Splines generalizados y solución nodal exacta en el método de elementos finitos

摘要

Se desarrolla en este trabajo un método de construcción de splines generalizados que está basado en una interpretación matricial o estructural de la teoría matemática de dichas funciones. Se sugiere, a lo largo del desarrollo realizado, que tanto la terminología como los métodos de análisis en cálculo de estructuras y resistencia de materiales son muy naturales y, por tanto, idóneos para este campo de los splines. El método propuesto permite abordar, con una única y sencilla metodología, el tratamiento de tipos de splines muy diferentes.cambio de las características del spline de unos subintervalos a otros (modificación de pesos, parámetros de tensión, etc.), diferentes condiciones de interpolación en los distintos nodos, etc. Se destaca como aportación de interés la consideración de nuevas condiciones de interpolación definidas como acciones de tipo puntual (cargas). Asimismo, se interpreta y demuestra que la solución de problemas de contorno unidimensionales por el método de elementos finitos es nodalmente exacta cuando se utilizan ciertos espacios de aproximación de dimensión finita engendrados por splines generalizados. También se desarrolla el concepto de acción equivalente como generalización del de acción nodal equivalente. Finalmente se ilustra la aplicación de la metodología desarrollada, basada en la interpretación matricial citada, con ejemplos de splines en el campo de los gráficos, en el análisis de vigas continuas sobre fundación elástica, sometidas a flexión y tracción o compresión y en problemas dinámicos.↓This paper discusses a method for constructing generalized splines, which is based on a matrix or structural interpretation of the mathematical theory on these functions. It is suggested throughout the paper that both the terminology and the methods of analysis in structures and strength of materials are very natural and, therefore, apt for this field of splines. The proposed method allows a wide range of splines to be addressed by means of a single and simple methodology: changing the characteristics of the spline from some subintervals to others (modification of weights, tension parameters, etc.), different conditions of interpolation in different nodes, etc. A noteworthy contribution is that new conditions of interpolation are considered, which are defined as individual actions (loads). Furthermore, it is found and shown that the solution of one-dimensional boundary value problems using the finite elements method is exact at the nodal points when certain spaces of finite dimension approximation engendered by generalized splines are used. The concept of equivalent action is developed as a generalization of the notion of equivalent nodal action (equivalent nodal loads). Finally, an illustration is given of how the developed methodology, based on the aforesaid matrix interpretation, can be applied, including examples of splines in the field of graphics, analysis of continuous beams on an elastic foundation, subjected to bending moment and tension or compression, and in dynamic problems.