Fußpunktdreiecke

摘要

Fällt man von einem Punkt S der Ebene die Lote auf die Seiten eines Dreiecks ABC, dann bilden die Lotfußpunkte ein neues Dreieck (Abb. 1). Diese Fußpunktdreiecke sind in der Elementargeometrie wohlbekannt; das herausragende Resultat ist der Satz von Wallace: Wenn S auf dem Umkreis des Dreiecks liegt, dann liegen die drei Lotfußpunkte auf einer Geraden, d.h. das Fußpunktdreieck ist entartet (Abb. 2). Diese Gerade heißt dann Simson-Gerade zum Punkt 5. Der Beweis ist eine schöne Anwendung des Umfangswinkelsatzes, vgl. [5, S. 143f]. Ein weiteres klassisches Resultat bezüglich des Flächeninhalts der Fußpunktdreiecke ist eher der analytischen Geometrie zuzurechnen (vgl. Abschnitt 4). Im Folgenden wird gezeigt, dass die Fußpunktdreiecke bei einem festen Dreieck ABC beliebige Formen annehmen können, und bei der Untersuchung des Zusammenhangs ähnlicher Fußpunktdreiecke ergibt sich eine überraschende Verbindung mit dem Feuerbach-schen Neunpunktekreis.