基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法

摘要

本发明公开了基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤为：1)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器。2)耦合锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器，建立双无迹卡尔曼滤波器。3)将待检测锂离子动力电池的运行参数输入到双无迹卡尔曼滤波器中，进行锂离子动力电池等效电路模型的参数校正和荷电状态SoC估计。本发明保证了cholesky分解的有效性，克服了由于初值误差、噪声扰动、计算模块浮点误差等原因造成的协方差矩阵非正定从而导致迭代停止的问题，增强了滤波过程的数值稳定性和算法的鲁棒性。

说明书

技术领域

本发明涉及荷电状态预测领域，具体是基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法。

背景技术

电动车辆动力电池的荷电状态(SoC，State-Of-Charge)是动力电池运行状态的重要参数，同时也是电池管理系统(BMS，Battery-Management-System)中对动力电池进行相关控制的基本参数。SoC的估计精度将直接影响BMS的控制效果。

现有的SoC估计方法中基于等效电路模型的估计方法下，卡尔曼滤波滤波算法以其跟踪特性和实时性被广泛运用于微控制器中。由于基于等效电路模型所建立的状态方程和观测方程的非线性特点，传统卡尔曼滤波器不再适用，其一阶近似形式，扩展卡尔曼滤波器(EKF，Extended-Kalman-Filter)被广泛运用至SoC的估计应用中。然而由于其仅仅对非线性观测方程取一阶泰勒展开，因此精度方面受到很大的限制。无迹卡尔曼滤波器(UKF，Unscent-Kalman-Filter)利用UT变换，对迭代状态量作点集采样，这样的方法能够至少达到二阶精度，在高斯噪声的前提下能达到三阶精度，因此改善了EKF下SoC的估计精度不足的问题。

噪声自适应算法基于Sega-Husa的理论，对UKF算法进行噪声自适应迭代，补偿了原算法中噪声固定所带来的估计误差，形成了自适应无迹卡尔曼滤波器(AUKF，Adaptive-UKF)。

双滤波器理论是将两个滤波器耦合在一起，其中一个进行模型的状态估计，另一个进行对模型的参数估计，其优点在于能够在状态估计的同时进行对模型参数的修正辨识，提高模型精度，从而进一步提高状态量的估计精度。双无迹卡尔曼滤波算法(DUKF，Dual-UKF)是基于这种理论被提出的。

传统的UKF算法在迭代过程中要求对协方差矩阵进行cholesky分解，这要求协方差矩阵必须保证正定性，然而在实际情况中由于初值误差、噪声扰动、计算模块浮点误差等原因很容易造成协方差矩阵非正定从而导致迭代停止。为了解决这一问题，平方根无迹卡尔曼滤波算法(SRUKF，Squre-Root-UKF)被提出可以使用协方差矩阵的cholesky分解因子(即协方差矩阵的平方根)代替协方差矩阵进行迭代，提高数值稳定性并保证迭代矩阵的正定性。然而，在SRUKF算法中会出现对cholesky因子进行cholesky一阶更新的步骤，其过程仍需要作cholesky分解，因此矩阵非正定性导致迭代停止的问题依然会存在，这对于算法在实际微控制器中的应用而言是一个致命的缺陷。

传统的DUKF算法中，模型参数估计滤波器由于参数向量一般在五维以上，因此在UT变换时至少需要采集13个点，形成的采样矩阵规模至少可达到6×13。不仅如此，每次进行的协方差矩阵的更新、迭代很大程度上增加了运算量，这对微控制器的计算能力提出了很高的要求，有时可能会使算法因计算速度不足而受到效果上的影响。

发明内容

本发明的目的是解决现有技术中存在的问题。

为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要包括以下步骤：

1)获取待检测锂离子动力电池型号和运行参数，并建立锂离子动力电池等效电路模型。

所述运行参数主要包括标称容量C、充电截止电压V_c和放电截止电压V_d。

所述锂离子动力电池等效电路模型为二阶RC等效电路模型。

二阶RC等效电路模型的电路结构如下所示：

记电源正极所在的一端为S，电源负极所在的一端为W。S端依次串联电阻R₁、电阻R₂和电阻R₀。S端依次串联电容C₁和电阻R₂。电阻R₁依次串联电容C₂和电阻R₀。

2)确定锂离子动力电池等效电路模型的特征参数。

确定锂离子动力电池等效电路模型特征参数的主要步骤如下：

2.1)测量锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，主要步骤如下：

2.1.1)在标准电流下，以恒流恒压方式将锂离子动力电池充至满电。

2.1.2)静置t1时间后，对锂离子动力电池进行恒流放电，直至锂离子动力电池的电压下降至放电截止电压V_d。放电完成后，测量锂离子动力电池的放电容量C_f1。

2.1.3)重复步骤1.1至步骤1.2M次，得到放电容量C_fg。g＝1,2,3…，M。计算放电容量C_fg的均值

判断放电容量C_fg和放电容量均值C_f的误差是否小于等于2％，若是，则将放电容量C_fg存入测试集A＝{C_f1、C_f2、…、C_fl}中。l≤M。

2.1.4)计算锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，即：

2.2)获取锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，主要步骤如下：

2.2.1)在标准电流下，以CCCV方式将锂离子动力电池充至满电，并静置t2时间。

2.2.2)加载混合脉冲电流激励序列，对锂离子动力电池进行10％SoC放电，并静置t2时间，获取锂离子动力电池在90％SoC下的平衡开路电压和激励响应曲线。

2.3)重复步骤2.2.2，分别获取锂离子动力电池在90％SoC、80％SoC、...、10％SoC下的平衡开路电压和激励响应曲线。

2.2.4)基于步骤2.2.3，建立锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线。

2.3)基于锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，利用带有遗忘因子的递推最小二乘法获取锂离子动力电池等效电路模型的特征参数，主要步骤如下：

2.3.1)建立锂离子动力电池等效电路模型的传递函数，即：

式中，u_OC(s)为锂离子动力电池电芯电压。u(s)为锂离子动力电池等效电路模型的输出电压。i_L(s)为锂离子动力电池等效电路模型的电流。

令E_L(s)＝u(s)-u_OC(s)，则E_L(s)如下所示：

式中，EL(s)为电池端电压减去电池开路电压后的电压，在二阶网络中为两个RC网络和电阻两端的电压之和。

2.3.2)采用双线性变换法将s平面的方程3映射到z平面，即：

式中，c_j为与模型参数相关的系数。j＝1，2，3，4，5。

2.3.3)将公式4转换至离散时域，即：

E_L，k＝c₁E_L,k-1+c₂E_L,k-2+c₃i_L,k+c₄i_L,k-1+c₅i_L,k-2。(5)

式中，u_k为离散化的输出电压。E_L,k表示E_L离散后k时刻的值。i_L,k表示i_L离散后k时刻的值。

2.3.4)建立锂离子动力电池等效电路模型的数据矩阵Φ_k和参数矩阵θ_k，即：

将公式7带入公式6中，离散化的输出电压u_k如下所示：

u_k＝Φ_kθ_k。(8)

2.3.5)在公式8的基础上采用带有遗忘因子的最小二乘法进行迭代计算。迭代公式如下所示：

式中，μ为遗忘因子，P为迭代协方差矩阵，K为迭代增益。I为与协方差矩阵同形的单位矩阵

2.4)基于锂离子动力电池的二阶等效电路模型和基尔霍夫定律，得到锂离子动力电池等效电路模型状态量和观测量的离散方程。

状态量的离散方程如下所示：

式中，τ₁和τ₂分别代表锂离子动力电池二阶等效电路模型中两个RC网络的时间常数。SoC_k表示k时刻的荷电状态。

观测量的离散方程如下所示：

u_k＝u_1,k+u_2,k+u_OC(SoC)+R₀i_L,k。(11)

式中，Δt表示采样间隔，k表示采样时刻。

3)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器。

建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器的主要步骤如下：

3.1)在锂离子动力电池等效电路模型的状态量离散方程和观测量离散方程中加入噪声参数，形成适用于卡尔曼滤波迭代的状态方程和观测方程，即：

其中，x为3维系统状态向量。pm为6维模型参数向量。i为1维系统输入向量。u为1维系统输出向量。q为系统白噪声，均值为0。系统白噪声协方差为q'。r为测量白噪声，均值为0。测量白噪声协方差为r'。q和r相互独立。f(*)为状态函数。h(*)为观测函数。

3.2)建立基于公式12的无迹卡尔曼滤波器，主要步骤如下：

3.2.1)初始化状态向量x₀、参数向量pm₀、协方差矩阵P₀、白噪声协方差矩阵Q和测量白噪声协方差矩阵R。

3.2.2)利用UT变换计算状态变量的2L+1个采样点，并计算相应的权值，即：

式中，函数chol(*)代表对正定矩阵进行cholesky分解，输出一个上三角矩阵。下标m表示均值，ccovariance为协方差，上标为采样点标号。L为状态量维数，L＝3。参数ξ＝α²(L+k)-L为缩放比例参数。α为采样点分布状态参数。β≥0为权系数。g表示任意采样点。

3.2.3)计算2L+1个采样点集的预测状态向量即：

3.2.4)计算状态量的一步预测值x_k|k-1和协方差矩阵P_k|k-1。

式中，Q为系统噪声协方差矩阵。和表示采样点的权值。

3.2.5)利用UT变换对一步预测值x_k|k-1进行重采样，产生新的采样点集，即：

式中，n为采样点数。

3.2.6)将公式16代入公式12，得到预测的观测量点集，即：

3.2.7)利用加权求和方法计算锂离子动力电池等效电路模型预测的均值和协方差，即：

式中，R为观测噪声协方差矩阵。

3.2.8)计算Kalman增益矩阵K_k并且更新锂离子动力电池等效电路模型的状态变量x_k和协方差矩阵P_k，即：

3.3)建立自适应无迹卡尔曼滤波，主要步骤如下：

3.3.1)原有UKF算法中系统噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R均设置为常数矩阵。这与实际情况是不符的。Sega-Husa理论将带有遗忘因子的噪声自适应迭代过程参与到卡尔曼滤波迭代中，在计算每一步更新两个噪声协方差矩阵，具体迭代公式如下：

式中，计算参数d_k＝(1-b)/(1-b^k+1),b为遗忘因子。e_k为k时刻的电压新息，e_k＝u_k-u_k|k-1。Q_k为带有遗忘因子的噪声协方差矩阵。P_k为卡尔曼滤波器的噪声协方差矩阵。上标T表示转置。

3.3.2)将公式20代入公式19中，建立带有遗忘因子的自适应无迹卡尔曼滤波器。

3.4)利用最近对称正定矩阵算法，在每一次进行UT采样前对协方差矩阵P进行正定化处理，即找到Forbenius范数下的距离原矩阵最近的对称正定协方差矩阵，再传入到UT采样中进行cholesky分解，主要步骤如下：

3.4.1)在AUKF的基础上引入最近对称正定矩阵算法，在每一次进行UT采样前对协方差矩阵P进行正定化处理，即找到Forbenius范数下的距离原矩阵最近的对称正定协方差矩阵，再传入到UT采样中进行cholesky分解。

定义Forbenius范数下与协方差矩阵P与其最近的对称正定矩阵X的距离δ_F(P)为：

3.4.2)计算矩阵P的对称部分B和反对称部分D，即：

3.4.3)对矩阵B进行极性分解，即：

B＝UH。(23)

式中，U为正交矩阵。U^TU＝I。H为正定对称矩阵。H＝H^T≥0。

则Forbenius范数下的唯一距离实协方差矩阵P最近的实对称正定矩阵X如下所示：

X＝(B+H)/2。(24)

3.4.4)更新距离δ_F(P)，即：

式中，λ_γ(B)为矩阵B的特征根；γ＝1,2，…

3.4.5)将实对称正定矩阵X作为上一时刻的协方差矩阵带入到下一时刻的UT采样中。

3.5)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的参数状态方程和观测方程，即：

3.6)在一般UKF迭代过程中，协方差矩阵P携带状态分布信息，在每次迭代进行时会随统计特征的变化而更新。经实验发现，P的主对角线元素携带状态向量主要信息，随滤波进行能快速收敛，此后仅在收敛值附近有微小波动，忽略此微小波动对计算结果不会有显著影响，设置能够代替(L+λ)P矩阵反映状态向量分布特性的固定矩阵σI，其中σ为(L+λ)P对角元素确定的一个常数，I为与P同形的单位矩阵。基于此原理建立固定矩阵无迹卡尔曼滤波器实现对模型参数的实时更新。

对锂离子动力电池等效电路模型的状态变量进行固定矩阵UT采样，即：

式中，σI_i为反映状态向量分布特性的固定矩阵。σ为(L+λ)P对角元素所确定的常数。I为与P同形的单位矩阵。

4)耦合锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器，建立双无迹卡尔曼滤波器。

建立双无迹卡尔曼滤波器的主要步骤如下：

4.1)将状态观测方程和参数观测方程耦合，得到状态观测器的一步预测方程和观测量预测方程，即：

4.2)在公式28中输入状态观测方程最优估计值x_k，得到参数观测器的一步预测方程和观测量预测方程为：

4.3)基于公式29和公式28建立双无迹卡尔曼滤波器。

5)将待检测锂离子动力电池的运行参数输入到双无迹卡尔曼滤波器中，进行锂离子动力电池等效电路模型的参数校正和荷电状态SoC估计。

值得说明的是，本发明结合锂离子动力电池的二阶RC等效电路模型，在设计电池的定容实验和HPPC实验并且对模型采用递推最小二乘法进行参数辨识的基础上，设置了两个观测器：状态观测器采用加入基于Forbenius范数的N-SPD(nearest symmetricpositive definite)算法的噪声自适应无迹卡尔曼滤波器以保证迭代过程中协方差矩阵的正定性和数值稳定性。参数观测器采用固定矩阵无迹卡尔曼滤波器(FMUKF)以简化多参数带来的计算复杂度，加快了算法执行速度。状态观测和参数观测相互耦合，在对模型进行实时参数校正的同时对模型的状态量即SoC进行准确估计。

本发明的技术效果是毋庸置疑的。本发明提出了一种改进型自适应无迹卡尔曼滤波算法，在原有算法的基础上引入了Forbenius范数下寻找任意矩阵的最近对称正定矩阵(N-SPD)的过程，即在每次UT采样前对协方差矩阵进行正定化处理，保证了cholesky分解的有效性，克服了由于初值误差、噪声扰动、计算模块浮点误差等原因造成的协方差矩阵非正定从而导致迭代停止的问题，增强了滤波过程的数值稳定性和算法的鲁棒性。

本发明在传统双滤波理论的基础上，将参数滤波器中协方差矩阵的迭代过程省略为在UT采样时使用固定对角矩阵参与采样，在保证算法精确性受影响不大的前提下极大降低运算量，这对于较高维的参数采样矩阵(6×13)而言是一种运算量的平衡，同时能够提高算法鲁棒性。算法同样适合于微控制器领域内快速、稳定实现。

本发明可以准确预测锂离子动力电池的荷电状态SoC。

附图说明

图1是本发明整体步骤流程图；

图2是本发明二阶RC模型电路拓扑图；

图3是本发明提出的改进型自适应无迹卡尔曼滤波算法流程图；

图4是本发明提出的双无迹卡尔曼滤波算法的结构图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

实施例1：

参见图1至图4，基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要包括以下步骤：

1)获取待检测锂离子动力电池型号和运行参数，并建立锂离子动力电池等效电路模型。

所述运行参数主要包括标称容量C、充电截止电压V_c和放电截止电压V_d。

所述锂离子动力电池等效电路模型为二阶RC等效电路模型。

二阶RC等效电路模型的电路结构如下所示：

记电源正极所在的一端为S，电源负极所在的一端为W。S端依次串联电阻R₁、电阻R₂和电阻R₀。S端依次串联电容C₁和电阻R₂。电阻R₁依次串联电容C₂和电阻R₀。

2)确定锂离子动力电池等效电路模型的特征参数。

确定锂离子动力电池等效电路模型特征参数的主要步骤如下：

2.1)测量锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，主要步骤如下：

2.1.1)在标准电流下，以恒流恒压方式将锂离子动力电池充至满电。

2.1.2)静置t1时间后，对锂离子动力电池进行恒流放电，直至锂离子动力电池的电压下降至放电截止电压V_d。放电完成后，测量锂离子动力电池的放电容量C_f1。

2.1.3)重复步骤1.1至步骤1.2M次，得到放电容量C_fg。g＝1,2,3…，M。计算放电容量C_fg的均值

判断放电容量C_fg和放电容量均值C_f的误差是否小于等于2％，若是，则将放电容量C_fg存入测试集A＝{C_f1、C_f2、…、C_fl}中。l≤M。

2.1.4)计算锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，即：

2.2)获取锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，主要步骤如下：

2.2.1)在标准电流下，以CCCV方式将锂离子动力电池充至满电，并静置t2时间。

2.2.2)加载混合脉冲电流激励序列，对锂离子动力电池进行10％SoC放电，并静置t2时间，获取锂离子动力电池在90％SoC下的平衡开路电压和激励响应曲线。

2.3)重复步骤2.2.2，分别获取锂离子动力电池在90％SoC、80％SoC、...、10％SoC下的平衡开路电压和激励响应曲线。

2.2.4)基于步骤2.2.3，建立锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线。

2.3)基于锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，利用带有遗忘因子的递推最小二乘法获取锂离子动力电池等效电路模型的特征参数，主要步骤如下：

2.3.1)建立锂离子动力电池等效电路模型的传递函数，即：

式中，u_OC(s)为锂离子动力电池电芯电压。u(s)为锂离子动力电池等效电路模型的输出电压。i_L(s)为锂离子动力电池等效电路模型的电流。

令E_L(s)＝u(s)-u_OC(s)，则E_L(s)如下所示：

式中，EL(s)为电池端电压减去电池开路电压后的电压，在二阶网络中为两个RC网络和电阻两端的电压之和。

2.3.2)采用双线性变换法将s平面的方程3映射到z平面，即：

式中，c_j为与模型参数相关的系数。j＝1，2，3，4，5。

2.3.3)将公式4转换至离散时域，即：

E_L，k＝c₁E_L,k-1+c₂E_L,k-2+c₃i_L,k+c₄i_L,k-1+c₅i_L,k-2。(5)

式中，u_k为离散化的输出电压。E_L,k表示E_L离散后k时刻的值。i_L,k表示i_L离散后k时刻的值。k、k-1、k-2表示离散时刻。

2.3.4)建立锂离子动力电池等效电路模型的数据矩阵Φ_k和参数矩阵θ_k，即：

将公式7带入公式6中，离散化的输出电压u_k如下所示：

u_k＝Φ_kθ_k。(8)

2.3.5)在公式8的基础上采用带有遗忘因子的最小二乘法进行迭代计算。迭代公式如下所示：

式中，μ为遗忘因子，P为迭代协方差矩阵，K为迭代增益。I为与协方差矩阵同形的单位矩阵

2.4)基于锂离子动力电池的二阶等效电路模型和基尔霍夫定律，得到锂离子动力电池等效电路模型状态量和观测量的离散方程。

状态量的离散方程如下所示：

式中，τ₁和τ₂分别代表锂离子动力电池二阶等效电路模型中两个RC网络的时间常数。SoC_k表示k时刻的荷电状态。

观测量的离散方程如下所示：

u_k＝u_1,k+u_2,k+u_OC(SoC)+R₀i_L,k。(11)

式中，Δt表示采样间隔，k表示采样时刻。

3)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器。

建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器的主要步骤如下：

3.1)在锂离子动力电池等效电路模型的状态量离散方程和观测量离散方程中加入噪声参数，形成适用于卡尔曼滤波迭代的状态方程和观测方程，即：

其中，x为3维系统状态向量。pm为6维模型参数向量。i为1维系统输入向量。u为1维系统输出向量。q为系统白噪声，均值为0。系统白噪声协方差为q'。r为测量白噪声，均值为0。测量白噪声协方差为r'。q和r相互独立。f(*)为状态函数。h(*)为观测函数。

3.2)建立基于公式12的无迹卡尔曼滤波器，主要步骤如下：

3.2.1)初始化状态向量x₀、参数向量pm₀、协方差矩阵P₀、白噪声协方差矩阵Q和测量白噪声协方差矩阵R。

3.2.2)利用UT变换计算状态变量的2L+1个采样点，并计算相应的权值，即：

式中，函数chol(*)代表对正定矩阵进行cholesky分解，输出一个上三角矩阵。下标m表示均值，c为协方差，上标为采样点标号。L为状态量维数，L＝3。参数ξ＝α²(L+k)-L为缩放比例参数。α为采样点分布状态参数。β≥0为权系数。

3.2.3)计算2L+1个采样点集的预测状态向量即：

3.2.4)计算状态量的一步预测值x_k|k-1和协方差矩阵P_k|k-1。

式中，Q为系统噪声协方差矩阵。和表示采样点的权值。

3.2.5)利用UT变换对一步预测值x_k|k-1进行重采样，产生新的采样点集，即：

3.2.6)将公式16代入公式12，得到预测的观测量点集，即：

3.2.7)利用加权求和方法计算锂离子动力电池等效电路模型预测的均值和协方差，即：

式中，R为观测噪声协方差矩阵。Puu和Pxu为计算卡尔曼增益K，时引入的计算参数。

3.2.8)计算Kalman增益矩阵K_k并且更新锂离子动力电池等效

电路模型的状态变量x_k和协方差矩阵P_k，即：

3.3)建立自适应无迹卡尔曼滤波，主要步骤如下：

3.3.1)原有UKF算法中系统噪声协方差矩阵Q和观测噪声协方差矩阵R均设置为常数矩阵。这与实际情况是不符的。Sega-Husa理论将带有遗忘因子的噪声自适应迭代过程参与到卡尔曼滤波迭代中，在计算每一步更新两个噪声协方差矩阵，具体迭代公式如下：

式中，d_k＝(1-b)/(1-b^k+1),b为遗忘因子。e_k为k时刻的电压新息，e_k＝u_k-u_k|k-1。Q_k为带有遗忘因子的噪声协方差矩阵。P_k为卡尔曼滤波器的噪声协方差矩阵。

3.3.2)将公式20代入公式19中，建立带有遗忘因子的自适应无迹卡尔曼滤波器。

3.4)利用最近对称正定矩阵算法，在每一次进行UT采样前对协方差矩阵P进行正定化处理，即找到Forbenius范数下的距离原矩阵最近的对称正定协方差矩阵，再传入到UT采样中进行cholesky分解，主要步骤如下：

3.4.1)在AUKF的基础上引入最近对称正定矩阵算法，在每一次进行UT采样前对协方差矩阵P进行正定化处理，即找到Forbenius范数下的距离原矩阵最近的对称正定协方差矩阵，再传入到UT采样中进行cholesky分解。

定义Forbenius范数下与协方差矩阵P与其最近的对称正定矩阵X的距离δ_F(P)为：

3.4.2)计算矩阵P的对称部分B和反对称部分D，即：

3.4.3)对矩阵B进行极性分解，即：

B＝UH。(23)

式中，U为正交矩阵。U^TU＝I。H为正定对称矩阵。H＝H^T≥0。

则Forbenius范数下的唯一距离实协方差矩阵P最近的实对称正定矩阵X如下所示：

X＝(B+H)/2。(24)

3.4.4)更新距离δ_F(P)，即：

式中，λ_γ(B)为矩阵B的特征根；γ＝1,2，…

3.4.5)将实对称正定矩阵X作为上一时刻的协方差矩阵带入到下一时刻的UT采样中。

3.5)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的参数状态方程和观测方程，即：

3.6)在一般UKF迭代过程中，协方差矩阵P携带状态分布信息，在每次迭代进行时会随统计特征的变化而更新。经实验发现，P的主对角线元素携带状态向量主要信息，随滤波进行能快速收敛，此后仅在收敛值附近有微小波动，忽略此微小波动对计算结果不会有显著影响，设置能够代替(L+ξ)P矩阵反映状态向量分布特性的固定矩阵σI，其中σ为(L+ξ)P对角元素确定的一个常数，I为与P同形的单位矩阵。基于此原理建立固定矩阵无迹卡尔曼滤波器实现对模型参数的实时更新。

对锂离子动力电池等效电路模型的状态变量进行固定矩阵UT采样，即：

式中，σI_i能够代替(L+ξ)P矩阵，σI_i为反映状态向量分布特性的固定矩阵。σ为(L+ξ)P对角元素所确定的常数。I为与P同形的单位矩阵。

4)耦合锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器，建立双无迹卡尔曼滤波器。

建立双无迹卡尔曼滤波器的主要步骤如下：

4.1)将状态观测方程和参数观测方程耦合，得到状态观测器的一步预测方程和观测量预测方程，即：

4.2)在公式28中输入状态观测方程最优估计值x_k，得到参数观测器的一步预测方程和观测量预测方程为：

4.3)基于公式29和公式28建立双无迹卡尔曼滤波器。

5)将待检测锂离子动力电池的运行参数输入到双无迹卡尔曼滤波器中，进行锂离子动力电池等效电路模型的参数校正和荷电状态SoC估计。

实施例2：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要包括以下步骤：

1)获取待检测锂离子动力电池型号和运行参数，并建立锂离子动力电池等效电路模型。

2)确定锂离子动力电池等效电路模型的特征参数。

3)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器。

4)耦合锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器，建立双无迹卡尔曼滤波器。

5)将待检测锂离子动力电池的运行参数输入到双无迹卡尔曼滤波器中，进行锂离子动力电池等效电路模型的参数校正和荷电状态SoC估计。

实施例3：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤同实施例2，其中，所述运行参数主要包括标称容量C、充电截止电压V_c和放电截止电压V_d。

以浙江遨优动力系统有限公司生产的AYP110161227N50型号三元材料电芯为例。获得其标称容量C(54Ah,0.3C)、充电截止电压Vc(4.2V)、放电截止电压Vd(2.75V)三个基本运行参数。

所述锂离子动力电池等效电路模型为二阶RC等效电路模型，也可以选择Rint模型、一阶模型、多阶模型等。

二阶RC等效电路模型的电路结构如下所示：

记电源正极所在的一端为S，电源负极所在的一端为W。S端依次串联电阻R₁、电阻R₂和电阻R₀。S端依次串联电容C₁和电阻R₂。电阻R₁依次串联电容C₂和电阻R₀。

实施例4：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤同实施例2，其中，

确定锂离子动力电池等效电路模型特征参数的主要步骤如下：

1)测量锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，主要步骤如下：

1.1)在标准电流下，以恒流恒压方式将锂离子动力电池充至满电。

1.2)静置t1时间后，对锂离子动力电池进行恒流放电，直至锂离子动力电池的电压下降至放电截止电压V_d。放电完成后，测量锂离子动力电池的放电容量C_f1。

1.3)重复步骤1.1至步骤1.2M次，得到放电容量C_fg。g＝1,2,3…，M。计算放电容量C_fg的均值

判断放电容量C_fg和放电容量均值C_f的误差是否小于等于2％，若是，则将放电容量C_fg存入测试集A＝{C_f1、C_f2、…、C_fl}中。l≤M。

1.4)计算锂离子动力电池的电芯当前可用容量C_n，即：

2)获取锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，主要步骤如下：

2.1)在标准电流下，以CCCV方式将锂离子动力电池充至满电，并静置t2时间。

2.2)加载混合脉冲电流激励序列，对锂离子动力电池进行10％SoC放电，并静置t2时间，使其接近与平衡状态后，获取锂离子动力电池在90％SoC，也即90％C_n下的平衡开路电压和激励响应曲线。

3)重复步骤2.2，分别获取锂离子动力电池在90％SoC、80％SoC、...、10％SoC下的平衡开路电压和激励响应曲线。

2.4)基于步骤2.3，建立锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线。

3)基于锂离子动力电池的HPPC电压电流曲线，利用带有遗忘因子的递推最小二乘法获取锂离子动力电池等效电路模型的特征参数，主要步骤如下：

3.1)建立锂离子动力电池等效电路模型的传递函数，即：

式中，u_OC(s)为锂离子动力电池电芯电压。u(s)为锂离子动力电池等效电路模型的输出电压。i_L(s)为锂离子动力电池等效电路模型的电流。

令E_L(s)＝u(s)-u_OC(s)，则E_L(s)如下所示：

式中，EL(s)为电池端电压减去电池开路电压后的电压，在二阶网络中为两个RC网络和电阻两端的电压之和。

3.2)采用双线性变换法将s平面的方程3映射到z平面，即：

式中，c_j为与模型参数相关的系数。j＝1，2，3，4，5。

3.3)将公式4转换至离散时域，即：

E_L，k＝c₁E_L,k-1+c₂E_L,k-2+c₃i_L,k+c₄i_L,k-1+c₅i_L,k-2。(5)

式中，u_k为离散化的输出电压。E_L,k表示E_L离散后k时刻的值。

3.4)建立锂离子动力电池等效电路模型的数据矩阵Φ_k和参数矩阵θ_k，即：

将公式7带入公式6中，离散化的输出电压u_k如下所示：

u_k＝Φ_kθ_k。(8)

3.5)在公式8的基础上采用带有遗忘因子的最小二乘法进行迭代计算。迭代公式如下所示：

式中，μ为遗忘因子，P为迭代协方差矩阵，K为迭代增益。I为与协方差矩阵同形的单位矩阵。

基于实时采样得到的电芯电流电压等数据构建输入数据矩阵，进行迭代算法实现参数矩阵的辨识。

其中U_OC在每个平衡阶段的值作为不同SoC下对应的开路电压，采用六次多项式进行拟合得到SoC和开路电压的函数解析式U_OC(SoC)。使用c₁-c₅计算得到不同SoC下的RC网络参数pm＝[τ₁>1>1>2>0>n]^T。

4)基于公式9，得到锂离子动力电池等效电路模型状态量和观测量的离散方程。

状态量的离散方程如下所示：

式中，τ₁和τ₂分别代表锂离子动力电池二阶等效电路模型中两个RC网络的时间常数。

观测量的离散方程如下所示：

u_k＝u_1,k+u_2,k+u_OC(SoC)+R₀i_L,k。(11)

式中，Δt表示采样间隔，k表示采样时刻。

实施例5：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤同实施例2，其中，建立锂离子动力电池基于等效电路模型的状态滤波器和参数滤波器的主要步骤如下：

1)在锂离子动力电池等效电路模型的状态量离散方程和观测量离散方程中加入噪声参数，形成适用于卡尔曼滤波迭代的状态方程和观测方程，即：

其中，x为3维系统状态向量。pm为6维模型参数向量。i为1维系统输入向量。u为1维系统输出向量。q为系统白噪声，均值为0。系统白噪声协方差为Q。r为测量白噪声，均值为0。测量白噪声协方差为R。q和r相互独立。f(*)为状态函数。h(*)为观测函数。

2)建立基于公式12的无迹卡尔曼滤波器，主要步骤如下：

2.1)初始化状态向量x₀、参数向量pm₀、协方差矩阵P₀、白噪声协方差矩阵Q和测量白噪声协方差矩阵R。

2.2)利用UT变换计算状态变量的2L+1个采样点，并计算相应的权值，即：

式中，函数chol(*)代表对正定矩阵进行cholesky分解，输出一个上三角矩阵。下标m表示均值，c为协方差，上标为采样点标号。L为状态量维数，L＝3。参数ξ＝α²(L+k)-L为缩放比例参数。α为采样点分布状态参数。β≥0为权系数。

2.3)计算2L+1个采样点集的预测状态向量即：

2.4)计算状态量的一步预测值x_k|k-1和协方差矩阵P_k|k-1。

式中，Q为系统噪声协方差矩阵。和表示采样点的权值。

2.5)利用UT变换对一步预测值x_k|k-1进行重采样，产生新的采样点集，即：

2.6)将公式16代入公式12，得到预测的观测量点集，即：

2.7)利用加权求和方法计算锂离子动力电池等效电路模型预测的均值和协方差，即：

式中，R为观测噪声协方差矩阵。Puu和Pxu为。

2.8)计算Kalman增益矩阵K_k并且更新锂离子动力电池等效电路模型的状态变量x_k和协方差矩阵P_k，即：

3)建立自适应无迹卡尔曼滤波，主要步骤如下：

3.1)将带有遗忘因子的噪声自适应迭代过程参与到卡尔曼滤波迭代中，更新两个噪声协方差矩阵，具体迭代公式如下：

式中，d_k＝(1-b)/(1-b^k+1),b为遗忘因子。e_k为k时刻的电压新息，e_k＝u_k-u_k|k-1。Q_k为带有遗忘因子的噪声协方差矩阵。P_k为卡尔曼滤波器的噪声协方差矩阵。

3.2)将公式20代入公式19中，建立带有遗忘因子的自适应无迹卡尔曼滤波器。

4)利用最近对称正定矩阵算法，在每一次进行UT采样前对协方差矩阵P进行正定化处理，即找到Forbenius范数下的距离原矩阵最近的对称正定协方差矩阵，再传入到UT采样中进行cholesky分解，主要步骤如下：

4.1)定义Forbenius范数下与协方差矩阵P与其最近的对称正定矩阵X的距离δ_F(P)为：

4.2)计算矩阵P的对称部分B和反对称部分D，即：

4.3)对矩阵B进行极性分解，即：

B＝UH。(12)

式中，U为正交矩阵。U^TU＝I。H为正定对称矩阵。H＝H^T≥0。

则Forbenius范数下的唯一距离实协方差矩阵P最近的实对称正定矩阵X如下所示：

X＝(B+H)/2。(13)

4.4)更新距离δ_F(P)，即：

式中，λ_γ(B)为矩阵B的特征根；γ＝1,2，…

4.5)将实对称正定矩阵X作为上一时刻的协方差矩阵带入到下一时刻的UT采样中。

5)建立锂离子动力电池基于等效电路模型的参数状态方程和观测方程，，即：

6)对锂离子动力电池等效电路模型的状态变量进行固定矩阵UT采样，即：

式中，σI_i为反映状态向量分布特性的固定矩阵。σ为(L+ξ)P对角元素所确定的常数。I为与P同形的单位矩阵。

实施例6：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤同实施例2，其中，建立双无迹卡尔曼滤波器的主要步骤如下：

1)将状态观测方程和参数观测方程耦合，得到状态观测器的一步预测方程和观测量预测方程，即：

2)在公式27中输入状态观测方程最优估计值x_k，得到参数观测器的一步预测方程和观测量预测方程为：

3)基于公式27和公式28建立双无迹卡尔曼滤波器。

实施例7：

基于改进自适应双无迹卡尔曼滤波器的锂离子动力电池SoC估计方法，主要步骤如下：

1)明确锂离子动力电池型号和基本运行参数，在确立一种等效电路模型(以二阶RC模型为例)后设计定容实验和HPPC(Hybrid Pulse Power Characterization，混合脉冲动力测试)实验并结合带有遗忘因子的递推最小二乘法估计等效电路模型的所有特征参数。至此建立了完整的锂离子动力电池的数学模型。

2)基于锂离子动力电池的数学模型加入噪声参数形成状态方程和观测方程，对其应用无迹卡尔曼滤波器(Unscent Kalman Filter，UKF)建立滤波过程。在UKF的基础上引入Sega-Husa的噪声自适应过程形成自适应无迹卡尔曼滤波器(Adaptive UKF，AUKF)。最后在AUKF的基础上引入基于Forbenius范数的最近对称正定矩阵算法(Nearest SymmetricPositive Definite，N-SPD)形成改进型的AUKF。至此完成锂离子动力电池模型状态观测器的建立。

3)建立模型参数的状态方程和观测方程，对其采用固定矩阵无迹卡尔曼滤波(Firm Matrix UKF，FMUKF)建立动力锂离子电池模型参数观测器。

4)耦合两个观测器，形成双无迹卡尔曼滤波。在实时对模型参数进行校正的同时对模型状态量即SoC进行准确估计。