Über die Genauigkeiten von Schätzern für den Skalenparameter der Verteilungs-funktion

摘要

Since the beginning of the Statistical analysis of observation series the research is focussedon the estimation of the scale factor of the probability distribution function. Helmert intensively studied this question based on the fundamental works of Gauß/Gauß 1816/and Encke/Encke 1832/ He looked especially on the accuracy of moment estimators and therefore the scale factor of the distribution function. The mean absolute error is connected to the first moment, where as the mean quadratic error corresponds to the second moment. The median absolute error is defined with respect to the confidence interval with 50% probability. The question is now, which of these estimators have the highest precision. In the article we have a look at the answers of Helmert to this question. But later on we will also discuss special distribution functions for robust estimation, the Laplace- and Student distribution and work out specific recommen-dations for the estimation of the scale factor.%Seit den Anfängen der statistischen Analyse von Beobachtungsreihen beschäftigt sich die Forschung sehr eingehend mit der Schätzung des Skalenparameters der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Aufbauend auf grundlegenden Arbeiten von Gauß /Gauß 1816/ und Encke /Encke 1832/ setzte sich auch Helmert sehr intensiv mit dieser Frage auseinander. Er untersuchte speziell, mit welcher Genauigkeit man die Momente und damit den Skalenparameter der Verteilungsfunktion schätzen kann. Bei der durchschnittlichen Abweichung wird das erste absolute Moment zur Schätzung herangezogen. Die mittlere Abweichung (Standardabweichung) stützt sich hingegen auf das zweite Moment der Verteilungsfunktion. Die wahrscheinliche Abweichung ist über das Konfidenzintervall mit der Wahrscheinlichkeit 50 % definiert. Es gilt nun die Frage zu beantworten, welcher dieser Schätzer ist besser geeignet oder auch genauer, um den Skalenparameter der Verteilung zu bestimmen. In diesem Beitrag wollen wir Helmerts Antwort auf diese Frage nachvollziehen, aber auch Anwendungen aufzeigen, die speziell im Zusammenhang mit der robusten Parameterschätzung von Bedeutung sind. Speziell werden wir in diesem Zusammenhang die Genauigkeit der Schätzung des Skalenparameters bei der Laplace- und Student-Verteilung untersuchen und Empfehlungen zur Schätzung ausarbeiten.