一种任意开挖断面隧洞的围岩应力分析方法

摘要

本发明涉及一种隧洞围岩稳定性分析和评价领域里围岩应力分布的确定方法，包括下述步骤：（1）建立力学模型：设围岩容重为γ、侧压力系数为λ、隧道埋深为H及开挖跨度为D当隧道埋深H与开挖跨度D满足H≥10D时,隧道原始地应力场简化为无穷远处均布的竖向应力、水平应力，剪应力；（2）建立任意开挖断面与变量ζ的映射函数；（3）以ζ及ω表示的解析函数和ψ(z)；（4）按下列复变函数计算而得隧洞开挖后的围岩应力；（5）对计算后的围岩应力进行分析。本发明填补了地下隧洞围岩应力解析解分析的空白，具有较高的精度和较高的工程可靠度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种隧洞围岩稳定性分析和评价领域里围岩应力分布的确定方法，它用来在隧洞开挖后的围岩稳定性分析与评价过程中快捷方便高效地确定围岩应力的分布和开展围岩应力分析。

背景技术

通常的，地下隧道围岩应力分析的方法有以下四种。一种是数值计算法，需要对地下隧洞围岩进行弹塑性力学分析，确定具体边界条件下的围岩位移场或应力场，然后根据求得的结果进行围岩应力分析和稳定性评价，以确定地下隧洞结构设计的可靠性和施工方案的合理性。具体计算确定方法有有限元法、边界元法和离散元法等。这个方法的缺点是：针对相类似的工程分析结果往往差异较大，且计算结果与实际情况之间也存在着一定的差距，这与计算时材料模型选取、计算参数取值、计算模式确定及对问题的简化程度等方面是有关的，因此对于数值模拟当前采取的是“定量分析，定性应用”一种理念；其次是效率低，特别是当边界条件发生变化时（荷载及材料属性等），需要针对每一种边界条件重新建模计算应力场或位移场。对于工程问题，每次有限元法或边界元法计算的工作量都较大，所以总效率很低；第二种方法是模型试验，该方法能把工程结构与围岩作为统一体考虑，较好地反映了岩体特性且能模拟复杂工程结构与地质环境。只要能满足一定的相似关系，不必建立复杂的本构关系或进行严密的计算分析，可直接通过测试得出结果，省去了数学、力学上的麻烦。但模型试验也存在尺寸效应、试验难度大以及费用高等不足。第三种方法是现场监控量测，通过该方法可动态地掌握围岩应力、变形及支护结构的工作状态。通过该方法获取的具体位移和应力信息就工程本身实践来讲意义是重大的，但无法对同类问题做规律性研究。第四种方法是解析法，该方法采用数学力学的计算取得围岩应力和位移的闭合解。利用解析方法讨论隧道围岩稳定性的优势在于所获得的是精确解，对计算所涉及到的各参数讨论比较方便并容易得到规律性的认识。然而，受制于数学计算方法研究的缺失，单洞隧道围岩应力场和位移场解析解的研究成果更多地集中在圆形隧道方面，而对于任意开挖断面的隧洞围岩应力分析成果尚未成熟。

现有技术存在的缺点是：(1)运用数值计算方法进行任意开挖断面隧洞围岩应力分析时，针对相类似的工程分析结果往往差异较大，且计算结果与实际情况之间也存在着一定的差距，对实际工程分析时的效率也较低；当前对该方法的使用是基于一种“定量分析，定性应用”的理念。（2）模型试验存在尺寸效应、试验难度大以及费用高等不足。(3) 通过现场监控量测仅能获取具体工程的位移和应力信息，由于实际工程的边界条件千差万别，该方法对同类问题无法做规律性研究。（4）受制于数学计算方法研究的缺失，任意开挖断面隧洞的围岩应力解析解的研究成果主要集中在圆形和椭圆形隧洞方面，对其它任意开挖断面的研究成果不成熟，且未给出解析解显式，通用性差，利用现有成果无法对任意开挖断面的隧洞围岩应力进行弹塑性解析分析。

发明内容

为克服已有的地下隧道任意开挖断面围岩应力分析方法的不足，弥补由于数学力学方法研究的缺失而造成的任意开挖断面隧洞围岩应力解析分析的不成熟，填补任意开挖断面围岩应力尚未有解析解通式的空白，本发明提供一种独特的地下隧洞围岩应力解析分析方法，能高精度和高效率地解决任意开挖断面围岩应力的求解问题，快捷地进行围岩应力分析，使进行任意开挖断面隧洞的围岩应力弹塑性解析分析成为可能。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种任意开挖断面隧洞的围岩应力分析方法，包括下述步骤：

（1）建立力学模型：

设围岩容重为γ、侧压力系数为λ、隧道埋深为H及开挖跨度为D，当隧道埋深H与开挖跨度D满足H≥10D时,隧道原始地应力场简化为无穷远处均布的竖向应力、水平应力，剪应力；

（2）建立任意开挖断面与变量ζ的映射函数：

对隧洞的任意开挖断面，将任意开挖断面看成由ζ平面上的单位圆映射而得，从而将单位圆外域映射到任意断面隧洞外域，

$>z=\omega \left(\zeta \right)=\underset{n=1}{\overset{m}{\Sigma }}{c}_n{\zeta }^{-(n-2)}---\left(1\right)$>

式中：z 为 z 平面上单连通外域内的点坐标； ζ为ζ平面上单位圆外域内的点坐标；ω为映射函数，m为映射函数项数，其取值与实际开挖洞形的复杂程度及映射要求的精度有关，m≥1，c_n是与开挖断面形状相关的复常数；

（3）以ζ及ω表示的解析函数和ψ(z)：

其中，$>B=\frac{{\sigma }_x^{\infty }+{\sigma }_y^{\infty }}{4},B^{\prime }=\frac{{\sigma }_y^{\infty }-{\sigma }_x^{\infty }}{2}$> ，，为c₁的共轭；

（4）按下列复变函数计算而得隧洞开挖后的围岩应力：

式中σ_x和σ_y分别为围岩任意点的x和y方向正应力，τ_xy为剪应力；Re和Im分别表示取复数的实部和虚部；为z的共轭；

（5）对计算后的围岩应力进行分析。

进一步，所述的开挖断面形状为圆形，式(1)中m=1,z=ω(ζ)=Rζ,R为实际隧洞开挖断面半径。

式(1)中，映射函数  可采用当前本领域技术人员所熟知的数字方法求解，如朱大勇、钱七虎等在《岩石力学与工程学报》 第18卷第3期所发表的“复杂形状洞室映射函数的新解法” ，或者皇甫鹏鹏、伍法权等在《岩土力学》第32卷第5期所发表的“基于边界点搜索的洞室外域映射函数求解法”，或者按通用的三角插值法求解。

进一步，式(1)中c_n=A_n+iB_n ，A_n、B_n按三角插值法求解而得。

本发明步骤（1）力学模型的建立基于以下理论：对地下隧洞围岩的弹性应力分析，若满足隧洞围岩均质、各向同性和线弹性的假设条件，隧道长度远大于开挖跨度，则可采用平面应变的方法，取隧洞的任一开挖断面作为其代表研究。研究表明，当隧洞符合埋深条件，即隧道埋深H与开挖跨度D满足H≥10D时，忽略隧洞影响范围内岩石（1.5-2.5倍的D）的自重，原问题的误差不超过10%。于是，原岩应力仅考虑自重应力场时，隧洞原岩应力可简化为无穷远处均布的竖向应力和水平应力，对隧道围岩的弹性应力分析可按平面弹性洞口问题考虑。

本发明的技术方案要点是：

首先是建立其进行地下任意开挖断面隧道围岩应力分析的力学模型；其次是建立起隧洞围岩应力及边界条件方程在实数域与复数域之间的联系方程；第三是通过三角插值理论解决联系方程中的映射函数的求解问题；第四是将任意开挖断面隧洞围岩应力边界条件方程转化成积分方程，通过对积分方程中各被积函数在讨论域内的解析性研究获知每一被积函数的解析性；第五是利用留数理论直接求得边界条件方程中的两个解析函数；第六是将获得的解析函数代回隧洞围岩应力在实数域与复数域之间的联系方程中，得到实数域内的围岩应力求解式。

当具体地下隧洞的边界条件确定后，利用上述方法可以方便快捷的进行任意开挖断面隧洞的围岩应力计算和分析，具体分析时仅需将具体边界条件输入便可获得围岩应力计算结果。本方法的实际执行效率，可以比现有的其它方法提高几十倍乃至上百倍；特别是对于边界条件有微小变化时，利用现有的其它方法，每一微小变化就需建模和计算一次，计算周期较长，且所获得的计算结果由于精度问题往往不理想。利用本方法可以在数分钟至几小时内完成具体的工程分析，且分析结果符合工程精度要求。

相对于现有技术，本发明的有益效果主要表现在：

(1)、填补了地下隧洞围岩应力解析解分析的空白。现有的地下隧洞围岩应力的解析法分析，仅在圆形和椭圆形隧洞方面较成熟；对于其它隧洞开挖洞形的围岩应力分析，现有的解析方法计算复杂、通用性差，且无法利用它进行后续的围岩稳定性弹塑性分析。本方法不仅能快速计算获得任意开挖断面隧洞的围岩应力并展开围岩应力分析，且给出了弹性解的显式，通用性强，运用该成果使围岩稳定性的弹塑性解析解分析成为可能，填补了该领域的空白。

(2)、具有较高的精度。只要映射函数是符合精度要求的，将其代入两个解析函数通式进行隧洞围岩应力求解时，无需对映射函数项数作截项处理，且所获得的应力较其它解析近似解更为精确。

（3）较高的工程可靠度。由于所获得的围岩应力是解析解，即在具体隧洞围岩应力边界积分方程求解过程中，被积函数的奇点个数和类型在讨论域内一旦明确，则可应用留数理论直接求得每一积分项的积分，无需采用新的级数来代替被积函数，因此其在数学和力学上属于闭合解，具有较高的精度；边界条件的任何微小调整均体现在围岩应力值的变化上，在此基础上获得的围岩应力分析结果较其他方法更为可靠。

（4）具有较强的适用性。实际地下隧洞工程中，由于工程功能性需要，实际开挖断面形状是多种多样的。利用本方法可对任意开挖断面隧洞的围岩应力展开分析，而无需借助其他手段，具有较强的适用性。

附图说明

图1是本发明地下隧洞任意开挖断面的围岩应力分析方法的流程图。

图2是任意开挖断面隧洞围岩应力的力学模型。

图3是任意开挖断面隧洞围岩应力的计算模型。

图4是单位圆—任意断面外域映射关系图。

图5是隧道圆形开挖断面的围岩应力分析力学模型。

图6是圆形隧道环向应力分布图。

图7是圆形隧道θ=0°,45°和90°三个方向上围岩应力变化规律图。

图8是高速公路两车道隧道断面图。

图9是高速公路两车道隧道孔边环向应力分布图。

图10是高速公路两车道隧道围岩应力分析图。

图11是高速公路两车道隧道分析点围岩应力分析图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述，但本发明的保护范围并不限于此。

实施例1

参照图1、2、3、4和5，利用一种地下隧道任意开挖断面的围岩应力分析方法，对圆形隧道围岩应力展开分析，该方法主要包括以下步骤：

（1）计算条件和参数。

有一R=3m的圆形隧道，力学模型见图5，计算模型参见图2。由图5知：H=630m＞20R₀。围岩容重为γ=23KN/m³，侧压力系数λ为0.54。相关参数计算如下：

$>{\sigma }_y^{\infty }=\mathrm{\gamma H}=14.49\mathrm{Mpa},{\sigma }_x^{\infty }={\mathrm{\lambda \sigma }}_y^{\infty }=7.82\mathrm{MPa}$>

$>B=\frac{{\sigma }_x^{\infty }+{\sigma }_y^{\infty }}{4}=5.58\mathrm{MPa},B^{\prime }=\frac{{\sigma }_y^{\infty }-{\sigma }_x^{\infty }}{2}=3.34\mathrm{MPa}$>

（2）、映射函数求解：

由于研究对象为圆形隧洞，由图4知映射函数为：

z=ω(ζ)=Rζ    (1)

其中R为实际隧洞开挖断面半径，从图5的初始条件易知R为3m。

（3）解析函数获取：

将式(1)代入式（2）和（3），并转化成z变量表示：

$>\psi \left(z\right)=B^{\prime }{C}_1\zeta -\frac{{C_1}^2(B^{\prime }{\zeta }^{-3}+2B{\zeta }^{-1})}{C_1-0}=B^{\prime }z-\frac{2{\mathrm{BR}}^2}{z}-\frac{B^{\prime }{R}^4}{z^3}---\left(3\right)$>

（4）围岩应力求解。

将(2)、(3)式以及计算参数代入下式便可求得圆形隧洞围岩应力：

（5）围岩应力分析。

洞周环向应力分布

图6为洞周环向应力分布图。由图可知，洞周只存在环向应力σ_θ而σ_r,τ_rθ为零，圆形隧道洞周环向应力均为压应力，呈中心对称关系。应力大小分布与角度有关，最大压应力在θ=0°及θ=180°位置，达到35.68MPa，为边界竖向应力的2.46倍，最小压应力在在θ=90°及θ=270°的位置,数值为 8.96MPa，与边界水平应力较接近。由此看出，对于断面形状为圆形的隧道，洞周环向应力分布较均匀，有利于保证围岩稳定性。

图7分别为θ=0°,45°和90°三个方向上围岩各分析点的σ_x、σ_y和τ_xy应力分布图，其中分析点是按单位圆外上述三个方向上的点映射到洞室外的实际点考虑，因此，图7中的横坐标是按映射点到单位圆洞壁的距离表示，r为单位圆的半径。由图7（a）和（c）知，在θ=0°和90°处围岩各点的τ_xy均为0，即隧道的水平和铅直面为主应力面，在该面上只有正应力没有剪应力，其余方向截面都有剪应力，这是由计算模型和计算条件决定的。计算模型中仅考虑自重应力场，将埋深范围内的岩石自重和侧压力简化为无穷边界处的作用力；且不考虑重力梯度。因此计算结果和计算模型是相吻合的。从图7（a）可以看出，σ_x从洞周开始随着离洞周的距离加大应力值不断增加，在2倍洞径范围内增加幅度最大，随后增加值减缓，当距离洞周3r以上时，σ_x趋近于7.82MPa；σ_y的变化刚好相反，随着距离洞周越远，应力值从洞周的最大值逐渐趋近于14.49MPa，且在一倍洞周范围内应力下降幅度最大。图7（b）和（c）也可以看出同样的规律，这说明隧道开挖引起了洞周附近围岩应力场发生较大变化，随着离洞周距离的增加，围岩受到的扰动越来越小。以上所反应的规律和隧道工程实践中所得规律较一致，说明了应用复变函数法求解隧道围岩应力场是可行和可信的。

实施例2

参照图1、2、3、4和8，利用一种地下隧道任意开挖断面的围岩应力分析方法，对以两车道公路隧道标准轮廓线为基础的隧道进行开挖后的隧道围岩应力分析，该方法主要包括以下步骤：

（1）计算条件和参数。

计算对象为埋深120m的两车道公路隧道，围岩级别Ⅲ，重度γ为23kN/m³，侧压力系数λ为0.54。《公路隧道设计规范》(JTG D702004)中的两车道公路隧道标准内轮廓断面为图8（a）；隧道实际开挖断面一般距标准内轮廓线50-500mm左右，视围岩等级、埋深情况及支护设计等条件确定。本次计算考虑开挖宽度为距标准轮廓线300mm，具体断面尺寸见图8（b）。其它相关计算所需参数计算如下：

$>{\sigma }_y^{\infty }=\mathrm{\gamma H}=2.76\mathrm{Mpa},{\sigma }_x^{\infty }={\mathrm{\lambda \sigma }}_y^{\infty }=1.49\mathrm{MPa},{\tau }_{\mathrm{xy}}^{\infty }=0$>

$>B=\frac{{\sigma }_x^{\infty }+{\sigma }_y^{\infty }}{4}=1.06\mathrm{MPa},B^{\prime }=\frac{{\sigma }_y^{\infty }-{\sigma }_x^{\infty }}{2}=0.64\mathrm{MPa};$>

（2）建立任意开挖断面与变量ζ的映射函数：

映射函数采用式（1），将单位圆外域映射到图8（b）的隧道实际开挖断面外域，函数项数m取32项，映射断面与实际开挖断面的边界线误差控制在5mm以内，系数c_n=A_n+iB_n ，A_n、B_n采用三角插值法求解，表1为映射函数系数的计算结果。

表1高速公路两车道隧道开挖断面的映射函数系数

（3）解析函数获取。

将上述映射函数代入下式便可求得两解析函数。

其中；

（4）围岩应力求解。

  参照实施例1中的围岩应力求解公式进行围岩应力计算。

（5）围岩应力分析。

孔边环向应力

开挖后洞周不考虑支护，因此隧道的孔边边界面力为零，即只存在环向应力，而径向应力和剪应力均为零。图9为隧道开挖后的孔边环向应力分布。由图知环向应力均为压应力，且呈轴对称分布；孔边不同曲率的弧段应力分布差异较大，拱底的曲率半径最大环向应力最小，拱底和拱腰的结合段曲率半径最小应力值最大。另外，不同弧段曲率越接近意味着顺接越光滑，则洞周环向应力突变值越小，如果两弧段曲率半径差异较大，则存在应力突变，这从拱底和R=1.6m小弧段的结合部可以看出，这也诠释了实际工程中总是避免出现角点的原因。

围岩应力分布

隧道开挖后洞周围岩产生次生应力场，随距孔边距离的增加，次生应力逐渐趋近于原岩应力。因此，有必要对隧道的拱顶、拱肩、拱腰、拱脚和拱底等五个特征部位附近的围岩应力展开分析。由于所有的应力计算都是在将单位圆外域映射到实际洞室外域的基础上获得的，因此按单位圆外5个相应方向上的点映射到洞室外的实际点考虑，对于数据的提取和分析更为方便。按此思路，以单位圆5条射线为例对围岩次生应力分布进行分析，5条射线与x轴夹角为7°、58°、94°和-50°和-86°，射线上各点的间距相差0.2r，r为单位圆的半径，见图10（a）所示。5条射线上相应的映射点见图10（b）所示。下面对各映射点应力展开分析。

与图10(a)中5条射线上相对应的图10(b)中的各映射点应力σ_x、σ_x和τ_xy分布见图11所示，横轴为射线上各点到圆周距离,其中（a）表示7o方向应力值，（b）表示58o方向应力值，（c）表示94o方向应力值，（d）表示-86o方向应力值，（e）表示-50o方向应力值。由图11可见，与5条射线上相对应的各映射点切应力在隧道周边附近为最大，表明周边围岩最易破坏；除了与94°射线相对应的映射点的σ_x以外，其它σ_x、σ_y在隧道周边附近都发生了明显调整，发生明显调整的围岩范围在不同方向上有所差异，一般为1～2倍的洞径，在此以外的围岩都趋于原岩应力；与94°和-86°方位的2条射线相对应的各映射点的σ_y变化规律相近，并在隧道周边接近于0，但σ_x变化规律不同，94°方向的σ_x在隧道周边较大，而-86°方向的σ_x在隧道周边较小。其原因是仰拱曲率较小，而拱顶曲率较大；隧道周边切应力在拱脚处最大（-50°方向），拱肩（58°方向）和拱腰（7°方向）次之，这表明着3个部位围岩容易进入塑性破坏。