ランダムサンプリングに基づく超曲面あてはめ

摘要

本稿では，N次元空間のデータに対してN-1次元超曲面をあてはめる問題について考察する．一般にこのあてはめ問題は特徴写像を介して凡才次元特徴空間における1次元低い超平面あてはめ問題に帰着される．このとき，もとの空間におけるユークリッド距離は特徴空間において重み附きユークリッド距離で近似できるので，もとの空間におけるユークリッド距離を反映した特徴空間におけるあてはめ問題は特徴空間において重み附きユークリッド距離に基づくあてはめ問題に帰着できる．一方，1次元低い超平面あてはめ問題について，重み附きユークリッド距離のた東和を最小とする超平面あてはめは0＜k≦1のときに最適抽出可能である，すなわちM次元特徴空間において，M-1次元アフィン超平面をあてはめる場合はM個のデータ点を通る大域的最適解が存在する．本稿では，このことを利用したランダムサンプリングによりあてはめ問題を近似する手法である最小た乗偏差推定，及び最小二乗中央値推定を拡張した最小二乗α百分位点推定を提案する．これら提案手法と，同様にランダムサンプリングに基づく手法であるRANSACとの関係について議論する．%In this paper, N - 1-dimensional hypersurface fitting for .N-dimensional data is investigated. Generally, this fitting problem is resolved into M - 1-dimensional hyperplane fitting in M-dimensional feature space by considering appropriate feature mapping. Because the distance in original space and is approximated by the weighted distance in feature space, the hypersurface fitting problem based on the Euclidean distance in the original space is equivalent to the hyperplane fitting problem based on the weighted Euclidean distance in the feature space. On the other hand, the hyperplane fitting to reduce one dimension of data by minimizing the weighted sum of fc-th power deviation of Euclidean distance has the optimal sampling property when 0 < k ≤ 1. Then there exists the global optimum of the M - 1-dimensional hyperplane fitting in M-dimensional space which passes M data points. In this paper, we propose the approximation of the fitting problem based on the random sampling by using the optimal sampling property, which is called least fc-th power deviations, and we also propose the extension of LMedS, which is called least a-percentile of squares. Then we discussed the relation among the proposed methods and RANSAC, which is also based on the random sampling.