非理想サンプリングデバイスのための離散フーリエ変換

摘要

非理想標本値からフーリエ係数を正しく計算するための離散フーリエ変換（DFTG）を提案する.通常のDFTがコンシステント標本化定理の特殊な場合になっていることを示した後，標本化関数を理想パルスから現実パルスに置き換えることによりDFTGを定義する.そして，DFTGが通常のDFTの結果を修正行列で変換することにより実現できることを示す.この結果を利用して，非理想標本備に対して通常のDFTを適用した場合に生じる誤差比の上限が，修正行列の作用素ノルムによって与えられることを示す.また，DFTGは修正行列の計算のために,一般にO（N~2）の計算量が必要になる.そこで,通常のDFT同様にDFTGをO（N log N）で計算するために,修正行列が対角になる場合を考える.このための必要十分条件を示し，標本化が移動不変の場合には,核関数が対称である場合に修正行列が対角になることを示す.具体例として，B-Splineパルスによる移動不変標本化の場合のFFTGを導出し，矩形波（0次のB-Spline）の場合には，フーリエ係数の誤差が最大で57％になることを示す.%We propose the discrete Fourier transform for measurements obtained by non-ideal sampling devices, called DFTG. We show that DFTG is computed by the original DFT followed by an extra computation for an N x N matrix, where N is the number of measurements. Based on this result, we derive an upper bound for an error that arises if we simply apply the classical DFT to non-ideal measurements. DFTG requires an O(N~2) computation in general. However, if the extra matrix is diagonal, DFTG is computed by a computation of O(N log N). We call DFTG with a diagonal extra matrix FFTG. We derive necessary and sufficient conditions for the diagonality. As an example, we derive FFTG when sampling pulse is given by B-spline function, and show that the error can be 57% if we apply the classical DFT for non-ideal samples.