Zur Modellierung eines erweiterten Unsicherheitshaushaltes in Parametersch?tzung und Hypothesentests

摘要

Bei der Erhebung von Daten mittels Beobachtungen und der Zusammenfiihrung dieser mit Modellen spielt die Wechselwirkung zwischen Information und Unsicherheit eine wesentliche Rolle. Zur Beschreibung von verschiedenen Arten von Unsicherheit stehen verschiedene Arten von Mathematik zur Verfügung. Um zu beurteilen, ob die aus Beobachtungen abgeleiteten Informationen als statistisch signifikant zu bewerten sind, ist die methodisch korrekte und realistische Unsicherheitsmodellierung bei der (geod?tischen) Datenanalyse von besonderer Bedeutung.rnZiel dieser Arbeit ist die signifikante Erweiterung bisheriger Ans?tze zu einem erweiterten Unsicherheitshaushalt bei der (geod?tischen) Datenanalyse, insbesondere auch vor dem Hintergrund der Deformationsanalyse. Es wird motiviert, dass sich der (geod?tische) Unsicherheitshaushalt mit zuf?lliger Variabilit?t und systematischen Abweichungen zwischen Modell und Beobachtung (Impr?zision) beschreiben l?sst. Die Im-pr?zision stellt dabei eine nicht wahrscheinlichkeitstheoretisch begründete Komponente der Gesamtunsicherheit dar, die als ein Spezialfall unscharfer Daten behandelt werden kann. Im Rahmen dieser Arbeit werden beide Arten von Unsicherheit gemeinsam mit Hilfe von unscharfen Zufallsvariablen modelliert. Dieser Ansatz kann nicht die Richtigkeit eines aus Beobachtungen abgeleiteten Ermittlungsergebnisses im Bezug auf die Realit?t verbessern, sondern es wird eine realistischere Beschreibung der auftretenden Unsicherheiten von Ermittlungsergebnissen angestrebt.rnZu Beginn der Arbeit erfolgt eine Erl?uterung der in der Datenanalyse und in den Beobachtungen auftretenden Arten von Unsicherheit. Des Weiteren wird die Charakteristik der Unsicherheiten für die aus Beobachtungen abgeleiteten Ermittlungsergebnisse und Parameter diskutiert. Basierend auf der Charakteristik der Unsicherheiten von Beobachtungen und Ermittlungsergebnissen werden die theoretischen Grundlagen der verwendeten mathematischen Ans?tze zur Beschreibung der Unsicherheiten vorgestellt. Im Speziellen handelt es sich um die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Intervallmathematik und die Fuzzy-Theorie sowie um kombinierte Ans?tze (unscharfe Zufallsvariablen). Im Weiteren wird die Ableitung der Unsicherheiten von Beobachtungsergebnissen und Parametern bei Vorliegen von zuf?lliger Variabilit?t und Unscharfe erl?utert.rnDer zentrale Teil der Arbeit besch?ftigt sich mit der Weiterentwicklung von Hypothesentests bei Vorliegen des erweiterten Unsicherheitshaushaltes aus zuf?lliger Variabilit?t und Unscharfe. Dies stellt eine zentrale Aufgabe in allen Bereichen der Geo- und Ingenieurwissenschaften dar, in denen auf Annahmen (Modellen) beruhende Aussagen mittels Daten validiert werden sollen. Ein einführender Teil erl?utert den übergang von den klassischen Hypothesentests auf Hypothesentests mit unscharfen Daten. Nach der Herleitung eines generellen Entscheidungskriteriums erfolgt dessen Anwendung auf den eindimensionalen Fall. Für spezielle Referenzfunktionen von unscharfen Gr??en werden geschlossene mathematische Formeln angegeben, sodass eine einfache Anwendung der Methoden m?glich ist. Die Behandlung des mehrdimensionalen Falles beruht auf der Abbildung der Testentscheidung in das Eindimensionale, wodurch ein grundlegendes Werkzeug für Hypothesentests zur Verfügung steht. Abschlie?end wird die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. und 2. Art im unscharfen Fall hergeleitet. Die entwickelten Hypothesentests werden anschlie?end auf die Standardmodelle der Geo- und Ingenieurwissenschaften (Geod?sie) übertragen. Dies umfasst im Wesentlichen den Globaltest einer Ausgleichung und die Formulierung der Allgemeinform einer Hypothese in der linearen Parametersch?tzung. Einzelne spezielle Anwendungen der linearen Hypothese, wie die Ausrei?ersuche, die Modellwahl und die Sensitivit?tsanalyse, runden diesen Teil der Arbeit ab.rnDer letzte zentrale Teil der Arbeit widmet sich der Einbettung der unscharfen Hypothesentests, bei Toleranzbereichen für den Annahmebereich, in die Nutzentheorie. Auf diese Weise k?nnen Konsequenzen im Ent-scheidungsprozess durch Verlustfunktionen berücksichtigt werden. Nach einer kurzen Schilderung der klassischen Vorgehensweise bei der Entscheidungsfindung im Rahmen der Nutzentheorie werden Vorschl?ge für eine Erweiterung auf unscharfe Daten vorgestellt. Das letzte Kapitel der Arbeit spannt den Bogen hin zur Anwendung der entwickelten Methoden auf die Deformationsanalyse. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der statischen und kinematischen Deformationsanalyse, die anhand von simulierten und realen Beispielen mit dem erweiterten Unsicherheitshaushalt analysiert werden. Als Ergebnis der erweiterten Modellierung ist eine verfeinerte Interpretation der aus Beobachtungen abgeleiteten Parameter und insbesondere der Signifikanzniveaus zur Beschreibung und Detektion von Deformationen m?glich. Dies erm?glicht realistischere Aussagen, ob getroffene Annahmen durch die Daten validiert werden konnten.rnDie vorliegende Arbeit bildet einen vollst?ndigen Ablauf der (geod?tischen) Datenanalyse von den origin?ren Beobachtungen hin zu den Ergebnisgr??en einer Parametersch?tzung im Falle eines erweiterten Unsicherheitshaushaltes ab. Dies schlie?t insbesondere die Vertr?glichkeitsuntersuchungen zwischen den Be-rnobachtungen und den im Modell getroffenen Annahmen (unscharfen Hypothesentests) mit ein. An simulierten und realen Beispielen wird gezeigt, dass eine Berücksichtigung von verschiedenen Unsicherheiten eine verfeinerte Interpretation der Daten erlaubt. Zudem sind die entwickelten Methoden auf viele Aufgabenstellungen der Geo-, Ingenieurwissenschaften und Geod?sie anwendbar.