オーソモジュラ量子論理における含意結合子の強弱について: 量子論理のモルフォロジー解析

摘要

モルフォロジー演算は随伴演算子の対として束に一般化される（［3］，［4］，［5］，［6］）．特に集合束のモルフォロジーはKripke意味論を介して，論理の解析に適用することができる（［7］，［8］，［9］，［10］，［11］，［12］）．例えば，随伴としてのモルフォロジー演算を考察することで正規様相論理の時相化が得られる（［8］，［11］，［12］）．［8］ではさらに，直観主義論理および線形論理におけるモデル構成もモルフォロジーによる内部および閉包作用素によって記述され，様々な非古典論理にモルフォロジー解析が適用できることを示した．一方，量子論理は代数的にはオーソモジュラ束ないしモジュラな直可補束として定式化され（［13］,［15］，［16］），可能世界を用いたKripke意味論を持つ（［16］）．このことから，量論論理においてもモルフォロジー解析が可能であることがわかる．本研究では，量子論理においてモルフォロジー解析が有効であることを示す一旦として，含意の問題（［16］）を取り上げ，量子論理において5個存在する多項式的な含意の間の強弱の比較を行う．%Morphological operators are generalized to lattices as adjunction pairs([3], [4], [5], [6]). In particular, Morphology for set lattices is applied to analyze logics through Kripke semantics( [7], [8], [9], [10], [11], [12]). For example, a pair of Morphological operators as an adjunction gives rise to a temporalization of normal modal logic( [8], [11], [12]). Also, constructions of models for intuitionistic logic or linear logics can be described in terms of Morphological interior and/or closure operators( [8]). This shows that Morphological analysis can be applied to various non-classical logics. On the other hand, quantum logics are algebraically formalized as orhomodular or modular ortho-complemented lattices( [13], [15], [16]), and shown to allow Kripke semantics( [16]). This suggest the possibility of Morphological analysis for quantum logics. In this article, to show an efficiency of Morphological analysis for quantum logic, we consider the implication problem in quantum logics( [16]). We will give a comparison of the 5 polynomial implication connectives available in quantum logics.