Codage des endomorphismes de Pisot du tore [0,1[~r et mesures simultanement invariantes pour deux homomorphismes du tore

摘要

Let S_A and S_B be two linear endomorphisms of the torus [0,1[~r; suppose that S_A is a Piost-Brauer endomorphism and S_B a Perron endomorphism, and that log #beta#/log #lambda# is not an element of Q, where #beta# and #lambda# are the dominating eigenvalues of S_A and S_B. Then Lebesgue measure is the only measure that is simultaneously invariant for S_A and S_B and that is also Bernoulli (or weak Bernoulli) relatively to S_A. We prove this result with the help of a codage of Pisot endomorphisms of the torus beforehand explained. Etudiant un problem pose par Furstenberg, Lyons [L] a montre que la mesure de Lebesgue est la seule mesure sur [0,1] invariante a la fois pour les deux transformations x -> {2x} et y > {3y} qui soit melangeante pour l'une des deux transformations. Ce resultat a fait l'objet de diverses generalisations (Rudoph, Johnson, Feldman and Smorodinsky, Host...) et nous souhaitons l'etendre a certains couples d'endomorphismes du tore [0,1[~r.