基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法

摘要

本发明公开了一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法，包括以下步骤：基于显著特征信息以及泊松曲面重建方法构建初始偏置曲面；利用有限元计算分析偏置壳体的受力情况，根据每个单元体的应力高低划分壁厚调节空间；采用Laplacian微分域变形方法优化壁厚。本发明通过提取原始表面的Morse显著特征点，并构建偏置点云，再基于泊松方法将点云重建为三角网格曲面，能够保持原始模型基本形态和细节特征；采用Laplacian微分域变形方法来加厚高应力区、减薄低应力区，能够改善应力集中现象，提升结构的承载能力。

说明书

技术领域

本发明属于增材制造技术领域，具体涉及一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法。

背景技术

如今，数字化与智能化制造的研究热潮正在全球飞速发展。数字化设计以三维模型扫描和建模为代表，智能化制造以增材制造为代表，这两者的结合丰富了捕捉与呈现真实生活的方法，实现了复杂三维模型在现实世界的设计制造。然而，要通过3D打印设备定制加工三维扫描曲面，必须要将其转化为实体模型，比如封闭曲面模型，或者有厚度的壳体模型。面对高度复杂的真实场景，如何对三维扫描曲面做高效精确的实体化处理，使得到的实体模型不仅具有符合使用环境的形貌特征，并且达到预期的功能需求，是一项热点研究内容。如图1所示，由于三维扫描曲面一般的表示形式为离散网格，同时三角网格曲面已成为3D打印软件接口数据的行业准标准，因而本发明主要针对离散曲面的其中一种，即三角网格曲面。

作为离散曲面实体化过程中的关键环节，偏置造型方法的优劣直接影响实体模型设计质量的好坏。对曲面进行偏置操作，一方面单层封闭曲面可以转化为有空腔的实体，打印过程中的材料需求得以降低；另一方面，单层非封闭曲面可以直接转化为壳体，满足定制产品的造型与功能需求。

现有的偏置方法主要可分为直接偏置和隐式偏置两种。直接偏置的缺点在于当偏置距离较大时三角面片容易自交，这会影响切片轮廓的有序性，进而导致实物加工的质量问题。而隐式偏置虽然能避免自交，但在偏置距离较大时同样存在缺点，生成的偏置曲面在曲率变化大的部位容易变得过于圆钝或尖锐，对比原始曲面有着明显的细节特征差别。这两种方法主要针对的是偏置曲面对原始曲面形貌的还原，但没有考虑真实的受力情况，其力学性能不能保证。在实际工况条件下，由于外力作用、自身结构等因素的影响，零件应力分布通常是不均匀的，有可能产生应力集中乃至断裂事故。因此，偏置造型方法的研究不仅需要避免三角片自交问题，尽量还原原始曲面形貌，同时其结构设计也需要满足所需力学性能要求，能够根据被施加的载荷来自适应调节壳体厚度，以减少增材制造过程中应力局部增高现象。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法，包括以下步骤：

步骤1、基于显著特征信息以及泊松曲面重建方法构建初始偏置曲面；

步骤2、利用有限元计算分析偏置壳体的受力情况，根据每个单元体的应力高低划分壁厚调节空间；

步骤3、采用Laplacian微分域变形方法优化壁厚。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)本发明采用顶点偏置与隐式曲面偏置相结合的方法实现三角网格曲面的初始等距偏置处理，避免产生三角片自交；(2)本发明通过提取原始表面的Morse显著特征点，并构建偏置点云，再基于泊松方法将点云重建为三角网格曲面，能够保持原始模型基本形态和细节特征；(3)本发明通过有限元分析偏置壳体的受力情况，按照应力值大小划分高低应力区域；(4)本发明采用Laplacian微分域变形方法来加厚高应力区、减薄低应力区，能够改善应力集中现象，提升结构的承载能力。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1为三角网格曲面模型示意图。

图2为Morse显著特征点提取示意图。

图3为泊松重建过程示意图。

图4为应力区域划分方法示意图。

图5为偏置壳体结构优化技术路线示意图。

图6为非均匀变厚度结构设计实例示意图。

具体实施方式

本发明重点针对变厚度三维壳体模型的设计需求，采用几何造型与有限元分析协同计算的方法，首先基于显著特征信息以及泊松曲面重建方法构建初始偏置曲面，其次利用有限元计算分析偏置壳体的受力情况，随后根据每个单元体的应力高低划分壁厚调节空间，最后采用Laplacian微分域变形方法优化壁厚，从而使最终的非均匀壁厚的偏置壳体不仅符合增材制造标准，同时还能保证结构强度。本发明为面向增材制造的三维模型设计提供一种新的结构优化方法，具有重要的工程应用价值。

一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法，包括以下步骤：

步骤1、基于显著特征信息以及泊松曲面重建方法构建初始偏置曲面；具体为：

步骤1-1、读取三维离散曲面模型，提取Morse显著特征点；

(1)用平均曲率计算所有原始网格曲面顶点v的Morse函数值f(v)：

其中每个顶点的最大和最小主曲率k_max、k_min；

(2)利用高斯滤波函数W_c和特征保持函数W_s，计算f(v)的双边滤波值B(f(v),r)：

其中r表示该网格曲面顶点的邻域半径大小，N(v,2r)表示距离该顶点距离2r的一组顶点，x为这组顶点中的任意一点；

(3)对每个网格曲面顶点，计算其与邻域顶点的Morse函数双边滤波值的加权平均，即为该顶点的显著值s：

(4)计算初始Morse函数值与上步所得显著值之和以此更新每个网格曲面顶点的特征值。迭代执行这一步，直到特征点数量符合要求。

按照上述步骤，对网格曲面提取显著特征点过程如图2所示，特征点数量用字母N表示，迭代次数用字母k表示。由图可知，通过这种方法提取出的特征点是一类描述了原始曲面模型最显著特征的网格顶点，而且随着迭代次数增加，其数量逐渐减少。

步骤1-2、偏置Morse显著特征点，构建初始偏置点云

将步骤1-1所提取的Morse显著特征点，沿其法矢方向或法矢反方向，移动相等距离，构建起偏置点集。设原始曲面特征点集为V＝{v₁，v₂，…，v_n}，每个特征点对应的单位法矢集合为N＝{n₁，n₂，…，n_n}，给定一个偏置距离d，那么计算偏置后特征点的坐标

v′_i＝v_i±n_id，1≤i≤n

其中，正负号代表偏置方向不同。若沿法矢方向即向外偏置，则做加法；若沿法矢方向即向内偏置，则做减法。计算完成后组成偏置点集V′＝{v′₁，v′₂，…v′_n}。

步骤1-3、利用泊松重建，将初始偏置点云重建为三角网格曲面

假设给定一个区域M及其边界指示函数χ_M定义为

重构的问题即可转换为重构χ_M的问题，使得点云和指示函数之间能够联系起来。

(1)由梯度关系得到点云和指示函数的积分关系。对于任意点定义为该点向内的法向量，为一个平滑滤波器，则为沿p点法向量的平移，q为p点经过平滑滤波后输出的点；另外，用的导数来近似χ_M。

(2)根据积分关系利用划分块的方法获得点云的向量场，近似计算指示函数的梯度场。将点云Ω分割为互不相交的区域上式就可以通过对分割的区域进行积分求和来近似计算。并且每个小积分可以近似为常函数，替换为点s.p对应的滤波器函数值和区域面积之积。

(3)求解泊松方程。向量空间和指示函数满足如下等式关系：

对等号两边分别求导，可得拉普拉斯方程：

求解上述偏微分方程问题需要对物体做离散化处理。泊松重建算法划分空间后，定义其节点集合为O，函数空间为F_o，则向量空间可以近似表示为

其中，Ng(s)是s的最近的8个邻节点，α_o,s是三线插值权重。

由此对方程做进一步的近似简化，最终求解得到指示函数再选择点云样本坐标的均值作为等值，计算出对应的等值面，进而得到重建的三角网格曲面，即为初始偏置曲面：

其中，R³表示三维向量空间。

步骤2、利用有限元计算分析偏置壳体的受力情况，根据每个单元体的应力高低划分壁厚调节空间；具体为：

(1)利用TetGen网格划分工具对偏置壳体进行四面体网格划分；

(2)利用OOFEM有限元计算库对偏置壳体进行应力分析；

(3)对偏置壳体进行高低应力区域划分；根据上一步应力分析得到的各单元节点应力值大小，合理设定两个应力阈值S_H和S_L(S_H>S_L)，将壳体模型划分为三部分，分别为高应力区域(应力值高于S_H)、低应力区域(应力值低于S_L)以及过渡区域(应力值介于两者之间)，如图5所示。

步骤3、采用Laplacian微分域变形方法优化壁厚，具体为：

(1)建立优化问题的数学模型。优化的最理想情况是保持优化前后的表面形状尽量相似，因此需要使用惩罚函数来修正优化前后形状的几何偏差，才能高还原度地保留原始表面的细节特征。优化目标函数及约束条件定义如下：

min:H(x)＝C(x)+λ*D(M,M⁰)

s.t.[K]{u}＝{P}

g(M,M⁰)＝0

|V-V⁰|≤ε

其中，x表示四面体，C(x)表示壳体模型的柔度；D(M,M⁰)表示优化前后形状的几何偏差；λ是柔度与几何偏差之间的平衡系数；[K]表示模型的刚度矩阵，{u}表示位移向量，{P}表示静载荷向量；g(M,M⁰)表示网格曲面优化前后顶点之间的几何关系；V⁰和V分别表示优化前后的模型体积，v_i对应第i个单元体的体积，体积变化需控制在一定范围ε内，以满足设计要求。

(2)采用Laplacian微分域变形方法实现偏置壳体厚度的自适应变形。针对内表面不同应力划分区域的网格顶点，分别设定其变形方向和变形量：高应力区，沿顶点法矢d_n方向向外变形，距离r₁；低应力区，则沿顶点法矢d_n反方向向内变形，距离r₂；过渡区域保持不变。变形后顶点坐标为：

v′_i＝v_i±d_n·r

对应的变形能量函数为：

其中，δ_i、δ_i′分别表示原始和变形后的网格顶点的Laplacian坐标，u_i表示约束点的坐标；m表示约束点的个数，r表示顶点每次迭代过程的变形量，下标1、2分别指代高、低应力区的顶点。w_i、w_j表示变形的权重因子，这项因子越小，对应顶点越容易移动。因此，对于需要固定位置的壳体外表面以及其它约束点，可设置较大的权重因子，以保持其位置的不变性；对于需要变形的区域，可根据应力大小设置较小的权重因子，以便于优化厚度。

下面通过实施例和附图对本发明进行详细说明。

实施例

一种基于Laplacian微分域变形的三维网格曲面变厚度偏置造型方法，包括以下步骤：

步骤1、读取三维离散曲面模型，提取Morse显著特征点，如图2所示；

(1)用平均曲率计算所有原始网格曲面顶点v的Morse函数值f(v)：

其中每个顶点的最大和最小主曲率k_max、k_min，这类特征信息可以通过拟合曲面来求解。用来拟合曲面的三次多项式可用如下形式表示：

z＝Ax³+Bx²y+Cxy²+Dy³+Ex²+Fxy+Gy²+Hx+ly

(2)利用高斯滤波函数W_c和特征保持函数W_s，计算f(v)的双边滤波值B(f(v),r)：

其中r表示该网格顶点的邻域半径大小，N(v,2r)表示距离该顶点距离2r的一组顶点，x为这组顶点中的任意一点。

(3)对每个网格顶点，计算其与邻域顶点的Morse函数双边滤波值的加权平均，即为该顶点的显著值s：

(4)计算初始Morse函数值与上步所得显著值之和以此更新每个顶点的特征值。迭代执行这一步，直到特征点数量符合要求。

按照上述步骤，对网格曲面提取显著特征点过程如图2所示，特征点数量用字母N表示，迭代次数用字母k表示。由图可知，通过这种方法提取出的特征点是一类描述了原始曲面模型最显著特征的网格顶点，而且随着迭代次数增加，其数量逐渐减少。

步骤2、偏置Morse显著特征点，构建初始偏置点云

将步骤1所提取的显著特征点，沿其法矢方向或法矢反方向，移动相等距离，构建起偏置点集。设原始曲面特征点集为V＝{v₁，v₂，…，v_n}，每个特征点对应的单位法矢集合为N＝{n₁，n₂，…，n_n}，给定一个偏置距离d，那么计算偏置后特征点的坐标

v′_i＝v_i±n_id，1≤i≤n

其中，正负号代表偏置方向不同。若沿法矢方向即向外偏置，则做加法；若沿法矢方向即向内偏置，则做减法。计算完成后组成偏置点集V′＝{v′₁，v′₂，…v′_n}。

步骤3、利用泊松重建，将初始偏置点云重建为三角网格曲面，如图3所示；

泊松重建属于点云重建方法中基于隐函数的一类，其数学基础就是泊松方程。在定向点云系统所包含的信息中，点云表示曲面的位置，点云的法矢表示曲面的内外方向，这是泊松重建的核心思想。

假设给定一个区域M及其边界指示函数χ_M定义为

重构的问题即可转换为重构χ_M的问题，使得点云和指示函数之间能够联系起来。

(1)由梯度关系得到点云和指示函数的积分关系。对于任意点定义为该点向内的法向量，为一个平滑滤波器，则为沿p点法向量的平移，q为p点经过平滑滤波后输出的点。另外，用的导数来近似χ_M。

(2)根据积分关系利用划分块的方法获得点云的向量场，近似计算指示函数的梯度场。将点云Ω分割为互不相交的区域上式就可以通过对分割的区域进行积分求和来近似计算。并且每个小积分可以近似为常函数，替换为点s.p对应的滤波器函数值和区域面积之积。

(3)求解泊松方程。向量空间和指示函数满足如下等式关系：

对等号两边分别求导，可得拉普拉斯方程：

求解上述偏微分方程问题需要对物体做离散化处理。泊松重建算法划分空间后，定义其节点集合为O，函数空间为F_o，则向量空间可以近似表示为

其中，Ng(s)是s的最近的8个邻节点，α_o,s是三线插值权重。

由此对方程做进一步的近似简化，最终求解得到指示函数再选择点云样本坐标的均值作为等值，计算出对应的等值面，进而得到重建曲面：

其中，R³表示三维向量空间。

步骤4、偏置壳体有限元分析，划分高低应力区

(1)利用TetGen网格划分工具对偏置壳体进行四面体网格划分

(2)利用OOFEM有限元计算库对偏置壳体进行应力分析

(3)对偏置壳体进行高低应力区域划分。根据上一步应力分析得到的各单元节点应力值大小，合理设定两个应力阈值S_H和S_L(S_H>S_L)，将壳体模型划分为三部分，分别为高应力区域(应力值高于S_H)、低应力区域(应力值低于S_L)以及过渡区域(应力值介于两者之间)，如图4所示。

步骤5、偏置壳体厚度自适应优化

(1)建立优化问题的数学模型。优化的最理想情况是保持优化前后的表面形状尽量相似，因此需要使用惩罚函数来修正优化前后形状的几何偏差，才能高还原度地保留原始表面的细节特征。优化目标函数及约束条件定义如下：

min:H(x)＝C(x)+λ*D(M，M0)

s.t·[K]{u}＝{P}

g(M，M⁰)＝0

|y-y⁰|≤ε

其中，x表示四面体，C(x)表示壳体模型的柔度；D(M,M⁰)表示优化前后形状的几何偏差；λ是柔度与几何偏差之间的平衡系数；[K]表示模型的刚度矩阵，{u}表示位移向量，{P}表示静载荷向量；g(M,M⁰)表示网格曲面优化前后顶点之间的几何关系；V⁰和V分别表示优化前后的模型体积，v_i对应第i个单元体的体积，体积变化需控制在一定范围ε内，以满足设计要求。

(2)采用Laplacian微分域变形方法实现偏置壳体厚度的自适应变形。针对内表面不同应力划分区域的网格顶点，分别设定其变形方向和变形量：高应力区，沿顶点法矢d_n方向向外变形，距离r₁；低应力区，则沿顶点法矢d_n反方向向内变形，距离r₂；过渡区域保持不变。变形后顶点坐标为：

v′_i＝v_i±d_n·r

对应的变形能量函数为：

其中，δ_i、δ_i′分别表示原始和变形后的网格顶点的Laplacian坐标；u_i表示约束点的坐标；m表示约束点的个数，r表示顶点每次迭代过程的变形量；下标1、2分别指代高、低应力区的顶点。w_i、w_j表示变形的权重因子，这项因子越小，对应顶点越容易移动。因此，对于需要固定位置的壳体外表面以及其它约束点，可设置较大的权重因子，以保持其位置的不变性；对于需要变形的区域，可根据应力大小设置较小的权重因子，以便于优化厚度。

上述步骤1-3为三维离散曲面初始偏置过程，步骤4-5为偏置壳体结构优化过程，其中步骤4的有限元分析是为步骤5提供优化前处理数据基础，自适应厚度优化方法的技术路线如图5所示，最后非均匀变厚度结构设计实例如图6所示。