Let $Q_k$ be the set of all functions $f$ analytic in $D(ert zert <1)$ suchthat $f(0)=0, f'(0)=1$, and $f(z)$ is in the $j$-th sector whenever $z$ is inthe $j$-the sector of $D$, for $j=1, 2, cdots, k$. Let $U_k$ be the set ofextreme points of $Q_k$ which are univalent in $D$. We prove that if $k$ isodd, then $U_k$ contains exactly two elements, i.e. $z/(1+z^{2k})^{1/k}$ and$z/(1-z^k)^{2/k}$. If $k$ is even, then $fin U_k$ if and only if$f(z)=z/[(1-e^{ikheta} z^k) (1-e^{ikheta} z^k)]^{1/k}$, for some $0leheta < 2pi$. Let $U_k^*$ be the closed convex hull of $U_k$. Then for any$f(z)=sum_{n=0}^infty a_{nk+1} z^{nk+1}$ in $U_k^*$, we have$$ert a_{nk+1}ert le 2(2+k) (2+2k)cdots (2+(n-1)k)/(k^n n!) le 2/kqquadext{for} n=1, 2, cdots .$$
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机译：假设$ Q_k $是$ D（ vert z vert <1）$中所有函数$ f $的集合，使得$ f（0）= 0，f'（0）= 1 $和$ f（z当$ z $位于$ j $-$ D $的扇区中时，对于$ j = 1，2， cdots，k $而言，）$位于$ j $的扇区中。假设$ U_k $是$ Q_k $的极点集合，它们在$ D $中是等价的。我们证明如果$ k $是奇数，则$ U_k $恰好包含两个元素，即$ z /（1 + z ^ {2k}）^ {1 / k} $和$ z /（1-z ^ k）^ {2 / k} $。如果$ k $是偶数，则$ f in U_k $当且仅当$ f（z）= z / [（1-e ^ {ik theta} z ^ k）（1-e ^ {ik theta } z ^ k）] ^ {1 / k} $，大约$ 0 le theta <2 pi $。假设$ U_k ^ * $是$ U_k $的封闭凸包。然后对于$ U_k ^ * $中的任何$ f（z）= sum_ {n = 0} ^ infty a_ {nk + 1} z ^ {nk + 1} $，我们有$$ vert a_ {nk + 1} vert le 2（2 + k）（2 + 2k） cdots（2+（n-1）k）/（k ^ nn！） le 2 / k qquad text {for} n = 1，2， cdots。$$
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