For a graph $G = (V, E)$, a fractional $[a, b]$-factor is a real valued function $h:E(G)o [0,1]$ that satisfies $a le ~ sum_{ein E_G(v)} h(e) ~ le b$ for all $ vin V(G)$, where $a$ and $b$ are real numbers and $E_G(v)$ denotes the set of edges incident with $v$. In this paper, we prove that the condition $mathit{iso}(G-S) le (k+rac{1}{2})|S|$ is equivalent to the existence of fractional $[1,k+ rac{1}{2}]$-factors, where ${mathit{iso}}(G-S)$ denotes the number of isolated vertices in $G-S$. Using fractional factors as a tool, we construct component factors under the given isolated conditions. Namely, (i) a graph $G$ has a ${P_2,C_3,P_5, mathcal{T}(3)}$-factor if and only if $mathit{iso}(G-S) le rac{3}{2}|S|$ for all $Ssubset V(G)$; (ii) a graph $G$ has a ${K_{1,1}, K_{1,2}, ldots,$ $K_{1,k}, mathcal{T}(2k+1)}$-factor ($kge 2$) if and only if $mathit{iso}(G-S) le (k+rac{1}{2})|S|$ for all $Ssubset V(G)$, where $mathcal{T}(3)$ and $mathcal{T}(2k+1)$ are two special families of trees.
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机译：对于一个图表$ g =（v，e）$，小数$ [a，b] $ - fings是一个真实值的函数$ h：e（g） to [0,1] $，满足$ a le 〜 sum_ {e 在e_g（v）} h（e）〜 le b $ for v（g）$的所有$ a，其中$ a $和$ b $是实数和$ e_g（v） $表示v $ v $的redges集合。在本文中，我们证明了条件$ mathit {iso}（gs） le（k + frac {1} {2}）| s | s | s | s | s | $等于Fractional $ [1，K + FRAC { 1} {2}] $ - 因素，其中$ { mathit {iso}}（gs）$表示$ gs $中孤立顶点的数量。使用分数因素作为工具，我们在给定的孤立条件下构建组件因素。即，（i）图$ g $有$ {p_2，c_3，p_5， mathcal {t}（3）} $ - 如果$ mathit {iso}（gs） le FRAC {3} {2} | S | $满足所有$ s subset v（g）$; （ii）图表$ g $有$ {k_ {1,1}，k_ {1,2}， ldots，$ k_ {1，k}， mathcal {t}（2k + 1） $ - 因子（$ k ge 2 $）如果只有$ mathit {iso}（gs） le（k + frac {1} {2}）| s | $ for all $ s subset v（ g）$，其中$ mathcal {t}（3）$和$ mathcal {t}（2k + 1）$是两个特殊的树木。
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