Stationary problem of third-grade fluids in two and three dimensions: existence and uniqueness

摘要

This paper is devoted to the stationary problem of third-grade fluids in two and three dimensions. In two dimensions, we show existence of solutions and uniqueness, for a boundary of class C~(2,1) and small data, by generalizing the method used by J.M. Bernard for the stationary problem of second-grade fluids (we deal with a polynomial of four degrees instead of two degrees). Contrary to the case of two dimensions, the resolution of the problem of third-grade fluids in three dimensions requires the physical condition |α_1 + α_2| < (24vβ)~(1/2). From this condition, we derive two "pseudo ellipticities" for the operator v|A(u)|~2 + (α_1 + α_2)tr(A(u)~3) + β|A(u)|~4, where A(u) is a 3-order symmetric matrix such that tr(A(u)) = 0. Thus, with, in addition, a sharp estimate of the scalar product (|A(u)|~2A(u) — |A(v)|~2A(v), A(u) — A(v)), we are able to prove existence of solutions and uniqueness, for a boundary of class C~(2,1) and small data, in three dimensions.%Cet article est consacré au problème stationnaire des fluides de grade trois en dimension deux et trois. En dimension deux, nous montrons l'existence de solutions et l'unicité, pour une frontière de classe C~(2,1) et une donnée petite, en généralisant la méthode utilisée par J.M. Bernard pour le problème stationnaire des fluides de grade deux (nous avons affaire à un polynôme de degré quatre au lieu de deux). Contrairement au cas de la dimension deux, la résolution du problème des fluides de grade trois en dimension trois requière la condition physique |α_1 + α_2| < (24vβ)~(1/2). De cette condition, nous déduisons deux "pseudo matrice" pour l'opérateur v|A(u)|~2 + (α_1 + α_2)tr(A(u)~3) + β|A(u)|~4, où A(u) est une malice symétrique d'ordre 3 à trace nulle. De là, avec, en plus, une fine estimation du produit scalaire (|A(u)|~2A(u) — |A(v)|~2A(v), A(u) — A(v)), nous sommes capables de prouver l'existence de solutions et l'unicité, pour une frontière de classe C~(2,1) et une donnée petite, en dimension trois.