Let $mathcal{A}$ be a factor von Neumann algebra with dimension greater than 1. We prove that if a linear map $delta: mathcal{A}ightarrow mathcal{A}$ satisfies $$ delta([[a, b], c])=[[delta(a), b], c]+[[a, delta(b)], c]+[[a, b], delta(c)] $$ for any $a, b, cin mathcal{A}$ with $ab=0$ (resp. $ab=P$, where $P$ is a fixed nontrivial projection of $mathcal{A}$), then there exist an operator $Tin mathcal{A}$ and a linear map $f:mathcal{A}ightarrow mathbb{C}I$ vanishing at every second commutator $[[a, b], c]$ with $ab=0$ (resp. $ab=P$) such that $delta(a)=aT-Ta+f(a)$ for any $ain mathcal{A}$.
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机译：令$ mathcal {A} $为因纽曼代数的因数大于1。我们证明，如果线性映射$ delta： mathcal {A} rightarrow mathcal {A} $满足$$ delta（ [[a，b]，c]）= [[ delta（a），b]，c] + [[a， delta（b）]，c] + [[a，b]， delta（c ）] $ abs {$}中 mathcal {A} $中任何$ a，b，c $的$$（分别是$ ab = P $，其中$ P $是$ mathcal {A的固定非平凡投影） } $），然后在 mathcal {A} $中存在一个运算符$ T ，并且线性映射$ f： mathcal {A} rightarrow mathbb {C} I $在第二个换向器$ [[ b]，c] $和$ ab = 0 $（分别是$ ab = P $），这样 mathcal {A}中任何$ a $ delta（a）= aT-Ta + f（a）$ $。
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