Robuste Approximation von Laserscan-Profilen mit B-Spline-Kurven

摘要

Durch den anhaltenden technischen Fortschritt der letzten Jahrzehnte hat sich der Prozess der Erfassung, Analyse und Darstellung von räumlichen dreidimensionalen (3D) Messdaten grundlegend verändert. Flächenhaft erfassende Sensoren, wie z.B. Laserscanner, liefern ein sehr detailliertes Abbild der Realität. Allerdings können die erfassten riesigen 3D-Punktwolken eine signifikante Anzahl an Ausreißern enthalten, die aufgrund der fehlenden Redundanz im polaren Messverfahren nicht eliminiert werden können. Im Bereich der Darstellung von 3D-Messdaten stehen dem Anwender eine Vielzahl von intuitiv benutzbaren und leicht verständlichen Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Punktwolken-Viewer, computer-aided design Software oder Umgebungen der virtuellen Realität, zur Verfügung. Die Analyse als Bindeglied zwischen der Erfassung und Darstellung muss auf diese Veränderungen angepasst werden. Der Umfang der Analyse reicht, je nach gewählter Erfassungsund Darstellungsmethode, von der Bereinigung, Segmentierung und Transformation der Punktwolken, über die Modellierung bis hin zu weitergehenden Analysen, wie z.B. Zeitreihen- oder Deformationsanalyse. Bei der Modellierung, also der Interpolation oder Approximation von Punktwolken, wird versucht, die Punktwolke durch eine mathematische Funktion zu beschreiben. Dadurch können zum einen Objekteigenschaften, z.B. Gradienten, oder statistisch gesicherte Qualitätsparameter, z.B. für die Genauigkeit und Zuverlässigkeit, abgeleitet werden. Zum anderen wird die Punktwolke dadurch in ein ressourcensparendes Format transformiert und steht der weiteren computergestützten Verarbeitung zur Verfügung. Zur Approximation beliebiger Formen haben sich die stückweisen polynomialen Funktionen und hier insbesondere die B-Splines als besonders geeignete mathematische Funktionen herausgestellt. Der Approximationsprozess bei B-Splines gliedert sich in die vier Teilschritte Modellwahl, Parametrisierung, Knotenvektorwahl und Kontrollpunktschätzung. Im Teilschritt der Knotenvektorwahl muss ein multimodales, multivariates, kontinuierliches und nichtlineares Optimierungsproblem gelöst werden. Hierzu werden einerseits deterministische Methoden angewendet, die den Knotenvektor einmalig aus (abgeleiteten) Eigenschaften der zu approximierenden Punktwolke bestimmen. Andererseits werden heuristische Verfahren eingesetzt. Hier erfolgt eine mehrfache zufällige Wahl des Knotenvektors, die anhand eines gewählten Qualitätsmaßes evaluiert wird. Schlussendlich wird der Knotenvektor mit dem höchsten Qualitätsmaß ausgewählt. In dieser Arbeit werden drei neuartige oder modifizierte Methoden der Knotenvektorwahl vorgestellt. Als neuartige deterministische Methode wird der residuenbasierte iterative Update Algorithmus vorgestellt. Hierbei wird der Knotenvektor iterativ verändert, indem einzelne Knoten anhand der zuvor bestimmten Residuen verschoben werden. Des weiteren werden zwei modifizierte heuristische Methoden vorgestellt. Zum einen wird eine modifizierte Version einer evolutionären Monte-Carlo Methode vorgestellt. Zum anderen wird eine modifizierte Version eines elitären genetischen Algorithmus präsentiert. Im Rahmen einer Simulation mit normalverteiltem Rauschen wird gezeigt, dass die Version des elitären genetischen Algorithmus im Vergleich zu anderen Methoden zu nahezu optimalen Knotenvektoren führt. Dies spiegelt sich unter anderem im höchsten Anteil bestandener Globaltests und dem geringsten Abstand zwischen geschätztem und wahrem Kurvenverlauf wieder. Außerdem erfolgt in dieser Arbeit eine systematische Untersuchung des Einflusses von Ausreißern auf die Güte der B-Spline-Kurvenapproximation. Dazu werden Datensätze anhand unterschiedlicher Rauschmodelle generiert. Die Rauschmodelle verwenden neben der Normalverteilung die t-Verteilung, die Gaußsche Mischverteilung und zwei Varianten eines einseitigen Rauschens. In der Kontrollpunktschätzung werden drei Schätzer, Methode der kleinsten Quadrate, Huber- und Hampel-Schätzer verwendet und analysiert. Für jedes Rauschmodell und jeden Schätzer wird die Grenze der Belastbarkeit, also der maximal mögliche Anteil an Ausreißern, bestimmt, bei dem noch annehmbare Ergebnisse erzielt werden. Die Grenze der Belastbarkeit variiert je nach Rauschmodell und verwendeten Schätzer. Grundsätzlich werden mit dem Hampel-Schätzer die robustesten Ergebnisse erzielt.