Constructions of A Large Class of Optimum Linear Codes for Small Number of Information Symbols

摘要

A new method of constructing efficient codes on the basis of (u, u + v) construction is presented. We present a large class of optimum linear codes for small number of inforamtion symbols. Namely we present (3(2~m - 1), m + 1,3 • 2~m - 2) code, (3(2~m - 1) + 1, m + 1,3 • 2~m - 1) code and (3(2~m - 1) + 2, m + 1,3 • 2~m) code respectively. We show that these codes meet the bound of linear codes (m ≦ 6) due to Brouwer and Verfoeff. It is strongly conjectured that, for m > 6, our codes meet the bound for any code-length. We then present the (n, 2, d) codes that meet the bound of any linear code of length n ≦ 125. It is strongly conjectured that the proposed (n, 2, d) codes meet the bound of optimum linear code of any code length. We also present the (n, 3, d) code that meet the bound of any linear code of length n except n = 8 + 7μ for n ≦ 60. It is strongly conjectured that our (n, 3, d) code meet the bound for any code length except m = 8 + 7μ(μ = 1,2, • • •). Finally we present several optimum linear codes for the number of information symbols k = 4,5,6 and 7.%一般化された（u,u＋v）構成法，g（u,u＋v）構成法，に基づいて少数の情報記号数に対する最適2rn元線形符号の大きなクラスを構成している．そしてこの構成法に基づいて（3（2~m-1，m＋1，3・2~m-1）符号，（3（2~m-1），m＋1，3・2~m-1）符号，（3（2~m-1），m＋1，3・2~m）符号を構成し，これらの符号がBrouwer-Verhoeffのテーブル（BVテーブル）に記載の最小距離にn≦125の範囲で一致し，それ故に最適2元線形符号であること且つm≧126の範囲においても最適2元線形符号であることが予測されることを述べる．さらに情報記号数k=2，符号長n，最小距離dの（n，2，d）線形符号および情報記号数3の（n，3，d）線形符号を与えている．そして（n，2，d）符号が乃≦125の任意の符号長に対しBVテーブル記載の最小距離限界に一致すること，即ち理論的限界式を完全に満たすことを示している．同様に（n，3，d）符号もm=8＋7μ（μ=1，2，…）を除く任意の符号長において（BVテーブル）理論的限界式を満たすことを示している．これらの符号はn≧126の範囲においても最適性を満たすことが強く予想される．さらに情報記号数k=4，5，6および7に対する最適符号を構成し，具体例を示している．