一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法

摘要

本发明公开了一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，包括有：步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；步骤二，针对运动系数矩阵进行Jordan分解，得到解耦的相对运动关系的通解；步骤三，将变换后运动状态量的初值视为区分编队构型的不变量，建立由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；步骤四，用多项式描述编队重构的优化系数向量，化简由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；步骤五，以控制燃料消耗总量最小为收敛约束，优化求解编队重构的优化系数向量。本发明应用Jordan分解分离出线性不稳定项和周期项，通过对构型不变量和积分初值的不同定义，以达到最小燃料消耗总量为目标、重构路径初终端为约束，优化求解常值系数向量。

说明书

技术领域

本发明涉及卫星编队飞行技术领域，更特别地说，是指一种采用Jordan分解与小推力策略进行编队飞行小推力重构的方法。

背景技术

作为多星系统，航天器编队很大程度上拓展了单一航天器完成任务的局限性，不但能够实现编队中单一航天器的任务功能，而且整个编队可以替代单个大航天器实现更为复杂的任务。在一定条件下，即使在编队中丢失一两个航天器，其他航天器也可协作完成丢失航天器的任务，大大提高编队系统的整体可靠性，具有很强的实际应用价值。由于编队中卫星所携带的燃料有限且无法补给，因此进行编队飞行不同重构策略的研究，具有十分重要的意义。

为了成功地实现编队飞行任务，任务之前和执行任务中的航天器编队轨道设计尤为重要，因此提出了编队构型的相关问题。编队构型机动中主要包含三个主要内容：

构型建立，即将相互独立的航天器群组建为任务所需构型；

构型保持，即通过控制方法，使编队内各航天器在受到轨道摄动等因素的影响下仍可保持稳定的相对位置，维持任务所需构型；

构型重构，即针对编队飞行航天器位置的重分配，根据不同任务的需要而对航天器编队的一颗或多颗航天器进行轨道调整，使航天器编队位置或编队中航天器之间的相对位置发生改变，从而实现编队不同构型之间的转换。

与传统的航天器轨道维持相比，高精度编队飞行的轨道控制对于控制精度具有更高的要求，对于控制频率也有一定的限制。因此，连续小推力轨道控制走进航天研究者的视野，基于连续小推力控制的航天器轨道维持与重构成为众多学者的热门研究内容。作为执行深空探测任务中的常用的一项关键技术，小推力技术具有技术发展成熟、控制精度高、直观的特点。由于新型电推进器以及电磁力和静电力的使用面越来越广，连续小推力方法的应用更为广泛。

此外，在卫星编队重构中，通常都将燃料消耗总量、燃料消耗均衡或者二者的某种加权关系作为编队重构优化指标。

发明内容

鉴于特征值分解在描述相对转道运动模式的不足，本发明采用Jordan分解分离出线性不稳定项和周期项，卫星编队由主星与从星两颗卫星组成，并假设主星运行在无摄圆轨道上。本发明重构方法通过对构型不变量和积分初值的不同定义，优化从星从初始轨道构型到目标轨道构型的重构路径，进而转化满足初终端约束的开环控制规划泛函。基于小推力控制的多项式函数近似求解，以达到最小燃料消耗总量为目标、重构路径初终端为约束，优化求解常值系数向量。

本发明的一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，其特征在于包括有下列步骤：

步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；

为了维持编队飞行构型采用CW方程来描述主星与从星的相对位置关系，并在所述的CW方程中添加了外部控制加速度u，使得主星与从星满足式(1)的相对运动关系：

A表示Φ的右下角对角元素，且ω表示主星的轨道角速度； -A表示A的相反数；

B表示Φ的左下角对角元素，-B表示B的相反数；

矩阵Φ的特征值是反映式(1)动态行为的主要指标，即式中空白项均为0，U表示Φ的特征向量，U^-1表示U的逆矩阵；

步骤二，针对运动系数矩阵进行Jordan分解，得到解耦的相对运动关系的通解；

由步骤一得到矩阵Φ，针对Φ进行Jordan分解V^-1ΦV＝J，V表示Jordan分解的特征向量，V^-1表示V的逆矩阵，得到表征六维运动模态的特征矩阵J，其中

令Z＝V^-1X，Z表示变换后运动状态量，X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量，并将J带入式(1)可得相对运动关系：

当u＝0时，由简化的式(2)可得通解式为Z(t)＝e^JtZ₀，Z(t)表示随时间变化的属于X的坐标变换后的状态量，e^Jt表示状态转移矩阵，J表示六维运动模态的特征矩阵，t表示时间，Z₀表示Z的状态初始值；

在u＝0时，Z₀为常值向量，而状态转移矩阵写作：

所述e^Jt中的元素分别表征不同的运动模态，其中，cosωt是主星角速度与时间乘积的余弦值，sinωt是主星角速度与时间乘积的正弦值，-sinωt是sinωt的相反数；

步骤三，将变换后运动状态量的初值Z₀视为区分编队构型的不变量，建立由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；

在通解Z(t)＝e^JtZ₀中，Z₀除了作为积分常数外，还可视为区别编队构型的不变量；状态转移矩阵e^Jt可以看作为CW方程的基础解系，即从星相对主星的所有运动都视为状态转移矩阵所有列向量的线性组合；

当u≠0时，Z(t)仍可视为状态转移矩阵所有列向量的时变线性组合，即：

Z(t)＝e^JtZ₀(t)>

将式(4)求导并代入式(3)，可以得到：

联立式(4)和式(5)，可得u(t)的最小二乘解为：

将记为M，为同时满足变换后运动状态量的初值微分条件和加速度加载为最小二乘解形式，将P(P^TP)^-1P^T记为N，则：

(N-I)·M＝0 (7)

I表示单位矩阵；此时，M表征为N的特征值为1时的特征向量；N具有特征值分布为{0,0,0,1,1,1}，其中特征值为1时N的正交特征向量记为E；因此，满足式(7)的随时间变化的任意M可表示为：

M(t)＝E·γ(t)(8)

将(8)式带入可得则编队重构问题可表示为由所述γ(t)到编队重构的目标轨道构型状态量Z₀(T_d)的泛函：

步骤四，用多项式描述编队重构的优化系数向量γ(t)，化简由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；

采用多项式近似求解式(9)所建立的编队由初始构型到目标构型的重构路径；则编队重构的优化向量γ(t)可以写作：

将式(10)代入式(9)可以得到：

为了简化，将记为重构路径常数矩阵G_j，可知G_j与重构路径无关，可以离线计算；当j最大值取2时，式(11)可改写为：

Z₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E>1E>2E]·[D₀>1>2]^T(12)

步骤五，以控制燃料消耗总量L最小为收敛约束，优化求解编队重构的优化系数向量γ(t)；

对于同一重构路径，D_j的选择不唯一，故需根据控制燃料消耗总量选择；将和代入式(6)可得：

则控制燃料消耗总量可以表示为：

对于D_j的选择是将编队重构的路径求解问题转化为具有等式约束的非线性燃料消耗总量优化问题，即求解燃料消耗总量的最小L_min且D_j满足>0(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E>1EG₂E]·[D₀>1>2]^T。

本发明采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的优点在于：

①利用Jordan分解处理相对运动方程，解决传统特征值分解方法处理过程中隐藏长期漂移模态的问题，有利于揭示相对运动的所有运动模态，从而更方便的对相对运动进行分析处理。

②本发明方法采用求解Jordan分解处理后的相对运动学方程可得基础解系，提取提取基础解系的组合系数作为不变量，推导全新的重构模型，从而将编队重构路径问题转换为泛函问题，可直接优化求解，减少计算量。

③采用控制消耗作为优化变量，将重构问题中自变量的选择转化为具有等式约束的非线性优化问题，求解出来的重构路径可以大大减少能量消耗，延长卫星编队整体寿命。

附图说明

图1是两星之间的相对位置示意图。

图2是本发明实施例1中重构前后轨迹以及重构路径图。

图2A是图2的俯视图。

图2B是图2的右视图。

图2C是图2的前视图。

图3是本发明实施例1中重构期间的小推力加速度时间历程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。

当用运动学方程描述编队飞行卫星的相对运动关系时，常采用特征值分解的方法分离出不同的运动模态。但特征值方法并不适用所有的情况，因此在本发明中，采用Jordan分解对相对运动关系进行处理。Jordan分解相关内容参考2013年3月第 2版的《高等代数》，作者李方等，第94-98页。

本发明的一种采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，包括有下列步骤：

步骤一，建立无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型；

此卫星编队由主星与从星两颗卫星组成，并假设主星运行在无摄圆轨道上。参见图1所示的主星轨道坐标系定义如下：主星记为S₁，从星记为S₂，原点为主星质心，>1，地心O到从星质心的距离矢量记为r₂，主星质心与从星质心的距离记为ρ。为了维持编队飞行构型采用CW方程来描述主星与从星的相对位置关系，并在所述的CW方程中添加了外部控制加速度u，使得主星与从星满足式>

X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量。

表示X的变化率。

Φ表示属于X的系数矩阵，即无摄圆轨道下主星与从星的相对运动模型，简称为运动系数矩阵。

u表示小推力发动机提供的对从星施加的控制加速度(简称加速度加载)。

A表示Φ的右下角对角元素，且ω表示主星的轨道角速度； -A表示A的相反数。

B表示Φ的左下角对角元素，-B表示B的相反数。

在本发明中，CW方程参考2015年1月第1版的《航天器编队飞行：动力学、控制、与导航》，作者(美)Kyle T.Alfriend等，张世杰译，第57-58页。

在本发明中，矩阵Φ的特征值是反映式(1)动态行为的主要指标，即式中空白项均为0，U表示Φ的特征向量，U^-1表示U的逆矩阵。由Φ的特征值分布可知式(1)只表征了4个维度的周期运动，其中“0”值表明系统临界稳定，没有不稳定项存在。而实际结果表明，相对运动中存在长期漂移项，因此特征值分解不能揭示相对运动全部的运动模态。

在本发明中，也可以存在区间的划分

步骤二，针对运动系数矩阵进行Jordan分解，得到解耦的相对运动关系的通解；

由步骤一得到矩阵Φ，针对Φ进行Jordan分解V^-1ΦV＝J，V表示Jordan分解的特征向量，V^-1表示V的逆矩阵，得到表征六维运动模态的特征矩阵J，其中在本发明中，也可以存在区间的划分

令Z＝V^-1X，Z表示属于X的坐标变换后的运动状态量(简称为变换后运动状态量)，X表示从星S₂相对于主星S₁的运动状态量，并将J带入式(1)可得相对运动关系：

表示Z的变化率。

P表示u的系数，且P的取值为V的第3列到第6列部分的元素。

在本发明中，当小推力发动机不提供轨道控制加速度(即不考虑u，u＝0)时，由简化的式(2)可得通解式为Z(t)＝e^JtZ₀，Z(t)表示随时间变化的属于X的坐标变换后的状态量，e^Jt表示状态转移矩阵，J表示六维运动模态的特征矩阵，t表示时间，>0表示Z的状态初始值，在u＝0时Z₀为常值向量，而状态转移矩阵写作：

所述e^Jt中的元素分别表征不同的运动模态，其中，cosωt是主星角速度与时间乘积的余弦值，sinωt是主星角速度与时间乘积的正弦值，-sinωt是sinωt的相反数。

步骤三，将变换后运动状态量的初值Z₀视为区分编队构型的不变量，建立由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；

在通解Z(t)＝e^JtZ₀中，Z₀除了作为积分常数外，还可视为区别编队构型的不变量；状态转移矩阵e^Jt可以看作为CW方程的基础解系，即从星相对主星的所有运动都视为状态转移矩阵所有列向量的线性组合。当小推力发动机向从星提供轨道控制加速度(即u≠0)时，Z(t)仍可视为状态转移矩阵所有列向量的时变线性组合，即：

Z(t)＝e^JtZ₀(t)(4)

将式(4)求导并代入式(3)，可以得到：

表示Z₀的变化率，其物理意义是在小推力发动机控制u作用下，卫星编队中从星从初始轨道构型重构到目标轨道构型所走的路径。

联立式(4)和式(5)，可得u(t)的最小二乘解为：

u表示小推力发动机提供的对从星施加的控制加速度(简称加速度加载)。

u(t)表示随时间变化的加速度加载。

为了简化说明，将记为M(即)，式(6)简化为：

u(t)＝(P^TP)^-1P^T·M

为同时满足变换后运动状态量的初值微分条件和加速度加载为最小二乘解形式，将P(P^TP)^-1P^T简化记为N，则：

(N-I)·M＝0 (7)

I表示单位矩阵。此时，M表征为N的特征值为1时的特征向量。N具有特征值分布为{0,0,0,1,1,1}，其中特征值为1时N的正交特征向量记为E。因此，满足式(7)的随时间变化的任意M可表示为：

M(t)＝E·γ(t)(8)

γ(t)表示编队重构的优化系数向量，且为任一3×1维向量。

将(8)式带入可得则编队重构问题可表示为由所述γ(t)到编队重构的目标轨道构型状态量Z₀(T_d)的泛函：

T_d表示编队重构结束时间；

e^-Jt为状态转移矩阵e^Jt的逆；

E为特征值为1时N的正交特征向量；

dt为时间的微分；

Z₀(T_d)表示编队重构的目标构型状态量；

Z₀(0)表示编队重构的初始构型状态量；

步骤四，用多项式描述编队重构的优化系数向量γ(t)，化简由初始轨道构型到目标轨道构型状态量的泛函；

本发明是采用多项式近似求解式(9)所建立的编队由初始构型到目标构型的重构路径。则编队重构的优化向量γ(t)可以写作：

j表示编队重构的多项式求解阶数，在本发明中取j最大值取2；

t^j表示时间的阶数；

D_j表示当阶数为j时的常值系数向量。

将式(10)代入式(9)可以得到：

为了简化，将记为重构路径常数矩阵G_j，可知G_j与重构路径无关，可以离线计算。当j最大值取2时，式(11)可改写为：

Z₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E>1E>2E]·[D₀>1>2]^T>

Z₀(T_d)表示编队重构的目标构型状态量；

Z₀(0)表示编队重构的初始构型状态量；

E为特征值为1时N的正交特征向量；

G_j表示重构路径常数矩阵；

G₀表示j＝0时的重构路径常数矩阵取值；

G₁表示j＝1时的重构路径常数矩阵取值；

G₂表示j＝2时的重构路径常数矩阵取值；

D₀表示j＝0时的常值系数向量取值；

D₁表示j＝1时的常值系数向量取值；

D₂表示j＝2时的常值系数向量取值；

上角标T为坐标转置符。

步骤五，以控制燃料消耗总量L最小为收敛约束，优化求解编队重构的优化系数向量γ(t)；

对于同一重构路径，D_j的选择不唯一，故需根据控制燃料消耗总量选择。将和代入式(6)可得：

则控制燃料消耗总量可以表示为：

k表示转置后加速度加载的多项式求解阶数，在本发明中最大值取2；

j表示编队重构的多项式求解阶数，在本发明中最大值取2；

表示转置后当阶数为k时的常值系数向量。

因此，在本发明中，对于D_j的选择是将编队重构的路径求解问题转化为具有等式约束的非线性燃料消耗总量优化问题，即求解燃料消耗总量的最小L_min且D_j满足>0(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E>1E>2E]·[D₀>1>2]^T。在本发明中对于低阶优化问题，通过>

实施例1

编队任务中的主星运行于800km圆轨道；重构前后的构型参数选取如下：>0(0)＝[1,0,1,1,0,0]^T km(构型中心位于沿迹向7m处、构型半径为3.35km)和>0(T_d)＝[-1,0,0,2,2,0]^T>d＝6052.4s。

采用本发明的方法实现由构型Z₀(0)到Z₀(T_d)的重构，优化得到>0＝[-0.0066,0.11,-0.64]×10^-4、D₁＝[-0.1425,0.0003,0.000017]×10^-3、>2＝[0.37,0,0.000012]×10^-7。则重构前后轨迹以及重构路径如图2、图2A、图2B、图2C所示，重构期间的小推力加速度时间历程如图3所示。累计所需速度增量为ΔV＝4.43×10^-3m/s，最大控制加速度为1.9×10^-3m/s²，且出现在重构完成时刻。分析基于多项式函数拟合的重构路径优化方法的数值仿真结果，可以看出本发明方法可以实现由初始相对轨道到目标相对轨道的重构路径规划，且重构路径的位置坐标与初始轨道目标轨道没有大尺度偏移。这说明在重构过程中从星与主星没有产生较大的相对距离，仍可维持在编队范围内，CW方程仍成立。可以看出，小推力发动机提供的加速度加载是通过多项式进行拟合的，其曲线较为平滑。

本发明采用Jordan分解进行编队飞行小推力重构的方法，通过对构型不变量和积分初值的不同定义，优化从星从初始轨道构型到目标轨道构型的重构路径，进而转化满足初终端约束的开环控制规划泛函。基于小推力控制的多项式函数近似求解，以达到最小燃料消耗总量为目标、重构路径初终端为约束，优化求解常值系数向量。