基于迭代梯度搜索的两通道正交镜像滤波器组设计方法

摘要

本发明提供一种基于迭代梯度搜索的两通道正交镜像滤波器组设计方法。其利用迭代梯度搜索(IGS,iterative gradient searching)技术，将原本高度非线性非凸的优化问题，转成凸优化问题进行迭代求解。我们发明的方法和以往方法相比，不再局限于对某一个固定的目标函数进行求解，可以根据设计的需要，灵活的更改目标函数，不仅能将目标函数表达成最小二乘准则的形式，还能够直接实现最小极大化准则的表达形式。并且我们的方法和国内外其它方法相比，原型滤波器迭代初始系数的正常选取几乎不影响仿真结果，且所获得的滤波器性能指标更具有优越性。

说明书

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种基于迭代梯度搜索技术的两通道正交镜像滤波器组设计方法。

背景技术

近年来两通道正交镜像滤波器组(QMFB，quadrature mirror filter bank)被应用于越来越多的领域，例如语音和图像信号的子带编码，小波基设计等。由于QMFB的广泛应用，人们对于它的设计关注也越来越重视。已提出的具有LP和NPR特性的QMFB的设计方法非常多，都可看作是基于最小二乘准则和最小极大化准则下的设计方法。

最传统的设计方法是Johnston的方法，他提出把重构误差能量与阻带能量的加权和作为目标函数并利用Hooke and Jeaves算法对目标函数进行优化求解。由于这一目标函数是关于原型滤波器系数的四次函数，该优化问题是高度非线性且非凸的，不易求解。基于Johnston的方法，Jain and Crochiered等人提出通过时域公式来求解这一目标函数。之后，Chen and Lee提出了一种线性化技术使得这个目标函数的求解变得简单，降低了计算复杂度，并结合加权最小二乘(WLS,weighted least-squares)算法，使得QMFB的整体重构误差在整个频带的最小极大意义上被最小化。但由于该方法的原型滤波器系数是通过计算由近似的矩阵逆和矩阵乘法所组成的方程直接获得的解析解，而矩阵求逆本身就具有较高的计算复杂度，另外，由于滤波器长度高，还可能会导致不存在矩阵逆的情况。

由于解析解的优化过程无法直接表达出最小极大化的形式，因此在已有的设计方法中，为获得具有重构误差或者阻带衰减等波纹特性的QMFB，一般采用的都是WLS或改进的WLS方法，而不是直接基于最小极大化准则获得。例如Y.C.Lim和C.K.Goh and Y.C.Lim等人都是通过选择适当的加权函数，利用最小二乘准则来产生极小极大意义下的等波纹QMFB。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于迭代梯度搜索的两通道正交镜像滤波器组设计方法。

本发明具体如下：

步骤一、根据设计要求，确定全频带上的频率点数L、线性相位原型滤波器的阶数N、阻带截止频率fs。

通过式(1a)、(1b)、(1c)分别确定低通滤波器全频率矩阵U_t、阻带频率矩阵U_s和高通滤波器全频率矩阵U_t，(w+π)。

U_t＝[c(w₁),...,c(w_s),...,c(w_L)]^T(1a)

U_s＝[c(w_s),c(w_s+1),...,c(w_L)]^T(1b)

U_t，(w+π)＝[c(w₁+π),...,c(w_s+π),...,c(w_L+π)]^T(1c)

式(1)中，w_s表示阻带截止频率点。

步骤二、设定迭代步长ε，迭代终止系数ε₁，原型滤波器迭代初始系数将1赋值给k。

步骤三、求解得出第k次迭代下QMFB低通分析滤波器H₀(w)的滤波器系数

3-1.计算第k-1次迭代所得QMFB的重构误差如式(2)所示。

式(2)中，“·”表示矩阵点乘。

3-2.定义一系列常数数组如式(3)所示。

3-3.计算第k-1次迭代所得的QMFB重构误差关于系数的一阶偏导数如式(4)所示。

3-4.计算第k次迭代时QMFB的重构误差如式(5)所示。

式(5)中，代表第k次迭代时的QMFB低通分析滤波器H₀(w)系数增量。

第k次迭代时QMFB的阻带衰减如式(6)所示。

3-5.根据以下九种方法中的一种确定滤波器系数增量的大小。

方法一：根据式(7)表达的凸优化问题进行求解，确定第k次迭代的系数增量

式(7)中，||·||_∞表示无穷范数运算，||·||₂表示2范数运算。δ为需要最小化的中间变量；σ表示阻带最大衰减期望值，α为权值系数。

方法二：将方法一中的式(7b)替换为式(7e)，并确定第k次迭代的系数增量

方法三：将方法一中的式(7b)替换为式(7f)，并确定第k次迭代的系数增量

方法四：将方法一中的式(7b)替换为式(7g)，并确定第k次迭代的系数增量

方法五：将方法一中的式(7b)替换为式(7h)，并确定第k次迭代的系数增量

方法六：去除方法一中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法七：去除方法二中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法八：去除方法三中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法九：去除方法四中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

3-6.计算第k次迭代滤波器系数

步骤四、若式(8)不成立，则将k增大1，并重复执行步骤三。若式(8)成立，则将作为最终设计出的QMFB低通分析滤波器H₀(w)的系数。在同一次设计中，步骤三确定系数增量采用同一个方法。

式(8)中，δ^k是第k次迭代中的式(7)确定的δ。δ^k-1是第k-1次迭代中的式(7)确定的δ。

进一步地，步骤二中，原型滤波器迭代初始系数取值为[0,0,...,0,0.5]^T或通过Parks-McClellan法或直接设计法得到。

进一步地，步骤二中，迭代步长ε＝1。

进一步地，步骤二中，迭代终止系数ε₁＝10^-3。

进一步地，步骤3-5的方法一、二、六、七、九中，权值系数α的取值为1；方法三中，权值系数α的取值为0.1；方法四中，权值系数α的取值为0.01；方法八中，权值系数α的取值为0.5。

本发明具有的有益效果是：

本发明可以不再局限于对某一个固定的目标函数进行优化求解，可以根据设计的需要，灵活的更改目标函数，不仅能将目标函数表达成最小二乘准则的形式，还能够直接实现最小极大化准则的表达形式。并且本发明与其它方法相比，原型滤波器迭代初始系数的正常选取几乎不影响仿真结果，且所获得的滤波器性能指标更具有优越性。

附图说明

图1为本发明的设计流程图。

图2为表1中的系数所画出的QMFB幅频响应图。

图3为由表1中的系数所画出的QMFB重构误差频率响应图。

图4为本发明方法三获得的系数所画出的QMFB幅频响应图。

图5为本发明方法三获得的系数所画出的QMFB重构误差频率响应图。

图6为本发明方法四获得的系数所画出的QMFB幅频响应图。

图7为本发明方法四获得的系数所画出的QMFB重构误差频率响应图。

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

如图1所示，基于迭代梯度搜索的两通道正交镜像滤波器组设计方法的具体步骤如下：

步骤一、根据设计要求，确定全频带上的频率点数L、线性相位原型滤波器(通常我们也将低通分析滤波器H₀(w)称为原型滤波器)的阶数N(阶数N为偶数)、阻带截止频率fs。

通过式(1a)、(1b)、(1c)分别确定低通滤波器全频率矩阵U_t、阻带频率矩阵U_s和高通滤波器全频率矩阵U_t，(w+π)。

U_t＝[c(w₁),...,c(w_s),...,c(w_L)]^T(1a)

U_s＝[c(w_s),c(w_s+1),...,c(w_L)]^T(1b)

U_t，(w+π)＝[c(w₁+π),...,c(w_s+π),...,c(w_L+π)]^T(1c)

式(1a)、(1b)和(1c)中，w₁,w₂,...,w_s,...,w_L表示[0,π]内的一系列等间隔的离散频率点，w_s表示阻带截止频率点(阻带截止频率fs所在的频率点)。

步骤二、设定迭代步长ε，迭代终止系数ε₁，原型滤波器迭代初始系数取值为[0,0,...,0,0.5]^T或通过Parks-McClellan法或直接设计法得到。初始系数对应的迭代次数k＝0。本实施例中ε＝1。将1赋值给k。

步骤三、利用IGS技术优化求解得出第k次迭代下QMFB低通分析滤波器H₀(w)的滤波器系数具体操作如下：

3-1.根据(迭代初始系数或前一次迭代得出的系数)计算出第k-1次迭代所得QMFB的重构误差如式(2)所示。

式(2)中，表示QMFB中低通分析滤波器的幅度响应；表示QMFB中高通分析滤波器的幅度响应；“·”表示矩阵点乘，即数组的对应元素相乘。

3-2.定义一系列常数数组如式(3)所示。

3-3.通过式(4)计算出第k-1次迭代所得的QMFB重构误差关于系数的一阶偏导数

3-4.根据一阶泰勒近似，我们得到第k次迭代时QMFB的重构误差

式(5)中，代表第k次迭代时的QMFB低通分析滤波器H₀(w)系数增量，该值为待求值，具体在步骤3-5求得。

这样我们便把QMFB的重构误差e_r(h₀)由原来是关于系数h₀的二次函数等价成了关于滤波器系数增量的线性函数。

此时第k次迭代时QMFB的阻带衰减表示成关于增量的线性函数如式(6)所示。

3-5.根据以下九种方法中的一种确定滤波器系数增量的大小。

方法一：根据式(7)表达的凸优化问题进行求解，确定第k次迭代的系数增量

式(7)中，||·||_∞表示无穷范数运算，||·||₂表示2范数运算。δ为需要最小化的中间变量；σ表示人为设定的阻带最大衰减期望值，α为权值系数。

该方法可以表述为：在同时满足式(7c)和(7d)的情况下，让式(7b)中的左式达到最小化的作为第k次迭代的实际操作中，借助matlab软件的CVX工具箱可以很容易地求出第k次迭代时的QMFB低通分析滤波器H₀(w)系数增量

该方法选择Johnston方法中“重构误差能量与阻带能量的加权和”这一关于原型滤波器系数的四次函数，作为目标函数来设计QMFB，用我们的优化方法可等价成关于的一次函数的l₂范数最小化问题。

方法二：将方法一中的式(7b)替换为式(7e)，并确定第k次迭代的系数增量

该方法将重构误差的l₂范数与阻带衰减的l₂范数的加权和作为目标函数。该最小化的目标函数可以理解成是重构误差能量的根方与阻带衰减能量根方的加权和，与Johnston方法中重构误差能量与阻带能量的加权和这一目标函数是不同的，相同的是重构误差以及阻带衰减都基于最小二乘准则。

方法三：将方法一中的式(7b)替换为式(7f)，并确定第k次迭代的系数增量

该方法将重构误差的无穷范数与阻带衰减的l₂范数的加权和作为目标函数。该最小化的目标函数可以理解成是最大重构误差和阻带衰减能量根方的加权和，重构误差的优化基于最小最大化准则，而阻带衰减基于最小二乘准则。

方法四：将方法一中的式(7b)替换为式(7g)，并确定第k次迭代的系数增量

该方法将重构误差的无穷范数与阻带衰减的无穷范数的加权和作为目标函数。该最小化的目标函数可以理解成是最大重构误差和阻带最大衰减的加权和，重构误差的优化基于最小最大化准则，阻带衰减也基于最小最大化准则。

方法五：将方法一中的式(7b)替换为式(7h)，并确定第k次迭代的系数增量

该方法在阻带最大衰减约束条件下，直接最小化最大重构误差。重构误差的优化基于最小最大化准则，阻带衰减也基于最小最大化准则。

方法六：去除方法一中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法七：去除方法二中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法八：去除方法三中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法九：去除方法四中的式(7c)这一约束条件，确定第k次迭代的系数增量

方法一、二、六、七、九中，权值系数α的取值为1；方法三中，权值系数α的取值为0.1；方法四中，权值系数α的取值为0.01；方法八中，权值系数α的取值为0.5。

3-6.计算第k次迭代滤波器系数

步骤四、若式(8)不成立，则将k增大1，并重复执行步骤三。若式(8)成立，则将作为最终设计出的QMFB低通分析滤波器H₀(w)的系数。在同一次设计中，步骤三确定系数增量采用同一个方法。

式(8)中，δ^k是第k次迭代中的式(7)确定的δ(即第k次迭代中式(7b)左式的最小值)。δ^k-1是第k-1次迭代中的式(7)确定的δ。

为了本发明的有效性，对本发明进行了计算机模拟仿真。

模拟仿真中的设计要求：原型滤波器阶数N等于32，全频带上的频率点数L为8N，阻带截止频率fs为0.6π，最小化重构误差，最大化阻带衰减。

确定步骤二中的迭代步长ε为取1，迭代终止系数ε₁为10^-3，原型滤波器迭代初始系数步骤三中采用方法一，加权值α取值为1，阻带最大衰减预设值σ设置为10^(-36.43/20)。

经过5次迭代，得出最终的QMFB低通分析滤波器H₀(w)的滤波器系数如表1所示(只列出对称的一半系数)，其对应的QMFB幅频响应和重构误差频率响应如图2和图3所示。

表1 QMFB低通分析滤波器H₀(w)的系数表

最后用得出的滤波器系数，计算出QMFB的重构误差峰值PRE(peakreconstruction error)、阻带截止频率点的衰减AS(stopband edge attenuation)以及阻带峰值纹波PSR(peak stopband ripple)。计算公式如下：

PRE＝max{|20log₁₀(|H₀(w)|²+|H₀(w+π)|²)|}

AS＝-20log₁₀|H₀(w_s)|

PSR＝-max{20log₁₀|H₀(w_l)|}，w_l∈[w_s,...,w_L]

其中，|H₀(w)|为所得低通分析滤波器的幅度响应；为所得高通分析滤波器的幅度响应，|H₀(w_s)|为所得低通分析滤波器阻带截止频率点上的幅度响应；当w_l∈[w_s,...,w_L]时，|H₀(w_l)|为所得低通分析滤波器阻带上的幅度响应。计算得出的指标如表2所示

依据上述验证模拟仿真方法，依次步骤三中采用方法二至九重新进行模拟仿真。

方法二中加权值α为1，阻带最大衰减预设值σ设置为10^(-36.43/20)；方法三中加权值α为0.1，阻带最大衰减预设值σ设置为10^(-36.34/20)；方法四中加权值α为0.01，阻带最大衰减预设值σ设置为10^(-36.34/20)；方法五中阻带最大衰减预设值σ设置为10^(-36.34/20)；方法六中加权值α为1；方法七中加权值α为1；方法八中加权值α为0.5；方法九中加权值α为1。

本发明所得的QMFB与常规设计方法所得的QMFB指标对比如表2所示。方法三所获得的QMFB低通分析滤波器H₀(w)的滤波器系数对应的幅频响应和重构误差频率响应如图4和图5所示。方法四所获得的QMFB低通分析滤波器H₀(w)的滤波器系数对应的幅频响应和重构误差频率响应如图6和图7所示。

表2本发明与常规方法关键指标比较

从表2可以看出，本发明所获得的QMFB在上述各项关键指标上都明显优于其它方法。