}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(15\right)$

应用最小二乘法求解²²²Rn,²²⁰Rn子体浓度，引入残差R：

$R=\underset{i=1}{\overset{n}{\Sigma }}{w}_i{(n\left(i\right)-{\mathrm{EA}}_{\alpha }\left(i\right))}^2---\left(16\right)$

式中w_i是i计数段的权重因子，权重因子的引入是考虑每个计数段的计 数统计误差不同对拟合结果的误差影响。

根据最小二乘法原理，使得残差R取最小值，能得到N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、 N_ThC1、A₀的值，然后根据式（1）、（2）倒推得到空气RaA、RaB、RaC、 ThB、ThC活度浓度。

实施例二、一种利用α粒子总计数测量空气中²²²Rn、²²⁰Rn子体的方法， 本实施例采用的222Rn、220Rn子体采集系统由带有滤膜6的采样头1、 采样杆2、流量计3、连接管4和空气采样泵5组成，采样头1和采样杆2 连接，采样杆2和流量计3连接，流量计3通过连接管4和空气采样泵5连 接。

通过空气采样泵5将空气中氡子体采集到滤膜6上，然后测量滤膜6上的 α衰变总计数，从而计算得到氡子体空气浓度。

本测量方法基于以下条件：

1) 采样过程中²²²Rn、²²⁰Rn子体浓度和空气采样泵5采样流率恒定不变；

2) 滤膜6的过滤效率和自吸收因子均为恒定常数，且不依气溶胶粒径 改变，在使用微孔滤膜时，没有自吸收；

3) 探测器的探测效率为恒定常数，且不依α粒子能量改变，依赖于 滤膜6具有较小的自吸收和滤膜6到探测器距离较小。

在²²²Rn、²²⁰Rn子体采样过程中，滤膜6上的氡子体数量随着采样而不断增 长，其数量还会由于从母体核素衰变而增加和自身衰变而减少，用下 述微分方程组表述：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaA}}/{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaB}}/{\lambda }_{\mathrm{RaB}}+N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{RaC}}/{\lambda }_{\mathrm{RaC}}+N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThB}}/{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}={\mathrm{QGC}}_{\mathrm{ThC}}/{\lambda }_{\mathrm{ThC}}+N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中G为过滤效率，Q为采样流率，C_RaA、C_RaB C_RaC、C_ThB、C_ThC分别为RaA、R aB、RaC、ThB、ThC活度浓度，λ_RaA、λ_RaB λ_RaC、λ_ThB、λ_ThC分别为RaA、 RaB、RaC、ThB、ThC的半衰期，N_RaA、N_RaB N_RaC、N_ThB、N_ThC分别为采样过程 中滤膜6上积累的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的原子数。

对式（1）求解能得到：采样时间T₁结束时滤膜6上积累的RaA、 RaB、RaC、ThB、ThC的原子数与空气中RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度 浓度的关系。

采样结束后，取下滤膜6送入α计数测量仪进行测量，该时间间隔为T ₂，滤膜6上的²²²Rn、²²⁰Rn子体以采样结束时刻的数量为初始值开始衰变 ，同时子体核素还由于母体核素的衰变而增加，用下述微分方程组表 述：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaA}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaB}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaA}}{\lambda }_{\mathrm{RaA}}-N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{RaC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{RaB}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-N_{\mathrm{RaC}}{\lambda }_{\mathrm{RaC}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThB}}/\mathrm{dt}=-N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}\\ {\mathrm{dN}}_{\mathrm{ThC}}/\mathrm{dt}=N_{\mathrm{ThB}}{\lambda }_{\mathrm{ThB}}-N_{\mathrm{ThC}}{\lambda }_{\mathrm{ThC}}\end{array}\right)---\left(2\right)$

对式（2）求解得到采样结束后经过T₂时间衰变，滤膜6上的RaA、RaB 、RaC、ThB、ThC的原子数与采样结束时刻的RaA、RaB、RaC、ThB、T hC的原子数的关系。

利用α计数测量仪开始对滤膜6测量瞬间，滤膜6上的RaA、RaB、RaC、 ThB、ThC的原子数分别为N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、N_ThC1，根据式（1）、（2） 倒推得到空气中的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC活度浓度。

采样后，将滤膜6送入α计数测量仪，开始测量总α计数。²²²Rn子体的 α衰变包括：RaA(²¹⁸Po)6.0MeV、RaC`(<sup>214</sup>Po)7.69MeV；<sup>220</sup>Rn子体的α衰变 包括：ThC (<sup>212</sup>Bi) 6.05MeV、ThC`(²¹²Po) 8.78MeV。

α计数测量仪开始测量后，滤膜6上的²²²Rn、²²⁰Rn子体仍然按式（2）衰 变，对式（2）求解，解得测量过程中滤膜6上任意时刻的 RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的原子数为：

$N_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)=N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(3\right)$

$N_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}---\left(4\right)$

$\left(\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)=\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\end{array}\right)---\left(5\right)$

$N_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)=N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(6\right)$

$N_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)=\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}---\left(7\right)$

将式（3）、（4）、（5）、（6）、（7）转换为活度形式：

$A_{\mathrm{RaA}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaA}}{N}_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}---\left(8\right)$

$A_{\mathrm{RaB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaB}}[\frac{N_{\mathrm{RaA}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{ThA}}}-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}]---\left(9\right)$

$\left(\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{RaC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{RaC}}\{\frac{-(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ +\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}+\\ [N_{\mathrm{RaC}1}+\frac{(\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}-N_{\mathrm{RaB}1}){\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}\\ -\frac{\frac{N_{\mathrm{RaA}1}}{{\lambda }_{\mathrm{RaB}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}{\lambda }_{\mathrm{RaB}}}{{\lambda }_{\mathrm{RaC}}-{\lambda }_{\mathrm{RaA}}}\left]e^{-{\lambda }_{\mathrm{RaC}}t}\right\}\end{array}\right)---\left(10\right)$

$A_{\mathrm{ThB}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThB}}{N}_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}---\left(11\right)$

$A_{\mathrm{ThC}}\left(t\right)={\lambda }_{\mathrm{ThC}}[\frac{N_{\mathrm{ThB}1}{e}^{-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}t}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-(\frac{N_{\mathrm{ThB}1}}{{\lambda }_{\mathrm{ThC}}-{\lambda }_{\mathrm{ThB}}}-N_{\mathrm{ThC}1})e^{-{\lambda }_{\mathrm{ThC}}t}]---\left(12\right)$

滤膜6上的RaA、RaB、RaC、ThB、ThC的活度分别为A_RaA、A_RaB A_RaC、A_ThB、 A_ThC。

根据²²²Rn、²²⁰Rn放射性衰变规律知道，滤膜6上任意时刻的总的α衰变活 度A_α(t)为：

A_α(t)=A_RaA(t)+A_RaC(t)+A_ThC(t)+A₀              （13）

式中A₀为α计数测量仪的本底计数率。

以长的时间间隔t₁，t₂，t₃，t₄，t₅，t₆为测量周期，时间t₁，t₂， t₃，t₄，t₅，t₆的值分别为10-120分钟，测量周期为6个。

其计算方法为：

6个测量周期的计数分别为n(1)，n(2)，n(3)，n(4)，n(5)，n(6)。

$n\left(1\right)=E{\int }_0^{t_1}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(17\right)$

$n\left(2\right)=E{\int }_{t_1}^{t_1+t_2}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(18\right)$

$n\left(3\right)=E{\int }_{t_1+t_2}^{t_1+t_2+t_3}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(19\right)$

$n\left(4\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3}^{t_1+t_2+t_3+t_4}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(20\right)$

$n\left(5\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3+t_4}^{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(21\right)$

$n\left(6\right)=E{\int }_{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}^{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6}{A}_{\alpha }\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(22\right)$

将n(1)，n(2)，n(3)，n(4)，n(5)，n(6)值带入式（17）、（18）、 （19）、（20）、（21）、（22），解得N_RaA1、N_RaB1 N_RaC1、N_ThB1、N_ThC1、A₀的 值的值，然后根据式（1）、（2）倒推得到空气中RaA、RaB、RaC、T hB、ThC活度浓度。