О МЕТОДЕ АДАПТИРУЮЩИХСЯ СЕТОК ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ В ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ

摘要

В области с криволинейной границей рассматривается краевая задача для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений реакции-диффузии. Монотонные классические разностные схемы для задач такого типа сходятся лишь при условии ε N_1~(-1) + N_2~(-1), где ε - возмущающий параметр, величины N_1 и N_2 определяют число узлов сетки по переменным Х и ж2. Поэтому для сингулярно возмущенных уравнений в области с криволинейной границей необходимо развивать специальные численные методы, ошибки решений которых довольно слабо зависят от параметра ε и, в частности, не зависят от ε (т.е. ε-равномерно сходящиеся методы). Исследуются схемы на адаптивных сетках, локально сгущающихся в окрестности погранслоя. Оказывается, что в классе разностных схем на основе классических аппроксимаций задачи на прямоугольных сетках, априорно, либо апостериорно локально сгущающихся в погранслое, не существует схем, сходящихся ε-равномерно и даже при условии ε ≈ N_1~(-2) + N_2~(-2), если общее число узлов локально сгущающейся сетки порядка А^Л^. Таким образом, непосредственное использование технологии на основе адаптивных сеток не позволяет существенно расширить область сходимости классических численных методов. Использование техники поперечников по Колмогорову позволило установить условия, необходимые для е-равномерной сходимости (при P → ∞, где P- общее число узлов сетки) аппроксимаций решений краевых задач; требования, вытекающие из этих условий, кладутся в основу построения специальных сеток. Использование таких сгущающихся (в слое) сеток, однако, в локальной системе координат, адаптирующейся к границе области, позволяет строить схемы, сходящиеся ε-равномерно при P → ∞.